Giáo trình toán sơ cấp: Chương 2: Bất đẳng thức, bất phương trình

CHƯƠNG III BẤT ĐẲNG THỨC – BẤT PHƯƠNG TRÌNH I.. Một số tính chất của bất đẳng thức... Một số bất đẳng thức cần nhớ a... Do đó bất đẳng thức không xảy ra dấu bằng... Phương pháp sử dụng

CHƯƠNG III BẤT ĐẲNG THỨC – BẤT PHƯƠNG TRÌNH

I BẤT ĐẲNG THỨC

1.1 Định nghĩa

- Cho a, b  R Ta nói a lớn hơn b Kí hiệu là a > b nếu a – b > 0

- Cho biểu thức A(x); B(x) có TXĐ: 𝑅

Khi đó: ta gọi A(x) > B(x) ; A(x)  B(x)

A(x) < B(x); A(x)  B(x) là bất đẳng thức trên R nếu

𝐴(𝑥0) > 𝐵(𝑥0); 𝐴(𝑥0) ≥ 𝐵(𝑥0) 𝐴(𝑥0) < 𝐵(𝑥0); 𝐴(𝑥0) ≤ 𝐵(𝑥0) là hằng số

Ví dụ: 1 (x + 1)2  0; x  R; 2 𝑥 +1

𝑥≥ 2

1.2 Một số tính chất của bất đẳng thức

Cho A, B, C, D là các bất đẳng thức của biến số x K Khi đó ta luôn có:

1 A > B  B < A

2 A > B và B > C  A > C

3 Nếu A > B thì A + C > B + C

4 Nếu A B





 

 thì A + C > B + D

5, Nếu A B





 

 thì A – D > B – C

6, Nếu A B 0

 



  

7 Nếu A > B thì m m







8 Nếu A > B > 0 thì An > Bn nếu n N*

0 > B > A thì Bn > An nếu n lẻ; Bn < An nếu n chẵn

9 Nếu A > B > 0 thì 1 1

A  B

n A  n B

1.3 Một số bất đẳng thức cần nhớ

a Bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối

+ Với a1, a2, …, an R

Ta có: a1 a2   an  a1  a2   an

Dấu “=” xảy ra khi  a1, a2, …, an R+

+ Với a, b  R+ ta có: a b 2

b  Dấu “=” xảy ra  a =  b a

Ta luôn có: a b 2

0, a, b 0

b a

   

     

   

   

     

   

2

a b

4

b a

a b

2

b a

   

  

Dấu “ = ”  𝑎

𝑎 ↔ 𝑎 = ±𝑏

b Bất đẳng thức Côsi (Cauchy: 1789 – 1857)

Cho n số thực dương a1, a2, …, an Ta có: 1 2 n n

1 2 n

a a a n

Dấu “=” xảy ra khi   a1 a2   an

c Bất đẳng thức Côsi – Bunhia côpski

Cho n cặp số thức ai, bi, i 1,n  Ta có:

2

a b a b   a b  a a   a b b   b

i

a

k R; k; i 1, n b

     

Chứng minh Ta luôn có:  

2

2

2











↔↔











aa   a 0

f(x)  0; x  R

af(x)  0; x  R

Theo định lý về dầu của tam thức bậc 2 ta có: ’ 0

a b a b   a b  a a   a b b   b

Dấu “=” xảy ra khi    k Rsao cho

2

1 1

2 2

2

n n

a k b 0

a k b 0

       







Ví dụ Chứng minh rằng nếu x2 + y2 = 1 thì 3x2 + 4y2  5

d Bất đẳng thức Becnuli

Cho 0 < a R; 1 < q  Q Ta luôn có:(1 + a)q > 1 + aq

Chứng minh Vì 1 < 1 Q nên đặt q m; m n

n

Áp dụng bất đẳng thức côsi cho m số :1+aq, 1+aq ; …, 1+qa và (m-n) số 1, 1, …., 1 Nhìn thấy : 1 + aq ≠1 Do đó bất đẳng thức không xảy ra dấu bằng

m

1 aq 1 m



 

