Bài tập chương 3 1

Tìm đáp ứng tần số và đáp ứng xung của hệ thống.

Bài tập chương 3-1 Bài 3.1 (Example 3.11): Xác định biểu diễn Fourier của tín hiệu

x (t )=3 cos( πtt

2 + πt /4)

Vẽ phổ biên độ và phổ pha của tín hiệu x(t)

Trả lời:

x (t )= ∑

k=−∞

∞

X (k )ejkπtt/ 2

Với :

X (k )= { 3 2 e

−jπt / 4

, k=−1

3

2 e

jπt/ 4

, k =1

0, khác

Bài 3.2 (Problem 3.8): Tìm biểu diễn Fourier của tín hiệu

x (t )=2 sin (2 πtt−3 )+sin(6 πtt)

Trả lời:

x (t )= ∑

k=−∞

∞

X (k )e

jkπtt

2

X (k )= { 2 j , k=−3

jej 3, k=−1

− j e−j 3

, k=1

− j

2 , k=3

0, khác

Bài 3.3 (Problem 3.9): Tìm các hệ số FS của dạng sóng được mô tả trong hình vẽ bên dưới.

Trả lời:

X (k )= sin ⁡(πt (1−2 k)/2)

πt (1−2 k ) +

sin ⁡(πt (1+2k )/2)

πt (1+2 k )

Bài 3.4 (Example 3.12): Tìm tín hiệu trong miền thời gian x(t) tương ứng với các hệ số X(k) như sau:

a X [ k ] =(1/2)¿k∨¿e jkπt /20

¿, T=2

5−4 cos ⁡(πtt+πt /20)

b X [ k ] =− jδ [ k−2 ] + jδ [ k +2 ] +2 δ [ k −3 ] + 2 δ [ k +3 ], ω0= πt

x (t )=2 sin (2 πtt )+4 cos ⁡(3 πtt)

c X [k ] được cho như trong hình bên dưới và ω0= πt /2.

x (t )= sin ⁡(9 πt (t−1)/4)

sin ⁡(πt (t−1)/4)

Bài 3.5 (Example 3.25):

Tìm biến đổi Fourier của tín hiệu x(t) được cho như sau:

x (t )= { 1,−T0< t <T0

0, | t | > T0

Answer:

X (ω )= 2

ω sin ⁡(ω T0)

Bài 3.6 (Problem 3.14): Tìm biến đổi Fourier của các tín hiệu sau:

a x (t )=e2 tu (−t )

X (ω )=−1/( jω−2)

b x (t )=e− ¿t∨¿ ¿

X (ω)=2/(1+ω2)

c x (t )=e−2tu (t−1)

X (ω )=e− (jω+2)

/ ( jω+2)

d x(t) là tín hiệu trong hình vẽ a) bên dưới

X (ω )= j ( ω 2 ) cos(ω )− j(2/ω2)sin ⁡(ω)

e x(t) là tín hiệu trong hình vẽ b) bên dưới

X (ω)=2 j(1−cos ⁡(2 ω))/ω

Bài 3.7 (Example 3.26): Tìm biến đổi Fourier ngược của phổ xung vuông được cho như sau:

X (ω)= { 1,−W <ω<W 0, | ω | > W

Trả lời: x (t )= 1

πtt sin (Wt )=

W

πt sinc (

Wt

πt )

Bài 3.8 (Example 3.28): Tìm biến đổi Fourier ngược của phổ X (ω)=2 πtδ (ω)

Trả lời: x(t)=1

Bài 3.9 (Problem 3.15): Tìm biến đổi Fourier ngược của các phổ tín hiệu sau:

a X (ω )= { 2 cos ω, | ω | < πt

0, | ω | > πt

b X (ω )=3 δ ( ω−4 )

c X (ω )=πt e− ¿ω∨¿¿

Trả lời:

a x (t )= sin ⁡(πt (t+1))

πt (t+1) +

sin ⁡(πt (t−1))

πt (t−1)

b x (t )=(3/2 πt )ej 4 t

c x (t )=1 /(1+t2

)

Bài 3.10: Đáp ứng xung của hệ thống cho như hình vẽ có dạng:

h (t )= 1

RC e

−t

Tìm đáp ứng tần số, vẽ đáp ứng pha và đáp ứng biên độ của hệ thống

Trả lời:

Đáp ứng tần số: H (ω)=

1

RC jω+ 1 RC

Đáp ứng biên độ: | H (ω) | =

1

RC

√ ω2+ ( RC 1 )2

Đáp ứng pha: φ (ω)=−artan(ωRC)

Bài 3.11 (Problem 3.18): Xác định biến đổi Fourier của đáp ứng hệ thống biết:

x (t )=3 e−t

u (t) và h (t )=2 e−2 tu(t)

Trả lời:

Y (ω)= ( jω+2 2 )( jω+1 3 )

Bài 3.12: Đáp ứng của hệ thống LTI với tín hiệu đầu vào x (t )=e−2tu (t) là y (t)=e−tu(t ) Tìm đáp ứng tần số và đáp ứng xung của hệ thống

H (ω)=1+ 1

1+ jω

h (t )=δ (t )+e−t

u(r)