TRUNG TÂM LUYỆN THI HỒNG ĐỨC – THẦY CHU VĂN BIÊN TUYỂN CHỌN CÁC BÀI TOÁN THIÊN VĂN HỌC Bài 1(ol-5)Một con tàu vũ trụ bay quanh Mặt Trăng theo quỹ đạo tròn bán kính gấp đôi bán kính Mặt Trăng.Hỏi phải bắn một vật ra khỏi con tàu tại A theo phương tiếp tuyến với quỹ đạo với vận tốc bao nhiêu đối với con tàu để vật rơi xuống mặt trăng tại B đối diện với A.Biết bán kính Mặt Trăng R=1,7.10 6 m ,gia tốc rơi tợ do trên Mặt Trăng g=1,67m/s 2 . đs: ( ) s/m219gR 3 1 2 1 ≈− Giải Vật m được bắn ra khỏi con tàu phải chuyển động trên quỹ đạo elíp tiếp xúc với Mặt Trăng tại B. Vật m tại A có vận tốc v 1 đối với tâmMặt Trăng sau khi đến B có vận tốc v 2 cũng đối với tâm Mặt Trăng. Gọi khối lượng của Mặt Trăng là M ,thì gia tốc rơi tự do trên Mặt Trăng sẽ là: g= R GM Sử dụng định luật bảo toàn cơ năng: w A =w B )1(gRvvGmvGmv 2 1 2 2 R mM 2 2 2 1 R2 mM 2 1 2 1 =−⇔−=−⇔ Sử dụng định luật III Keple : )2(vv2R.tVR2.t.v 212 2 1 1 2 1 =⇔∆=∆ Từ (1)(2) cho 3 gR 1 v = (3) Con tàu vũ trụ có khối lượng m t chuyển động tròn đều trên quỹ đạo (o,2R): ( ) 1 2 gR 0 R2 2 0 v t m 2 R2 M t m vvG >=⇔= .Vậy phải nén vật về phía sau với vận tốc : ( ) s/m219gRvvv 3 1 2 1 10 ≈−=−= Bài 2 (ol-5)Một vệ tinh nhân tạo khối lượng M chuyển động theo quỹ đạo elíp quanh Trái Đất .Khoảng cách từ tâm Trái Đất đến vị trí gần nhất và xa nhất của vệ tinh là h,H. Xác định cơ năng toàn phần của vệ tinh. Xác định vận tốc của vệ tinh tại vị trí cách tâm Trái Đất một khoảng l . Xác định chu kì quay của vệ tinh. Xác định khối lượng của Trái Đất nếu sử dụng các số liệu thu được từ vệ tinh nhân tạo Côxmot 380: T=102,2phút;h=6588km;H=7926km. ĐS: ( ) ( ) kg10.6)d;T)c;GM2v)b;)a 24 GM2 2 Hh hH 11 Hh mH + ++ π=−=−  Giải Cơ năng toàn phần tại A và B bằng nhau: 2 B A H Mm h Mm 2 B 2 1 H mM 2 A 2 1 h mM v v Gw Gw mvGmvGw         = + + ⇒+−=+−= Theo định luật IIKeple : h H B V A v BA t.H.vt.h.v =⇔∆=∆ .Từ đó giải ra: hH mM Gw + −= Cơ năng tại vị trí cách tâm Trái Đất một khoảng l sẽ là: ( ) hH 11 2 2 1Mm GM2vmvGw + −=⇒+−=  Theo định luật III Keple chính xác: ( ) GM2 hH Ta; 2 2 Hh GM 2 4 )mM(G 2 4 3 a 2 T + π=⇒=≈= + π + π Theo câu c) khối lượng Trái Đất tính theo công thức: kg10.6M 24 GT2 2 )hH( ≈π= + Bài 3 Một trạm Vũ trụ bay quanh Trái Đất trên quỹ đạo tròn có bán kính R=2R 0 (R 0 =6400km-bán kính Trái Đất ). TÀI LIỆU BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI 1 O B A V A V BA v A v B TRUNG TÂM LUYỆN THI HỒNG ĐỨC – THẦY CHU VĂN BIÊN Xác định chu kì quay và vận tốc của trạm vũ trụ khi động cơ không hoạt động.Bỏ qua ma sát cho biết vận tốc vũ trụ cấp 1 ở sát mặt đất là v 0 =7,9km/s. Khi