Bài tập chương 3( toán KT1 1)

Bài tập chương 3 – Toán kinh tế 1Bài 1: cho hàm tổng chi phí TC = 2Q2 +Q+100.a. Tìm hàm MC, AC.b. Giải thích ý nghĩa kinh tế của tỉ số MCACLời giải:a. MC= 4Q+1AC = 2 1 Q 100Q b. : . TCQMC dTC TC dTC QAC dQ Q dQ TC   MCAClà hệ số co dãn của tổng chi phí theo sản lượng.Bài 2: cho hàm tổng doanh thu là

Bài tập chương 3 – Toán kinh tế 1 Bài 1: cho hàm tổng chi phí TC = 2Q2 +Q+100

a Tìm hàm MC, AC

b Giải thích ý nghĩa kinh tế của tỉ số MC

AC

Lời giải:

a MC= 4Q+1

AC = 2Q 1 100

Q

 

Q

MC dTC TC dTC Q

AC  dQ Q  dQ TC 

MC

AC là hệ số co dãn của tổng chi phí theo sản lượng

Bài 2: cho hàm tổng doanh thu là hàm của sản lượng 2

10

TR Q Q và sản lượng là hàm của lao động 3

QL L

a Phân tích ảnh hưởng của L tới TR

b Tính hệ số co dãn của TR theo L

Lời giải:

dTR dTR dQ

Q L

dL  dQ dL    

Khi lao động tăng thì tổng doanh thu tăng

2 10 2 3 1

10

TR

L

Q L



Bài 3: Một doanh nghiệp có hàm chi phí cận biên là MC  3 Qe0,5Q; FC  30

a Tìm hàm tổng chi phí, chi phí bình quân

b Tại mức sản lượng Q = 2, nếu doanh nghiệp tăng mức sản lượng lên 2 % thì tổng chi phí sẽ thay đổi như thế nào?

Lời giải:

a TC3Qe0,5Q dQ6Qe0,5Q 6e0,5Q dQ6Qe0,5Q 12e0,5QC

Vì FC = 30 nên TC  6 Qe0,5Q  12 e0,5Q  30

b Hệ số co giãn của TC theo Q là:

0,5.2 0,5.2 0,5.2

3.2 2

6.2 12 30

Nếu nếu doanh nghiệp tăng mức sản lượng lên 2 % thì tổng chi phí tăng xấp xỉ 2,18%

Bài 4: Cho hàm khuynh hướng tiết kiệm cận biên 0,5

( ) 0,3 0,1

MPS Y   Y Tìm hàm tiết kiệm nếu biết tiết kiệm bằng 0 khi thu nhập Y = 81USD

Lời giải:

( ) (0,3 0,1 ) 0,3 0, 2

S Y   Y dY  Y  Y C

Vì tiết kiệm bằng 0 khi thu nhập Y = 81nên 0 = 0,3.81 -0,2.9 +C Do đó C = -45/2

( ) 0,3 0, 2

2

S Y  Y Y 

Bài 5: Cho hàm khuynh hướng tiết kiệm cận biên 0,5

( ) 0,3 0,1

MPS Y   Y Tìm hàm tiết kiệm nếu biết tiết kiệm bằng 0 khi thu nhập Y = 81USD

Lời giải:

( ) (0,3 0,1 ) 0,3 0, 2

S Y   Y dY  Y  Y C

Vì tiết kiệm bằng 0 khi thu nhập Y = 81nên 0 = 0,3.81 -0,2.9 +C Do đó C = -45/2

( ) 0,3 0, 2

2

S Y  Y Y 

Bài 6: Biết tiêu dùng C bằng thu nhập Y khi Y = 100 USD và khuynh hướng tiêu dùng

( ) '( ) 0, 2 0,1

MPC Y C Y   Y

a Tìm hàm tiêu dùng

b Tại mức thu nhập Y = 25$, nếu giảm thu nhập 2 % thì tiêu dùng sẽ thay đổi như thế nào?

