Số học của chùm ma trận và ứng dụng

Sau một thời gian nghiên cứu Số học của chùm ma trận và ứng dụng, với sự cố gắng của bản thân, cùng với sự hướng dẫn và giúp đỡ tận tình của các thầy cô giáo, các anh chị học viên, tôi đ

Sau một thời gian nghiên cứu Số học của chùm ma trận và ứng dụng, với sự

cố gắng của bản thân, cùng với sự hướng dẫn và giúp đỡ tận tình của các thầy cô giáo, các anh chị học viên, tôi đã hoàn thành luận văn với đề tài trên

Xin chân thành cảm ơn sự giúp đỡ của các thầy cô giáo trong tổ Giải tích– khoa Toán – trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, các bạn học viên lớp K15 Toán Giải tích đợt 2 đã động viên giúp đỡ tôi trong quá trình học tập và làm luận văn Đặc biệt, em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc tới Phó Giáo sư – Tiến sĩ Tạ Duy Phượng, người đã giúp đỡ em tận tình trong quá trình tập dượt nghiên cứu, chuẩn bị và hoàn thành luận văn này

Hà Nội, tháng 12 năm 2013

Tác giả

Nguyễn Thị Hằng

Tôi xin cam đoan luận văn Số học của chùm ma trận và ứng dụng

học tập và riêng tôi Đó là kết quả của sự tìm tòi, tổng hợp từ các tài liệu tham khảo dưới sự hướng dẫn của Phó Giáo sư –Tiến sĩ Tạ Duy Phượng Những thông tin trích dẫn, những tài liệu tham khảo trong luận văn đã được chỉ

rõ nguồn gốc Luận văn chưa được công bố trên bất kì phương tiện thông tin nào

Hà Nội, tháng 12 năm 2013 Tác giả

Nguyễn Thị Hằng

Chương 3 ỨNG DỤNG CỦA SỐ HỌC CHÙM MA TRẬN TRONG

PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH

44

MỞ ĐẦU

1 Lí do chọn đề tài

Phương trình vi phân đại số là một mô hình toán học được sử dụng để khảo sát nhiều bài toán thực tế Hiện nay phương trình vi phân đại số đang được nghiên cứu mạnh mẽ trên thế giới và ở Việt Nam

Trong phương trình vi phân đại số, do cấu trúc đặc thù, lớp phương trình vi phân tuyến tính được đặc biệt nghiên cứu kĩ Tương tự như phương trình vi phân thường tuyến tính, lí thuyết ma trận đóng vai trò quan trọng trong nghiên cứu phương trình vi phân đại số tuyến tính Tuy nhiên, để ứng dụng trong nghiên cứu phương trình vi phân đại số, cần có những nghiên cứu sâu hơn về lí thuyết ma trận, thí dụ, phải nghiên cứu cấu trúc của cặp hai ma trận hay chùm ma trận, phải

mở rộng các nghiên cứu về ma trận nghịch đảo suy rộng cho các ma trận vuông không khả nghịch hoặc các ma trận chữ nhật

Số học của chùm ma trận đã được Peter Benner và Ralph Beyers nghiên cứu

và trình bày trong các bài báo [1], [2], [3], [5] Có thể coi số học của chùm ma trận là sự mở rộng của số học ma trận và biến đổi tuyến tính Số học của chùm

ma trận đã được sử dụng trong nghiên cứu nhiều bài toán của toán học cũng như của thực tế Thí dụ, trong nghiên cứu phương trình vi phân đại số tuyến tính và phương trình sai phân ẩn tuyến tính (xem [2], [5]), trong nghiên cứu hàm dấu của ma trận và áp dụng giải số phương trình ma trận (xem [3], [5], [6], [8]), trong xây dựng các thuật toán trong lí thuyết hệ thống và điều khiển (xem [4], [8], [10], [11]),

Với mục đích tìm hiểu một hướng phát triển mới của lí thuyết ma trận và ứng dụng của số học chùm ma trận, tôi chọn đề tài cho luận văn thạc sĩ của mình là

Số học của chùm ma trận và ứng dụng

2 Mục đích nghiên cứu

Trình bày lý thuyết về quan hệ tuyến tính (quan hệ ma trận) và các phép toán

số học, phép toán tựa số học trên tập hợp các ma trận

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Nghiên cứu số học của chùm ma trận và ứng dụng