 

n m

1 q

1 aq m

(1 + a) q > 1 + aq

1.5 Một số phương trình chứng minh bất đẳng thức

a) Phương pháp chứng minh dựa vào định nghĩa

Để chứng minh A > B ta cần chứng minh A – B > 0

a, b R :

    

3

3 3

0

2

2 2

2

2 2

2

(a b) 4a 4b 4ab a 2ab b

0

(a b) 3



luôn đúng a, b R* Vậy (*) đúng

b Phương pháp biến đổi tương đương

Để chứng minh A > B A1 > B1 …  An > Bn

Nếu An > Bn đúng Bất đẳng thức thì kết luận: A > B cũng đúng

Ví dụ: Chứng minh rằng: a, b R: a2 + b2 + 1  ab + a + b (1)

2(a b 1) 2(ab a b)

a 2ab b a 2a 1 b 2b 1 0

       (đúng) Vậy (1) đúng suy ra điều phải chứng minh Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b = 1

c Phương pháp sử dụng bất đẳng thức điển hình

d Phương pháp quy nạp

Để chứng minh: A(x)  B(x) x R ta tiến hành các bước sau:

Bước 1 A(0)  B(0) đúng

Bước 2 Giữ A(k)  B(k) đúng (k > 0)

Ta chứng minh A(k + 1)  B(k + 1) đúng

Bước 3 KL: A(x)  B(x) đúng xR

II BẤT PHƯƠNG TRÌNH

2.1 Định nghĩa bất phương trình

Cho hàm số f(x), g(x) của biến số x = (x1, x2, …, xn) Rn có TXĐ lần lượt là P, Q

Bất phương trình f(x) < g(x) (1) là kí hiệu hàm mệnh đề: “Số trị của f(x) bé hơn

số trị của g(x)”

Trong đó: - TXĐ của bất phương trình (1) là: D = P  Q

- Số a  D là nghiệm của bất phương trình Nếu f(a) < g(a) là 1 bất phương trình trên R Tất cả các số a gọi là tập nghiệm của bất phương trình

2.2 Định nghĩa hệ bất phương trình

Cho m bất phương trình f1(x) < g1(x); …fm(x) < gm(x) của cùng biến số xRn; Có tập xác định lần lượt là M1, M2, …, Mn

Khi đó: hệ bất phương trình kí hiệu là

1 1

2 2

f (x) g (x)

f (x) g (x)

f (x) g (x)













Trong đó: - Việc tìm x TXĐ chung của hệ sao cho thỏa mãn đối với các bất phương trình của hệ được gọi là giải hệ phương trình

- Gọi M1, M2, …, Mm lần lượt là tập nghiệm của m bất phương trình thì tập nghiệm của hệ là:

m i

i 1





- Một bất phương trình hệ vô nghiệm thì hệ vô nghiệm

2.3 Một số tính chất của bất phương trình

1 Nếu f(x) < g(x) xác định trên D và (x1, x2,…,xn)Rn thì h(x) xác định trên D

Ta có: f(x) + h(x) < g(x) + h(x)

2 Cho f(x) < g(x) xác định trên D và (x1, x2,…,xn)Rn

Khi đó: + với h(x) > 0 thì h(x)  D thì f(x).h(x) < g(x).h(x)

+ với h(x) < 0, h(x)  D thì f(x).h(x) > g(x).h(x)

3 f (x) 0 f (x).g(x) 0

4

f (x) 0

f (x)

g(x)

f (x).g(x) 0







2.4 Một số phương pháp biến đổi hệ bất phương trình

a Phương pháp thế:

Cho hệ bất phương trình: f (x, y) 0 x, y R

g(x, y) 0



 Nếu f (x, y)  0 y h(x) thì (1)

f (x, y) 0

y h(x) y(x), h(x) 0







 