Lời giải:

( ) (0, 2 0,1 ) 0, 2 0, 2

C Y   Y dY  Y  Y C

Vì tiêu dùng bằng thu nhập khi thu nhập Y = 100 nên 100 = 0,2.100+ 0,2.10 + C

Do đó C = 78

( ) 0, 2 0, 2 78

C Y  Y  Y 

b Hệ số co giãn của tiêu dùng theo thu nhập là:

(0, 2 0,1.5).25

0, 2.25 0, 2.5 78

C

Y

Y

C



Nếu giảm thu nhập 2 % thì tiêu dùng sẽ giảm xấp xỉ 0,416%

Bài 7: Một doanh nghiệp có hàm chi phí cận biên là 2

MC Q  Q với Q là sản lượng

a Xác định mức tăng lên của tổng chi phí khi doanh nghiệp tăng sản lượng từ Q = 5 lên Q = 10 đơn vị

b Cho giá thị trường của sản phẩm của doanh nghiệp là p = 39 Xác định lượng cung cho lợi nhuận cực đại

Lời giải:

10 2

5 3

b MR(39 ) ' 39Q 

M MC  Q  Q  Q

Kiểm tra ĐK đủ của cực trị: '' MR'-MC' 0 4  Q 12 ''(Q  7) 4.7 12 0 

Vậy lượng cung bằng Q*=7 thì lợi nhuận cực đại

Bài 8: một công ty có hàm cầu ngược là p = 300 – 0,3Q và hàm chi phí biên MC = 0,4Q

a Xác định hàm MR, VC

b Tìm miền sản lượng để đảm bảo khi công ty tăng sản lượng thì doanh thu sẽ tăng nhiều hơn mức tăng sản lượng

Lời giải:

R 300 0, 6 , 0, 2

M   Q VC Q

b Để doanh thu tăng nhiều hơn mức tăng sản lượng khi công ty tăng sản lượng thì

(300 0,3 )

TR

Q

Q

Q Q



Bài 9: Một doanh nghiệp độc quyền có hàm cầu hàng hóa là p 40 4  Q Hàm tổng chi phí của doanh nghiệp là 2

TC Q  Q

a Xác định sản lượng và giá bán để doanh nghiệp tối đa hóa lợi nhuận

b So sánh với trường hợp doanh nghiệp cạnh tranh hoàn hảo

Lời giải

a sản lượng bằng 3 và giá bán bằng 28 thì doanh nghiệp tối đa hóa lợi nhuận

b Trường hợp cạnh tranh hoàn hảo thì đk cần để tối đa hóa lợi nhuận là p = MC nên

Q = 4,5 và giá bán p = 40-4.4,5 = 22

Bài 10: Một doanh nghiệp có hàm 2

58 0,5

TR Q Q và hàm tổng chi phí 3

2 8,5 97

3

Q

TC  Q  QFC

a Cho FC = 100, tìm mức cung Q* để lợi nhuận đạt tối đa

b Phân tích ảnh hưởng của FC tới Q* và *

Lời giải:

a FC = 100,

3 2

8 39 100 max 3

Q

Điều kiện cần để đạt cực đại:

2

' Q 16Q39 0 Q 3 hay Q 13



Kiểm tra điều kiện đủ của cực trị:

Q 0 3 13

'

 - 0 + 0 -

Vậy mức cung Q* = 13 thì lợi nhuận đạt tối đa

b

3

3

Do sản lượng tối ưu Q* thỏa mãn '  0 nên ( *)Q 216 * 39Q  0,suy ra

* 0

dQ dFC 

Vậy sảnlượng tối ưu không phụ thuộc vào FC

Do:

2 ( *)

3

dFC





nên khi các yếu tố khác không đổi thi chi phí cố định tăng lên bao nhiêu thì lợi nhuận tối

ưu giảm đi bấy nhiêu đơn vị

Bài 11: một doanh nghiệp độc quyền có hàm cầu ngược p 490 2  Q và hàm tổng chi phí