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Số học của chùm ma trận và ứng dụng trong hệ phương trình vi phân đại số

và phương trình sai phân ẩn

5 Phương pháp nghiên cứu

Nghiên cứu lý thuyết: Thu thập, đọc và phân tích, tổng hợp tài liệu Sử dụng

công cụ của Giải tích, Đại số tuyến tính, Giải tích hàm và lí thuyết phương trình Trên cơ sở đó viết một luận văn tổng quan về vấn đề nghiên cứu

6 Những đóng góp mới của đề tài

Hy vọng luận văn là một tài liệu tổng quan tốt về số học của chùm ma trận và ứng dụng trong nghiên cứu phương trình vi phân đại số tuyến tính Hy vọng luận văn sẽ được các sinh viên đại học và học viên cao học tham khảo khi bước đầu

nghiên cứu cấu trúc ma trận và phương trình vi phân đại số

7 Nội dung

Luận văn gồm 3 chương:

Chương 1: Ma trận và chùm ma trận

Chương 2: Số học của chùm ma trận

Chương 3 : Ứng dụng của số học chùm ma trận trong phương trình vi phân đại

số tuyến tính

CHƯƠNG 1

MA TRẬN VÀ CHÙM MA TRẬN 1.1 Các khái niệm cơ bản

Với cặp ma trận A £m n, B £m k,

ta định nghĩa null A B, x y, £n £k Ax By 0m

1.1.2 Miền giá trị (miền ảnh, range) của ma trận M £m n (của ánh xạ tuyến tính M £: n £m) được kí hiệu là range M :

1.1.4 Chuẩn Euclid của ma trận M m jk trên £m n là 2 2

1 1

n ii i trace A a hay trace A là tổng các phần tử trên đường chéo chính của

ma trận A n n

Có thể chứng minh rằng M F trace M M H thực sự là một chuẩn

1.1.5 Hạng của ma trận Cho ma trận M £m n. Ta nói M có hạng đầy đủ theo cột (full column rank) nếu n cột của M là độc lập tuyến tính Ta nói M có

hạng đầy đủ theo hàng (full row rank) nếu m hàng của M là độc lập tuyến tính

Định lí 1.1.1Cho ma trận M £m n Ma trận M

1 Có hạng đầy đủ theo cột khi và chỉ khi M M khả nghịch T

2 Có hạng đầy đủ khi theo hàng và chỉ khi MM khả nghịch T

Chứng minh Giả sử ma trận M có hạng đầy đủ theo cột, tức là n cột của nó độc lập tuyến tính Điều này xảy ra khi và chỉ khi không gian không của nó chỉ chứa duy nhất một vectơ 0, nghĩa là Mx 0 x 0

Chứng minh tương tự với ma trận có hạng đầy đủ theo hàng

1.1.6 Ma trận nghịch đảo trái của ma trận M £m n là ma trận M thỏa mãn †

Ma trận M m n có thể có nghịch đảo trái L theo nghĩa LM I (ma trận đơn vị n

cấp n) chỉ khi m n Hơn nữa, M có nghịch đảo trái khi và chỉ khi nó có hạng theo cột đầy đủ Ma trận M có thể có nhiều ma trận nghịch đảo trái ,L một trong

số chúng là ma trận nghịch đảo Moore – Penrose M†: M M T 1M của T M

Thật vậy E H E I E EE H H † suy ra E E H 1E H E E H 1E EE hay H †

1.2.1 Cho E và A là hai ma trận có số chiều m n Tập hợp các ma trận

E A với £ được gọi là chùm ma trận của hai ma trận E và A

1.2.2 Vectơ x £n,x 0 được gọi là vectơ riêng của cặp ma trận E A nếu với ,một cặp , £ £ \ 0,0 nào đó ta có Ex Ax

Nếu 0 thì x tương ứng với giá trị riêng vô hạn

Nếu 0 thì x tương ứng với giá trị riêng hữu hạn

1.2.3 Chùm ma trận E A với £ được gọi là chính qui (regular) nếu E và A

là các ma trận vuông và det E A 0 với ít nhất một số phức £

Chùm ma trận không chính qui được gọi là kì dị (suy biến, singular)

