Cho lăng trụ ABC.A ' B ' C ' có đáy là tam giác đều cạnh a, hình chiếu vuông góc của A' lên mặt phẳng ABC trùng với tâm O của tam giác ABC.. Một mặt phẳng P chứa BC và vuông góc với AA' [r]
Trang 1Bài 1:
Cho k chóp S.ABC Trên ba SA; SB; SC l lt l ba A'; B'; C' (không trùng S) G( V và V' t là tích k chóp S.ABC;S.A ' B ' C ' Ch-ng minh r.ng: V ' = SA ' ⋅ SB ' ⋅ SC '
V SA SB SC
1
2
0 chóp S.ABCD có 1 là hình bình hành, M là trung i c6 SC 47 ph8ng (P) qua AM, song song v<i BD chia chóp thành hai ph Tính > s tích hai ph ó
a3 2 a 6
Cho hình chóp t- giác ?u có các cnh .$ a: S.ABCD
a) Tính th tích chóp
b) Tính kho@ng cách A tâm 7 1 C các 7 c6a hình chóp
3
45
0 chóp S.ABCD có 1 là hình vuông cnh a SA ⊥ (ABCD ) ; SA = 2a '( E; F là hình chiCu c6 A trên SB và SD I là giao c6 SC và (AEF) Tính th tích k chóp S.AEIF
Cho Gng trH -$ ABC.A1B1C1 1 là tam giác ?5 47 8ng (A1BC) t v<i 1 I góc 300
và
ΔA1BC có LM tích .$ 8 Tính tích k lG$ trH
3 5
10
0 Gng trH ABC.A1B1C1 có 1 là tam giác vuông cân, cnh 5 ? AB = 2 47 8ng (AA1B)
vuông góc v<i 7 ph8ng (ABC) ,
k lGng trH
AA1 = 3 ; ∠A1AB nh( ∠ ( (A1AC); (ABC) ) = 600 Tính tích
0 G$ trH t- giác ?u ABCD.A1B1C1D1 có kho@ng cách giOa hai Png t8$ AB và A1D b.$ 2; I dài Png chéo 7 bên b.$ 5
a) H AK ⊥ A1D (K ∈ A1D ) -ng minh r.ng AK = 2
b) Tính th tích G$ trH ABCD.A1B1C1D1
17
Cho hình - LM ABCD có c AD vuông góc v<i 7 ph8ng (ABC); AC = AD = 4cm ; AB = 3cm ;
BC = 5cm Tính kho@ng cách A A t<i 7 8$ (BCD)
16
Cho hình chóp tam giác ?u S.ABC > S, I dài cnh 1 b.ng a '( M và N lt là các trung m c6 các cnh SB và SC Tính theo a LM tích tam giác AMN, C .$ 7 ph8$ (AMN) vuông góc v<i 7 8$ (SBC)
Cho hình chóp S.ABC có SA = 3a và SA vuông góc v<i m7 ph8$ (ABC) Tam giác ABC có AB = BC = 2a, góc ABC b.$ 1200 Tính kh@ng cách A > A C 7 ph8ng (SBC)
21
7
Hình chóp S.ABCD có 1 ABCD là hình vuông a, tam giác SAB ?5 và trong m7 8$ vuông
Trang 22 57a 3 3a3
Cho hình chóp tam giác S.ABC có áy ABC là tam giác ?u c a, SA = 2a và SA vuông góc v<i m7t 8$ (ABC) '( M và N t là hình chiCu vuông góc c6 A trên các Png 8$ SB và SC
a) Tính kho@ng cách A A C 7 ph8ng (SBC)
b) Tính th tích c6 chóp A.BCNM
3 2 12
Hình chóp tam giác S.ABC có các cnh bên SA = SB = SC = a ; ∠ASB = 1200
; ∠BSC = 600
