PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN

Mục lục1.1 Giới hạn của dãy số thực - Mở đầu về hàm số một biến số thực... Chương 1PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN Chương này nhắc lại một số khái niệm về dãy số và tính chất của dãy hội

Mục lục

1.1 Giới hạn của dãy số thực - Mở đầu về hàm số một biến số thực 2

1.1.1 Các định nghĩa 2

1.1.2 Một số tính chất của dãy hội tụ 3

1.1.3 Dãy đơn điệu 4

1.1.4 Tiêu chuẩn hội tụ Cauchy 5

1.1.5 Vô cùng lớn và vô cùng bé 5

1.1.6 Chú ý cuối cùng về dãy số thực 6

1.1.7 Một số định nghĩa mở đầu về hàm số một biến số thực 6

1.1.8 Hàm số chẵn, hàm số lẻ, hàm số tuần hoàn, hàm số đơn điệu 7

1.1.9 Hàm số hợp, hàm số ngược và đồ thị của hàm số ngược 8

1.1.10 Các hàm số sơ cấp cơ bản, các hàm số sơ cấp 9

1.2 Giới hạn hàm số thực 10

1.2.1 Định nghĩa 10

1.2.2 Các tính chất của giới hạn 11

1.2.3 Số e và logarith tự nhiên 16

1.2.4 Giới hạn một phía 17

1.2.5 Vô cùng lớn và vô cùng bé 17

1.3 Hàm số liên tục 19

1.3.1 Điểm gián đoạn của hàm số 22

1.3.2 Các tính chất của hàm số liên tục 23

1.4 Đạo hàm và vi phân cấp 1 24

1.4.1 Vi phân 28

1.4.2 Đạo hàm một phía, đạo hàm vô cùng 29

1.5 Đạo hàm và vi phân cấp cao 30

1.5.1 Đạo hàm cấp cao 30

1.5.2 Vi phân cấp cao 31

1.6 Các định lý về giá trị trung bình 32

1.6.1 Cực trị địa phương và định lý Fermat 32

1.6.2 Ứng dụng các định lý về giá trị trung bình 34

1.7 Khai triển Taylor 38

2 PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN HÀM MỘT BIẾN 50 2.1 Tích phân bất định 50

2.1.1 Định nghĩa và một số ví dụ 50

2.1.2 Một số phương pháp tính tích phân bất định 55

2.2 Tích phân xác định 55

2.2.1 Định nghĩa và tính chất của tích phân xác định 55

2.2.2 Các tính chất của tích phân xác định 59

2.2.3 Định lý cơ bản của phép tính vi tích phân 61

2.2.4 Các phương pháp tính tích phân 63

2.3 Tích phân suy rộng 68

2.3.1 Tích phân suy rộng loại 1 68

2.3.2 Tích phân suy rộng loại 2 70

2.4 Một số áp dụng của tích phân 73

2.4.1 Diện tích hình phẳng 73

2.4.2 Tính độ dài đường cong phẳng 75

2.4.3 Tính thể tích vật thể 77

2.4.4 Tính diện tích mặt tròn xoay 79

3 PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN 85 3.1 Khái niệm mở đầu 85

3.1.1 Định nghĩa hàm số nhiều biến số 85

3.1.2 Tập hợp trong Rn 85

3.1.3 Miền xác định của hàm số nhiều biến số 86

3.1.4 Giới hạn của hàm số nhiều biến số 87

3.1.5 Tính liên tục của hàm số nhiều biến số 88

3.2 Đạo hàm và vi phân 89

3.2.1 Đạo hàm riêng 89

3.2.2 Vi phân toàn phần 90

3.2.3 Đạo hàm của hàm số hợp 91

3.2.4 Đạo hàm và vi phân cấp cao 93

3.2.5 Hàm số thuần nhất 95

3.2.6 Đạo hàm theo hướng Gradient 95

3.2.7 Công thức Taylor 97

3.3 Cực trị 98

3.3.1 Cực trị của hàm số nhiều biến số 98

3.3.2 Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số nhiều biến số trong một miền đóng bị chặn 99

3.3.3 Hàm số ẩn Cực trị có điều kiện 100

Chương 1

PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN

Chương này nhắc lại một số khái niệm về dãy số và tính chất của dãy hội tụ, giới thiệuhàm số một biến số thực, các hàm số sơ cấp cơ bản Bên cạnh đó, còn giới thiệu về giới hạncủa hàm số một biến số, các giới hạn cơ bản, số e; cách khử dạng vô định Từ khái niệm giớihạn chuyển sang khái niệm liên tục của hàm số một biến số và các tính chất cơ bản của hàm

số liên tục cùng ứng dụng tìm nghiệm phương trình f (x) = 0 Tuy nhiên, các chứng minh chitiết của các tính chất được nhắc đến sẽ không được trình bày ở đây

1.1 Giới hạn của dãy số thực - Mở đầu về hàm số một

 n

,

Nhận xét sơ lược về các dãy số trong ví dụ trên.

• Trong a), dãy số (xn) có các phần tử có giá trị luôn dương và giảm dần khi n tăng và có

"khuynh hướng" giảm về số không

• Trong b), dãy số (xn) có các phần tử có giá trị không đổi

• Trong c), dãy số (xn) có các phần tử chỉ lấy hai giá trị −1, 1

• Trong d) và e), dãy số (xn) có các phần tử có giá trị luôn dương và tăng dần theo n

Qua ví dụ 1.1.2, ta nhận thấy một dãy số (xn) có thể có hai khả năng: hoặc là các giá trị

có "khuynh hướng" tập trung gần một số a nào đó ( dãy số trong a) và b)), hoặc là không cómột số a nào để các giá trị của dãy tập trung quanh nó (dãy trong c), d))

Định nghĩa 1.1.3 Dãy số xn được gọi là hội tụ nếu tồn tại a ∈ R sao cho với mọi ε > 0, tìmđược n0 ∈ N∗ thỏa mãn với mọi n > n0, ta có |xn− a| < ε

Khi đó, ta nói rằng dãy (xn) hội tụ đến a hay a là giới hạn của dãy (xn) và viết xn → a khi