Định lí 1.1.2 Nếu E A chính qui thì tồn tại một dạng chính tắc Weierstrass

Chứng minh Xem [9], Vol II, §2

Định lí 1.1.2 có thể mở rộng cho chùm ma trận suy biến như sau

Định lí 1.1.3 Chùm ma trận E Acó dạng chính tắc Kronecker

0 0, ,1 2, , p, T p 1, T p 2, , T p q

X E A Y diag E A L L L L L L (1.1.2) Trong đó E và A là các ma trận không suy biến, E0 A là ma trận chính qui 0

Chứng minh Xem Định lí A.1 trong Appendix A [5] hoặc [7]

1.3 Không gian con giảm bên phải

Ta đưa vào khái niệm không gian con giảm bên phải (right deflating subspace)

như sau

Ta nói, các cột của ma trận X £n k căng một không gian con giảm bên phải của chùm ma trận chính qui E A nếu

dim(range( ))X dim(range(EX) range(AX))

Các không gian con giảm được căng bởi tập hợp các vectơ riêng và các vectơ chính Không gian con giảm liên hợp với các giá trị riêng tương ứng Nếu các giá

trị riêng này là phân biệt từ các giá trị riêng còn lại của E A thì không gian ,con giảm được xác định duy nhất bởi chúng

Không gian con giảm bên phải E A của chùm ma trận chính qui E A

tương ứng với các giá trị riêng hữu hạn có phần thực âm thường được gọi là

không gian con giảm bên phải ổn định (stable right deflating subspace) Không

gian con giảm bên phải E A tương ứng với các giá trị riêng hữu hạn có phần thực dương được gọi là không gian con giảm bên phải không ổn định

(unstable right deflating subspace) Nếu E I ta có thể viết , A thay vì

I A Các không gian con giảm được sử dụng trong các thuật toán tính

nghiệm của các phương trình Riccati đại số suy rộng và các phương trình Lyapunov suy rộng (xem [8], [10]) hoặc tổng quát hơn, trong giải quyết các bài

toán tính toán khác nhau trong lí thuyết hệ thống và điều khiển (xem [6], [11])

CHƯƠNG 2

SỐ HỌC CỦA CHÙM MA TRẬN 2.1 Quan hệ ma trận

2.1.1 Định nghĩa quan hệ ma trận

Với mỗi chùm ma trận E A, £ (hay cặp ma trận E £m n, A £m n), ta

định nghĩa quan hệ ma trận hay quan hệ tuyến tính trên không gian vectơ £ là n,tập hợp của các cặp sắp thứ tự x y có dạng sau: ,

Vậy, có thể coi quan hệ ma trận là tập nghiệm của phương trình ma trận hay hệ

phương trình tuyến tính (2.1.1’) Vì tập nghiệm của hệ phương trình tuyến tính là một không gian vectơ nên quan hệ ma trận E A là một không gian vectơ con \của không gian vectơ phức £n £n

Nhận xét 2.1.2 Ma trận biểu diễn của quan hệ tuyến tính (2.1.1) là không duy

nhất: Nếu M £m m là một ma trận không suy biến thì E A\ ME MA \ Thật vậy, theo định nghĩa, ta có

Do M £m m không suy biến nên nhân hai vế của đẳng thức MEy MAx với 1

Trường hợp 1 Nếu null M I range A, E 0 thì tồn tại z 0 sao cho

z null M I range A, E , tức là tồn tại z 0 và các vectơ ,x y £n sao

Vậy từ null M I range A E 0 suy ra E A\ ME MA \

Nghĩa là từ E A\ ME MA\ suy ra null M I range A E, 0

Trường hợp 2 Giả sử null M I range A E 0 Giả sử

Hệ quả 2.1.1 Cho các ma trận , E A £ m n, và ˆ, ˆ p n

E A £ thỏa mãn đẳng thức ˆ

ˆ

E A E A Khi ấy tồn tại ma trận M £ p m sao cho Eˆ ME , ˆA MA và

nullM range A E, 0

Định lí 2.1.1 và Hệ quả 2.1.1 chỉ ra rằng, quan hệ ma trận là bất biến đối với

phép biến đổi tuyến tính trái

2.1.2 Một số ví dụ quan hệ ma trận

Thí dụ 2.1.1 Nếu E £n n là một ma trận không suy biến thì phương trình

Ey Ax có duy nhất nghiệm y E Ax Như vậy, trong trường hợp E là một 1

ma trận không suy biến thì quan hệ tuyến tính E A chính là phép biến đổi \

tuyến tính y E Ax1 , với ma trận biểu diễn là E A1 Do đó, có thể coi quan hệ

tuyến tính như là một mở rộng của phép biến đổi tuyến tính

Nếu E m n là ma trận có n cột độc lập tuyến tính (có hạng đầy đủ theo cột - full column rank) thì E E là ma trận vuông khả nghịch (Định lí 1.1.1) T

