Nguyeón Tieỏn Thuứy K17M - ẹHSPHN Chơng 2: Phép tính vi phân hàm một biến Đ1. Đạo hàm và vi phân cấp một 1.1. Đạo hàm 1.1.1. Định nghĩa đạo hàm tại 1 điểm Xét hàm số y= f(x) xác định tại 0 x và lân cận của 0 x , cho 0 x số gia x Nếu tỉ số x f = x xfxxf + )()( 00 có giới hạn hữu hạn khi 0 x thì giới hạn đó đợc gọi là đạo hàm của hàm số f(x) tại 0 x , đợc ký hiệu f( 0 x ) )(' 0 xf = x f x 0 lim = x xfxxf x + )()( lim 00 0 (*) t 0 x x x= + D khi ú cụng thc (*) cú dng: 0 0 0 0 ( ) ( ) '( ) lim x x f x f x f x x x đ - = - Ví dụ 1: Tìm đạo hàm của hàm số y = sinx tại x 0 Giải: - Ta lập tỉ số x f = x xfxxf + )()( 00 = = x xxx + )sin()sin( 00 = 2 2 sin) 2 cos( 0 x xx x + )(' 0 xf = x f x 0 lim = 2 2 sin) 2 cos( lim 0 0 x xx x x + = cosx 0 Vậy 00 cos)(sin xxyxy = = Ví dụ 2: Tìm đạo hàm của hàm số x ey = tại x 0 Giải: - Lập tỉ số x f = x xfxxf + )()( 00 = x ee xxx + 00 = x ee x x )1( 0 )(' xf = x f x 0 lim = x ee x x x )1( lim 0 0 = 0 x e Vậy x ey = )( 0 xy = 0 x e 1.1.2. ý nghĩa hình học của đạo hàm Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm tại 0 x thì đờng cong y = f(x) có tiếp tuyến tại M 0 ( 0 x , 0 y ) và hệ số góc của tiếp tuyến là )( 0 xftgK == Vậy phơng trình tuyến tại M 0 là: y- y 0 = f(x 0 )(x- x 0 ) Ví dụ: Cho hàm số y = x 2 . Viết phơng trình tiếp tuyến tại x 0 = 2 Giải: Tại x 0 = 2 y 0 =4 Ta có y = 2x y(2) = 4 Vậy phơng trình tiếp tuyến tại M(2,4) là: y- 4 =4( x- 2) y = 4x 4 Toaựn Cao Caỏp - A1 1 Nguyeón Tieỏn Thuứy K17M - ẹHSPHN 1.1.3. Đạo hàm trên khoảng, trên đoạn 1) Đạo hàm phải Nếu tỉ số x f có giới hạn phải tại x 0 thì giới hạn đó đợc gọi là đạo hàm phải tại x 0 . Ký hiệu: 0 ( )f x +  0 ( )f x +  = x xfxxf x + + )()( lim 00 0 2) Đạo hàm trái Nếu tỉ số x f có giới hạn trái tại x 0 thì giới hạn đó đợc gọi là đạo hàm trái tại x 0 . Ký hiệu: 0 ( )f x -  0 ( )f x -  = x xfxxf x + )()( lim 00 0 Chú ý: Nếu hàm số có 0 ( )f x -  = 0 ( )f x +  thì hàm số có đạo hàm tại x 0 và 0 ( )f x -  = 0 ( )f x +  = )( 0 xf . Điều ngợc lại cũng đúng Nếu 0 0 ( ) ( )f x f x - +   ạ thì hàm số ( )f x không có đạo hàm tại x 0 Ví dụ: Tìm đạo hàm của hàm số y = x Giải: Ta có y = x = < 0 0 xnếux xnếux 0 (0 ) lim x f f x + + D đ D  = D = 0 (0 ) (0) lim x f x f x + D đ + -D D = 0 lim x x x + D đ D D = 1 0 (0 ) lim x f f x - - D đ D  = D = 0 (0 ) (0) lim x f x f x - D đ + -D D = 0 lim x x x - D đ - D D =-1 (0 ) (0 )f f = -   ạ Hàm số y = x không có đạo hàm tại x= 0 3) Đạo hàm trên khoảng