Các bài toán bồi dưỡng HSG

Phương pháp tổng hợp Phương pháp tổng hợpVí dụ 1 : Tứ giác điều hòa Trong mặt phẳng cho hai đường tròn O1 và O2 cắt nhau ở hai điểm A và B.. Một tiếp tuyến chung của hai đường tròn đó ti

CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI

VÒNG TOÀN QUỐC

NỘI DUNG ÔN THI TOÀN QUỐC

Các phương pháp giải toán hình học phẳng

 Phương pháp tổng hợp

 Phương pháp tọa độ

 Phương pháp véc tơ

 Phương pháp biến hình

Phương pháp tổng hợp Phương pháp tổng hợp

Ví dụ 1 : (Tứ giác điều hòa)

Trong mặt phẳng cho hai đường tròn (O1) và (O2) cắt nhau ở hai điểm A và B Một tiếp tuyến chung của hai đường tròn đó tiếp xúc với (O1) ở P và (O2) ở

T.Các tiếp tuyến tại P và T của đường tròn ngoại tiếp tam giác APT cắt nhau ở điểm S Gọi H là điểm đối xứng của điểm B qua PT Chứng minh rằng ba điểm A,H,S thẳng hàng

(Chọn học sinh dự thi IMO 2001)

Phương pháp tổng hợp Phương pháp tổng hợp

Ví dụ 1: (Tứ giác điều hòa)

Trong mặt phẳng cho hai đường tròn (O1) và (O2) cắt

nhau ở hai điểm A và B Các tiếp tuyến tại A và B của (O1) cắt nhau ở K Gỉa sử M là một điểm nằm trên (O1) nhưng không trùng với A và B Đường thẳng AM cắt lại (O2) ở P, đường thẳng KM cắt lại (O1) ở C và đường thẳng

AC cắt lại (O2) ở Q Chứng minh rằng:

1) Trung điểm của PQ nằm trên đường thẳng MC

2) Đường thẳng PQ luôn đi qua một điểm cố định khi M di

Phương pháp tổng hợp Phương pháp tổng hợp

Ví dụ 1: (Tứ giác điều hòa)

Gỉa sử ABCD là một tứ giác nội tiếp P,Q,R là chân các đường vuông góc hạ từ D lần lượt trên các đường thẳng BC, CA, AB Chứng tỏ rằng PQ=QR khi và chỉ khi phân giác của các góc ABC và góc ADC cắt nhau trên AC

( IMO 2003)

Phương pháp tổng hợp Phương pháp tổng hợp

Ví dụ 3:(Hệ thức lượng trong đường tròn)

Trong mặt phẳng, cho hai đường tròn cố định (O1) và (O2) tiếp

xúc với nhau tại điểm M, và bán kính đường tròn (O2) lớn hơnbán kính đường tròn (O1) Xét điểm A nằm trên trên đường tròn (O2) sao cho ba điểm O1, O2, A không thẳng hàng Từ A kẻ các tiếp tuyến AB và AC đến đường tròn (O1) ( B và C là các tiếp điểm) Các đường thẳng MB và MC cắt lại đường tròn (O2) tương ứng tại

E và F Gọi D là giao điểm của đường thẳng EF và tiếp tuyến tại

A của đường tròn (O2) Chứng minh rằng điểm D di động trên

Phương pháp tọa độ

Ví dụ 1:Cho hai tam giác ABC và D là chân

đường cao hạ từ A Gọi E và F là các điểm nằm trên đường thẳng qua D sao cho AE BE ,

AF CF, và E,F không trùng D Giả sử M và N là các trung điểm tương ứng của BC và EF

Chứng minh rằng AN NM







Phương pháp tọa độ

Ví dụ 2: Cho tam giác ABC, các đường trung tuyến và phân giác kẻ từ A theo thứ tự cắt BC tại M và N Từ N, kẻ đường vuông góc với NA, đường này cắt MA và BA tương ứng tại Q và P Từ

P, kẻ đường vuông góc với BA, đường này cắt NA tại O

Chứng minh rằng QO  BC

Phương pháp tọa độ

Ví dụ 3 : Trong tam giác ABC, góc C=600, D,E,F là các điểm tương ứng nằm trên các cạnh BC, AB, AC Gọi M là giao điểm của AD và BF Gỉa sử CDEF là hình thoi Chứng minh rằng

DA DM

DF 2 

Phương pháp tọa độ

Ví dụ 4: Cho hai điểm P,Q trên cạnh BC của một tam

giác ABC, nằm theo thứ tự B,P,Q,C Hai đường tròn

ngoại tiếp của tam giác PAB, QAC cắt nhau tại M ( khác A) và hai đường tròn ngoại tiếp tam giác PAC, QAB cắt nhau tại N Chứng minh rằng A,M,N thẳng hàng nếu và chỉ nếu P và Q đối xứng nhau qua trung điểm A’ của BC

Phương pháp véc tơ

Ví dụ 1:Cho tam giác ABC Điểm X nằm trên cạnh AB sao cho

CX cắt đường trung tuyến kẻ từ A cắt tại A ’ và cắt trung tuyến kẻ từ B tại B ’’ Các điểm B ’ ,C ’ ,A ’’ ,C ’’ được định nghĩa tương tự.