Nhân hai vế của phương trình Ey Ax với ma trận E T, sau đó với ma trận

Thí dụ 2.1.2 Phương trình sai phân tuyến tính ẩn với hệ số biến thiên

Ở đây ( )x t là giá trị đạo hàm của hàm khả vi x t( ) tại thời điểm t

Trong phương trình vi phân đại số, ta thường giả thiết rằng det ( )E t 0 t J,tức là phương trình (2.1.3) suy biến với mọi ,t do đó nó không thể đưa về phương trình vi phân thường tuyến tính Ta định nghĩa nghiệm của phương trình

vi phân đại số (2.1.3) là một hàm khả vi liên tục trên J và thỏa mãn (2.1.3) tại

mọi điểm của J Khi ấy ( ) x t ¡ với mọi n t J

Với mọi t J phương trình vi phân đại số tuyến tính (2.1.3) tương đương với ,quan hệ ma trận x t x t( ), ( ) E t( ) \ ( ) A t

Thí dụ 2.1.4 Xét phương trình vi phân đại số tuyến tính tổng quát dạng

E t D t x t A t x t t J a b ¡ x ¡ (2.1.4) Với mỗi t J thì E t( ) £m k, ( )D t £k n. Nghiệm của phương trình vi phân

đại số (2.1.4) là một hàm liên tục (không nhất thiết khả vi) trên J sao cho đạo

hàm D t x t( ) ( ) là tồn tại, liên tục và (2.1.4) được thỏa mãn tại mọi điểm t J .Với mọi t J phương trình vi phân đại số tuyến tính (2.1.4) tương đương với ,quan hệ ma trận x t( ), D t x t( ) ( ) E t( ) \ ( ) A t

Chú ý rằng, trong phương trình (2.1.3) ta đòi hỏi tất cả các tọa độ của x(.) phải khả vi trên J Trong phương trình (2.1.4), ma trận D t( ) có thể suy biến, nghĩa là sau phép biến đổi D t( ), một số tọa độ của D t x t( ) ( ) có thể bằng 0, do đó ( ) ( )

D t x t có đạo hàm, mặc dù tọa độ tương ứng của x t( ) có thể không có đạo

2.1.3 Một số khái niệm và tính chất cơ bản

1 Với x £ n, x lát cắt của quan hệ ma trận E A là tập hợp \

Tùy theo x, E và ,A tập E A x\ có thể là tập khác rỗng hoặc rỗng

2 Miền xác định của quan hệ ma trận là tập các hoành độ của nó, nghĩa là

Nhận xét 2.1.3 dom E A\ và range E A là các không gian vectơ con của \không gian vectơ phức £ n

Để chứng minh tập dom E A là không gian con, ta chỉ cần chứng minh \

1 1x 2 2x dom E A với mọi \ x x1, 2 dom E A và \ 1, 2 £

Giả sử x x1, 2 dom E A khi ấy tồn tại các vectơ \ , y y1, 2 £ sao cho n

Do E £m n, A £m n là các ma trận nên với mọi 1, 2 £ ta có

1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2

Vậy 1 1y 2y2 range E A x\ range E A hay range\ E A là không \gian con của £ n

2.2 Các phép toán số học trên quan hệ ma trận

2.2.1 Tích của hai quan hệ ma trận

m n

p

x y E z

Nhận xét 2.2.1 Tích hai quan hệ ma trận (2.2.1) có thể có hoặc có thể không có

ma trận biểu diễn với số cột bằng số cột trong ma trận biểu diễn của các thành phần