Ta nói hàm số y = f(x) có đạo hàm trên khoảng (a,b) nếu nó có đạo hàm tại ( , )x a b" ẻ 4) Đạo hàm trên đoạn Hàm số y = f(x) có đạo hàm trên [a,b] nếu nó có đạo hàm trên khoảng (a,b) và có đạo hàm phải tại a, đạo hàm trái tại b. 1.1.4. Các qui tắc tính đạo hàm Định lý 1 Nếu hàm số u=u(x) và v=v(x) đều có đạo hàm đối với x Dẻ a) ( ) ' vu + = '' vu + b) ( ) ' .vu = vuuv '' + Toaựn Cao Caỏp - A1 2 Nguyeón Tieỏn Thuứy K17M - ẹHSPHN c) ( v u ) = ( ) 0 '' 2 v v uvvu Chứng minh: a) Đặt f = u+v Lập tỉ số x f = x vufvuvuf +++ ),()( 0000 = x vuvvuu +++ 0000 = x v x u + ' x f = x f x 0 lim = )(lim 0 x v x u x + = ' ' x x u v+ Chứng minh tơng tự đối với b và c. Ví dụ: + '32 )(sin xex x ++ = 22 32cos xex x ++ + ' )sin( xe x = xx exxe cossin + + ' )2( xtg = ' ) 2cos 2sin ( x x = x xx 2cos )2sin2(cos2 2 22 + = x2cos 2 2 Định lý 2 Xét hàm số y = f(u(x)). Nếu hàm số y = f(u) có đạo hàm đối với u và u = u(x) có đạo hàm đối với x thì hàm hợp y = f(u(x)) có đạo hàm đối với x và x y' = xu uf '.' Chứng minh: - Cho x 0 số gia x thì u có số gia u - Ta có y = ( ) ( )f u u f u+ -D Lập tỉ số: x y = . u y x u ( x 0 ) Ta có: x u' = x u x 0 lim mặt khác theo giả thiết hàm số u = u(x) có đạo hàm tại x cho nên liên tục tại điểm này, ta có: u f x 0 lim = u f ' Vậy: x f x 0 lim = u f ' . x u' đpcm Định lý 3 Cho hàm số y = f(x) khả vi tại x 0 và có đạo hàm ' 0 ( ) 0f x ạ . Giả sử f(x) có hàm số ngợc x = g(y). Khi đó g(y) cũng khả vi tại y 0 =f(x 0 ) và đạo hàm ' 0 ( ) y g y thoả mãn hệ thức ' 0 ' 0 1 ( ) ( ) y g y f x = Chứng minh: Cho x 0 số gia x 0 thì hàm số y = f(x) có số gia tơng ứng là: y = )()( 00 xfxxf + Toaựn Cao Caỏp - A1 3 Nguyeón Tieỏn Thuứy K17M - ẹHSPHN Từ đó x y = y x 1 cho x 0 vì hàm số y = f(x) liên tục tại x 0 nên y 0 Do đó: x y 0 '( ) 0f xđ ạ . Vậy: 0 0 ( ) 0 1 1 '( ) ' lim x x g y y f x D đ = = D D đpcm Ví dụ1: Tìm đạo hàm của hàm số y = arctgx Giải: Ta có: y = arctgx là hàm số ngợc x = tgy với 2 2 y p p - < < Ta có: ' y x = )'(tgy = y 2 cos 1 = ytg 2 1 + = 2 1 x + Vậy: ' 2 ' 1 1 1 x y y x x = = + hay )'(arctgx = 2 1 1 x + Ví dụ2: Tìm đạo hàm của hàm số y =arcsin x với 11 << x và 2 2 y p p - < < Giải: Ta có y = arcsin x là hàm số ngợc của x= sin y ' y x = )'(sin y = ycos = 2 1 sin y- = 2 1 x- = 2 1 x vì cosy > 0 ( , ) 2 2 y p p " -ẻ Vậy x y' = y x' 1 = 2 1 1 x hay )'(arcsin x = 2 1 1 x Bảng các đạo hàm sơ cấp cơ bản: 1> ( ) 'C = 0 ,với C là hằng số 8> )'(cos x = xsin 2> )'( x = Rx 1 . 