Skkn Một số giải pháp khắc phục khó khăn cho học sinh khi giải bài toán tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng trong không gian

Nêu, phân tích và giải pháp khắc phục một số khó khăn mà học sinh thường gặp khi giải toán tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng trong không gian...6 2.5... Tên sáng kiến: “MỘT SỐ

MỤC LỤC

THÔNG TIN CHUNG VỀ SÁNG KIẾN 1

I Điều kiện, hoàn cảnh tạo ra sáng kiến 2

II Mô tả giải pháp 3

1.Thực trạng trước khi tạo ra sáng kiến 3

2 Mô tả giải pháp sau khi có sáng kiến: 3

2.1 Nêu vấn đề cần giải quyết: 3

2.2 Chỉ ra tính mới: 3

2.3 Sự khác biệt của giải pháp mới so với giải pháp cũ: 4

2.4 Cách thức thực hiện, các bước thực hiện của giải pháp một cách cụ thể, rõ ràng, cũng như các điều kiện cụ thể để áp dụng giải pháp 4

2.4.1: Chuẩn bị các kiến thức liên quan 4

2.4.2 Nêu, phân tích và giải pháp khắc phục một số khó khăn mà học sinh thường gặp khi giải toán tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng trong không gian 6

2.5 Nêu rõ khả năng áp dụng vào thực tế của giải pháp mới và mang lại lợi ích thiết thực 18

2.6 Giải pháp mới này còn có thể áp dụng cho đối tượng, cơ quan, tổ chức nào nữa không ? 18

III Hiệu quả do sáng kiến đem lại: 18

1 Hiệu quả về kinh tế: 18

2 Hiệu quả về mặt xã hội: 18

IV Cam kết không sao chép hoặc vi phạm bản quyền: 18

TÀI LIỆU THAM KHẢO 19

THÔNG TIN CHUNG VỀ SÁNG KIẾN

1 Tên sáng kiến:

“MỘT SỐ BIỆN PHÁP KHẮC PHỤC KHÓ KHĂN CHO HỌC SINH KHI GIẢI BÀI TOÁN TÌM GIAO ĐIỂM CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT

PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN”.

2 Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Sáng kiến được áp dụng trong giảng dạy môn

Toán nội dung Hình học không gian lớp 11cho đối tượng học sinh lớp 11

3 Thời gian áp dụng sáng kiến: Từ ngày 15 tháng 10 năm 2015 đến ngày 25

tháng 04 năm 2015

4 Tác giả:

Họ và tên : Lê Thị Hà

Năm sinh: 1985

Nơi thường trú: Thôn Ba Trung-Yên Minh-Ý Yên- Nam Định

Trình độ chuyên môn: Thạc sỹ

Chức vụ: Giáo viên

Nơi làm việc: Trường THPT Lý Nhân Tông

Điện thoại: 0979.054.196

Tỷ lệ đóng góp tạo ra sáng kiến: 100%

5 Đồng tác giả: Không có.

6 Đơn vị áp dụng sáng kiến kinh nghiệm:

Tên đơn vị: Trường THPT Lý Nhân Tông

Địa chỉ: Xã Yên Lợi- Huyện Ý Yên – Tỉnh Nam Định

Điện thoại: 03503 963 939

1 Giáo viên: Lê Thị Hà – THPT Lý Nhân Tông

BÁO CÁO SÁNG KIẾN

I Điều kiện, hoàn cảnh tạo ra sáng kiến

Nội dung hình học không gian thường xoay quanh ba đối tượng điểm, đường thẳng, mặt phẳng Mở đầu nội dung hình học không gian chương II trong sách giáo khoa hình học lớp 11 ban cơ bản đã trình bày “Đại cương về đường thẳng và mặt phẳng” Mặt khác hầu hết các bài toán hình học không gian đều liên quan đến hai đối tượng này Do vậy nếu học sinh thành thạo giải bài toán tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng trong không gian thì sẽ góp phần giải quyết được rất nhiều bài toán hình học không gian khác như: bài toán tìm giao tuyến, bài toán tìm thiết diện, bài toán liên quan đến khoảng khoảng cách, bài toán phân chia

và lắp ghép khối đa diện,… Như vậy nội dung của bài toán là một trong những nội dung cơ sở, nội dung mở đầu của hình học không gian, nên nó đóng vai trò quan trọng trong hình học không gian Nếu học sinh không thành thạo bài toán này sẽ dẫn đến sự lúng túng khi học các nội dung tiếp theo (chẳng hạn như không vẽ được hình, không xác định được giao tuyến, thiết diện, )