động cơ hoạt động trong một thời gian ngắn để tăng vận tốc của trạm lên đến giá trị v 1 và chuyển sang quỹ đạo elíp.Khoảng cách từ tâm Trái Đất đến trạm lớn nhất và nhỏ nhất là R 1 =2R 0 ,R 2 =4R 0 .Xác định chu kì và vận tốc v 1 của trạm trên quỹ đạo elíp. ĐS: phut441T;s/km44,6v)b;phut240T;s/km58,5v)a e 5,1 0 v 1 2 0 v ≈≈==≈= Giải Ta có,vận tốc tính từ: ( ) s/km58,5v.2.2vG 0 2 1 0 R GM 2 1 2 0 R2 Mm 0 R2 2 mv ≈==⇒= Chu kì của trạm: phut240R2.T 0 v 22 ≈== π ω π Vì động cơ chỉ hoạt động trong một thời gian ngắn nên có thể xem cơ năng bảo toàn khi chuyển từ quỹ đạo cũ sang quỹ đạo mới,nghĩa là: 2 R GMm 2 2 2 mv 1 R GMm 2 2 1 mv −=− (1) Theo định luật II Keple: 1 R 2 R 2 V 1 v 2211 t.R.vt.R.v =⇔∆=∆ (2).Kết hợp(1): ( ) s/km22,3v 6 0 V 2 R 1 R 2 R 1 GMR2 2 ≈== + . áp dụng định luật III Keple cho: Chuyển động tròn có T=240phút;bán kính 2R 0 Chuyển động elíp có chu kì T e ;bán kính a=(R 1 +R 2 )/2=3R 0 ( ) phut441T5,1 e 3 3 0 R2 0 R3 2 T 2 e T =⇒== Bài 4 (ol-7)Quan sát một hệ sao đôi thấy rằng ngôi sao trông thấy quay tròn đều quanh tâm riêng của hệ theo quỹ đạo (o,r 1 )với vận tốc v 1 =270km/s và chu kì T 1 =17,3ngày đêm.Biết ngôi sao thứ hai cũng chuyển động tròn đều đồng tâm theo quỹ đạo (o,r 2 ),khối lượng của sao trông thấy m 1 =6M T =6.1,99.10 30 kg.Xác định khối lượng của ngôi sao thứ hai? có thể xem sao này là một lỗ đen không? ĐS:9.M  ;Có Giải Do tính chất của trường hấp dẫn xuyên tâm thì m 1 và m 2 chuyển động cùng vận tốc góc ω. Lực hấp dẫn giữa chúng: 2 r 2 m 1 m GF = . Tính chất của khối tâm: ( ) 2 1 2 21 3 21 1 2 m 2 m 1 m 221121 rmm mm GFrrrmrm;rrr + =⇒=⇒=+= + . Phương trình chuyển động của m 1 : ( ) ( ) T 2 1 1 2 2 21 3 2 2 1 2 21 3 21 1 2 1 11 2 1 M47,3 GT r4 mm m rmm mm Gr T 2 mFrm ≈ π = + ⇒ + =         π ⇔=ω . Đặt m 2 =kM T ,ta có: ( ) 9k47,3 k6 k 2 3 =⇒= + .Có thể xem m 2 là một lỗ đen vì khối lượng rất lớn và không phát sáng. Bài 5 (APHO-2-2001)Khi nào Mặt Trăng trở thành vệ tinh đồng bộ của Trái Đất ? Chu kì quay của Mặt Trăng quanh trục của nó hiện nay đúng bằng chu kì quay của nó quanh Trái Đất cho nên Mặt Trăng chỉ luôn luôn hướng một mặt vể phía Trái Đất .Nguyên nhân khiến hai chu kì đó bằng nhau là tác dụng của lực thuỷ triều trong suốt quá trình lịch sử lâu dài của hệ Trái Đất-Mặt Trăng. TÀI LIỆU BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI 2 v 1 v 2 R 2 R 1 R 1 v 1 v 2 r 2 m 1 r 1 m 2 o TRUNG TÂM LUYỆN THI HỒNG ĐỨC – THẦY CHU VĂN BIÊN Tuy nhiên chu kì quay của Trái Đất quanh trục của nó hiện nay ngắn hơn chu kì quay của Mặt Trăng quanh Trái Đất .Kết quả là lúc thuỷ triều của Mặt Trăng tiếp tục