;
∠ASC = 900 -$ minh r.$ tam giác ABC vuông và tính th tích hình chóp S.ABC theo a
Cho hình chóp - giác ?5 S.ABCD Kho@$ cách tA A C 7 p8$ (SBC) b.$ 2a Góc $O các m7 bên và 7 1 là α
a) Tính th tích chóp theo a va α
b) Xác Znh α tích chóp nh[
3 2 36
Cho hình chóp S.ABCD có 1 ABCD là hình chO nh\ v<i AB = a ; AD = a 2 ; SA = a và SA vuông góc v<i 7 8$ (ABCD) G( M và N t là trung c6a AD và SC; I là giao c6 BM và AC a) Ch-ng minh r.$ m7 8$ (SAC) vuông góc v<i 7 8$ (SMB)
b) Tính th tích c6 - LM ANIB
3
; d =2a 5
Cho hình lGng trH -$ ABC.A'B'C' có 1 ABC là tam giác vuông t B, AB = a ; AA ' = 2a ; A ' C = 3a '( M là trung c6a 8$ A'C', I là giao c6 AM và A'C
a) Tính theo a th tích khi - LM IABC
b) Kho@ng cách A A C 7 ph8ng (IBC)
5
Cho hình chóp S.ABCD có 1 ABCD là hình thang vuông t A và D; AB = AD = 2a ; CD = a ; góc giOa hai 7 8ng (SBC) và (ABCD ) .$ 600 '( I là trung c6 cnh AD C hai 7 8$ (SBI)
và (SCI) cùng vuông góc v<i 7 ph8ng (ABCD), tính tích k chóp S.ABCD theo a
9a3
208
Cho hình Gng trH tam giác ABC.A'B'C' có BB' = a, góc giOa Png 8ng BB' và 7 ph8$ (ABC) b.$
600; tam giác ABC vuông C và ∠BAC = 600 Hình chiCu vuông góc c6 m B' lên 7 8$ (ABC) trùng v<i tr(ng tâm c6 tam giác ABC Tính th tích k - diMn A'ABC theo a
Trong không gian cho hình chóp tam giác ?5 S.ABC có SC = a 7 Góc b^i (ABC) và (SAB) .$
600 Tính tích k chóp S.ABC theo a
6
Trong không gian cho hình chóp S.ABCD v<i ABCD là hình thoi nh a, góc ∠ABC = 600
SO vuông góc
a 3
v<i 1 (O là tâm 7 1y), SO = M là trung c6a AD, (P) là 7 8ng qua BM và song song
2
v<i SA, ` SC t K Tính tích kh chóp K.ABCD
Lop12.net
Trang 32
Cho hình chóp S.ABC có 1 ABC là tam giác ?5 c a, nh bên SA vuông góc v<i áy (ABC) Tính
a 6
kho@$ cách A A C mp(SBC) theo a, biC SA =
2
10
Cho hình chóp S.ABCD có áy là hình O \3 AD = a 2; CD = 2a nh SA vuông góc 1 và
SA = 3 2a '( K là trung AB
a) Ch-ng minh r.$ (SAC) vuông góc v< (SDK)
b) Tính th tích chóp C.SDK theo a; Tính @$ cách A K C (SDC)
3
6 12
Cho hình chóp S.ABCD có áy ABCD là hình vuông a 47 8ng (SAC) vuông góc v<i 1y,
∠ASC = 900 ; SA t v<i 1 I góc 600 Tính tích k chóp
3 3 12
Cho lG$ tH ABC.A ' B ' C ' có 1 là tam giác ?u c a, hình C5 vuông góc 6 A' lên 7 ph8ng (ABC) trùng v<i tâm O c6a tam giác ABC 4I m7 8ng (P) ch- BC và vuông góc v<i AA' c` lG$ tH theo I C LM có diM tích a 2 3