Bài toán tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng không phải là bài toán khó trong mảng hình học không gian, nhưng không phải học sinh nào cũng thành thạo bài toán này Trong quá trình dạy học và quan sát học sinh giải bài toán tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng tác giả thấy các em còn mắc phải một số khó khăn như: khả năng tưởng tượng hình không gian chưa tốt, chưa

có con đường rõ ràng để chỉ ra mặt phẳng phụ chứa đường thẳng và cắt mặt phẳng theo giao tuyến nào đó, chưa biết cách quan sát và kiểm tra một đường thẳng có thuộc một mặt phẳng hay không … Bên cạnh đó các em còn có tâm lí tránh né các câu hình trong các bài kiểm tra cũng như trong các đề thi tập trung Nguyên nhân của thực trạng này là do các em không có kiến thức nền tảng vững chắc về hình học không gian, chưa có phương pháp tư duy phù hợp, khả năng tư duy trừu tượng

và tưởng tượng hình không gian của các em chưa tốt,… Thêm vào đó là còn một

số giáo viên có quan niệm chỉ tập trung dạy phần Đại số và giải tích mà coi nhẹ phần Hình học Với lí do phần Đại số và giải tích chiếm nhiều điểm hơn phần Hình học trong các đề thi, và cho rằng học sinh khó lấy điểm nội dung Hình học hơn là nội dung Đại số và giải tích, dẫn đến việc các em ít được rèn luyện nội dung này

Từ điều kiện hoàn cảnh như vậy tác giả đã nảy sinh sáng kiến: “Một số giải pháp khắc phục khó khăn cho học sinh khi giải bài toán tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng trong không gian” Với mong muốn giúp các em giảm bớt khó khăn khi bắt đầu làm quen với nội dung hình học không gian Tác giả hy vọng rằng sáng siến kinh nghiệm của bản thân sẽ góp một phần nhỏ để nâng cao chất lượng giảng dạy môn Toán cho nhà trường nói riêng và cho các em học sinh nói chung Từ đó góp phần nhỏ bé của mình nâng cao chất lượng giáo dục toàn diện của trường THPT Lý Nhân Tông nói riêng của tỉnh Nam Định nói chung

2 Giáo viên: Lê Thị Hà – THPT Lý Nhân Tông

II Mô tả giải pháp.

1 Thực trạng trước khi tạo ra sáng kiến.

Khi hướng dẫn học sinh giải bài toán tìm giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng ( ) các giáo viên thường hướng dẫn học sinh làm theo hai cách:

Cách 1: Tìm trong ( ) một đường thẳng d' cắt d tại I Khi đó điểm I chính

là giao điểm của d và ( )

Cách 2: Tìm một mặt phẳng phụ ( ) chứa d'và cắt ( ) theo giao tuyến  Sau đó tìm giao điểm I của d và  Điểm I chính là giao điểm của d và ( ) Trong quá trình giảng dạy, bên cạnh việc nêu phương pháp giải thì việc nhận xét,dự đoán các khó khăn, những sai sót mà học sinh trong quy trình giải toán là việc rất cần thiết

Bản thân tác giả cũng hướng dẫn học sinh giải bài toán này theo hai cách trên, đồng thời tiến hành quan sát trong quá trình giải toán của học sinh và rút ra những nhận xét sau:

Ưu điểm của giải pháp này là: Học sinh dễ hiểu và dễ ghi nhớ Cả hai cách đều quy về tìm giao điểm của hai đường thẳng trong cùng một mặt phẳng, điều này rất quen thuộc khi các em học trong hình học phẳng

Nhược điểm của giải pháp này là:

Trong cách 1: Học sinh gặp khó khăn khi tìm và phát hiện ra đường thẳng '

d , đôi khi còn ngộ nhận d' ( tức là học sinh chỉ ra một đường thẳng d' cắt d nhưng thực tế d' không cắt d )

Trong cách 2: Học sinh gặp khó khăn khi tìm và phát hiện ra mặt phẳng ( ) .