9> x tgx 2 cos 1 )( = = xtg 2 1 + 3> )'( x e = x e 10> )'(cot gx = x 2 sin 1 = )cot1( 2 xg + 4> )( x a = aa x ln 11> )'(arcsin x = 2 1 1 x 5> )(ln x = x 1 12> )'(arccos x = 2 1 1 x 6> )(log x a = ax ln 1 13> )( arctgx = 2 1 1 x + 7> )'(sin x = xcos 14> )cot( gxarc = 2 1 1 x + 1.2. Vi phân - Xét hàm số f(x) liên tục tại x 0 - Cho x 0 số gia x thì f(x) có số gia f = )()( 00 xfxxf + 0 khi x 0 1.2.1. Định nghĩa vi phân Toaựn Cao Caỏp - A1 4 Nguyeón Tieỏn Thuứy K17M - ẹHSPHN Xét hàm số y = f(x) xác định tại x 0 và ở lân cận của x 0 . Cho x số gia x sao cho x+ x vẫn thuộc lân cận đó. Nếu f = A. x + . x (*) . Trong đó A chỉ phụ thuộc vào x 0 mà không phụ thuộc vào x , . x là VCB cấp cao hơn x thì f(x) khả vi tại x 0 khi đó biểu thức A. x đợc goị là vi phân của hàm số y = f(x) tại x 0 . Ký hiệu: df = A. x 1.2.2. Liên hệ giữa vi phân và đạo hàm- công thức vi phân 1) Nếu hàm số f(x) khả vi tại x 0 thì nó có đạo hàm tại x 0 và Axf = )(' 0 . Thật vậy theo giả thiết số gia f có dạng (*). Khi đó: x f = x x + A x f x 0 lim = A x x A x = + )(lim 0 Và x là VCB cấp cao hơn x Vậy: Axf = )(' 0 2) Ngợc lại, nếu hàm số f(x) có đạo hàm tại x 0 thì nó phải khả vi tại x 0 và 0 0 ( ) '( )df x f x x= D Thật vậy, theo giả thiết x f )(' 0 xf ( x 0) Do đó: x f = )(' 0 xf + ( 0) f = )(' 0 xf . x + . x Trong đó: . x là VCB cấp cao hơn x vì x x = 0 khi x 0 Vậy f(x) khả vi tại x 0 và vi phân của nó tại x 0 là df = )(' 0 xf x . Đặc biệt, xét hàm y=x, khi đó dy x dx dx x= = =D ị D Do đó công thức tính vi phân của hàm số tại x 0 là 0 0 ( ) '( )df x f x dx= Tổng quát ta có ( )df x = )(' xf dx Ví dụ: xdxxdxy cos)(sinsin == dx x xdxy 1 )(lnln == Một số công thức vi phân cơ bản: 1> d(C) = 0 , Với C là hằng số 7> dx x tgxd 2 cos 1 )( = 2> dxxxd 1 .)( = 8> 2 1 (cot ) sin d gx dx x = - 3> dxeed xx = )( 9> 2 1 )(arcsin x dx xd = 4> dx x xd 1 )(ln = 10> 2 1 )(arccos x dx xd = Toaựn Cao Caỏp - A1 5 Nguyeón Tieỏn Thuứy K17M - ẹHSPHN 5> dxxxd cos)(sin = 11> 2 ( ) 1 dx d arctgx x = + 6> dxxxd sin)(cos = 12> 2 ( cot ) 1 dx d arc gx x = - + Đ2. Đạo hàm và vi phân cấp cao 2.1. Đạo hàm cấp cao ở mục 1 ta đã định nghĩa đạo hàm cấp 1 của hàm số y = f(x) tại mọi điểm thuộc khoảng nào đó, khi đó )(' xf lại là 1 hàm số mới xác định trên 1 khoảng nào đó. Đạo hàm của hàm )(' xf đợc gọi là đạo hàm cấp hai và ký hiệu: )('' xf = ))'('( xf Nói chung đạo hàm của đạo hàm cấp (n-1) đợc gọi là đạo hàm cấp n. Ký hiệu: ( ) ( ) n f x = ( 1) ( ( )) ' n