8 Tính tích k G$ trH
a3
16
Hình chóp S.ABC có AB = AC = a; BC = a ; SA = a 3; ∠SAB = ∠SAC = 300
2
Tính tích c6 chóp theo a
a 3 a3 3
Cho hình chóp - giác ?5 S.ABCD c 1 b.$ a '( G là tr(ng tâm tam giác SAC và kho@$ cách
a 3
A G C 7 bên (SCD) b.$
6
a) Tính kho@ng cách A tâm 6 7 áy C 7 bên (SCD)
b) Tính th tích chóp S.ABCD
36
Cho hình chóp S.ABC có Png cao AB = BC = a; AD = 2a , 1 là tam giác vuông cân P '( B' là trung m c6a SB; C' là chân Png cao tA A x5$ SC
a) Tính th tích chóp ABC.A ' B ' C '
b) Ch-ng minh r.$ A ' ABC
c) Tính th tích k chóp S.AB ' C '
a3 2 a 7
Cho lG$ trH -$ ABC.A ' B ' C ' có 1 là tam giác vuông, AB = BC = a , cnh bên AA ' = a 2 '( M là trung m c6a c BC
a) Tính theo a th tích c6 k G$ trH ABC.A ' B ' C '
b) Tính kho@ng cách giO hai Png th8$ AM và B'C
3
; cos ϕ = 5
Trang 43
Cho hình chóp S.ABCD có 1 ABCD là hình thang
3
∠BAD = ∠ABC = 900
; AB = BC = a; AD = 2a SA vuông góc v<i 1 và SA = 2a '( M; N l t là trung c6 SA; SD Tính tích kh chóp S.ABCD và chóp S.BCNM
Cho Gng trH ABC.A ' B ' C ' có I dài c bên .ng 2a, 1 ABC là tam giác vuông t A,
AB = a; AC = a 3 và hình chiCu vuông góc 6 A' trên (ABC) là trung c6 cnh BC Tính theo a th tích k chóp A '.ABC và cosin c6a góc giO hai Png 8$ AA' và B'C'
3 3 96
Cho hình chóp S.ABCD có 1 là hình vuông cnh a, 7 bên SAD là tam giác ?u và n.m trong 7 8ng vuông góc v<i 1 '( M; N; P lt là trung c6a các c SB; BC; CD Ch-$ minh AM vuông góc v< BP và tính t tích kh - LM CMNP
3
bG$ trH -ng ABC.A1B1C1 có AB = a; AC = 2a; AA1 = 2a 5 và ∠BAC = 1200
G(i M là trung i c6a
cnh CC1 Ch-$ minh r.ng MB ⊥ MA1 và tính k@$ cách d A A C 7 8$ (A1MB)
3 13a
13
Cho hình chóp S.ABC có góc giO hai m7 8$ (SBC) và (ABC) .$ 600
Các tam giác ABC và SBC là các tam giác ?5 c a Tính theo a kh@$ cách A > B C m7 8$ (SAC)
2a3
27
Cho hình chóp S.ABCD có 1 ABCD là hình vuông tâm O, SA vuông góc v<i 1y Cho
AB = a; SA = a 2 '( H và K l lt là hình C5 c6 A lên SB; SC Ch-ng minh SC ⊥ (AHK ) và tính
tích k chóp OAHK
3 6 12
Trong
cho AC = R Trên Png t8$ vuông góc v<i (P) t A S sao cho ∠ (SAB, SBC) = 60o '( H, K
t là hình chiC5 c6 A trên SB, SC Ch-ng minh ΔAHK vuông và tính VSABC?