Như vậy hướng dẫn học sinh khắc phục một số khó khăn khi giải bài toán

tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng là rất cần thiết

2 Mô tả giải pháp sau khi có sáng kiến:

2.1 Nêu vấn đề cần giải quyết:

Trong báo cáo sáng kiến, tác giả xin trình bày giải pháp để khắc phục một số khó khăn thường gặp của học khi giải bài toán tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng

2.2 Chỉ ra tính mới:

Báo cáo chỉ rõ và hướng dẫn cho học sinh cách khắc phục một số khó khăn thường gặp khi giải bài toán tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng đó là:

3 Giáo viên: Lê Thị Hà – THPT Lý Nhân Tông

-Học sinh hiểu và tìm được đường thẳng d', tránh ngộ nhận d' trong cách 1.

-Học sinh hiểu và tìm được mặt phẳng () trong cách 2

2.3 Sự khác biệt của giải pháp mới so với giải pháp cũ:

Trong giải pháp cũ học sinh không được chỉ ra khó khăn và cách khắc phục khó khăn trong quá trình giải toán tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng Còn trong báo cáo này tác giả đưa ra việc chú trọng làm rõ và hướng dẫn học sinh giải quyết một số khó khăn trong quy trình giải toán tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng, góp phần giúp các em tự tin trong quá trình giải toán hình học không gian

2.4 Cách thức thực hiện, các bước thực hiện của giải pháp một cách cụ thể,

rõ ràng, cũng như các điều kiện cụ thể để áp dụng giải pháp.

2.4.1: Chuẩn bị các kiến thức liên quan.

*Một số tính chất thừa nhận:

 Tính chất 1: Có một và chỉ một đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt

 Tính chất 2: Có một và chỉ một mặt phẳng đi qua ba điểm phân biệt không thẳng hàng

 Tính chất 3: Nếu một đường thẳng có hai điểm phân biệt cùng thuộc một mặt phẳng thì mọi điểm của đường thẳng đều thuộc mặt phẳng

 Tính chất 4: Nếu hai mặt phẳng có một điểm chung thì chúng còn có một điểm chung khác nữa

Từ đó suy ra: Nếu hai mặt phẳng có một điểm chung thì chúng có một đường thẳng chung đi qua điểm chung đó Đường thẳng chung đó gọi là giao tuyến của hai mặt phẳng Mọi điểm chung của hai mặt phẳng đều nằm trên giao tuyến của hai mặt phẳng

*Một số cách xác định một mặt phẳng:

 Mặt phẳng được hoàn toàn xác định khi biết nó đi qua ba điểm không thẳng hàng

 Mặt phẳng được hoàn toàn xác định khi biết nó đi qua một điểm và chứa một đường thẳng không đi qua điểm đó

 Mặt phẳng được hoàn toàn xác định khi biết nó chứa hai đường thẳng cắt nhau

 Mặt phẳng được hoàn toàn xác định khi biết nó chứa hai đường thẳng song song

4 Giáo viên: Lê Thị Hà – THPT Lý Nhân Tông

*Vị trí tương đối của hai đường thẳng trong không gian:

Cho hai đường thẳng a và b trong không gian Khi đó có thể xảy ra một trong hai trường hợp:

 Trường hợp 1: Có một mặt phẳng chứa a và b

Ta nói a và b đồng phẳng, và có ba khả năng xảy ra: a và b cắt nhau, a và

bsong song, a trùng với b

 Trường hợp 2: Không có một mặt phẳng nào chứa a và b.Ta nói a và b

chéo nhau

*Một số các định lí và hệ quả:

Định lí 1: Trong không gian, qua một điểm không nằm trên đường thẳng cho

trước, có một và chỉ một đường thẳng song song với đường thẳng đã cho

Định lí 2 ( về giao tuyến của ba mặt phẳng): Nếu ba mặt phẳng phân biệt đôi một

cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyến ấy hoặc đồng quy hoặc đôi một song song với nhau

Hệ quả: Nếu hai mặt phẳng phân biệt lần lượt chứa hai đường thẳng song song thì

giao tuyến của chúng (nếu có) cũng song song với hai đường thẳng đó hoặc trùng với một trong hai đường thẳng đó

Định lí 3: Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với đường thẳng thứ ba thì

song song với nhau

Định lí 4: Nếu đường thẳng d không nằm trong mặt phẳng ( ) và dsong song với đường thẳng d' nằm trong ( ) thì dsong song với ( )

Định lí 5: Cho đường thẳng a song song với mặt phẳng ( ) Nếu mặt phẳng ( ) chứa avà cắt ( ) theo giao tuyến b thì b song song với ( )