Trong c), dãy (xn) phân kì

Trong d), dãy (xn) cũng phân kì, xn lớn lên vô cùng khi n tăng vô hạn Ta viết xn → +∞khi n → ∞

Trong e), dãy (xn) cũng tăng theo n, nhưng hiện nay ta chưa đủ điều kiện để kết luận.Chúng ta sẽ nghiên cứu dãy này sau

Ta thừa nhận các tính chất sau của dãy hội tụ

Định lý 1.1.4 i) Nếu dãy số (xn) hội tụ thì giới hạn của nó là duy nhất

ii) Nếu dãy số (xn) hội tụ thì nó giới nội, tức là tồn tại một khoảng (b, c) chứa mọi phần tử

xn

Định lý 1.1.5 Cho hai dãy số hội tụ (xn), (yn), lim

n→∞xn= a, lim

n→∞yn= b Khi đó, ta cói) lim

n→∞xn = a, lim

n→∞yn = bthì a ≥ b

ii) Cho ba dãy số (xn), (yn) và (zn) Nếu xn ≤ yn ≤ zn, ∀n, lim

n→∞xn = lim

n→∞zn = a thìlim

n→∞yn = a

Định nghĩa 1.1.7 Dãy số (xn) được gọi là tăng (giảm) nếu xn≤ xn+ 1, ∀n (xn≥ xn+ 1, ∀n).Dãy tăng hay giảm được gọi là đơn điệu Dãy (xn) được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại số thực

c sao cho xn≤ c, ∀n, bị chặn dưới nếu tồn tại số thực d sao cho xn≥ c, ∀n Dãy (xn) được gọi

là bị chặn (giới nội ) nếu nó vừa bị chặn trên, vừa bị chặn dưới

 n

là dãy tăng, bị chặn dưới bởi 2, bị chặn trên bởi 3 (bị chặn).Định lý 1.1.9 i) Nếu dãy số (xn) tăng và bị chặn trên thì nó hội tụ

ii) Nếu dãy số (xn) giảm và bị chặn dưới thì nó hội tụ

Định lý 1.1.10 Cho hai dãy số (an), (bn) sao cho:

Định nghĩa 1.1.11 Dãy các đoạn ([an, bn]) thỏa mãn điều kiện (1.1) được gọi là dãy các đoạnlồng (bao) nhau.

Định nghĩa 1.1.12 Cho dãy số (xn) Từ đó trích ra dãy (xnk):

xn1, xn2, , xnk,

với các chỉ số là những số nguyên dương thỏa mãn điều kiện

n1 < n2 < · · · < nk < · · ·

(ở đây vai trò thứ tự trong dãy là k ) Dãy (xnk) được gọi là dãy con của dãy (xn)

Định lý 1.1.13 (Bolzano - Weierstrass) Từ mọi dãy số giới nội ta đều có thể trích ra mộtdãy con hội tụ

Định nghĩa 1.1.14 Dãy số (xn) được gọi là dãy Cauchy (dãy cơ bản) nếu với mỗi ε > 0 chotrước, tìm được n0 ∈ N∗ sao cho khi m > n0 và n > n0 ta có |xm− xn| < ε

Bổ đề 1.1.15 Dãy Cauchy là một dãy giới nội

Định lý 1.1.16 (Tiêu chuẩn Cauchy) Điều kiện cần và đủ để một dãy số thực (xn) hội tụ là

nó là một dãy Cauchy

Dãy số (xn) được gọi là vô cùng bé (viết tắt là VCB) nếu lim

n→∞xn = 0, tức là nếu với mỗi

ε > 0, tìm được n0 ∈ N∗ sao cho n > n0 =⇒ |xn| < ε

trong trường hợp này ta không biết được xn, nếu không biết được xn−1, Nếu muốn tính x3,

ta phải xuất phát từ x0 tính x1, từ x1 tính x2, rồi từ x2 tính x3 Người ta gọi đây là cách xácđịnh ẩn hay xác định thao quy nạp một dãy số Hãy xét chi tiết hơn dãy trên Vì

xn= xn−1− x

2 n−1− 22xn−1 , với x0 = 2

nên

xn− xn−1= −x

2 n−1− 22xn−1hay

xn= −x

2 n−1+ 22xn−1

Suy ra dãy (xn) giảm dần và xn > 0, ∀n (!), do đó (xn) hội tụ và hội tụ đến nghiệm dươngcủa phương trình bậc hai x2− 2 = 0, tức là hội tụ đến √2 (lưu ý rằng √

2 = 1, 414213562 và

x3 = 1, 41421)

Cho hai tập hợp X, Y, X ⊆ R, Y ⊆ R, ánh xạ f : X → Y được gọi là một hàm số biến sốthực, tập X được gọi là miền xác định, thường ký hiệu là Df của hàm số f và tập f (X) đượcgọi là miền giá trị, ký hiệu là Rf, của hàm số f ; x ∈ Df được gọi là biến độc lập hay đối số,

f (x) ∈ Rf được gọi là biến phụ thuộc hay hàm số ; để chứng tỏ hàm số f gán mỗi phần tử

x ∈ Df với một phần tử xác định f (x) ∈ Rf người ta thường viết

x 7→ f (x) hay y = f (x)

Ví dụ 1.1.17 a) x 7→ x là hàm số đồng nhất, thường ký hiệu là id(x).

+ Tùy theo tính chất cụ thể của hàm số f (x), đồ thị của f (x) có thể là một tập điểm rờirạc hữu hạn hoặc vô hạn, cũng có thể là tập hợp những mảnh cung đứt đoạn, và cũng có thể

là một cung liền

+ Nhận xét Trong thực tế nhiều khi người ta phải giải bài toán ngược: người ta không biếtchính xác hàm số f (x) mà chỉ biết một tập rời rạc hữu hạn của đồ thị của nó và một vài nétrất khái quát về hàm số f ; người ta muốn dựng lại hàm số f và dĩ nhiên không thể nào dựngđược đúng nguyên xi hàm số f (vì bản thân hàm số f chưa biết) nhưng người ta hi vọng rằngdựng được một hàm số có các tính chất như hàm số f và dĩ nhiên đồ thị của hàm số được dựng

ít ra thì cũng gần trùng với đồ thị của hàm số f tại tập các điểm rời rạc đã cho trước

Giả sử X là một tập hợp số thực (X ⊆ R), X nhận O làm tâm đối xứng Hàm số f : X → Rđược gọi là chẵn nếu

+ Các hàm số y = sin x, y = cos x tuần hoàn với chu kì 2π; các hàm số y = tan x, y = cot xtuần hoàn với chu kì π.