2 0,5

0,5 D

TC Q A trong đó Q là sản lượng, AD là chi phí quảng cáo

a Với AD = 9, xác định mức sản lượng và giá bán tối ưu

b Tại AD, Sản lượng và giá bán tối ưu như câu a, Phân tích tác động của chi phí quảng cáo tới mức sản lượng và giá bán tối ưu

Lời giải:

Với AD = 9, mức sản lượng tối ưu là 70 và giá bán tối ưu là 350

Khi tăng AD thì sản lượng tối ưu giảm và giá bán tối ưu tăng

Bài 12: giả sử hàm cầu về một hàng hóa A có dạng D = 200 – 50p (p là giá, đơn vị triệu

đồng) một doanh nghiệp có 50 cơ sở giống hệt nhau cùng sản xuất mặt hàng A với hàng chi phí mỗi cơ sở là TC = q2 (với q là sản lượng, đơn vị tấn) Hãy xác định lượng cung tối

ưu của mỗi cơ sở và giá cân bằng của thị trường

Lời giải: Mô hình cân bằng thị trường:

50

200 50





 Giá cân bằng thị trường p* = 4-q

Hàm lợi nhuận của một cơ sở: 2

(4 )

 q q q



Giải bài toán tìm q để  đạt giá trị lớn nhất ta tìm được q*=1 (tấn) và giá cân bằng thị trường là p*

= 3 (triệu đồng)

Bài 13: Một doanh nghiệp có hàm sản xuất 0,5 0,5

QK L trong đó Q là sản lượng Giá của một đơn vị K là 5 USD, giá của một đơn vị L là 2 USD và ngân sách cố định (M) là 3500 USD

a Hãy xác định giá trị K, L để tối đa hóa sản lượng

b Phân tích tác động của ngân sách, giá của các yếu tố đầu vào tới mức sản lượng tối đa

Trả lời:

a Mô hình hóa

Bài toán tối đa hóa sản lượng có dạng: Tìm K, L sao cho 0,5 0,5

max

QK L  với điều kiện ràng buộc về ngân sách: 5K 2L 3500

Biến nội sinh là Q, K,L

Giải mô hình: Lập hàm Lagrange

0,5 0,5

3500 5 2

La  K  L    K  L

Điều kiện cần của cực trị: giải hệ phương trình:

0,5

0,5

0, 5 5 0 (1)

0, 5 2 0 (2)

3500 5 2 0 (3)

La

K K

La

L L

La

K L













 











 



Từ (1) và (2) suy ra: 5 25 25

K   K   

Thay vào phương trình (3) ta được:

Điều kiện đủ của cực trị: Tại điểm (K*, L*,  *) = (200, 1250,

√ lập định thức

1 11 12

2 21 22

0 g g



Với g1g'K 5,g2 g'L 2, ''

12 KL 0.

L La 

11 KK 0,5.( 0,5) 0, 25.200 ; 22 LL 0,5.( 0,5) 0, 25.1250

L La   K    L La   L   

1,5

2 0 0, 25.1250





Vậy, với ngân sách cố định M=3500, khi K* = 200, L* = 1250 thì sản lượng tối đa

b Gọi sản lượng tối đa tại mức ngân sách 3500 là Q*

Ta có:

*

0, 01414 0

100 2

Q

M 





Vậy, tại mức ngân sách M=3500, khi ngân sách tăng 1 đơn vị thì sản lượng tối đa tăng xấp xỉ là 0,01414 đơn vị

Bài 14: Hàm lợi ích của hộ gia đình khi tiêu thụ hàng hóa A, B có dạng

0,25 0,5

40 A B

U X X trong đó XA, XB là mức tiêu dùng hàng A, B, giá hàng tương ứng là

pA = 2, pB = 5

a Xác định mức cầu hàng hóa A, B của hộ gia đình để tối đa hóa lợi ích nếu thu nhập là M=300

b Khi Thu nhập M tăng 1 đơn vị thì lợi ích tối đa thay đổi như thế nào?