3 3 12
bG$ trH -ng ABC.A1B1C1 có 1 là tam giác vuông AB = AC = a; AA1 = a 2 '( M; N l lt là trung m c6a AA1 và BC1 -$ minh .$ MN là vuông góc chung 6 AA1 và BC1 Tính tích k chóp MA1BC1
30
Cho Gng trH -$ ABCA1B1C1 có t c@ các cnh ?5 .$ a M là trung c6 n AA1 -$ minh
BM ⊥ B1C và tính d(BM;B
1 C)
4
Cho hình chóp t- giác ?5 S.ABCD có áy là hình vuông c a E là x-$ c6 D qua trung
SA, M là trung c6 AE, N là trung c6 BC Ch-ng minh MN vuông góc v<i BD và tính kho@ng cách giOa MN và AC (theo a)
Lop12.net
Trang 5π
3
Cho hình chóp S.ABCD có 1 là hình thang; ∠ABC = ∠BAD = 900
; AD = 2a ; BA = BC = a bên
SA vuông góc v<i 1 và SA = a 2 '( H là hình C5 vuông góc c6 A trên SB
a) Ch-ng minh r.$ tam giác SCD vuông
b) Tính kho@ng cách A H C 7 ph8ng (SCD )
36
Cho hình chóp S.ABC mà g 7 bên là I tam giác vuông SA = SB = SC = a G( M; N; E l t là trung m c6a các cnh AB; AC; BC D là x-$ c6 S qua E; I là giao c6a AD và (SMN) a) Ch-ng minh r.$ AD ⊥ SI
b) Tính theo a th tích khi - LM M.BSI
3
16
Cho hình hIp -$ ABCD.A ' B ' C ' D ' có các cnh AB = AD = a; AA ' = a 3
2 và góc ∠BAD = 600 G(i
M và N lt là trung c6 A'D' và A'B' Ch-$ minh AC' vuông góc v<i m7 ph8ng (BDMN) Tính
tích k chóp A.BDMN
3
27
Hình chóp S.ABCD có 1 ABCD là hình O \ v<i AB = a; AD = 2a ; c SA vuông góc v<i 1 3
c SB v<i 7 ph8ng 1 góc 600
Trên c SA M sao cho
SD N Tính tích khi chóp S.BCNM
AM = a 3 , 7 ph8$ (BCM) c`
3
3
18
Cho hình chóp S.ABCD có 1 ABCD là hình thoi a Góc ∠BAD = 600 SA vuông góc v<i 7 8$ (ABCD), SA = a '( C' là trung SC, 7 ph8ng (P) qua AC' và song song v<i BD, c` các c SB, SD c6 hình chóp t t B', D' Tính th tích c6 kh chóp S.AB'C'D'
a
a 2
; VA '.BB ' C ' C = 3b
2 − a 2
6
Cho hình lGng trH ABC.A ' B ' C ' có A ' ABC là hình chóp tam giác ?53 c 1 AB = a , cnh bên
AA ' = b '( α là góc giO hai 7 8ng (ABC) và (A'BC) Tính tan α và tích k chóp A ' BB ' C ' C
3 a 2 −16b2
Cho hình chóp - giác ?5 S.ABCD c 1 b.ng a '( SH là Png cao c6a hình chóp Kho@ng cách
A trung I c6 SH C 7 8$ (SBC) .ng b Tính th tích k chóp S.ABCD
3
; V2 = 3
2a3 3
Cho hình \ phhng ABCD.A ' B ' C ' D ' có cnh .ng a và K 5I cnh CC' sao cho: CK = 2a
3
47 8$ (α) qua A, K và song song v<i BD, chia \ phhng thành hai diMn Tính tích c6 hai kh LM ó
(dvtt ); Sxq = 3a
2
Cho I hình H tròn xoay và hình vuông ABCD cnh a có hai > liên C A; B n trên Png tròn 1
- 3 hai > còn trên Png tròn 1 - hai c6 hình H 47 8$ (ABCD) t v<i áy hình trH góc 450 Tính LM tích xung quanh và tích c6 hình trH
Trang 6a 2
; V = πa3
; VO.O.AB = a
3 3
12 (dvtt )