tác động để làm chậm chuyển động quay của Trái Đất và làm cho Mặt Trăng ngày càng ra xa Trái Đất . Trong bài toán này chúng ta muốn ước tính xem phải mất bao lâu nữa thì chu kì quay của Trái Đất quanh trục của nó bằng chu kì quay của Mặt Trăng quanh Trái Đất .Khi ấy Mặt Trăng trở nên thành một vệ tinh đồng bộ hiện ra như một vật thể cố định trên bầu trời và chỉ quan sát viên ở phía Trái Đất đối diện với Mặt Trăng là có thể nhìn thấy được. Chúng ta cũng muốn tìm xem Trái Đất sẽ thực hiện một vòng quay trong thời gian dài bao lâu khi hai chu kì nó trên bằng nhau. Hai hệ trục toạ độ vuông góc được lấy làm hệ qui chiếu. Trục thứ ba của hai hệ đó song song với nhau và vuông góc với mặt phẳng quỹ đạo của Mặt Trăng. Hệ qui chiếu thứ nhất gọi là hệ qui chiếu CM là hệ qui chiếu quán tính mà gốc của nó đặt tại khối tâm C của hệ Trái Đất -Mặt Trăng. Hệ qui chiếu thứ hai gọi là hệ qui chiếu xyz có gốc đặt tại tâm O của Trái Đất.Trục z của hệ này trùng với trục quay của Trái Đất ,còn trục x thì nằm trên đường nối giữa tâm Trái Đất và tâm của Mặt Trăng và hướng theo chiều của vectơ đơn vị e r  như trên hình vẽ.Mặt Trăng luôn luôn ở phần âm của trục x trong hệ qui chiếu này. Lưu ý các khoảng cách trong hình không mô tả theo đúng tỉ lệ.Mũi tên cong chỉ chiều quay của Trái Đất và của Mặt Trăng khoảng cách từ tâm Trái Đất đến tâm Mặt Trăng kí hiệu bằng r. Cho biết các dự liệu sau đây: Hiện nay khoảng cách từ Trái Đất đến Mặt Trăng là r 0 =3,85.10 8 m.Tốc độ hằng năm là 0,038m/năm. Chu kì quay của Mặt Trăng hiện nay là T M =27,322 ngày. Khối lượng của Mặt Trăng là M=7,35.10 22 kg. Bán kính của Mặt Trăng là R M =1,74.10 6 m. Chu kì quay của Trái Đất hiện nay là T E =23,933 giờ. Khối lượng của Trái Đất là M E =5,97.10 24 kg. Bán kính của Trái Đất là R E =6,37.10 6 m. Hằng số hấp dẫn là G=6,67259.10 -11 Nm 2 /kg. Khi giải bài toán ta chấp nhận các điều sau đây: Hệ Trái Đất-Mặt Trăng là cô lập với phần còn lại của vũ trụ. Quỹ đạo của Mặt Trăng quanh Trái Đất là một vòng tròn. Trục quay của Trái Đất vuông góc với mặt phẳng quỹ đạo của Mặt Trăng. Nếu như không có Mặt Trăng và nếu như Trái Đất không quay thì phân bố khối lượng của Trái Đất đối xứng cầu và bán kính Trái Đất R E . Đối với Trái Đất hoặc Mặt Trăng thì mômen quán tính I đối với bất kì trục nào đi qua tâm cũng được xem như mômen quán tính của một hình cầu đồng chất khối lượng M,bán kính R,tức là I= 2 5 2 MR . Sự phân bố bề dày của nước bao quanh Trái Đất đối với hệ qui chiếu xyz thì không thay đổi theo thời gian. TÀI LIỆU BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI 3 O c x y Trái