Hình là trường hợp các điểm trong mặt phẳng hoặc trong không gian có cùng một tính chất nào đó.. Đa giác Đa giác là đường gấp khúc đơn, khép kín trong mặt phẳng - Đa giác phân mặt phẳng
Trang 1CHƯƠNG V ĐƯỜNG – MẶT – KHỐI TRONG KHÔNG GIAN ƠCLIT
I KHÁI NIỆM HÌNH
1.1 Khái niệm Hình là trường hợp các điểm trong mặt phẳng hoặc trong không gian có cùng một tính chất nào đó
1.2 Sự xác định hình Hình H = {M/ M có t/c P}
Xác định hình H thực chất là bài toán quỹ tích bao gồm hai phần:
- Phần thuận: M có tính chất P chứng minh M thuộc hình H
- Phần đảo: M thuộc hình H chứng minh M có tính chất P
Ví dụ.Cho góc xOy bằng một vuông; gọi M,N lần lượt là hai điểm chuyển động trên hai tia
Ox, Oy sao cho độ dài MN = a (a cho trước) Tìm tập hợp trung điểm của MN
Chứng minh Cần chứng minh:
a
H I / IM IN ; xOy 1v M Ox, N Oy
2
- Phần thuận: điểm I có tính chất a
2
M Ox; N Oy, góc xOy bằng 1 vuông
- Nếu M O N M1 Ox sao cho OM1 = a
Khi đó, trung điểm I của MN I2 sao cho OI2 a
2
Ta chứng tỏ tập hợp điểm 𝐼 ∈ 𝐼1̂ , tâm O, bán kính 𝐼2 a
2 Thật vậy: Lấy M, N thì lần lượt Ox, Oy sao cho MN = a; IM = IN
Xét MON có OI là trung tuyến nên
OI IN IM MN
I có cùng tâm O, bán kính
a
2 Suy ra I cung I1, I2, tâm O, bán kính a
2 Đảo: Xác định trên Ox, Oy lần lượt 2 điểm I1, I2 sao cho
a
2
Lấy 𝐼 ∈ 𝐼1̂ chứng minh tồn tại đường 𝐼2
thẳng MN = a và IM = IN=a
2 Với M Ox; N Oy
O
x
y
N
I
M
N1
M1
O
x
y
N
I
M I2
I1
Trang 2Thật vậy nối OI vẽ đường tròn tâm I, bán kính IO cắt Ox tại M, cắt Oy tại N Dễ thấy MON
là vuông và IO = IM = IN I là trung điểm MN Vậy tập hợp điểm I là trung điểm 𝐼̂ , tâm 1𝐼2
O, bán kính 𝑎 2⁄
II ĐA GIÁC
2.1 Đường gấp khúc
Trong mặt phẳng hoặc không gian cho n điểm A1, A2,
A3, …, An Tập hợp các đường thẳng A1A2, A2A3, …, An-1An
được sắp xếp theo thứ tự nhất định, đã xác định hướng thì
được gọi là đường gấp khúc (n – 1) đoạn
- Các điểm: đỉnh
- Các đường thẳng: cạnh
- A1A2 + A2A3 + … + An-1 độ dài đường gấp khúc
- Nếu An A1 đường gấp khúc A1A2… An: đường gấp
khúc khép kín
+ Đường gấp khúc mà mỗi điểm của nó hoặc là điểm
hoặc thuộc một và chỉ một cạnh
+ Đường gấp khúc không đơn: kép
2.2 Đa giác
Đa giác là đường gấp khúc đơn, khép kín trong
mặt phẳng
- Đa giác phân mặt phẳng thành hai miền: miền
trong và miền ngoài
Trong: Không chứa được hoàn toàn một đường thẳng
nào
Ngoài: Có thể chứa được hoàn toàn một đường thẳng
nào
Đa giác cùng với miền trong của nó: hình đa giác
Ví dụ: Tam giác, tứ giác
III HÌNH ĐA DIỆN
3.1 Góc đa diện
+ Góc nhị diện: hai nửa mặt phẳng chung bờ tạo
thành góc nhị diện
- Hai mặt phẳng: mặt của góc nhị diện
A1
A2
A3
A
An
A1
A4
A
B
y
x
O
Trang 3- Đường thẳng bờ: cạnh của góc
Trong mặt phẳng () lấy tia Ox bờ a
Trong mặt phẳng () lấy tia Oy bờ a
Suy ra góc xOy là góc phẳng nhị diện
+ Góc đa diện: Trong không gian, tập hợp x góc
phẳng đỉnh S là x1Sx2, x2Sx3,… xnSx1 được sắp xếp
theo thứ tự cạnh cuối của góc này là cạnh đầu của góc
kề sau nó Cạnh cuối của góc cuối cùng bằng cạnh
đầu của góc đầu tiên Tạo thành góc đa diện đỉnh S
Các góc phẳng được gọi là mặt của góc đa diện
Cạnh góc phẳng được gọi là cạnh của góc đa diện
+ Góc đa diện của đường thẳng đơn nếu mỗi điểm
của nó (trừ đỉnh S) hoặc là thuộc cạnh hoặc thuộc
một và chỉ một mặt
3.2 Mặt đa diện đơn
- Mặt đa diện đơn là hình không gian tạo
thành bởi các đa giác phẳng sao cho mỗi điểm của
nó thuộc một trong ba loại sau:
+ Thuộc một và chỉ một đa giác phẳng
+ Thuộc cạnh chung của hai và chỉ hai đa giác phẳng
+ Nếu nó là đỉnh chung của các đa giác thì các đa giác đó tạo thành một góc nhị diện hoặc một góc đa diện đơn
+ Trong mặt đa diện đơn có hai loại cạnh:
Cạnh chung của hai mặt: cạnh trong;
Cạnh chung của một mặt: cạnh bên
3.3 Hình đa diện đơn
Mặt đa diện đơn là tất cả các cạnh đều là cạnh trong
hình đa diện đơn
- Hình đa diện phân hoạch không gian thành hai miền
- Hình đa diện cùng với khối trong: khối đa diện
A7
A6
A8
A4
A3
A5
A2 A1
An
S
x1 x4
x5 x5
Trang 4- Khối đa diện n mặt: khối n đa diện
Ví dụ: Khối tứ diện, khối lục diện, …
* Khối phỏng lăng trụ là khối có hai mặt đáy là
hai đa giác nằm trong hai mặt phẳng song song các mặt
bên là các hình thang, hình bình hành,…
* Khối lăng trụ: Khối lăng trụ tứ giác hình chữ
nhật hai mặt đáy là hai tứ giác bằng nhau
* Khối chóp
* Khối chóp cụt
III KHỐI TRÒN XOAY
4.1 Khối cầu Hình cầu là tập hợp các đỉnh trong
không gian cách đều điểm O cho trước, một khoảng
cách r không đổi.Kí hiệu: (0, r)
Hình cầu cùng miền trong của nó được gọi khối cầu
4.2 Khối trụ Hình trụ là tập hợp các điểm trong không gian cách đều đường thẳng OO’ cho
trước một khoảng cách một điểm r không đổi
Hình trụ + miền trong = khối trụ
4.3 Khối nón
Trong không gian cho mf()
M
O
M
O
O’
r