f x - Chú ý: Các đạo hàm từ cấp 2 trở lên đợc gọi là đạo hàm cấp cao Ví dụ: + y =x 3 tính y (3) 'y = 3x 2 , ''y = 6x, '''y = 6 + y = x e , tính y (3) 'y = x e , ''y = x e , '''y = x e 2.1.1. Các qui tắc lấy đạo hàm cấp cao + Ta có: ( ) ( ) n f g l m + = ( ) ( )n n f g l m + với bất cứ các hàm số f,g khả vi n lần + Qui tắc Leipnits: Với các hàm số f,g khả vi n lần ( ) ( . ) n f g = ( ) ( 1) ( 2) ( 1) . . . ' . '' . 2 n n n n n f g n f g f g - - - + + + + + )()1()()( .' . ! )1) .(2)(1( nnkkn gfgfngf k knnnn +++ + = ( ) ( ) 0 . . n k n k k n k C f g - = ồ Ví dụ 1: y = e 2x . x 2 . Tính y (20) Giải: dùng công thức Leipnits )20( y = 20 2 (20 ) 2 ( ) 20 0 ( ) .( ) k x k k k C e x - = ồ = 2 (20) 1 2 (19) 2 2 2 (18) 2 20 20 ( ) .( ) .( ) ' ( ) .( ) '' x x x e C e x C e x+ + + + 3 2 (17) 2 20 ( ) .( ) ''' x C e x + = )9520(2. 2202 ++ xxe x Ví dụ2: )1( 1 xx y = Tìm )(n y Giải: 21 1 1 1 )1( )1( )1( 1 yy xxxx xx xx y +=+ = + = = x y = 1 1 1 , 2 1 )1( 1 x y = , 3 1 )1( 2 x y = , 1 1 )( )1( ! + = n n x n y Toaựn Cao Caỏp - A1 6 Nguyeón Tieỏn Thuứy K17M - ẹHSPHN x y 1 2 = , 2 2 1 y x  = - , 3 2 2 x y = , ( ) ( ) 1 ! 1 n n n n y x + = - Vậy ( ) ( ) 1 1 ! ! 1 (1 ) nn n n n n y x x + + = + - - (*) Sau đó ta dùng phơng pháp chứng minh quy nạp để đẳng thức (*) đúng * Nn 2.2. Vi phân cấp cao Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x), ta có vi phân cấp 1 df = dxxf )(' . Vi phân của vi phân cấp 1 đợc gọi là vi phân cấp 2 đợc ký hiệu: fd 2 fd 2 = )(dfd = ))('( dxxfd = 2 )('' dxxf Tổng quát: Vi phân của vi phân cấp n-1đợc gọi là vi phân cấp n, đợc ký hiệu: fd n fd n = ( ) 1 ( ) n d d f x - = nn dxxf )( )( Ví dụ : 33 xy = , df = dxx 2 3 , fd 2 = 2 6xdx , fd 3 = 3 6dx Đ3. Các định lý về giá trị trung bình Trớc hết ta nhắc định nghĩa cực trị của hàm số. Cho hàm số f(x) xác định trong khoảng (a,b). Ta nói rằng hàm số f(x) đạt cực đại (cực tiểu) tại x = x 0 (a,b). Nếu x 0 + x (a,b) ta có )()( 00 xfxxf + 0, ( ) 0 0 ( ) ( ) 0f x x f x+ -D . Điểm x 0 đợc gọi là điểm cực trị của hàm số f(x) . 3.1. Định lý Fermat Giả sử f(x) xác định trong khoảng (a,b). Nếu f(x) đạt cực trị tại x 0 và nếu tồn tại đạo hàm( hữu hạn) tại x 0 thì 0)( 0 = xf Chứng minh: Giả sử x 0 là điểm cực đại theo giả thiết f(x) khả vi tại x 0 Nên tồn tại đạo hàm )(' 0 xf và 0 '( )f x = x xfxxf x + )()( lim 00 0 Vì f(x) đạt cực đại tại x 0 nên )()( 00 xfxxf + 0 x . Do đó x xfxxf + )()( 00 0 khi x < 0 x xfxxf + )()( 00 0 khi x > 0 Khi x 0 ta có: )( 0 + xf = x xfxxf x + + )()( lim 00 0 0 )( 0 xf = x xfxxf x + + )()( lim 00 0 0 Mặt khác vì tồn tại đạo hàm )(' 0 xf nghĩa là )(' 0 + xf = )( 0 xf = )(' 0 xf Toaựn Cao Caỏp - A1 7 Nguyeón Tieỏn Thuứy K17M - ẹHSPHN Do đó )(' 0 xf = 0 . Tơng tự ta chứng minh đợc x 0 là điểm cực tiểu của hàm số f(x). 