2.5 Một số bất phương trình đơn giản

a Bất phương trình 1 ẩn Dạng: ax + b > 0 (1) TXĐ: R

Giải và biện luận

Trường hợp1 a = 0 Khi đó (1)  0x + b > 0

+ Nếu b > 0 thì bất phương trình vô số nghiệm

+ Nếu b  0 thì bất phương trình vô nghiệm

Trường hợp 2 a > 0 tập nghiệm của (1) là x b

a

 

Trường hợp 3 a < 0 tập nghiệm của (1) là x b

a

 

Ví dụ Giải và biện luận bất phương trình : (m – 2)x + 3m – 1  0 (1)

Bài giải

Trường hợp 1: m – 2 = 0  m = 2 Ta có : (1)  0x + 5  0 Suy ra (1) vô nghiệm Trường hợp 2: m – 2 > 0  m > 2 Ta có nghiệm của (1) là x 1 3m







Trường hợp 3: m – 2 < 0  m < 2 Ta có nghiệm của (1) là x 1 3m





 Kết luận : Nếu m = 2 bất phương trình (1) vô nghiệm

Nếu m > 2 bất phương trình có nghiệm làx 1 3m







Nếu m < 2 bất phương trình có nghiệm là x 1 3m

m 2







b Bất phương trình bậc 2 một ẩn

Dạng : ax2 + bx + c > 0 (1) TXĐ : R (a ≠ 0)

Giải và biện luận

Trường hợp 1 a = 0 Phương trình (1)  bx + c > 0 Giải và biện luận bất phương trình bậc nhất

Trường hợp 2 a > 0 Tính  = b2 – 4ac

- Nếu  < 0 tập nghiệm của (1) là x R

- Nếu   0 tam thức có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 (x1 < x2) Nghiệm của (1) là 2

1

x x

x x





 



Trường hợp 3 a < 0

- Nếu  < 0 bất phương trình (1) vô nghiệm

- Nếu  > 0 x1< x < x2.

Ví dụ Giải và biện luận bất phương trình: mx2 – 2x + 4  0 (1)

Trường hơp 1 m = 0 Khi đó: (1)  x2 -2x + 4≥ 0  (x-2)2  0  x≤ 2

Trường hợp 2.mính ’ = 1 - 4m.

- Nếu 1 – 4m > 0

1 m 4

 

Phương trình có 2 nghiệm 1,2

x

m



Tập nghiệm của (1) là:

1 1 4m x

m

1 1 4m

x 1

m







 



- Nếu 1 – 4m ≤ 0  1

m 4

 Tập nghiệm của (1) là x  R Trường hợp 3 m < 0

4

4

    bất phương trình vô nghiệm Kết luận: Với m = 0 thì bất phương trình có nghiệm: x 2

Với 0< m< 1

4 thì 𝑥 >1+√1−4𝑚

𝑚 ℎ𝑜ặ𝑐 𝑥 > 1+√1−4𝑚

Với 𝑚 ≥1

4 𝑡ℎì ∀𝑥 ∈ 𝑅 Với m < 0 thì 1−√1−4𝑚

𝑚 < 𝑥 <1+√1−4𝑚

𝑚

c Bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Dạng : ax + by + c > 0 (1) TXĐ : R2

Giải và biện luận

Trường hợp 1 b  0 Ta có: (1)  by > - ax - c

Nếu b > 0 thì y ax c

b b

  

Nếu b < 0 thì y ax c

b b

  

Khi đó tập nghiệm của (1) là miền trên (dưới) của đường thẳng y a x c

Trường hợp 2 b = 0; a  0 Ta có: (1)  ax + c > 0

Nếu a < 0 x c

a

  

Nếu a > 0 x c

a

  

Tập nghiệm (1) là miền trái (phải) đối với đường thẳng x c

a

 

Trường hợp 3 b  0; a = 0 Ta có (1)  by + c > 0

- Nếu b > 0 thì c

y b

 

- Nếu b < 0 thì c

y b

 

Tập nghiệm của (1) là miền trên (dưới) đối với đường thẳng y c

b

 

Trường hợp 4 a = 0; b = 0 Ta có (1)  c > 0

- Nếu c > 0: bất phương trình (x, y) R2

- Nếu c < 0: bất phương trình vô nghiệm