Tìm tỷ số của diện tích hai tam giác A ’’ B ’’ C ’’ và A ’ B ’ C ’

4

1



AB AX

Phương pháp biến hình

Ví dụ 1:(Đối xứng trục)

Trong mặt phẳng, cho tam giác nhọn ABC nội tiếp

đường tròn (O) và có trực tâm H Trên cung BC không chứa điểm A của đường tròn (O), lấy điểm P sao cho P không trùng với B và C Lấy điểm D sao cho và gọi K là trực tâm của tam giác ACD Gọi E và F

tương ứng là hình chiếu vhông góc của K trên các

đường thẳng BC và AB Chứng minh rằng đường thẳng

EF đi qua trung điểm của đoạn thẳng HK

PC

AD 

Các phương pháp tìm GTLN và GTNN

PP1: Sử dụng bất đẳng thức

PP2: Sử dụng phương pháp lượng giác hóa

PP3: Sử dụng phương pháp tọa độ

PP4: Sử dụng đạo hàm

PP5: Sử dụng điều kiện có nghiệm của phương trình hoặc hệ phương trình

Đại số (PP chuyển về hệ)

Ví dụ 1: Xét các số thực x, y thỏa mãn điều kiện:

Hãy tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất

của biểu thức:

y y

x

y x

P  

Đại số (pp lượng giác hóa)

Ví dụ 2: Cho a,b,c là các số thực sau cho a0, ab và tất cả các nghiệm của phương trình

Đại số (pp lượng giác hóa)

Ví dụ 4 : Cho ba số thực a,b,c thỏa mãn điều kiện: abc+a+c=b

Hãy tìm GTLN của biểu thức:

1

3 1

2 1

2

22

a P

Đại số (Sử dụng đại lượng bất biến)

Ví dụ 3 : Xét các số thực x,y,z thỏa mãn điều kiện : (x+y+z)3=32xyz

Hãy tìm GTNN và GTLN của biểu thức

4

4 4

4

) ( x y z

z y

Đại số (Sử dụng đại lượng bất biến)

Ví dụ 3 : Xét các số thực x,y,z thỏa mãn hệ điều kiện : x+y+z=4 và xyz=2

Hãy tìm GTNN và GTLN của biểu thức

4 4

Đại số

Ví dụ 4 : Cho a2+b2+c2=4 và x(0;/2) Tìm GTLN và GTNN của

x c

x b

a

Đại số

Ví dụ 5 : Cho hàm f(x) xác định với mọi số thực

x sao cho f(tgx)=sin2x với mọi x(-/2,/2)

Tìm GTLN và GTNN của hàm số

) (cos

).

(sin 3 x f 3 x f

Các phương pháp giải hệ phương trình thường sử dụng

PP1: Sử dụng các phép biến đổi tương đương hoặc hệ quả

PP2: Sử dụng phương pháp lượng giác hóa

PP3: Sử dụng phương pháp tọa độ

PP4: Sử dụng bất đẳng thức

PP5: Sử dụng tam thức bậc hai

PP6: Sử dụng tính đơn điệu của hàm số

y xy

x

xy

x

17 8

8

49

3

2 2

2 3

(Toàn quốc bảng B-2004)

2 2

2 2 2

2 2

2 2 2

2 2

) 1 3

( )

(

) 1 3

( )

(

) 1 3

( )

(

y x z

z z

x z

x z y

y x

z y

z y x

x z

y x

z z

z

z y

y y

y

y x

x x

x

) 1 ln(

3 3

) 1 ln(

3 3

) 1 ln(

3 3

23

23

23

27 27

9

27 27

9

23

23

23

z z

x

y y

z

x x

y

yz xy

z y

x

z y

x

2 7

1

3 3

1 1

1

2 ln(

1 4

) 1 (

) 1 2

(

2

2 3

2 3

x y

x y

y x

y x

x

2 ln(

1 4

2 1

5 ).