Đất Mặt Trăng Trái Đất r M E M TRUNG TÂM LUYỆN THI HỒNG ĐỨC – THẦY CHU VĂN BIÊN Các câu hỏi phải trả lời Xác định giá trị hiện nay của mômen động lượng toàn phần của hệ Trái Đất-Mặt Trăng đối với khối tâm C. Khi chu kì quay của Trái Đất quanh trục của nó và chu kì quay của Mặt Trăng quanh Trái Đất bằng nhau thì thời gian để Trái Đất quay một vòng là bao nhiêu ?Trong lời giải thời gian đó gọi là T và biểu diễn nó bằng đơn vị là ngày hiện tại.Chỉ yêu cầu lời giải gần đúng để tìm kết quả. Coi Trái Đất là một quả cầu cứng bao phủ bởi một lớp nước trên bề mặt và cho rằng khi Mặt Trăng chuyển động quanh Trái Đất thì sự phân bố bề dày của lớp nước này trong hệ qui chiếu xyz không thay đổi theo thời gian.Theo một mô hình đã được đề ra thì người ta có xét đến lực ma sát giữa phần quả cầu rắn và lớp nươchiết suất bao phủ của Trái Đất. Dưới sức hút của Mặt Trăng nước bị hút về phía Mặt Trăng tạo ra thuỷ triều. Phần rắn dạng cầu của Trái Đất quay quanh sẽ kéo lớp nước ấy theo làm đường nối hai điểm thuỷ triều cao nhất trên mặt đất nghiêng góc δ đối với trục x như trên hình vẽ.Kết quả là lúc thuỷ triều do Mặt Trăng gây ra trên ,Trái Đất sẽ tác dụng một mômen lực Γ quanh O làm cho Trái Đất chuyển động quay của nó chậm lại. Cho rằng góc δ không thay đổi và độc lập với khoảng cách r từ Trái Đất đến Mặt Trăng. Khi chuyển động quay của Mặt Trăng quanh Trái Đất đồng bộ với chuyển động quay của Trái Đất quanh trục của nó,là lúc ma sát không tồn tại nữa thì góc ấy bằng không.Khi ấy người ta chứng minh được rằng mômen lực Γ tỉ lệ với 1/r 6 ,r là khoảng cách từ Trái Đất đến Mặt Trăng. Hãy dùng mô hình này để tính xem bao giờ thì chuyển động của Trái Đất quanh trục của nó và chuyển động của Mặt Trăng quanh Trái Đất có cùng chu kì ? Trong lời giải ,kí hiệu thời gian đó là t f và tính giá trị của nó theo đơn vị là năm hiện tại.Khi làm baìo có thể sử dụng các công thức toán học dưới đây: (M1) Với 0 ≤ s ≤ r và x=scosθ thì :         − ++≈ ++ . r2 sx3 r x r 1 rx2sr 1 3 22 2 22 (M2) Nếu a ≠ 0 và ;ab)t't()t().'t(b dt d aaa1 −=ωω⇒ω= ω − Giải 1)Mômen động lượng quỹ đạo toàn phần zLL   = của hệ Trái Đất-Mặt Trăng với khối tâm C được tính như sau:Vì tất cả mômen động lượng đều theo trục z nên các mômen động lượng cũng tính theo trục z đó. Khoảng cách giữa khối tâm C và tâm Trái Đất là : E 6 0 E CM R735,0m10.68,4r MM M r == + = Vận tốc góc của Mặt Trăng quanh Trái Đất là: )a1(s/rad10.6617,2 86400.322,27 2 6 0 − ≈ π =ω Mômen động lượng quỹ đạo của Mặt Trăng đối với khối tâm C là: ( ) s/kgm10.83,2.rrML 234 0 2 CM0M =ω−= . Vận tốc góc của chuyển động quay Mặt Trăng