Thí dụ, các quan hệ ma trận 1 \ 0 và 0 \ 1 là các quan hệ ma trận trên

£ và có biểu diễn là các ma trận thành phần với số chiều 1 1 Cụ thể, quan hệ

1 \ 0 x y, £ £ 1.y 0.x x,0 ,x £ có biểu diễn E 1 và

0 ;

A Quan hệ 0 \ 1 x y, £ £ 0.y 1.x 0,y ,y £ có biểu diễn E 0 và A 1 , nhưng tích hai quan hệ ma trận này là:

£ £

£

£ £

đòi hỏi ma trận biểu diễn có hai hàng

Dễ dàng kiểm tra được rằng tích hai quan hệ tuyến tính (2.2.1) phù hợp với phép nhân đồng nhất I I Thật vậy \

sao cho

sao cho ,

Định lí 2.2.1 (Theorem 1, [2]) Giả sử E1\ A và 1 E2 \ A2 là các quan hệ tuyến tính, trong đó E A1, 1 £m n; E A2, 2 £ p n. Nếu 2 q m

Chứng tỏ E2 \ A2 E1\ A1 E E%1 2 \A A%2 1

Điều kiện đủ Giả sử x z, E E%1 2 \ A A%2 1 , nghĩa là E E z%1 2 A A x%2 1 Kí hiệu

E z v

Từ Định lí 2.2.1 suy ra I A\ 2 I A\ 1 I A A\ 2 1 Đây chính là phép nhân hai

ma trận thông thường với một vectơ Thật vậy, nếu x z, I A\ 2 I A\ 1 thì tồn tại y £n sao cho y A x và 1 z A y2 hay z A A x Vì 2 1

Để tiện dùng, ta định nghĩa tích của một số với một quan hệ ma trận và tích của

một ma trận với quan hệ ma trận như sau

Với và x z, I \ I E A đã cho, đặt \ y% x Khi ấy x y,% I \ I Do

Ez A x nên Ez Ay% hay y z%, E A\ Vậy x z, E A I\ \ I

2 Giả sử M £ n n là một ma trận và E A là một quan hệ ma trận trên \ £ n

Tích phải của ma trận M với quan hệ E A là \ E A M\ : E A I M \ \

Tích trái của ma trận M với quan hệ E A\ là M E A\ : I M\ E A \

Dễ dàng chỉ ra rằng E A M\ E AM và nếu \ M không suy biến thì 1

Thật vậy, giả sử x z, E\ A M: E\ A I\ M tức là tồn tại một vectơ ,

n

y £ sao cho ,x y I M và \ y z, E A hay \ y Mx và Ez Ay

Suy ra Ez AMx hay x z, E AM \

Hoàn toàn tương tự, x z, E AM\ Ez AMx Đặt y Mx £ n Khi ấy

Ez Ay Ta có x y, I M và \ y z, E A Suy ra \ x z, E A M \ Vậy E A M\ E AM \

Giả sử M không suy biến và x z, M 1 E A\ : I M\ 1 E A Khi ấy tồn \ tại một vectơ y £ sao cho ,n x y E A và \ y z, I M\ 1 , hay Ey Ax

và z M y Suy ra 1 Ax Ey EMz hay x z, EM A \

Đảo lại, nếu ,x z EM A thì \ Ax EMz Đặt y Mz £ ta có n, Ax Ey

và

2E x2 2A x (2.2.5) 2 Nếu E A\ E2 \ A2 E1 \ A thì 1 2 1 Ex 2 1 Ax Hơn nữa,

1 Nếu 2 1, 2 1 0,0 thì x là một vectơ riêng của E A

2 Nếu 1 2 0 thì Ex Ax 0 và chùm ma trận E A là suy biến

2 2

0rank 2

0

E A

1 2 1 1 2 1 ; 2 2 1 2 1 2

Đặt y 2 1x Khi ấy 2 1x y, E1 \ A và 1 y, 2 1x E2 \ A2 Nghĩa là

2 1x, 2 1x E2 \ A2 E1\ A Theo giả thiết 1 E A\ E2 \ A2 E1\ A nên 1

2 1x, 2 1x E A tức là \ , E 2 1x A 2 1x hay 2 1 Ex 2 1 Ax

Vậy nếu 2 1, 2 1 0,0 thì theo định nghĩa, x là vectơ riêng của E A

2 Theo giả thiết 1, 1 , 2, 2 £ £ \ 0,0 nên 1, 1 0,0 và

2, 2 0,0 , vì thế điều kiện 1 2, 1 2 0,0 kéo theo hoặc 2 1 0 hoặc 1 2 0

Nếu 1 2 0 thì do 1, 1 0,0 và 2, 2 0,0 nên 1 0 và 2 0 Chú ý rằng với mọi ma trận M ta luôn có M0 0 Do 1 2 0 và 1 0 nên

