Giáo trình HH sơ cấp

Nhận xét: Định lý Xêva cho ta một dấu hiệu để chứng minh 3 đường thẳng xuất phát từ một đỉnh của tam giác đồng quy.. Trong một tam giác 3 đường phân giác đồng quy tại I.. I gọi là tâm đư

HÌNH HỌC SƠ CẤP

Bài 1 Một số định lý cơ bản

1 Định lý Xêva: Cho tam giác ABC A’, B’, C’ lần lượt là các điểm nằm trên các cạnh

BC, CA và AB Chứng minh rằng AA’, BB”, CC’ đồng quy tại K khi và chỉ khi

AC BA CB

Giải:

(⇒) Giả sử AA’, BB”, CC’ đồng quy tại K

Theo định lý Talet ta có:

CB

C B A C B A CB AJ AI

(⇐) Giả sử (1)

Gọi K là giao điểm của AA’ và BB’ Giả sử CK cắt AB tại C’’ Ta có AA’, BB’, CC’’ đồng quy tại K nên theo phần a) ta có:

'' ' '

'' ' '

Từ (1) và (2) ⇒ ' ''

' ''

C B =C B ⇒ C’ và C’’ cùng là điểm chia trong của đoạn AB theo tỉ

số k ⇒ C’ ≡ C’’

Nhận xét: Định lý Xêva cho ta một dấu hiệu để chứng minh 3 đường thẳng xuất phát từ một đỉnh của tam giác đồng quy

Ví dụ1

1 Trong một tam giác 3 đường trung tuyến đồng quy tại G G gọi là trọng tâm của tam giác

2 Trong một tam giác 3 đường cao đồng quy tại H H gọi là trực tâm của tam giác

3 Trong một tam giác 3 đường phân giác đồng quy tại I I gọi là tâm đường tròn nội tiếp tam giác

4 Trong một tam giác, một đường phân giác trong và 2 đường phân giác ngoài của 2 góc còn lại đồng quy tại một điểm, điểm đó gọi là tâm đường tròn bàng tiếp của tam giác Kí hiệu là OA, OB, OC

5 Trong một tam giác 3 đường thẳng nối mỗi đỉnh với tiếp điểm của đường tròn nội tiếp với cạnh đối diện đồng quy tại một điểm G Gọi là điểm Giecgôn

6 Trong một tam giác 3 đường thẳng nối mỗi đỉnh với tiếp điểm của đường tròn bàng tiếp thuộc cạnh đối diện đồng quy tại một điểm N Gọi là điểm Naghen

2 Định lí Giecgôn

Cho tam giác ABC, K là điểm trong miền tam giác kể cả biên AK, BK, CK lần lượt cắt các cạnh đối diện của tam giác tại A’, B’, C’ Thế thì ta có:

a) ' ' ' 1

3 Công thức tính diện tích tam giác có 3 đỉnh là chân 3 đường thẳng Xêva

A

K A’

B’

C’

I J

a) Định lý Vanôben: Cho tam giác ABC, gọi K là điểm chạy trong miền tam giác AK,

BK, CK lần lượt cắt BC, CA, AB tại A’, B’, C’ Thế thì ta có:

Chú ý: a) Gọi tỉ số ba điểm MNP là (MNP) = PM

b) Đặt λa = (BCA’), λb = (CAB’), λc = (ABC’) Theo Xêva ta có: λa.λb λc = 1

b) Định lí: Cho tam giác ABC, K là điểm chạy trong miền tam giác AK, BK, CK lần lượt cắt BC, CA, AB tại A’, B’, C’ Gọi S’ là diện tích tam giác A’B’C’ và S là diện tích tam giác ABC Thế thì:

2

' S víi (1 a)(1 b)(1 c)

π

−

4 Đường thẳng Ximxơn:

Định lí: Cho tam giác ABC, điểm M nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác A’, B’, C’ là chân đường cao hạ từ M xuống 3 cạnh BC, CA, AB (kể cả phần kéo dài) Thế thì A’, B’, C’ thẳng hàng Đường thẳng nối 3 điểm A’, B’, C’ gọi là đường thẳng Ximxơn

5 Định lí Stioa:

Cho tam giác ABC D là điểm nằm trên cạnh BC với BD = m, CD = n Thế thì ta có:

ad2 = mb2 + nc2 - a.m.n

d = AD