3.2. Định lý Rolle Cho hàm số f(x) xác định, liên tục trên đoạn [a,b] và khả vi trong khoảng (a,b). Giả sử f(a) = f(b) khi đó tồn tại x 0 (a,b) sao cho )(' 0 xf = 0 Chứng minh: Vì y = f(x) liên tục trên đoạn [a,b] nên hàm số y = f(x) đạt giá trị nhỏ nhất min f(x) và giá trị lớn nhất max f(x) x [a,b] . Khi đó có hai khả năng xảy ra; hoặc cả hai giá trị đó đều đạt tại hai mút a và b nh thế: f(a)=f(b)=minf(x)=maxf(x) ; x ẻ [a,b] và f(x) là một hằng số với mọi x ẻ [a,b], do vậy '( )f x đồng nhất bằng không với bất kỳ x ẻ [a,b] ; hoặc có một giá trị đạt tại một điểm x 0 nào đó, x 0 (a,b). Vậy theo định lý Fermat )(' 0 xf = 0. 3.3. Định lý Lagrange Cho hàm số y = f(x) xác định liên tục trên đoạn [a,b], khả vi trên (a,b). Khi đó tồn tại một điểm x 0 (a,b) sao cho )(' 0 xf = ab afbf )()( Chứng minh: Xét hàm số: )(xg = + )(af ( ) ( ) ( ) f b f a x a b a - - - Đặt )(xh = )(xg )(xf liên tục trong [a,b], khả vi trong (a,b) và )(ah = )(ag )(af = 0 = )(bg )(bf = )(bh Vậy theo định lý Rolle tồn tại x 0 (a,b) sao cho )(' 0 xh = 0 Ta có: )(' 0 xh = )(' 0 xg - )(' 0 xf = 0 Vậy )(' 0 xf = )(' 0 xg = ab afbf )()( đpcm 3.4. Định lý Cauchy Cho hai hàm số )(xf và )(xg liên tục trên [a,b], khả vi trong (a,b) và )(' xg 0 x (a,b) thì tồn tại x 0 (a,b) sao cho )()( )()( agbg afbf = )(' )(' 0 0 xg xf Chứng minh: Theo định lý Rolle thì g(a) g(b), từ giả thiết ta có hàm số )(x = )(xf - A. )(xg khả vi trên (a,b), liên tục trên [a,b] với mọi hằng số A. Ta chọn A sao cho )(a = )(b (hàm số )(x thoả mãn định lý Rolle). Nghĩa là: )(bf - )(. bgA = )(af - )(. agA )()( )()( agbg afbf A = Lúc này áp dụng định lý Rolle cho hàm số )(x , tồn tại x 0 (a,b) sao cho: )(' 0 x = )(' 0 xf - )('. 0 xgA = 0 hay )(' 0 x = )(' 0 xf - )()( )()( agbg afbf . )(' 0 xg = 0 )(' )(' 0 0 xg xf = )()( )()( agbg afbf đpcm Toaựn Cao Caỏp - A1 8 Nguyeón Tieỏn Thuứy K17M - ẹHSPHN Đ4. Công thức Taylor 4.1. Khai triển Taylor hàm số bất kỳ ở lân cận x 0 Giả sử hàm số )(xf xác định trong đoạn [a,b] có đạo hàm đến cấp (n+1) trong (a,b) và x 0 (a,b). Ta đi tìm một đa thức )(xp n có bậc n sao cho: )( 0 xf = )( 0 xp n , )(' 0 xf = )(' 0 xp n , ., ( ) 0 ( ) n f x = )( 0 )( xp n n (1) Ta sẽ tìm đa thức )(xp n dới dạng: )(xp n = n n xxAxxAxxAA )( .)