Nếu J ⊆ I ⊆ R, hàm số f : I → R được gọi là tăng trên J nếu

Hàm số tăng hay giảm trên I được gọi là đơn điệu trên I

Định nghĩa 1.1.18 Cho X, Y, Z ⊆ R, g : X → Y, f : Y → Z, xét hàm số h : X → Z địnhnghĩa bởi h(x) = f (g(x)) ∀x ∈ X, h được gọi là hàm số hợp của hàm số f và hàm số g, ký hiệuhàm số hợp h:

một hàm số từ Y lên X, hàm số này được gọi là hàm số ngược của song ánh f và được ký hiệu

Ví dụ 1.1.21 a) Hàm số f : R → R, x 7→ x2 không có hàm ngược vì không đơn ánh(h(1) = h(−1) = 1)

b) Hàm số g : R+→ R, x 7→ x2, trong đó R+= {x ∈ R|x ≥ 0} cũng không có hàm số ngược

vì không là toàn ánh (@x ∈ R+: g(x) = −1)

c) Hàm số h : R+ → R+, x 7→ x2 có hàm ngược là y = f−1(x) = √

x

Các hàm số sau đây được gọi là các hàm số sơ cấp cơ bản:

+ Người ta gọi hàm số sơ cấp là những hàm số được tạo thành bởi một số hữu hạn cácphép toán số học (cộng, trừ, nhân, chia), các phép lấy hàm số hợp đối với các hàm số sơ cấp

Theo thật ngữ của giới hạn của dãy số thì định nghĩa trên có thể diễn đạt như sau: "hàm

số f (x) có giới hạn là L nếu với bất kỳ dãy số (xn) hội tụ đến x0 thì dãy số (f (xn)) hội tụ đếnL"

Định nghĩa giới hạn của hàm số f (x) khi x → x0 như trên có thuận lợi là chuyển khái niệmgiới hạn của hàm số f về khái niệm giới hạn của dãy số (đã quen thuộc ở mục trước) nhưngcũng có chỗ bất tiện là muốn chứng tỏ f (x) → L (x → x0) thì phải chứng minh f (xn) → L vớimọi dãy (xn) → x0 Vì thế người ta dùng định nghĩa tương đương với định nghĩa trên

Định nghĩa 1.2.2 Cho hàm số f (x) xác định trong khoảng (a, b), ta nói rằng f (x) có giới hạn

là L (hữu hạn) khi x dần tới x0, x0 ∈ [a, b], nếu với bất kỳ ε > 0 cho trước, tìm được δ(ε) > 0sao cho khi |x − x0| < δ thì |f (x) − L| < ε

Ví dụ 1.2.3 a) Cho f (x) = C, C là hằng số, ta có lim

x→x 0

f (x) = C Thật vậy,Cho trước ε > 0, vì f (x) = C ∀x, do đó với bất kỳ δ > 0 : |x−x0| < δ luôn có |f (x)−f (x0)| =

|C − C| = 0 < ε

b) Cho f (x) = x, ta có lim

x→x 0

f (x) = x0 Thật vậy,Cho trước ε > 0, chỉ cần chọn δ = ε thì luôn có |x − x0| < δ ⇒ |f (x) − x0| = |x − x0| < ε

Trên đây chúng ta đã định nghĩa lim

x→x 0

f (x), bây giờ ta xét trường hợp x → +∞ và x → −∞

Định nghĩa 1.2.4 i) Hàm số f có giới hạn là L khi x dần tới dương vô cùng và viết là

lim

x→+∞f (x) = Lnếu với bất kỳ ε > 0, tìm được N > 0 đủ lớn sao cho khi x > N thì |f (x) − L| < ε.ii) Hàm số f có giới hạn là L khi x dần tới âm vô cùng và viết là

lim

x→−∞f (x) = Lnếu với bất kỳ ε > 0, tìm được N < 0 có giá trị tuyệt đối đủ lớn sao cho khi x < N thì



= 1

+ Khi f (x) → 0 (x → a), a có thể hữu hạn, có thể là vô cùng thì f (x) được gọi là một vôcùng bé trong quá trình x → a; và khi x → a mà f (x) có giá trị tuyệt đối lớn hơn bất kỳ sốdương nào cho trước thì ta nói rằng f (x) là một vô cùng lớn trong quá trình x → a, ta cũngviết

x→aCf (x) = CL , với C là hằng số

M, với điều kiện M 6= 0.

Nhận xét 1.2.8 1) Từ các ví dụ đã nêu và từ Định lý 1.2.7 ta có thể suy ra: nếu Pn(x) làmột đa thức bậc n đối với x, nghĩa là

x→x 0R(x) = Pn(x0)

Qm(x0), miễn là Qm(x0) 6= 0.

3 Định lý 1.2.7 chưa khẳng định được trong các trường hợp khi L là +∞ và M là −∞ Khi

đó về mặt hình thức ta có dạng ∞ − ∞, đó là một dạng vô định, nghĩa là chưa thể khẳngđịnh được trong trường hợp đó lim

x→a(f (x) + g(x)) có hay không Chẳng hạn, với f (x) =1

– Trong khẳng định iii), khi L = 0 (hay ∞) và M = ∞ (hay 0) thì về mặt hình thức

vô định thông qua các ví dụ cụ thể

1 + x + 1) = limx→0

xx(√

1 + x = y thì khi x → 0 ta có y → 1 Khi đó bài toán nàytrở về bài toán 1))

È

x +√x

√

x + 1 =

s

1 + √1x

s

1 + √1x

Do đó, lim

x→+∞

È

x +√x

√

x + 1 = limx→+∞

s

1 + √1x

s

1 + √1x

È

x +√

x +√x

È

x +√

x +√x

2.