Cho hình trH có hai 1 là hai hình tròn tâm O và O' Bán kính 1 .$ chi?5 cao và .$ a Trên Png tròn 1 tâm O A, trên Png tròn 1 tâm O' B sao cho AB = 2a
a) Tính diMn tích toàn ph c6 hình trH và tích c6a H
b) Tính th tích t- LM OO'AB
Cho hình chóp cH tam giác ?u ng C I hình c5 bán kính r cho tr< Tính tích k chóp cH
C .ng cnh 1 l<n g p # c áy [ (Hình chóp ngo C hình 5 C5 hình cu tC xúc v<i c@ các m7 c6 hình chóp)
Bài 52:
Bài 53:
Bài 54:
Cho hình chóp tam giác ?5 S.ABC I dài cnh bên b.ng a Các 7 bên hp v<i 7 ph8ng áy I góc α Tính tích kh c5 I C hình chóp
Cho hình chóp S.ABCD Hai 7 bên (SAB) và (SAD) cùng vuông góc v<i 7 1 láy ABCD là t- giác
I C trong Png tròn tâm O, bán kính R Xác Znh tâm và tính tích kh c5 ng C hình chóp S.ABCD biC SA = h
Hình cu Png kính AB = 2R L y H trên AB sao cho AH = x, (0 < x < 2R ) 47 8ng (P) vuông góc v<i AB t H c` 7 c5 theo giao tuyCn là hình tròn (C), MNPQ là hình vuông I C trong hình tròn giao tuyC (C)
a) Tính bán kính P$ tròn giao 5 C tính I dài MN; AC
b) Tính th tích diM b^i hai hình chóp A.MNPQ vàB.MNPQ
Đáp số: a) r = x (2R − x ); MN = r 2 =
2x (2R − x ); AC = 4R 3
2Rx
b) V =− x 2 + x; Vmax = , ( x = R )
4πa 4
3a 2 − b2
Cho - diMn ABCD có AB = BC = AC = BD = a ; AD = b Hai m7 ph8ng (ACD) và (BCD) vuông góc v<i nhau
a) Ch-ng minh tam giác ACD vuông
b) Tính diMn tích 7 cu n$ C - diM ABCD
Bài 56:
a
Hình chóp t- giác ?5 S.ABCD c áy .$ a, tâm 1 là O; chi?5 cao SH =
2
a) CMR n 7 c5 tâm O tiC xúc v<i c@ các 7 bên c6 hình chóp Tính bán kính c6 7 c5 b) (P) là mp // v<i (ABCD) và cách (ABCD) I kho@$ x (0 < x < R ) Std là LM tích thiC LM b^i (P)
và hình chóp (b[ ph diM tích trong 7 cu) Xác Z x Std = πR 2
Đáp số: a) R = ; b) Std = (4 + π) x 2 − 4ax +8 − πa 2 = πa 2 ⇒ x = 4 − π a
; V =
Cho hình chóp - giác ?u S.ABCD c 1 và chi?u cao cùng b.ng a '( E; K lt là trung c6 các cnh AD và BC
a) Tính diMn tích xung quanh c6a 7 c5 ngo C hình chóp S.EBK
b) Tính th tích c6 c5 ngo C hình chóp S.EBK
9
Cho hình chóp - giác ?5 S.ABCD, cnh 1 có I dài b.$ a, nh bên v<i 7 áy I góc 300
Tính LM tích 7 c5 ngo C hình chóp
Lop12.net
... # c áy [ (Hình chóp ngo C hình 5 C5 hình cu tC xúc v<i c@ m7 c6 hình chóp)Bài 5 2:
Bài 5 3:< /b>
Bài 5 4:< /b>
Cho hình chóp tam giác... I hình H trịn xoay hình vng ABCD cnh a có hai > liên C A; B n Png tròn 1
- 3 hai > Png trịn 1 - hai c6 hình H 47 8$ (ABCD) t v<i áy hình. ..
Trong khơng gian cho hình chóp tam giác ?5 S.ABC có SC = a Góc b^i (ABC) (SAB) .$
600 Tính tích k chóp S.ABC theo a
6
Trong khơng gian cho hình chóp