()( 0 2 02010 ++++ (2) Lấy đạo hàm liên tiếp hai vế ta có: )(' xp n = 1 0021 )( .)(2 +++ n n xxnAxxAA )('' xp n = 2 2 0 2 . ( 1)( ) n n A A n n x x - + + - - . ( ) ( ) n p x = n An! Ta thay x=x 0 )( 0 xp n = A 0 , )(' 0 xp n = A 1 , )('' 0 xp n = 1.2.A 2 . ( ) 0 ( ) n p x = n An! (3) Từ (1) và (3) suy ra: A 0 = )( 0 xf , A 1 = !1 )(' 0 xf , ., A n = ( ) 0 ( ) ! n f x n Thay vào (2) ta có: )(xp n = )( 0 xf + )( !1 )(' 0 0 xx xf + + ( ) 0 0 ( ) ( ) ! n n f x x x n - (4) Bây giờ ta đặt: )(xR n = )(xf - )(xP n (5) Gọi )(xR n là phần d bậc n của )(xf . Vì theo giả thiết f khả vi đến (n+1) Từ (1) ta có: )( 0 xR n = )(' 0 xR n = = ( ) 0 ( ) n n R x = 0 (6) Bây giờ. Nếu đặt )(xG = 1 0 )( + n xx Ta có )( 0 xG = )(' 0 xG = .= ( ) 0 ( ) n G x = 0 (7) Giả sử x ( ) ,a bẻ từ (6) và (7): )( )( xG xR = )()( )()( 0 0 xGxG xRxR áp dụng định lý Cauchy vào tỉ số trên ta có )( )( xG xR n = )()( )()( 0 0 xGxG xRxR nn = )(' )(' 1 1 G R n ),( 01 xx Cũng do (6) và (7) ta có: )(' )(' 1 1 G R n = )(')(' )(')(' 0 0 xGxG xRxR nn = )('' )('' 2 2 G R n ),( 012 x Toaựn Cao Caỏp - A1 9 Nguyeón Tieỏn Thuứy K17M - ẹHSPHN Sau (n+1) lần áp dụng định lý Cauchy ta có )( )( xG xR n = ( 1) 1 ( 1) 1 ( ) ( ) n n n n n R G e e + + + + với 1 0 ( , ) n x x e + ẻ Ngoài ra ( 1) 1 ( ) n n G e + + = )!1( + n ; ( 1) 1 ( ) n n n R e + + = ( 1) 1 ( ) n n f e + + )(xR n = ( 1) 1 ( 1) 1 ( ) . ( ) ( ) n n n n n R G x G e e + + + + = ( 1) 1 1 0 ( ).( ) ( 1)! n n n f x x n e + + + - + Từ (5) )(xf = )(xP n + )(xR n )(xf = )( xf + ( ) 0 0 0 0 ( )( ) '( )( ) ! n n f x x x f x x x n - - + + + + ( 1) 1 1 0 ( )( ) ( 1)! n n n f x x n e + + + - + với 1 0 ( , ) n x x e + ẻ (9) Định lý: Nếu hàm số f(x) xác định trong [a,b] có đạo hàm hữu hạn đến cấp (n+1) trong (a,b) thì trong [a,b] hàm số f(x) có thể khai triển dới dạng (9) và gọi là công thức Taylor. Nếu công thức (9) thay x 0 = 0, ta có: )(xf = )0(f + 2 ( ) ( 1) 1 '(0) ''(0) (0) ( ) . 1! 2! ! ( 1)! n n n n f x f x f x f c x n n + + + + + + + (10) với c nằm giữa 0 và x Công thức (10) gọi là công thức Macloranh. Từ công thức (9) ta có xấp xỉ giá trị f(x) với x khá gần x 0 bởi đa thức (4) với sai số 1 0 1 )!1( )( + + + n n n xx n M xR Với )( )1( 1 xfM n n + + ],[ bax 4.2. Khai triển hàm Macloranh với các hàm số thờng dùng 1) Hàm x exf = )( Ta có: x exf = )( )0(f = 1 )(' xf = x e )0('f = 1 )( )( xf n = x e )0( )(n f = 1 Thế vào công thức (10) ta có: x e = 2 1 1 . . 