Lời giải:

a Mô hình hóa: Ta có mô hình: Tìm XA, XB sao cho 0,25 0,5

40 A B max

U  X X  với điều kiện 2X A5X B 300

Giải mô hình:

Điều kiện cần: lập hàm Lagrăng

0,25 0,5

L X X   X  X

Xét hệ phương trình:

0,75 0,5

0,75 0,5

5

300 2 5 0

A

B

L

X

L

X

L





























Do đó: 0,75 0,5 0,25 0,5

5X A X B  4X A X B  5X B 4X A

Thay vào phương trình thứ 3: 300 2 X A4X A 0 X A50,X B 40

Điều kiện đủ: lập định thức

1 11 12

2 21 22

0 g g



Với 1 ' 2, 2 ' 5

g g  g g  , '' 0,75 0,5 0,75 0,5

A B

L L  X X   

L L   X X    L L   X X   

Ta có

1 11 12

2 21 22

0

0

g g

Vậy X A50,X B 40 thì lợi ích được tối đa

b Gọi lợi ích tối đa là U* thì ta có:

 Vậy khi thu nhập M tăng 1 đơn vị thì lọi ích tối đa tăng 1,6818 đơn vị

Bài 15: cho mô hình thị trường của hàng hóa A

D p M q



  







Trong đó S, D là hàm cung, hàm cầu hàng hóa A, p là giá hàng hóa A, M là thu nhập khả dụng, q là giá hàng hóa B

a Giải thích ý nghĩa kinh tế của 

b Hai hàng hóa A và B có quan hệ bổ sung hay thay thế

Lời giải:

a Khi giá hàng hóa A tăng 1% thì lượng cung hàng hóa A tăng  %

b  1

0,1  0



D

p M q q

  



Khi giá hàng hóa B tăng thì cầu hàng hóa A tăng Vậy A và B là hai hàng hóa thay thế

Bài 16: cho mô hình thị trường của hàng hóa A





Trong đó S, D là hàm cung, hàm cầu hàng hóa A, p là giá hàng hóa A, M d là thu nhập khả dụng, M là thu nhập

Giả sử nhà nước đánh thuế thu nhập với thuế suất t (0<t<1) Phân tích tác động của thuế suất t tới giá cân bằng

Lời giải:

Thu nhập khả dụng là Md   (1 t M )

Gọi giá cân bằng là p* Do p* thỏa mãn đk S=D nên ta có

1,1 * 220 0,3(1

0,7 * 120 0,3(1p   t)M0, 4 * 100p   p   t)M 0

, , 1,1 220 0,3(1 )

F p t M  p   t M

*

*

0,3

0 1,1

F

F

t

p



      







Vậy khi các yếu tố khác không đổi, tăng thuế sẽ làm giá cân bằng giảm

Bài 17: cho mô hình thị trường của hàng hóa A

D p M q



  







Trong đó S, D là hàm cung, hàm cầu hàng hóa A, p là giá hàng hóa A, M là thu nhập khả dụng, q là giá hàng hóa B

Phân tích ảnh hưởng của M, của q tới giá cân bằng

Lời giải:

Gọi giá cân bằng là p* Do p* thỏa mãn đk S=D nên ta có

0,3( *)p  0,1( *)p M q  0

( , , ) 0,3 0,1

F p M q  p  p M q  

*( 1) *( 1)

*

0,1

0

0, 3 0,1

F

F

p

  











Vậy khi giá hàng hóa B tăng, các yếu tố khác không đổi thì giá cân bằng trên thị trường hàng hóa A giảm

Bài 18: cho mô hình thị trường của hàng hóa A

0,5

2 0,7 1

0,3 0,1

D p M q





 Trong đó S, D là hàm cung, hàm cầu hàng hóa A, p là giá hàng hóa A, M là thu nhập khả dụng, q là giá hàng hóa B Phân tích ảnh hưởng của M tới lượng cân bằng