(1 − y)(1 + y)(1 + y + y2) =

1 + 2y(1 + y)(1 + y + y2).

1

2.Qua những ví dụ trên ta thấy rằng dùng Định lý 1.2.7 có thể khử được các dạng vô địnhthuộc loại phân thức hữu tỉ Để khử các dạng vô định khác chúng ta cần một số mệnh đề chitiết hơn và một vài giới hạn thuộc loại dạng vô định điển hình

Trước hết ta có mệnh đề sau đây

Có thể xem chứng minh cho giới hạn này trong [1, tr 44 - 45]

Sau đây là một vài ví dụ áp dụng giới hạn trên

2+9

2 = 4(xem 2)).

= 1, đây cũng không phải dạng vô định.

= 0, vì đây là giới hạn của một đại lượng nhỏ hơn 1 lũy thừa vôcùng

=

;

cos x−cos 2x x2 cos 2x

= e32.Vì

Ta có một số công thức sau:

cosh2x − sinh2x = 1sinh 2x = 2 sinh x cosh x, cosh 2x = cosh2x + sinh2xsinh(x + y) = sinh x cosh y + sinh y cosh x

cosh(x + y) = cosh x cosh y + sinh x sinh yNgoài ra, để ý rằng cosh x là hàm số chẵn, sinh x là hàm số lẻ nên cũng dễ dàng suy ra côngthức của sinh(x − y), cosh(x − y), Như vậy các hàm số lượng giác hyperbolic cũng có nhữngcông thức tương tự đối với các hàm số lượng giác thông thường

x→x 0

|g(x)| = +∞

Ở đây x0 có thể là hữu hạn hoặc vô cùng Có thể dễ dàng kiểm tra lại rằng nếu f (x) là mộtVCB khi x → x0 thì 1

f (x) là một VCL khi x → x0; ngược lại, nếu g(x) là một VCL khi x → x0thì 1

g(x) là một VCB khi x → x0.

Khi xét nhiều VCB trong cùng một quá trình thì sự so sánh tốc độ hội tụ đến 0 thườngrất quan trọng và dĩ nhiên tốc độ tiến ra vô cùng của các VCL cũng tương tự Ta có các địnhnghĩa sau

Cho f (x), g(x) là hai VCB khi x → x0, ta nói rằng

• f (x) có bậc cao hơn g(x) nếu

lim

x→x 0

f (x)g(x) = 0

Nếu f (x) ∼ g(x), g(x) ∼ h(x) thì f (x) ∼ h(x)

Ví dụ 1.2.15 sin x ∼ x, x ∼ tan x ⇒ sin x ∼ tan x

Để thêm thuận lợi khi khử các dạng vô định người ta thường dùng tính chất sau

Định lý 1.2.16 Nếu f (x), g(x), ¯f (x), ¯g(x) là các VCB khi x → x0 và f (x) ∼ ¯f (x), g(x) ∼ ¯g(x)thì

lim

x→x 0

f (x)g(x) = limx→x 0

¯

f (x)

¯g(x).Một số áp dụng của VCB tương đương

Ví dụ 1.2.17 1) Tìm lim

x→0



1sin x− 1

tan x



.Giải Theo ví dụ 1.2.15, ta có sin x ∼ tan x nên

s

1.3 Hàm số liên tục

Khái niệm liên tục của hàm số là một khái niệm rất cơ sở, đóng vai trò trung tâm trongviệc nghiên cứu hàm số cả về lý thuyết lẫn ứng dụng Trong mục này chúng tôi sẽ giới thiệutính liên tục của hàm số và các tính chất của một hàm số liên tục cũng như một vài ứng dụng.Định nghĩa 1.3.1 Cho f (x) là một hàm số xác định trong khoảng (a, b) Ta nói rằng f (x)liên tục tại điểm x0 ∈ (a, b) nếu

x→x 0

f (x) 6= f (x0) haykhông tồn tại lim

x→x 0

f (x)

Định nghĩa 1.3.2 • Cho f (x) là một hàm số xác định trong khoảng (a, b) Ta nói rằng

f (x) liên tục trái tại điểm x0 ∈ (a, b) nếu

Ví dụ 1.3.3 1) Từ các ví dụ về giới hạn của hàm số ta suy ra các hàm số

• f (x) = x liên tục tại mọi x hữu hạn

• f (x) = sin x liên tục tại x = 0 Hơn nữa, với x0 bất kỳ, ta có

sin x sin x0 = 2 cosx + x0

2 sin

x − x02

⇒ | sin x − sin x0| < 2 sinx − x0

do đó lim

x→x 0

sin x = sin x0

Vậy hàm số f (x) = sin x liên tục tại mọi x ∈ R

• f (x) = C liên tục với mọi x ∈ R (C là hằng số)

• f (x) = cos x liên tục với mọi x ∈ R

• f (x) = tan x liên tục với mọi x thuộc miền xác định,

Tóm lại, các hàm số sơ cấp cơ bản liên tục tại mọi điểm thuộc miền xác định của chúng.2) Hàm số f (x) = |x| liên tục tại x = 0 vì lim

Hai giới hạn trái và phải của f (x) tại điểm x = 1

2 khác nhau nên không tồn tại giới hạnlim

x→12

f (x)

Dùng các Định lý về giới hạn của tổng, tích, thương và định nghĩa sự liên tục của hàm số

có thể suy ra Định lý sau

Định lý 1.3.4 Cho f (x), g(x) là hai hàm số liên tục trong khoảng (a, b) Khi đó, ta có:

• f (x) + g(x) liên tục trong (a, b)

• f (x)g(x) liên tục trong (a, b) Đặc biệt Cf (x) (C là hằng số) liên tục trong (a, b)

Nhận xét 1.3.6 • Từ Định lý 1.3.4 và 1.3.5 có thể chứng minh được các hàm số sơ cấpliên tục trong miền xác định của chúng

• Có thể dùng tính liên tục của hàm số để tìm một số giới hạn Cụ thể ta có các công thứcsau:



• Trong nhiều trường hợp ta phải tìm giới hạn của biểu thức [u(x)]v(x) khi x → x0 Giả sử

Muốn thế ta viết uv dưới dạng uv = ev ln u Dùng tính liên tục của hàm số mũ và logarith,

Định nghĩa 1.3.7 Giả sử hàm số f (x) xác định trên đoạn [a, b], x0 ∈ [a, b] là một điểm giánđoạn của f Ta nói rằng

• x0 là điểm gián đoạn bỏ được nếu

f (x−0) = f (x+0)

• x0 là điểm gián đoạn loại một nếu f (x−0), f (x+0) ∈ R nhưng

f (x−0) 6= f (x+0),

hiệu (f (x+0) − f (x−0)) được gọi là bước nhảy của f tại x0

• x0 là điểm gián đoạn loại hai nếu nó không thuộc hai loại trên

− Œ

= 1, f

‚

12

2 là điểm gián đoạn loại

1 Bước nhảy của hàm số f tại x = 1

2 là f

‚

12

+ Œ

− f

‚

12

− Œ

= −1 − 1 = −2

Ta có f (0−) = 0, f (0+) = +∞ Vậy x = 0 là điểm gián đoạn

loại 2 Vì f (0−) = f (0) nên hàm số f là liên tục trái tại x = 0

gián đoạn tại mọi điểm x ∈ R Mọi điểm đều là điểm

gián đoạn loại 2 vì không tồn tại lim

x→x±0

f (x) với mọi x0 ∈ R

Sau đây là một số tính chất cơ bản của hàm số liên tục

Định lý 1.3.9 (về giá trị trung gian) Nếu hàm số f (x) liên tục trên đoạn [a, b] và f (a).f (b) < 0.Khi đó tồn tại c ∈ (a, b) sao cho f (c) = 0

Chứng ming của Định lý 1.3.9 có sử dụng phương pháp gọi là phương pháp chia đôi Người

ta thường dùng phương pháp này để tìm nghiệm xấp xỉ của phương trình f (x) = 0 (xem [5,

tr 96 - 98])

Ta có hệ quả của Định lý 1.3.9 như sau

Hệ quả 1.3.10 Nếu hàm số f (x) liên tục trên [a, b] thì nó đạt mọi giá trị trung gian giữa

Hơn nữa, sin 0 = 0, sinπ

2 = 1 Do vậy với 0 < r < 1, phương trình sin x = r có ít nhấtmột nghiệm thuộc khoảng



0,π2

‹

.Định lý 1.3.12 (Weierstrass 1) Hàm số liên tục trên một đoạn thì giới nội trên đoạn đó.Định lý 1.3.13 (Weierstrass 2) Hàm số liên tục trên một đoạn thì đạt được giá trị lớn nhất

và giá trị nhỏ nhất trên đoạn đó

Ngoài các tính chất cơ bản trên hàm số liên tục còn có một số tính chất liên quan đến tínhđơn ánh, toàn ánh cũng như ánh xạ ngược của nó (nếu có), và cả tính đơn điệu (Xem [5, tr

101 - 105])

Trước khi trình bày tính chất sau cùng của hàm số liên tục ta cần định nghĩa sau

Định nghĩa 1.3.14 Hàm số f (x) xác định trong khoảng I được gọi là liên tục đều trong Inếu với ε > 0 bất kỳ, luôn tìm được δ(ε) > 0 sao cho với bất kỳ u, v ∈ I thỏa |u − v| < δ thì

|f (u) − f (v)| < ε

(⇔ ∀ε > 0, ∃δ(ε) > 0 : ∀u, v ∈ I, |u − v| < δ =⇒ |f (u) − f (v)| < ε.)

Vậy hàm liên tục đều trong I thì liên tục trong I, nhưng ngược lại không đúng

Ví dụ 1.3.15 1) Hàm f (x) = x2 liên tục đều trong (0, 1) Thật vậy, cho ε > 0 Để tìm δ(ε) tathấy với mọi u, v ∈ (0, 1) thì |f (u) − f (v)| = |u2− v2| < 2|u − v| Do đó lấy δ(ε) = ε

2 thì địnhnghĩa được thỏa mãn

Định lý 1.3.16 (Cantor) Hàm liên tục trên một đoạn thì liên tục đều trên đoạn đó

x − x0 khi x → x0, x 6= x0, được gọi là đạo hàm của hàm số

f (x) lấy tại điểm x = x0 Kí hiệu f0(x0)

Nếu hàm số f (x) khả vi tại mọi điểm x ∈ (a, b) thì ta nói rằng f (x) khả vi trong khoảng(a, b)

Nhận xét 1.4.2 1) Nếu đặt ∆x := x − x0 thì biểu thức (1.3) trong định nghĩa trở thành

và như thế đạo hàm tại x = x0 của f (x) chính là giới hạn của tỉ số giữa số gia của hàm sốtại điểm x = x0 (tức là ∆f = f (x0 + ∆) − f (x0)) với số gia của đối số tại x = x0 (tức là

x0+ ∆x − x0 = ∆x, ∆x có thể âm hoặc dương, nhưng ∆x 6= 0 vì x 6= x0)

2) Nếu vẽ đồi thị của hàm số f (x) trong một hệ tọa độ Descarte thì tỉ số f (x0+ ∆x) − f (x0)

∆xchính là hệ số gốc của dây cung CM với C(x0, f (x0)) và M (x0 + ∆x, f (x0+ ∆x)), hay chính

là tan của góc α =∠(Ox,−−→CM )

Khi cho ∆x → 0 thì điểm M trên đồ thị tiến về điểm C Do vậy, cát tuyến CM tiến đếntiếp tuyến CT Như vậy, về mặt hình học đạo hàm tại mỗi điểm chính là hệ số góc của tiếptuyến của đồ thị hàm số tại điểm đó Và một hàm số khả vi tại một điểm x0 có nghĩa là: tạiđiểm (x0, f (x0)) đồ thị của f (x) có một tiếp tuyến duy nhất không vuông góc với trục Ox.3) Dùng mối liên hệ giữa giới hạn và vô cùng bé có thể viết lại biểu thức 1.3 trong địnhnghĩa của hàm số khả vi như sau:

f (x0+ ∆x) − f (x0) = f0(x0)∆x + o(∆x), (1.4)

trong đó như đã biết o(∆x) là một VCB bậc cao hơn ∆x khi ∆x → 0

4) Từ hệ thức 1.4 dễ dàng suy ra: một hàm số khả vi tại một điểm thì nó liên tục tại điểm