1! 2! ! ( 1)! n n c x x x x e n n + + + + + + + (11) Trong đó 0 ( , )c x xẻ với 1 x )!1( 3 )!1()!1( )( + + + nn e n e xR c n Sai số nếu lấy n = 8 thì sai số !9 3 )( 8 xR = 0,000008267 Vậy e = 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1! 2 ! 3 ! 4 ! 5! 6! 7 ! 8 ! e ằ + + + + + + + + ằ 2,71827 2) Hàm xxf sin)( = Ta có: )(xf = )sin(x )0(f = 0 Toaựn Cao Caỏp - A1 10 [...]... y = (a 2 x 2 )4 b) y = 1 + x 2 c) y = d) y = e x +1 d) y = ln(1 x 2 ) 1 x a ln ( a 0) 2a x +a Bài 5: Tìm đạo hàm cấp n của các hàm sô sau: a) y = cos x b) y = 1 cos n x 1 x a e) y = 1 1 x f) y = xe x g) y = e x sin x 1 ( x a )( x b) y = ln( x +1) d) c) y = Bài 6: Tìm đạo hàm cấp cao của hàm số sau: e) y = x 2 e 2 x y ( 20 ) x2 y (8) 1 x 1+ x y (100 ) b) y = 1 x a) y = f) y = x 2 sin 2 x y ( 50... của đồ thị (C) của hàm số y = f(x) nếu lim [ f (x ) - ( A x + B ) ] = 0 x đƠ Bài tập chơng II: Bài 1: Dùng định nghĩa đạo hàm cấp 1, tính các đạo hàm của các hàm số sau: a) y = cos x c) y = e x b) y = tgx d) y = ln x Bài 2: Tính đạo hàm của các hàm sau: a) y = x + x + 3 x Toaựn Cao Caỏp - A1 c) y = ( m+n ) (1 x) m (1 + x ) n 16 X Nguyeón Tieỏn Thuứy b) y = K17M - ẹHSPHN 1+ x 1 x d) y = c) y = x + x... đến cấp 2 ở lân cận điểm x0 Nếu f ' ( x 0 ) = 0 và f ' ' ( x0 ) > 0 thì y = f(x) đạt cực tiểu tại x0 Nếu f ' ( x 0 ) = 0 và f ' ' ( x0 ) < 0 thì y = f(x) đạt cực đại tại x0 Ví dụ 10: Tìm cực của hàm số y = 2 x 3 3 x 2 Giải: +) TXĐ: R +) y ' = 6 x 2 6 x y ' =0 x= 0 6x2 6x = 0 x= 1 y ' ' =12 x 6 y ' ' (0) = 6 < 0 hàm số đạt cực đại tại x = 0 y ''(1) = 6 > 0 ị hàm số đạt cực tiểu tại x = 1 Toaựn Cao. .. 0) Bài 17: Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số sau: a) y = 3 2 x 2 x 3 b) y = 3 cos( x ) 4 Bài 18: Tìm khoảng đơn điệu, điểm cực trị, điểm uốn: Toaựn Cao Caỏp - A1 18 x 2 Nguyeón Tieỏn Thuứy K17M - ẹHSPHN a) y = x 3 3x 2 + 9 x +14 c) y = x ln( x +1) Toaựn Cao Caỏp - A1 b) y = x 4 2 x 2 + 5 d) y = 2 x 3 3x 2 19 Nguyeón Tieỏn Thuứy K17M - ẹHSPHN Chơng 3: Phép tính tích phân Đ1 Tích phân bất định 1.1... Vậy: I = sin x cos nx cos xdx = + sin x sin nxxdx = 0 n 00 = sin n x sin nxxdx 0 Thay vào (*) ta có: I = 0 2.5.2 Tính gần đúng tích phân xác định Có nhiều hàm số sơ cấp nhng không thể biểu diễn nguyên hàm của nó dới dạng các hàm sơ cấp, vì vậy không thể dùng đợc công thức Newton- Leibnitz Việc tính các tích phân của