Lời giải:

Gọi giá cân bằng là p* Do p* thỏa mãn đk S=D nên ta có

0,3( *)p 0,1( *)p  M q 0,3( *)p 0,1( *)p  M q 0

F p M q  p  p  M q

*( 0,5) *( 3) 0,7 1

0,1.0, 7

0 0,3.0,5 0,1.2



Gọi lượng cân bằng là Q*, ta có: *  * 0,5

0,3



 

0,5

*

0,1.0, 7

0,3.0,5 0,1.2



p

Vậy khi thu nhập tăng (các yếu tố khác không đổi) thì lượng hàng hóa cân bằng tăng

Bài 19: cho mô hình thị trường của hàng hóa A

0, 7 120

0,3 0, 4 100





Trong đó S, D là hàm cung, hàm cầu hàng hóa A, p là giá hàng hóa A, M là thu nhập khả dụng

Có ý kiến cho rằng lượng cân bằng không phụ thuộc vào thu nhập ý kiến đó đúng hay sai

Lời giải:

Điều kiện cân bằng S D 0,7p1200,3M0, 4p1001,1p0,3M 220

Gọi giá cân bằng là p* thì *

1,1p 0,3M 220 và p* phụ thuộc vào M

Vậy ý kiến trên là sai

Bài 20: cho mô hình thị trường của hàng hóa A

0,3 0,05 0,5 0,5 0,1

2,5

0,5











Trong đó S, D là hàm cung, hàm cầu hàng hóa A, p là giá hàng hóa A, M là thu nhập khả dụng, q là giá hàng hóa B, T là thuế

a Cho biết quan hệ giữa hai hàng hóa A và B

b Lượng cung thay đổi như thế nào khi giá hàng hóa A tăng 5% và thuế tăng 1% Lời giải:

D

p M q q



Khi giá hàng hóa B tăng thì cầu hàng hóa A tăng Vậy A và B là hai hàng hóa thay thế

b S p S p 0,3

p S



0, 05

S

T

S T

T S

    



Nếu giá hàng hóa A tăng 5% và thuế tăng 1% thì sự thay đổi của lượng cung là

0,3.5% 0,05.1% 1, 45%

Bài 21: lượng cầu hàng hóa A phụ thuộc vào giá hàng hóa A như sau D k n ( ,k n 0)

p

Hệ số co giãn của cầu hàng hóa A theo giá có phụ thuộc vào giá hàng hóa đó không?

Lời giải:

D

p

dD p

n

dp D

Bài 22: lượng cầu hàng hóa A phụ thuộc vào giá hàng hóa A như sau D k n ( ,k n 0)

p

Hệ số co giãn của cầu hàng hóa A theo giá có phụ thuộc vào giá hàng hóa đó không?

Lời giải:

D

p

dD p

n

dp D

Bài 23: Cho mô hình

X

20 0, 75

20 0,1

d

d

   









Trong đó Y d – Thu nhập khả dụng, C – Tiêu dùng, NX – Xuất khẩu ròng, I – Đầu

tư, G- Chi tiêu chính phủ, t – thuế suất

Cho I = 100, NX = 60, tìm t để cân đối ngân sách

Lời giải:

Ta có

X 40

0, 75 0,15





I N

Y

t

I = 100, NX = 60, thì 100 60 40 200

0, 75 0,15 0, 75 0,15

Y

Thu thuế là: 200

0, 75 0,15



t

T tY

t

Chi tiêu chính phủ 20 0,1. 200 20 20

0, 75 0,15 0, 75 0,15

G

0, 75 0,15 0, 75 0,15

t

G T

20 0, 75 0,15 20 200 12, 4324%

185

Bài 24: Cho mô hình

0,8

0, 2 (1 )

d d d

Y C I G EX IM









Trong đó Y d – Thu nhập khả dụng, Y – Thu nhập, C – Tiêu dùng, IM – Nhập khẩu,

I 0 – Đầu tư, G 0 - Chi tiêu chính phủ,EX 0 – xuất khẩu, t – thuế suất Cho I 0 = 300, EX 0

= 200, t = 0,5

a Để thu nhập cân bằng là 3000 thì G 0 bằng bao nhiêu?

b Với thu nhập cân bằng là 3000, nếu G 0 tăng 1% thì nhập khẩu IM thay đổi như thế nào?