Hệ quả: Nếu hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thì

giao tuyến của chúng (nếu có) cũng song song với đường thẳng đó

Định lí 6: Nếu mặt phẳng ( ) chứa hai đường thẳng cắt nhau a, bvà a, b cùng song song với mặt phẳng ( ) thì ( ) song song với ( )

Định lí 7: Cho hai mặt phẳng song song Nếu một mặt phẳng cắt mặt này thì cũng

cắt mặt phẳng kia và hai giao tuyến song song với nhau

5 Giáo viên: Lê Thị Hà – THPT Lý Nhân Tông

2.4.2 Nêu, phân tích và giải pháp khắc phục một số khó khăn mà học sinh thường gặp khi giải toán tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng trong không gian.

a) Khó khăn thứ nhất: Học sinh lúng túng không biết với bài toán cụ thể thì nên

dùng theo cách 1 hay cách 2

Sở dĩ các em gặp khó khăn này là do các em chưa phân biệt được khi nào thì nên làm theo cách 1 và khi nào thì nên làm theo cách 2 Để khắc phục khó khăn này giáo viên có thể gợi ý cho các em: Hãy quan sát trong mặt phẳng ( ) , nếu có ngay đường thẳng d' thì ta dùng cách 1 còn nếu không có d' thì ta chuyển sang cách 2 Ở đây lại đặt ra vấn đề là hướng dẫn các em nên quan sát như thế nào để tránh ngộ nhận hình? Vì thực tế có nhiều học sinh chỉ ra đường thẳng d' chưa đúng?

Tác giả xin nêu ra giải pháp cho khó khăn này như sau:

Thứ nhất : Giáo viên cần nhấn mạnh hai đặc điểm của đường thẳng d’ là : d’ nằm

trong mặt phẳng ( ) và d' cắt d

Thứ hai : Nếu một đường thẳng có hai điểm nằm trên một mặt phẳng thì đường

thẳng nằm trong mặt phẳng Từ đó HS chỉ cần nối hai điểm sẵn có hoặc những điểm đặc biêt như trung điểm của đoạn thẳng ,… trong mặt phẳng ( ) thì sẽ có được một số đường thẳng nằm trong mặt phẳng ( )

Thứ ba : d' và d cắt nhau tức là hai đường thẳng này phải cùng nằm trên một mặt phẳng

VD1 : Cho tứ diện ABCD,gọi M,N lần lượt là các điểm nằm trên các cạnh

AB,AC của tứ diện sao cho MN không song song với BC Tìm giao điểm của đường thẳng MN với mặt phẳng (BCD)

Phân tích bài toán: Trong mặt phẳng (BCD) sẵn có các điểm B,C,D Nối hai điểm

trong ba điểm này ta có một số đường thẳng sẵn có trong mặt phẳng (BCD) là: BC,BD,CD Trong ba đường thẳng này chỉ có BC thuộc cùng mặt phẳng (ABC)

6 Giáo viên: Lê Thị Hà – THPT Lý Nhân Tông

với MN, mặt khác theo giả thiết BC và MN không song song với nhau nên BC cắt

MN Vậy BC chính là đường thẳng d'

Lời giải:

Trong (ABC) có: MN không song song với BC nên ta gọi MN cắt BC tại I

I MN

I MN

I MN BCD

I BCD

I BC













VD2: Cho tứ diện ABCD, gọi K là trung điểm của AD, G là trọng tâm của tam

giác ABC Tìm giao điểm của GK và mặt phẳng (BCD)

Phân tích bài toán:

Trong mặt phẳng (BCD) sẵn có các điểm B, C, D Nối hai điểm trong ba điểm này

ta có một số đường thẳng sẵn có trong mặt phẳng (BCD) là: BC, BD, CD Trong

ba đường thẳng này không có đường thẳng nào đồng phẳng với GK Nhưng theo giả thiết G là trọng tâm của tam giác ABC nên chúng ta có thể nghĩ đến điểm đặc biệt ở đây là trung điểm M của BC Nối M với D ta có thêm đường thẳng MD của mặt phẳng (BCD) Nhận thấy MD và GK cùng thuộc mặt phẳng (AMD) và

AG AK

GM KD do đó GK và MD cắt nhau Vậy MD chính là đường thẳng d'

Lời giải: Gọi M là trung điểm của BC.Trong (AMD) có :