đó, nhưng ngược lại không đúng

Định nghĩa 1.4.3 Nếu tồn tại giới hạn một phía

thì f0(x−0) và f0(x+0) được gọi là đạo hàm trái và đạo hàm phải tại x0

Sau đây là một số ví dụ đơn giản

Ví dụ 1.4.4 1) Hàm số f (x) = c, x ∈ (a, b) có f0(x) = 0 vì f (x + ∆x) − f (x) = c − c = 0.2) f (x) = x, x ∈ (a, b) có f0(x) = 1 vì

f (x + ∆x) − f (x) = sin(x + ∆x) − sin x = 2 sin



∆x2



cos



x +∆x2



cos



x + ∆x2





∆x2

 cos



x +∆x2



Chuyển qua giới hạn đẳng thức trên và dùng tính liên tục của hàm số cos x, ta được

Sau đây là một số tính chất của đạo hàm của hàm số

Định lý 1.4.5 Cho u(x) và v(x) là hai hàm số xác định trên (a, b) Giả sử u(x) và v(x) khả

vi tại x ∈ (a, b) Khi đó u(x) + v(x), u(x)v(x), u(x)

v(x) (v(x) 6= 0) cũng khả vi tại x vài) (u + v)0 = u0+ v0;

ii) (uv)0 = u0v + v0u Đặc biệt, (cf (x))0 = cf0(x)

Định lý sau nói về đạo hàm của hàm số hợp

Định lý 1.4.7 (Quy tắc Xích cho đạo hàm hàm số hợp) Nếu hàm số u(x) có đạo hàm u0(x0)tại x0 và hàm số y(u) có đạo hàm y0(u0) tại u0 := u(x0) thì hàm số hợp y(u(x)) có đạo hàmđối với x tại x0 và

Định lý 1.4.9 (Đạo hàm hàm số ngược) Nếu hàm số y = f (x) có đạo hàm (hữu hạn)

fx0(x0) 6= 0 và nếu tồn tại hàm số ngược x = f−1(y) liên tục tại điểm y0 := f (x0) thì hàm sốngược có đạo hàm tại y0 và

x.2) y = arcsin x là hàm số ngược của hàm số x = sin y, −π

1 + x2.Đạo hàm của y = u(x)v(x) (u(x) > 0) Để áp dụng quy tắc Xích, ta lấy logarith tự nhiên vàđược

Do đó

y0

y =

12

8 = 2√

2, nên

y0(1) = 2

√22



1

2 + 1 +

32



= 3√2

(Xem bảng các đạo hàm cơ bản trong [5, tr 126-127])

dx để kí hiệu cho đạo hàm Ngày nay ta cũng hay dùng kí hiệunày thay cho f0 và gọi là kí hiệu Leibnitz

Tổng quát hơn, cho f (u) là một hàm số khả vi đối với u, và u = g(x) là một hàm số khả

vi đối với x, khi đó Định lý đạo hàm hàm số hợp đã khẳng định f (g(x)) cũng khả vi đối với x.Hơn nữa, trong trường hợp này ta cũng có:

df = fx0dx = f0(u).g0(x)dx

Điều đó có nghĩa là, trong mọi trường hợp, dù f là một hàm số phụ thuộc biến độc lập xhay phụ thuộc x thông qua một biến trung gian u nào đó, ta luôn có vi phân của hàm số bằngtích đạo hàm của hàm số đối với đối số và vi phân của đối số, vì thế người ta nói rằng vi phân

có tính bất biến

Ví dụ 1.4.11 1) Hàm số y = ax có vi phân dy = axln adx

2) Hàm số y = x3− x2+ 5 có vi phân dy = (3x2− 2x)dx

Đạo hàm theo tham số

Cho x = f (t) và y = g(t) là các hàm số khả vi đối với t, với t ∈ (a, b) Khi đó nếu hàm sốngược t = f−1(x) tồn tại và f0(t) 6= 0 thì, theo Định lý về tính khả vi của hàm số ngược vàtính khả vi của hàm số hợp, có thể suy ra tính khả vi của hàm số y đối với x Hơn nữa

2 sin t

2cos

t2

2 sin2 t2

= cot t

2.

Định nghĩa 1.4.13 Cho hàm số f xác định trên (a, b) và c ∈ (a, b) Nếu

x − c = ∞ hoặc −∞ thì ta nói rằng tại điểm x = c, f (x) có đạo hàm vô cùng

và tiếp tuyến của đồ thị của f (x) tại x = c vuông góc với trục hoành

Cũng có thể suy ra f (x) khả vi tại x = c khi và chỉ khi f0(c−) = f0(c+)

Ví dụ 1.4.14 Xét f (x) = |x|, ta có

f0(0−) = −1, f0(0+) = 1

Tại điểm x = 0, đồ thị của hàm số có hai tiếp tuyến trái và phải

1.5 Đạo hàm và vi phân cấp cao

Ta đã biết nếu f (x) có đạo hàm f0(x) trong một khoảng nào đó thì f0(x) (cũng gọi là đạohàm cấp 1) là một hàm mới của x Nếu f0(x) có đạo hàm thì đạo hàm này được gọi là đạo hàmcấp 2 của f (x), kí hiệu là f00(x) = [f0(x)]0, hoặc d

2f

dx2, Tổng quát, đạo hàm của đạo hàm cấp

n − 1 gọi là đạo hàm cấp n, kí hiệu là f(n)=€

3) Cũng dùng phương pháp quy nạp, dễ dàng kiểm tra được

a) f (x) = sin x thì f(2k)(x) = (−1)ksin x, f(2k+1)(x) = (−1)kcos x

b) f (x) = cos x thì f(2k)(x) = (−1)kcos x, f(2k+1)(x) = (−1)k+1sin x

Các quy tắc lấy đạo hàm cấp cao

1) Ta có (λf + µg)(n) = λf(n)+ µg(n) với bất kì hàm số f, g khả vi n lần và bất kì λ, µthực

2) Quy tắc Leibnitz Với bất kì hàm số f, g khả vi n lần, ta có

!