Trả lời:

a Ta có hệ

0 0 0

0,8(1 )

0, 4 0, 6

0, 2(1 )

Y C IM I G EX

I G EX

t





Thay I0 = 300, EX0 = 200, t = 0,5, ta có

* 300 0 200 500 0

0, 4 0, 6.0,5 0, 7



Để thu nhập cân bằng là 3000 thì 0

0

500

3000 1600

0, 7

G

G

0, 2(1 ) 0, 2(1 )

0, 4 0, 6

I G EX

t



Với thu nhập cân bằng là 3000, G0 = 1600

0, 2(1 ) 0, 2(1 ) 0, 2(1 0,5) 300

G

*

0

* 0

* 0

0, 2(1 0,5) 1600 16

0, 4 0, 6.0,5 300 21

IM

G

G IM

G IM

Nếu G0 tăng 1%, các yếu tố khác không đổi thì nhập khẩu tăng xấp xỉ 0,7619%

Bài 25: Cho mô hình thu nhập quốc dân

 

0 0

150 0,8

0, 2

Y C I G

  







Trong đó Y – Thu nhập, C – Tiêu dùng, T- Thuế, I0 – Đầu tư, G0 Chi tiêu chính phủ

a Tìm trạng thái cân bằng khi I0 = 300, G0 = 900

b Do suy thoái kinh tế nên MPC đối với thu nhập sau thuế chỉ còn 0,7 Gỉa sử I0 =

300, G0 bằng bao nhiêu thì ổn định được thu nhập

Trả lời:

a Khi I0 = 300, G0 = 900 mô hình có dạng

0,8 0,8 150 2550

b Theo giả thiết MPC = 0,7 và I0 = 300 nên mô hình có dạng

0

0

300

0, 7 0, 7 150 0, 7 300 0, 7.0, 2 150

0, 2 0

Y T







0

450 11

450

G

Y  G Y  

Để ổn định được thu nhập quốc dân thì * 0

0

450

3750 1200

0, 44

G

Bài 26: Cho mô hình thu nhập quốc dân

0

0 1 2 0

i i

Y C I G

C b b Y a b i a b

I a a Y a r

  







Trong đó Y – Thu nhập, C – Tiêu dùng, r0 – lãi suất, I – Đầu tư, G0 - Chi tiêu chính phủ

a Xác định Y, C ở trạng thái cân bằng

b Cho b0 = 200, b1 = 0,7, a0 = 100, a1 = 0,2, a2 = 10, r0 = 8, G0 = 500; khi tăng chi tiêu chính phủ lên 1% thì thu nhập cân bằng thay đổi như thế nào?

Lời giải:

a Mô hình có dạng

0

Y C I G

b Y C b

a Y I a r a

  



   





1

0 1

a



0

0 2 0

1 1

0 1

Y

G

a a r

0

1

C

G

a a a r



Khi đó tại trạng thái cân bằng

 

0 1 0 2 0 1 0 1 0

,

b b a a r a b b G

G a a r b

b Thay b0 = 200, b1 = 0,7, a0 = 100, a1 = 0,2, a2 = 10, r0 = 8, G0 = 500 vào thu nhập cân bằng ta có:

* 500 100 10.8 200

7200

1 0, 2 0, 7

0

*

0

*

Y

G

G

Y

Khi tăng chi tiêu chính phủ lên 1% , các yếu tố khác không đổi thì thu nhập cân bằng tăng xấp xỉ 25/36%