Vì 2 0 nên từ (2.2.5) ta có E x2 0 Suy ra tồn tại y 0 £ sao cho n

2 2

y x x E A Hiển nhiên 0,0 E1 \ A1 nên tồn tại y 0 £ sao ncho 0,x E2 \ A2 E1\ A1 E A nghĩa là \ , Ex 0 Do đó x 0 là một

vectơ riêng chung cho E và A

Với mọi £ tồn tại x 0 sao cho Ex 0 và Ax 0 Suy ra det E A 0với mọi £ Vậy chùm ma trận E A là suy biến

Với M là một ma trận thì null M là một không gian con Theo giả thiết,

1 1

2 2

0rank 2

2 2

0null 0

E A

E A

Vì E A\ x y, £n £n:Ey Ax x y, £n £n: Ey Ax 0 là một không gian không của ma trận E A, £n 2n, nên từ (2.2.3) ta có:

Nhận xét 2.2.3 Giả thiết rank trong phần 3 của Định lí 2.2.2 là tương đối nhẹ

nhàng, nó được thỏa mãn, chẳng hạn, khi A1 và E2 không suy biến (rankA1 rankE2 n) Một số giả thiết tương tự là cần thiết nhằm kết luận

E A suy biến Ví dụ:

Xét cặp ma trận E A1, 1 : 0 , 1 Chọn 1, 1 : 1,0 0,0 và x 0 bất

kì, ta có 1E x1 1 1A x hay , x 0 bất kì là vectơ riêng của cặp ma trận E A1, 1

Hiển nhiên, x 0 bất kì cũng là vectơ riêng của cặp ma trận E A2, 2 : 0 , 0 Vậy hai cặp ma trận E A1, 1 và E A2, 2 có vectơ riêng chung là, thí dụ, x 1 Tuy nhiên, 1 \ 0 0 \ 0 1 \ 0 được biểu diễn bởi chùm ma trận không suy biến 1 0

Định lí 2.2.3 dưới đây mở rộng Định lí 2.2.2 cho các không gian con giảm

Định lí 2.2.3 (Theorem 2.6, [5]) Cho E1\ A và 1 E2 \ A là các quan hệ ma 2

trận trên £ Giả sử n E A\ E2 \ A2 E1\ A là quan hệ ma trận tích của 1

2 1 1 2

EX S S% AX TT% Hơn nữa, nếu S S2 1% TT1 2% là chính qui thì range X là không gian con giảm bên phải của E A

Chứng minh Nếu E% và 1 A% thỏa mãn (2.2.2) thì theo Định lí 2.2.2 ta có thể sử 2

dụng E E E% và 1 2 A A A% để biểu diễn tích 2 1 E A\ E2 \ A2 E1\ A1 Thật vậy, theo Định lí 2.2.2 thì E2 \ A2 E1\ A1 E E%1 2 \ A A%2 1 E A\

Nhận xét 2.2.4 Nếu cả hai S1 và S2là các ma trận không suy biến hoặc cả hai T1

và T2 là các ma trận không suy biến thì có thể chọn ma trận S S2 1% TT1 2% là chính qui Tuy nhiên, có thể xảy ra trường hợp S S2 1% TT1 2% là chùm ma trận suy biến ngay cả khi cả hai S1 T1 và S2 T2 là chính qui

Ví dụ: Xét các ma trận 1-1 là S1 1 , T1 0 , S2 0 , T2 1 Trong trường hợp này S S%2 1 0 và T T%1 2 0

Điều kiện cần và đủ để S T là chính qui vẫn còn là một bài toán mở

2.2.2 Tổng hai quan hệ ma trận

Định nghĩa 2.2.2 Giả sử E1\ A và 1 E2 \ A là các quan hệ tuyến tính Quan 2

hệ tổng E1 \ A1 E2 \ A được định nghĩa bởi 2