4 1

(

2 3

1 2

2 1 2

x y

x y

y x y

x y

x

( log cos

3 1

log

) cos 3

( log sin

3 1

log

3 2

3 2

x y

y x

( log 2

) 1

3 1

( log

) 1

( log 2

) 1

3 1

( log

2 3

2 2

2 3

2 2

x tg y

tg

y tg x

tg

30 )

(

2 )

(

2 3

2 3

2 3

y x

z z

x z

y y

z y

x x

1 1

.(

7

2 )

1 1

.(

3

y x

y

y x

x

5 2

7

y x

y x

y x

y x

(Toàn quốc bảng B-2001)

3 )

2 3

)(

2 (

2 2

2 2

3

z z

y

x x

y y

z z

x x

) 2 )(

2 (

) 3

( 2

2 2

3

z

x z

x

y y

y x

x y

1 )(

1 (

1 1

y x

x y

y x

z z

z z

y y

y y

x x

2 2 2

2 2 2

5 )

1 (

4 )

1 (

3

zx yz

xy

z

z y

y x

x

1 1

2

2

x y

y x

2 8

8 8

3

2

) (

22

2

22

z x

yz xy

y x

yz y

x x

z x

y y

x

2 Ký hiệu  và ß tương ứng là nghiệm lớn nhất của P(x)

và Q(x) Chứng minh rằng :

2+3ß2=4

(Toàn quốc bảng B-2003)

Các bài toán có liên quan đến phương tích của một điểm đối với đường tròn:

Bài 1: Gọi BD là phân giác góc B trong tam giác ABC,

D nằm trên AC Đường tròn ngoại tiếp tam giác BDC

cắt AB tại E, đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD cắt

BC tại F Chứng minh rằng AE=CF.(Olympic Toán học

thành phố St Petersburg, 1996)

Bài 2: Cho tam giác ABC, bên ngoài tam giác này, vẽ các tam giác BCD, CAE, ABF có các cạnh đáy tương

ứng là BC, CA, AB Chứng minh các đoạn vuông góc

kẻ từ A,B,C tương ứng xuống EF, FD, DE bằng nhau.

(Olympic Toán học Mỹ, 1997)

Bài 3:Cho tam giác ABC Một đường tròn tâm O đi qua

Định lý Céva trong hình học phẳng:

Gọi E,F,G là ba điểm tương ứng nằm trên ba cạnh BC, CA,

AB của tam giác ABC Lúc đó, ba đường thẳng AE, BF, CG cắt nhau tại một điểm O khi và chỉ khi:

1

FA

CF EC

BE GB

LC OK

CO FA

CF



BO

AK BG

AG

LC

BO EC

BE



 ,

CL BO AK CF

BE AG

C ’

Định lý Céva

Ví dụ : Trong tam giác ABC có ABAC, gọi V là giao điểm của phân giác góc A với cạnh BC, D là chân đường vuông góc hạ từ A xuống cạnh BC Nếu E, F tương ứng là các giao điểm của đường tròn ngoại tiếp tam giác AVD với hai cạnh CA và AB, Hãy chứng minh rằng các đường thẳng AD, BE, CF đồng quy

Định lý Céva

Ví dụ :Đường tròn nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với BC, CA, AB tương ứng tại A1,B1,C1 Chứng minh rằng AA1, BB1, CC1 đồng quy

Định lý Ménélaus trong hình học phẳng :

Cho tam giác ABC Một đường thẳng d bất kỳ cắt các đường thẳng BC, CA,

AB lần lượt tại P, Q, R Khi đó:

Đảo lại, giả sử các điểm P, Q, R tương ứng nằm trên các đường thẳng BC,

CA, AB của tam giác ABC sao cho (1) được thỏa Lúc đó P, Q, R thẳng hàng

1

BP

PC QC

AQ AR

Định lý Ménélaus trong hình học phẳng

Ví dụ: Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp của

tam giác ABC không cân, giả sử đường tròn này tiếp xúc với các cạnh BC, CA, AB tại các điểm tương ứng A1, B1,C1, Chứng minh rằng tâm các đường tròn ngoại tiếp của các tam

giác AIA1, BIB1 và CIC1 thẳng hàng.

