Chuyên đề Hình chữ nhật (Oxy)

Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có diện tích bằng 12, tâm I là giao điểm của đường thẳng d1 và d2 Trung điểm của một cạnh là giao điểm của d1 với trục Ox. Tìm tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật

Bài 1 (Câu 21/4-50) Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có diện tích bằng 12, tâm I là giao điểm của đường thẳng d1:x  y 3 0 và

x y

Tương tự I cũng là trung điểm của BD nên ta có B 5;4

Vậy tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật là:       2;1 , 5;4 , 7;2 , 4; 1  

Bài 2 (Câu 25/5-53) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD

có đỉnh D 4;5 , điểm M là trung điểm cạnh AD, đường thẳng CM có phương trình:

C là giao điểm của AC và Oy C 0;4

Gọi B 0;b , phương trình AB: y b (Do AB vuông góc BCOy)

Có A là giao điểm của AB và AC 16 4 ,

Gọi E, F, G lần lượt là trung điểm các đoạn

thẳng CD, Bh, AB Ta chứng minh

AFEF

Ta thấy các tứ giác ADEG và ADFG nội

tiếp nên tứ giác ADEF cũng nội tiếp, do đó

Gọi D x y tam giác ADE vuông cân tại D nên  ; ,

Bài 5 (Câu 41/8-65) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD

có đường phân giác trong góc ABC đi qua trung điểm M của cạnh AD, đường thẳng

BM có phương trình: x  y 2 0, điểm D nằm trên đường thẳng  có phương

trình x  y 9 0. Tìm tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật ABCD biết đỉnh B có hoành độ âm và đường thẳng AB đi qua E1;2 

Giải

Kẻ đường thẳng đi qua E vuông góc BM

tại H và cắt AC tại E’

 H là trung điểm của EE’

Vì H là trung điểm EE’ E' 0;1 

Bài 6 (Câu 50/10-73) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD

có ABAD 2, tâm I1; 2   Gọi M là trung điểm cạnh CD, H2; 1 là giao điểm của hai đường thẳng AC và BM Tìm tọa độ các điểm A, B

Mà BACBCA90 MBCBCA90 ACBM

Đường thẳng BM đi qua H2; 1 , có vtpt IH 1;1

độ dương

Giải

Bài 8 (Câu 57/81, HSG- Lý Thái Tổ - Bắc Ninh – 2016) Trong mặt phẳng với hệ tọa

độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có E,F lần lượt thuộc các đoạn AB,AD sao cho

EB=2EA; FA=3FD; F(2,1) và tam giác CEF vuông tại F Biết đường thẳng

Gọi C(3t+9;t) với t>-3 (vì xc >0) Ta có: 2

Bài 9 (Câu 59/83, THPT DakMil – DakNong – 2016) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD có AB=2BC H là hình chiếu của A lên BD E,F là trung điểm của đoạn CD và BH Biết A(1,1) phương trình đường thẳng

EF:3x y 100 và điểm E có tung độ âm Tìm tọa độ B,C,D

;

5 5 5

E t

E t

Theo giả thiết ta được E(3;-1), phương trình AE x:   y 2 0

Gọi D(x;y), tam giác ADE vuông cân tại D nên:

Giải

F E

Bài 11 (Câu 61/84, THPT Hàn Thuyên - Bắc Ninh - Lần 1 – 2016) Trong mặt phẳng

với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có AD=3AB Điểm 31 17;

  là điểm

đối xứng của B qua đường chéo AC Tìm tọa độ của hình chữ nhật biết CD có

phương trình x y 100 và C có tung độ âm

Giải

B b

(x 4)  (y 1)  25 Xác định tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật ABCD biết phương trình đường thẳng CN là: 3x4y170; đường thẳng

BC đi qua điểm E 7;0 và điểm M có tung độ âm

+ Lập ptdt IM qua I và IM CN: 4(x 4) 3(y  1) 0 4x3y190

+ M là giao điểm (T) với IM: (7; 3)

Bài 18 (Câu 113/98) (Nguyễn Minh Tiến) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình chữ

nhật ABCD có điểm E thuộc tia đối của tia DC Đường tròn đường kính AE cắt đường chéo BD tại điểm thứ hai H 1;0 Gọi M là trung điểm EC, trung điểm K của BH thuộc đường thẳng ( ) :d x  y 4 0 và đường tròn đường kính AM có phương trình

2 Dễ thấy L là trung điểm BJ, suy ra LK // JH.

3 Mặt khác: JDH = 90 độ, nên LK vuông góc KD

4 Vậy K thuộc (J), suy ra tọa độ K là giao điểm (J) và (d)

5 Tìm được B, D là giao của (J) và BD

6 Tìm được L, suy ra AB, suy ra A

Bài 19 (Câu 118/101, THPT – Lý Thái Tổ - Bắc Ninh – Lần 2 - 2016) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có hình chiếu vuông góc của A lên đường thẳng BD là 6 7;