các hàm nh thế có thể dùng phơng pháp tính gần đúng Sau đây ta xét 1 phơng pháp nh... tuyến x Định lý 1: Nếu y ' ' ( x) < 0 (a, b) thì đồ thị (C) lồi trên (a,b) Ngợc lại y ' ' ( x) > 0 (a, b) thì đồ thị (C) lõm trên (a,b) x Định lý 2: Giả sử hàm số y = f(x) liên tục tại x0, khả vi đến cấp hai ở lân cận x 0 Nếu f ' ' ( x) đổi dấu khi qua x0 thì điểm ( x 0 , f ( x 0 ) ) đợc gọi là điểm uốn, nếu f ' ' ( x) không đổi dấu tại x0 thì không có điểm uốn Y 5.2.4 Đờng tiệm cận Định nghĩa điểm... a-1 ( ) 1 = xlim x = 0 + Chú ý: còn một số dạng khác nh: 0 0 ) *)Dạng (0. : Để sử dụng định lý 1,2 ta phải chuyển về dạng ( ) hoặc Ví dụ 4: Giải: lim ( x 2 4)tg ( x 2 4 ) Ta chuyển (0. x) Toaựn Cao Caỏp - A1 (0. ) 0 ( ) 0 12 ( ) Nguyeón Tieỏn Thuứy K17M - ẹHSPHN p 2x sin 2 x 4 = 16 ị lim ( x 4)tg ( x) = x2 = lim p x đ2 x 2 cot g ( x) 4 (- 1) 4 4 p 16 Vậy lim(x 2 - 4)tg( x ) = x đ2 4 p ... t ln(1 t ) = t 0 2 t 0 1 1 t lim t 0 2 cos 2 Vậy lim (2 x) tg x 1 x 2 2 - 2 p t 2 = - p e x Ví dụ 7: xlim+ x ( 00 ) đ0 Giải: Đặt A = x x lnA=xlnx lim+ ln A = lim+ x ln x = lim+ x đ0 = x đ0 Toaựn Cao Caỏp - A1 x đ0 1x =0ị - 1 2 x 13 lim x x = e 0 = 1 x đ 0+ 0 ( ) 0 Nguyeón Tieỏn Thuứy K17M - ẹHSPHN 5.2 Khảo sát hàm số 5.2.1 Hàm số đơn điệu trong 1 khoảng Định lý 1: Giả sử hàm số y=f(x) liên tục... khi x = 0 Với điều kiện nào thì hàm số a) Liên tục tại x = 0 b) Khả vi tại x = 0 c) Có đạo hàm liên tục tại x = 0 Bài 10: Xét tính khả vi của hàm số: a) y = ( x 1)( x 2) 2 ( x 3) 3 b) y = cos x Toaựn Cao Caỏp - A1 17 Nguyeón Tieỏn Thuứy K17M - ẹHSPHN Bài 11: Thử lại xem định lý Rolle có đúng với hàm y = x10 3 x 6 +x 2 +2 trong [-1,2] hay không? Bài 12: Cho hàm số y = x10 3x 6 +x 2 +2 tìm 3 số hạng... =0 x = 3 2 x y' y + 3 - 2 0 - 1 4 CT Nhìn vào bảng biến thiên ta thấy: 3 ,+ ) 2 3 hàm số nghịch biến trong ( + , ] 2 hàm số đồng biến trong [ 5.2.2 Cực trị của hàm số trong 1 khoảng: Định lý1: Toaựn Cao Caỏp - A1 14 + + + Nguyeón Tieỏn Thuứy K17M - ẹHSPHN Giả sử hàm số y = f(x) liên tục trong [a,b], khả vi trong (a;b) ( có thể trừ ra một số hữu hạn điểm) và x0 (a, b) (có thể tại điểm x0 hàm f(x) không . 1 dx d arc gx x = - + Đ2. Đạo hàm và vi phân cấp cao 2.1. Đạo hàm cấp cao ở mục 1 ta đã định nghĩa đạo hàm cấp 1 của hàm số y = f(x) tại mọi điểm thuộc. 2.2. Vi phân cấp cao Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x), ta có vi phân cấp 1 df = dxxf )(' . Vi phân của vi phân cấp 1 đợc gọi là vi phân cấp 2 đợc ký