Định lý Sti-oa-tơ

Với M là điểm tùy ý trên cạnh BC của tam giác ABC, ta có hệ thức:

BM MC

BC BC

AM BM

AC MC

A

Định lý Sti-oa-tơ

Ví dụ: Cho tam giác ABC có góc A>900 Lấy hai điểm khác nhau

P và Q trên cạnh BC sao cho góc BAP=góc PAQ và

BP.CQ=BC.PQ Tính số đo góc PAC

Ví dụ: Cho ABC là tam giác không cân Các đường trung tuyến kẻ từ A,B,C lần lượt cắt đường tròn

ngoại tiếp tam giác tại các điểm thứ hai L,M,N Gỉa sử LM=LN Hãy chứng minh :

2 2

2

Định lý Sti-oa-tơ và Menelaus

Cho tam giác vuông ABC và D, E, F lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC, và CA Gỉa sử đường phân giác của góc BDC cắt

BC tại M và phân giác góc ADC cắt AC tại N Cho MN và CD cắt nhau tại O; EO cắt AC tại P và đường thẳng FO cắt BC tại

Q

Chứng minh rằng CD=PQ

Định lý Ptolémé

Với một tứ giác nội tiếp, tích các đường chéo bằng tổng của hai tích các cạnh đối

BD AC

AD BC

AB

Bất đẳng thức Ptolémé

Với mọi tứ giác ta luôn có:

BD AC

DA BC

CD

Dấu “=“ xảy ra khi và chỉ khi ABCD nội tiếp

Bất đẳng thức Ptolémé

Ví dụ: Cho lục giác lồi ABCDEF thỏa mãn điều kiện AB=BC, CD=DE và EF=FA Chứng minh rằng:

DE BE

BC

Khi nào đẳng thức xãy ra?

Định lý Côsin và sin

Ví dụ : Các tiếp tuyến tại B và A cắt tiếp tuyế ở

C của đường tròn ngoại tiếp một tam giác nhọn ABC lần lượt tại T và U AT cắt BC tại P, Q là trung điểm của AP, BU cắt CA tại R và S là

trung điểm BR.

1 Chứng minh rằng góc ABQ = góc BAS

2 Xác định dạng tỷ số các cạnh (a:b:c)

Định lý Côsin và Sin

Ví dụ:Trong mặt phẳng cho đường tròn (O) cố định, bán kính R Cho A và B là hai điểm cố định nằm trên đường tròn (O) sao cho ba điểm A,B,O không thẳng hàng Xét điểm C nằm trên

đường tròn (O), C không trùng với A và B Dựng đường tròn

(O1) đi qua A và tiếp xúc với đường thẳng BC tại C, dựng

đường tròn (O2) đi qua B và tiếp xúc với đường thẳng AC tại C Hai đường tròn (O1) và (O2) cắt nhau tại điểm thứ hai D khác C Chứng minh rằng:

1

2 Đường thẳng CD luôn đi qua một điểm cố định, khi

R

CD 

Đại số: (Sử dụng điều kiện có nghiệm)

Ví dụ: Tìm tất cả các giá trị của tham số thực p để miền giá trị của hàm số

x p

1 (

Bài tập phản xạ

Ví dụ : (Tuyển đội OLIMPIC 2001)

Trên mặt phẳng cho hai đường tròn cắt nhau tại A và B

PT là tiếp tuyến chung của hai đường tròn (P và T là

các tiếp điểm) Các tiếp tuyến tại P và T của đường tròn nhoại tiếp tam giác APT cắt nhau tại S Gọi H là điểm đối xứng của B qua PT Chứng minh rằng A,S,H thẳng hàng

Bài tập phản xạ

Ví dụ : Trên các cạnh của tam giác đều ABC, cho 6 điểm A1,

A2 trên cạnh BC, B1,B2 trên cạnh CA, C1, C2 trên cạnh AB

Các điểm này là các đỉnh của một hình lục giác lồi

A1A2B1B2C1C2 có độ dài của các cạnh bằng nhau Chứng minh rằng các đường thẳng A1B2, B1C2, C1A2 đồng quy

(Olimpic quốc tế 2005)

Bài tập phản xạ

Ví dụ :Cho ABCD là một tứ giác lồi cố định, với BC=AD và

BC không song song với BA E và F là hai điểm chạy trên các cạnh BC và AD (tương ứng) sao cho BE=DF.Các đường thẳng

AC và BD cắt nhau tại P, các đường thẳng BD và EF cắt nhau tại Q, các đường thẳng EF và AC cắt nhau tại R Chứng minh rằng khi E và F thay đổi, các đường tròn ngoại tiếp tam giác PQR có một điểm chung khác P

(Olimpic quốc tế 2005)

Đường thẳng Simson

Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) Gọi

A’, B’, C’ lần lượt là hình chiếu vuông góc của một điểm M thuộc đường tròn (O) xuống các

đường thẳng BC, CA, AB Khi đó A’, B’, C’ cùng thuộc một đường thẳng Đường thẳng này được gọi là đường thẳng Simson ứng với điểm M của tam giác ABC.