AG AK

GM KD nên ta gọi

MD cắt GK tại I

I GK BCD





*Khó khăn thứ hai là: Khi học sinh đã xác định làm theo cách 2 thì học sinh lại

gặp khó khăn khi đi tìm mặt phẳng ( ) , các em cũng thường mắc phải lỗi ngộ nhận hình vẽ

Biện pháp khắc phục: Giáo viên gợi ý cho học sinh nhớ lại một số cách xác định mặt phẳng:

- Hai đường thẳng song song hoặc cắt nhau xác định một mặt phẳng

7 Giáo viên: Lê Thị Hà – THPT Lý Nhân Tông

I

G

M

K

B

D

C A

- Ba điểm phân biệt không thẳng hàng xác định một mặt phẳng.

- Một điểm và một đường thẳng không đi qua nó xác định một mặt phẳng

Từ đó có thể hướng dẫn học sinh tìm mặt phẳng ( ) bằng một trong các cách sau:

Cách 1: Chúng ta quan sát xem d có thể cắt hoặc song song với những đường thẳng d' nào thì mặt phẳng chứa d và d' có thể là mặt phẳng ( )

Cách 2: Tìm những cặp đường thẳng a và b cắt nhau hoặc song song lần lượt chứa hai điểm của đường thẳng d Khi đó mặt phẳng ( ) có thể là mặt phẳng chứa

a và b

Cách 3: Chúng ta chú ý đến hai điểm nằm trên d chẳng hạn hai điểm A và B Sau

đó quan sát tiếp một trong hai điểm đó có nằm trên đường thẳng a nào đó không

(Ví dụ A thuộc a) Khi đó mặt phẳng ( ) có thể là mặt phẳng chứa a và B.

VD3: Cho tứ diện ABCD, gọi K là trung điểm của AD, G là trọng tâm của tam

giác ABC Tìm giao điểm của GK và mặt phẳng (BCD)

Phân tích và hướng dẫn học sinh tìm lời giải:

Trước hết chúng ta cần quan tâm xem GK có thể nằm trên mặt phẳng nào?

Cách 1: Quan sát GK có thể song song hoặc cắt những đường thẳng nào?

Dễ thấy GK có thể cắt các đường thẳng như: AD, BN,AM,CP

-Nếu ta kết hợp GK với AM hoặc AD thì ta có được mp (AMD) chứa GK và cắt (BCD) theo giao tuyến DM Từ đó giao điểm của MD với GK chính là giao điểm của đường thẳng GK với (BCD)

-Nếu ta kết hợp GK với CP thì ta mặt phẳng (CPK) chứa GK chứa PK//BD nên cắt (BCD) theo giao tuyến  đi qua C và song song với BD  cắt GK tại I thì I

là giao điểm của GK với mp(BCD)

8 Giáo viên: Lê Thị Hà – THPT Lý Nhân Tông

G

I

N

K P

M

B

D

C

A

I

G P

M

K

B

D

C A

-Nếu ta kết hợp GK với BN thì ta được mặt phẳng (BNK) chứa GK, chứa NK//CD nên cắt (BCD) theo giao tuyến  đi qua B và song song với CD  cắt

GK tại I thì I là giao điểm của GK với mp(BCD)

Cách 2: Dựa vào hai đường thẳng song song hoặc cắt nhau lần lượt chứa hai điểm

của đường thẳng GK để xác định mặt phẳng ( )

Phân tích và tìm lời giải:

Ta có K là trung điểm của AD như vậy K thuộc đường thẳng AD, G là trọng tâm của tam giác ABC nên G có thể thuộc các đường trung tuyến AM,BN,CP của tam giác ABC Nhưng trong ba đường AM,BN,CP thì chỉ có đường thẳng AM là cắt đường thẳng AD do đó chúng xác định một mặt phẳng đó là mặt phẳng (AMD), hai đường thẳng còn lại thì không đồng phẳng với đường thẳng AK Vậy GK nằm trên mặt phẳng (AMD) Mặt phẳng (AMD) chứa đường thẳng DM của mặt phẳng (BCD) Tiếp theo chúng ta xét xem hai đường thẳng GK và DM có thể cắt nhau được không? Do tỉ số 2 1

GM   DK nên DM cắt GK tại I Vậy I chính là giao

điểm của GK với (BCD)

9 Giáo viên: Lê Thị Hà – THPT Lý Nhân Tông

G

I

N

K P

M

B

D

C A

I

G

M

N K

D

C A

B