= 1k!n.(n − 1) (n − k + 1) =

n!

k!(n − k)!.

Trước khi nêu một vài ví dụ, cần lưu ý rằng: nói chung biểu thức f(n)(x) với f (x) bất kì rấtphức tạp và thường mang tính lý thuyết.

Vi phân df = f0(x)dx là một hàm số của x Do đó df lại có thể có vi phân, gọi là vi phâncấp 2 của hàm f, kí hiệu d2f Tương tự, ta lại có thể lấy vi phân tiếp để được các vi phân cấpcao d3f = d(d2f )), , dnf = d(dn−1f )

Bây giờ ta lập công thức tính vi phân cấp cao trong trường hợp x là biến độc lập Lúc này

Chú ý rằng nếu x = x(t) mà không phải là biến độc lập thì công thức (1.7) không đúng với

n = 2, 3, Tức là vi phân cấp cao không có tính bất biến Thật vậy, khi x không phải biếnđộc lập thì d(dx) = d2x 6= 0, nên

d2f = d(f0dx) = d(f0)dx + f0d(dx) = f00dx + f0d2x

Vì vậy cần xét kĩ xem lấy vi phân theo biến nào, biến độc lập hay biến phụ thuộc (thambiến) để tránh nhầm lẫn!

1.6 Các định lý về giá trị trung bình

Định nghĩa 1.6.1 Hàm số f (x) được gọi là đạt cực đại địa phương tại x0 nếu tồn tại lân cận(x0− ε, x0+ ε) sao cho

f (x) ≤ f (x0) ∀x ∈ (x0− ε, x0+ ε) ∩ Df

Nếu thay cho f (x) ≤ f (x0) ta có f (x) < f (x0) thì ta nói f (x) đạt cực đại chặt địa phươngtại x0 Các khái niệm cực tiểu địa phương và cực tiểu chặt địa phương được định nghĩa tương

tự Cực đại địa phương và cực tiểu địa phương gọi chung là cực trị địa phương

Định lý 1.6.2 (Fermat) Nếu hàm số f (x) đạt cực trị địa phương tại x0 và có đạo hàm tại đóthì f0(x0) = 0

Về mặt hình học Định lý Fermat khẳng định rằng nếu tại điểm cực trị đồ thị của hàm số

có tiếp tuyến thì tiếp tuyến là đường thẳng nằm ngang

Định lý 1.6.3 (Rolle) Nếu hàm số f (x) liên tục trên [a, b], khả vi trong (a, b) và có f (a) = f (b),thì sẽ có ít nhất một điểm c ∈ (a, b) để f (c) = 0

Minh họa hình học.

Theo giả thiết, đồ thị của hàm số có dạng như hình vẽ (bên dưới) Định lý Rolle khẳngđịnh rằng đồ thị của f (x) nhận một tiếp tuyến song song với dây cung AB (vì f0(c) = 0) tạiđiểm (c, f (c)), với c ∈ (a, b)

Nhận xét 1.6.4 1) Giả thiết f (x) liên tục trên khoảng đóng [a, b] là một giả thiết không thể

[0, 1] nhưng không liên tục trong [0, 1] nên không thể áp dụng Định lý Rolle được

2) Giả thiết hàm số f (x) khả vi trong khoảng mở (a, b) cũng là một giả thiết không thể bỏqua được Chẳng hạn, xét hàm số f (x) = |x| với x ∈ [−1, 1]; hàm số này liên tục trong [−1, 1]

và f (−1) = f (1) = 1, nhưng hàm số này không khả vi trong (−1, 1), do đó cũng không ápdụng Định lý Rolle được

3) Như trong nói về minh họa hình học của Định lý Rolle ở trên, chúng ta đã nói rằng nếuthỏa các giả thiết về liên tục, khả vi và nếu f (a) = f (b) thì đồ thị của f (x) có tiếp tuyến songsong với dây cung AB (điều đó là bản chất), hơn nữa vì f (a) = f (b) nên dây cung AB lại songsong với trục hoành và do vậy tiếp tuyến đó có hệ số góc bằng không, nghĩa là f0(c) = 0 Vìvậy nếu dùng một phép quay hệ tọa độ một góc θ nào đó thì đồ thị vẫn có tiếp tuyến songsong dây cung AB nhưng tiếp tuyến đó không còn song song với trục hoành nữa

Nhận xét này dẫn đến Định lý sau

Định lý 1.6.5 (Định lý Lagrange về số gia hữu hạn) Cho hàm số f (x) liên tục trên [a, b], khả

vi trong (a, b) Khi đó tồn tại một điểm c ∈ (a, b) sao cho

2) Nếu trong công thức (1.9) ta thay a bởi x và b bởi x + h thì ta có:

với c là một số ở giữa x và x + h.