5 5

 , điểm M( 1;0) là trung điểm cạnh BC và phương

trình đường trung tuyến kẻ từ A của tam giác ADH có phương trình là 7x  y 3 0 Tìm tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật ABCD

H

A K

M N

Vậy tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật là: A(0;3), ( 2; 2), (0; 2), (2; 1).B  C  D 

Bài 20 (Câu 123/103, Nguyễn Thành Hiển) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có các điểm M và N thứ tự thuộc cạnh AB, BC sao cho

AM BC; CNBM Điểm H 7;1 thuộc đường thẳng AN, CM có phương trình

2x y 180và điểm A thuộc đường thẳng 2x  y 6 0 Tìm tọa độ điểm A

Hướng dẫn: Chứng minh hai đường thẳng AN và CM tạo với nhau một góc 0

45

Bài 21 (Câu 125/103, Nguyễn Thành Hiển) Trong mặt phẳng Oxy cho hình chữ nhật

ABCD Trên cạnh AB và AD lần lượt lấy E và F sao cho EB FA

EA FD Tìm tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật ABCD biết đường thẳng BD có phương trình x2y 8 0, đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF là

AD và điểm A có hoành độ nhỏ hơn 6

Hướng dẫn: Kẻ AH vuông góc BD, chứng minh rằng 0

F E

B(7;3) A

  và F(0; 1) Biết điểm D nằm trên

đường thẳng d x:   y 7 0.Tìm tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật ABCD

Giải

Vậy tọa độ điểm thỏa mãn yêu cầu bài toán là A( 1;1); (3;3); (6; 3); (2; 5)  B C  D 

Bài 24 (Câu 183/122, Phạm Tuấn Khải – 14-2015) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD nội tiếp đường tròn (C) Gọi M là trung điểm của cạnh AB, đường thẳng CM cắt đường tròn (C) tại E(0;2) Biết 10 1;

3 3

  là trọng tâm của tam

giác ABC, điểm F(2; 4)  nằm trên đường tròn (C) và đểm B có hoành độ dương Tìm tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật ABCD

Giải

G M

D

B

C A

Vậy tọa độ điểm thoả mãn bài toán là A( 1;0); (5;0); (6; 1); (0; 3)  B C  D 

Bài 25 (Câu 184/123, Phạm Tuấn Khải – 15-2015) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có điểm E nằm trên cạnh BC, phương trình đường tròn ngoại tiêp ABE là

D C

*Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABE có tâm 1;1

7

2 2

  thuộc đường thẳng BE Biết đường thẳng AC có

phương trình: x 5y  3 0và các điểm A, B có hoành độ nguyên dương Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C, D của hình chữ nhật

Giải

Trước hết ta chứng minh EBAC

Xét

2tan

32tan

3

EC EBC

BC

BC BAC

Vậy tọa độ điểm thỏa mãn yêu cầu đề bài là A(2; 1), (5; 4), (7; 2),  B C D(4; 1) 

Bài 27 (Câu 193/129, THPT – Lê Quý Đôn – Bình Định - 2015) Trong mặt phẳng tọa

độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có hình chiếu vuông góc của B trên đường thẳng

AC là E(5;0), trung điểm của AE và CD lần lượt là (0; 2), 3; 3

1

E

BE đi qua E và vuông góc EF nên có phương trình: 5x 2y 25  0

BBFBEnên tọa độ B thỏa mãn: 7 3 6 0 7 (7;5)

*Phương trình đường thẳng CD qua là: 2x 24y 39  0

Vậy phương trình đường thẳng thoả mãn yêu cầu bài toán là: CD: 2x 24y 39  0

Bài 28 (Câu 194/130, THPT – Lý Tự Trọng – Bình Định - 2015) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD nội tiếp đường tròn (C) tâm I(5; 2) Các tiếp tuyến của (C) tại B, D cắt tiếp tuyến của (C) tại C lần lượt tại M, N Trực tam giác AMN là điểm H(5; 1)  Diện tích tam giác AMN bằng 78 Tìm tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật ABCD biết C có tung độ âm và hoành độ của M và N đều dương (trong đó hoành độ của M lớn hơn hoành độ của N)

C thuộc AC nên C có tọa độ C(5; )c ( c 0).Vì I là trung điểm AC nên suy ra A(5; 4 c).

Đường thẳng MN qua C vuông góc AC nên có phương trình y c  0

*Vì M,N thuộc đường thẳng MN nên suy ra tọa độ M m c N n c( ; ), ( ; ) (m n 0)

.Do H là trực tâm tam giác AMN nên ta có AM HN 0 (1)

Theo tính chất tiếp tuyến ta có IM và IN lần lượt là phân giác của các góc

,

MIN  IM INIM IN (2)

Suy ra I là trung điểm BD nên suy ra 7; 4