giới hạn của dãy số

I.GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA DÃY SỐII.. ĐỊNH LÍ VỀ GIỚI HẠN HỮU HẠN...  .Một vài giới hạn đặc biệt:Với k là số nguyên dương và /q/.

Chương IV: GIỚI HẠN

§1: GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ

TiÕt 49, tu n 20 ầ

I.GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA DÃY SỐ

II ĐỊNH LÍ VỀ GIỚI HẠN HỮU HẠN

I/ GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA DÃY SỐ

 Câu hỏi 1 > Cho dãy số ( un ) với

 a/ Hãy viết dãy số dưới dạng khai triển :

 b/ Hãy biểu diễn các số hạng của dãy trên trục số:

100

1, ,

10

1, ,5

1,4

1,3

1,2

1

,

1

Câu hỏi 2: Bắt đầu từ số hạng thứ bao nhiêu thì

khoảng cách này nhỏ hơn 0,001; nhỏ hơn 0,00001 ?

 Vậy khi n lớn dần đến vô cùng thì khoảng cách này tiến

dần đến 0, hay ta nói rằng un dần đến 0.

 Ta ký hiệu: un 0

 ĐỊNH NGHĨA 1:

Ta nói dãy số (u n ) có giới hạn là 0 khi n dần tới dương

vô cực nếu có thể nhỏ hơn một số dương bé tuỳ

Ta nói dãy số (u n ) có giới hạn là 0 khi n dần tới dương

vô cực nếu có thể nhỏ hơn một số dương bé tuỳ

ý ,kể từ một số hạng nào đó trở đi

Kí hiệu:

hay u n 0 khi n

→

( )

2

1

n u

n n

Ví dụ 2: Cho dãy số ( u n ) với

Chứng minh rằng

2 3

 .Một vài giới hạn đặc biệt:

Với k là số nguyên dương và /q/<1, c : hằng số

Chỳ ý: Thay cho ta viết tắt là: lim u n = a

c c

c

q b

n n

a

n

n n

k n

→

lim )

0 lim

)

0

1 lim

; 0

1 lim )

c

q b

n n

a

n

n n

k n

→

lim )

0 lim

)

0

1 lim

; 0

1 lim )

II* ĐỊNH LÝ VỀ GIỚI HẠN HỮU HẠN

 ĐINH LÝ 1 :

a

a b

a

b a

b a

v a

= +

−

=

− +

+

= +

n n

u lim

vµ

0 a

thi u

lim

vµ n

mäi víi

u NÕu

b)

) 0 b

Õu

0

N

( v

u lim

/

)

lim(

/

) lim(

/

)

: thi b

v a N

)

n n

n n

n n

n n

.v u

v u

b a

v u

u

1 3

1

3

2 2

2

+

−

= +

−

n

n n

n n

Làm thế nào để tìm được

giới hạn này ?

3 1

3 1

1 lim

1 3 lim 1

1 1

v 3

n

2

2

3n lim n

Nê

n

1 lim

à n

1 - 3 lim có

Ta

1 lim

2 2

1

4

1 lim

2 1

4

1 lim

n n

n n

n

n

2n - 1

4n

1 lim

cã

Ta

2

Mặt khác theo giả thiết

Từ (1) và (2) suy ra lim an = 0 Vậy lim un = 1 (đpcm)

* N n

1

.

1 1

n u

n

n

n n

n n

limw v

vn = u n − 1 ≤ n ≤ w n

Bài tập 3C/121: Tìm

n n

n n

2 4

4 5

3 lim

+ +

Hướng dẫn học ở nhà:

 1/ Cần nắm vững 2 định nghĩa 1 và định nghĩa 2 về

giới hạn 0 và giới hạn hữu hạn

 2/ Nhớ 3 giới hạn đặc biệt và thuộc các công thức

của định lý về giới hạn hữu hạn

 3/ Làm bài tập 1; bài 3 ( Các câu a, b, d ) trang 121

 III/ Tæng cña cÊp sè nh©n lïi v« h¹n

 IV/ Giíi h¹n v« cùc

TiÕt 50, tu n 21 à

III/ Tæng cña cÊp sè nh©n lïi v« h¹n

 1) Kh¸i niÖm:

,

2

1, ,8

1,4

1

21

:sausè

cÊpvÒ

xÐt nhËn

unªH·y

*/ D·y sè lµ mét cÊp sè nh©n.

*/ C«ng béi lµ q = 1/ 2, /q/ < 1 */ D·y sè lµ cÊp sè nh©n v« h¹n

CÊp sè nh©n lïi v« h¹n lµ cÊp sè nh©n v« h¹n

cã c«ng béi q víi / q / < 1

III/ Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn

,

3

1 , ,

27

1 ,

9

1 ,

Dãy số sau đây có phải là cấp số nhân lùi vô hạn không?

Nếu phải hãy chỉ ra công bội của cấp số đó?

lựi vụ hạn biết u 1 và Cụng bội q, với /q/ < 1

Lêi gi¶i:

0

1 1

1 lim

1 1

*

1

1

1 1

1

1 1

1 2

+ +

=

n

n

n n

limq

limS

S : d¹ng vÒ

ViÕt

S ã

Do

q

u q

q

u q

u ra

Suy

q q

u q

u

q

q

u u

u u

n n

n n

c Ta

q

u u

u

−

= +

+ +

Tæng S

III/ Tæng cña cÊp sè nh©n lïi v« h¹n

) 1 (

, 1

1

, 8

1 , 4

1 , 2

1 , 1

IV/ Giíi h¹n v« cùc

1) §Þnh nghÜa

 C©u hái 3: Cho d·y sè tù nhiªn un= n

1/ Cho un lµ mét sè tù nhiªn bÊt kú, cã thÓ chØ ra ®­îc nh÷ng

sè lín h¬n un kh«ng?

2/ H·y nªu nhËn xÐt vÒ d·y sè võa xÐt? Kho¶ng c¸ch gi÷a 0

vµ un nh­ thÕ nµo khi n —> +∞ ?

§Þnh nghÜa vÒ giíi h¹n v« cùc:(SGK)

KÝ hiÖu: limu n = +∞ hay u n—>+ ∞ khi n—>+ ∞

Limu n =-∞ hay u n—>- ∞ khi n—>+ ∞ NhËn xÐt: limu n =+∞ <=> lim(-u n ) = -∞

2/ Một vài giới hạn đặc biệt:

 a) Lim n k = +∞ với k nguyên dương

: sau hạn

giới

ra suy

nào thế

Làm

lim3

và n

5 2

lim hạn

giới các

Các định lý về giới hạn hữu hạn có còn đúng khi áp dụng

vào giới hạn vô cực không? Ta xét các ví dụ sau.

=

n

v a

c

a b

a

n n

n n

n

n n

n

n n

n

limu thi

limv

vµ limu

víi limv

vµ limu

NÕu

v

u lim thi

limv

vµ limu

NÕu

a)

0 )

0 0

)

0

Hướng dẫn học ở nhà:

 1/ Cần nắm vững 2 định nghĩa 1 và định nghĩa 2 về

giới hạn 0 và giới hạn hữu hạn, và định nghĩa về giới hạn vô cực

 2/ Nhớ 5 giới hạn đặc biệt và thuộc các công thức

của định lý về giới hạn hữu hạn, giới hạn vô cực.

 3/ Làm bài tập 5,6,7,8 trang 122

 4/ Làm bài tập trong sách bài tập gồm bài 1.9,

1.10, 1.11, 1.12, 1.13, 1.14