So sánh công thức (1.10) và công thức biểu diễn số gia hàm số

ta thấy (1.10) đã dồn o(h) vào giá trị đạo hàm tại x = c

Nếu θ là một số dương nằm giữa 0 và 1, 0 < θ < 1, thì vì c ở giữa x và x + h nên có thểviết c = x + θh, 0 < θ < 1

và hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị (xem mục đạo hàm theo tham số) là f

0(γ)

g0(γ), nghĩa là

f (β) − f (α)g(β) − g(α) =

f0(γ)

g0(γ).Chính nhận xét này dẫn đến Định lý sau

Định lý 1.6.7 (Cauchy) Cho f (x), g(x) là hai hàm số liên tục trên [a, b], khả vi trong khoảng(a, b) và g(a) 6= g(b), g0(x) 6= 0 với mọi x ∈ (a, b) Khi đó tồn tại c ∈ (a, b) sao cho

f (b) − f (a)g(b) − g(a) =

Định lý 1.6.8 (De l’Hospitale) Giả sử các hàm số f (x), g(x) khả vi tại lân cận điểm x =

a, a ∈ R, có thể trừ tại điểm x = a Nếu limx→af (x) = lim

x→ag(x) = 0, g0(x) 6= 0 ở lân cận điểm

Nhận xét 1.6.9 1) Trường hợp lim

x→a

f0(x)

g0(x) = ∞, Định lý De L’Hospital vẫn đúng Thật vậy,khi đó

f0(x)

g0(x).2) Trường hợp x → ∞ vẫn áp dụng được Định lý 1.6.8 (chỉ cần thực hiện phép đổi biến số

x→a

f0(x)

g0(x) = A thì cũng có limx→a

f (x)g(x) = A.

x→0

6xsin x = 6.

x→+∞

1 x

1 + sin xx

1

2.Khảo sát sự biến thiên của hàm số

Xem chi tiết trong [5, tr 161-196] Đặc biệt chú ý đến phần Đường cong cho dưới dạng tham

số ([5, tr 174-196])

Việc áp dụng đạo hàm để khảo sát sự biến thiên của hàm số dựa vào định lý sau

Định lý 1.6.11 Cho f là một hàm số liên tục trong một đoạn hữu hạn [a, b] và khả vi trongkhoảng mở (a, b) Khi đó

1) Điều kiện cần và đủ để f (x) tăng (giảm) trong [a, b] là f0(x) ≥ 0 (f0(x) ≤ 0) với mọi

x ∈ (a, b)

2) Nếu f0(x) ≥ 0 (f0(x) ≤ 0) với mọi x ∈ (a, b) và nếu f0(x) > 0 (f0(x) < 0) tại ít nhất mộtđiểm x thì f (b) > f (a) (f (b) < f (a))

Hệ quả 1.6.12 Cho f và g là hai hàm số liên tục trong [a, b], khả vi trong (a, b)

1) Nếu f (a) ≤ g(a) và nếu f0(x) ≤ g0(x) với mọi x ∈ (a, b) thì f (x) ≤ g(x) với mọi x ∈ [a, b]

2) Nếu f (a) < g(a) và nếu f0(x) < g0(x) với mọi x ∈ (a, b) thì f (x) < g(x) với mọi x ∈ [a, b]

Hệ quả này rất tiện lợi trong việc đánh giá bất đẳng thức Chẳng hạn, từ hệ quả trên dễdàng suy ra các bất đẳng thức: 1 + x < ex; sin x < x ∀x ∈



0,π2

‹

.Bây giờ ta nêu một vài mệnh đề giúp cho việc tìm cực trị của hàm số f (x) khả vi trongkhoảng (a, b)

Định lý 1.6.13 Cho hàm số f liên tục trong [a, b], khả vi trong khoảng (a, b) (có thể trừ ramột số hữu hạn điểm); giả sử c là một điểm thuộc (a, b) (có thể tại x = c hàm số f không khảvi)

1) Nếu khi x vượt qua c mà f0(x) đổi dấu từ + sang - thì f (x) đạt cực đại tại x = c

2) Nếu khi x vượt qua c mà f0(x) đổi dấu từ - sang + thì f (x) đạt cực tiểu tại x = c

3) Nếu khi x vượt qua c mà f0(x) không đổi dấu thì f (x) không đạt cực trị tại x = c

Ví dụ 1.6.14 Xét hàm số f (x) = √3

x2, hàm số này liên tục tại x = 0 và lân cân của nó Tuynhiên, tại x = 0 hàm số không khả vi (không có đạo hàm hữu hạn) Mặt khác trong lân cậnđiểm x = 0, trừ chính điểm x = 0, đạo hàm f0(x) = 2

Ta có định lý sau cho trường hợp f (x) có đạo hàm cấp cao

Định lý 1.6.15 Giả sử f (x) có đạo hàm liên tục đến cấp n tại lân cận điểm c, ngoài ra giảsử:

f0(c) = f00(c) = · · · = f0(n−1)(c) = 0, f0(n)(c) 6= 0

Khi đó

1) Nếu n chẵn thì f (x) đạt cực trị tại x = c Cụ thể

i) x = c là điểm cực tiểu nếu f(n)(c) > 0

ii) x = c là điểm cực đại nếu f(n)(c) < 0

2) Nếu n lẻ thì f (x) không đạt cực trị tại x = c

Ví dụ này gợi ý cho ta rằng khi gặp khó khăn trong việc xét dấu của f0(x) thì dùng đạohàm cấp cao để tìm cực trị.

Định nghĩa 1.6.17 Một điểm I(c, f (c) của đồ thị hàm số y = f (x) được gọi là điểm uốn của

đồ thị nếu đạo hàm f00(x) đổi dấu khi x qua điểm c

Xem ví dụ minh họa về khảo sát hàm số trong [5, tr 171-173]

1.7 Khai triển Taylor

Bây giờ, ta viết công thức Lagrange (1.11) dưới một dạng khác như sau

f (x + h) = f (x) + f0(x + θh)h, 0 < θ < 1 (1.14)

Công thức này cho ta một cách tính giá trị của f tại lân cận của x khi biết giá trị của f (x)

và đạo hàm f’ tại lân cận "rất gần" x Một câu hỏi tự nhiên là: nếu biết thêm các đạo hàm cấpcao của f tại x thì liệu có thể biết được chính xác hơn giá trị của f tại lân cận x hay không?Công thức Taylor sau đây sẽ cho ta câu trả lời của câu hỏi này

Định lý 1.7.1 Nếu hàm số f (x) có đạo hàm đến cấp n liên tục trên [a, b] và có đạo hàm cấp

n + 1 trong khoảng (a, b) thì với bất kì c ∈ (a, b) ta luôn có

f (x) = f (c) + f

0(c)1! (x − c) +

f00(c)2! (x − c)

(n)(c)n! (x − c)

n+ f

(n+1)(¯c)(n + 1)! (x − c)

n+1,

trong đó ¯c là một số nằm giữa x và c