quanh trục của nó là: Ω M =ω 0 . Mômen động lượng spin của Mặt Trăng là: M 6229 MMM L10.4,8s/kgm10.37,2.IS ==Ω= Giá trị này nhỏ hơn mômen quỹ đạo động lượng của Mặt Trăng nên có thể bỏ qua. Mômen quỹ đạo động lượng của Trái Đất với khối tâm C là: s/kgm10.48,3L rML 232 M E M M 0 2 CMEE ==ω= Vận tốc góc do chuyển động quay của Trái Đất quanh trục của nó là: s/rad10.2926,7 5 3600.933,23 2 E − π ==Ω TÀI LIỆU BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI 4 δ Mặt Trăng TRUNG TÂM LUYỆN THI HỒNG ĐỨC – THẦY CHU VĂN BIÊN Mômen động lượng spin của Trái Đất: E 233 E 2 EE 5 2 E I.3,20s/kgm10.07,7.R.MS ==Ω= Vậy mômen động lượng toàn phần của hệ Trái Đất-Mặt Trăng là : )SLL(s/kgm10.57,3SSLLL EEM 234 MEEM ++≈=+++= (2) 2) Sử dụng định luật III Keple chính xác cho chuyển động của Mặt Trăng quanh Trái Đất : )MM(Gr. )MM(G 4 r T E 32 E 2 3 2 +=ω⇒ + π = (3) Do đó mômen động lượng quỹ đạo của hệ Trái Đất-Mặt Trăng với khối tâm C là: ( ) 3 1 E 2 E 2 E E MM G .M.M.r MM MM L         +ω =ω         + = (4) Chú ý ME 2 E E EE 2 E E M LLL. MM M .ML;. MM r.M ML +=⇒ω         + =ω         + = Khi vận tốc góc của chu kì quay Trái Đất bằng vận tốc góc ω của quỹ đạo Mặt Trăng ,bỏ qua mômen động lượng spin của Mặt Trăng thì mômen động lượng toàn phần của hệ Trái Đất Mặt Trăng là: s/kgm10.57.3.R.M )MM( G .MMSLL 2342 EE 5 2 3 1 E 2 EEEM =ω+         ω+ =++ (5a) Đẳng thức cuối cùng được tính từ định luật bảo toàn mômen động lượng toàn phần và phương trình (2).Với tính toán ω ở trên mômen động lượng spin của Trái Đất có thể bỏ qua ở phương trình (5a),ta có: ( ) s/rad10.36,1 6 3 357 96,3 1 − ==ω≈ω (phép lặp thứ nhất) Nếu dùng giá trị ω 1 để tính mômen động lượng spin của Trái Đất và dùng phương trình (5a) để tính ra ω : ( ) s/rad10.35,1 6 3 358 96,3 2 − ==ω≈ω (phép lặp lần thứ hai) (5b) Lặp lại nhiều lần theo cùng một phép lặp,tìm ra chu kì của Trái Đất là: 9,53 86400.10.35,1 2832,62 T 6 f f ≈= ω π = − ngày. 3) Do mômen lực Γ tỉ lệ với 1/r 6 ,tacó:Γ = const r 1 6 (6) Thay các giá trị r 0 và Γ 0 vào (6) ta có : 0 6 0 . r r Γ       =Γ (7) Mômen lực Γ bằng độn biến thiên của mômen động lượng spin ΩI của Trái Đất ,tức là: Γ= Ω dt d I (8) Theo định luật Niutơn về lực và phản lực đối với sự bảo toàn mômen động lượng toàn phần thì -Γ =độ biến thiên của mômen quỹ đạo toàn phần của hệ Trái Đất-Mặt Trăng nên: Γ−= dt dL (9) Dựa vào phương trình (3) để viết lại phương trình (4) như sau: 3 1 3 1 E 2 E 2 1 2 1 E E 2 E E . MM G MMr. MM G MMr. MM MM L − ω         + =         + =ω         + = (10). Như vậy Γ−= ω ω         + −= ω         + = − dt d MM G MM dt dr . 2 1 . MM G MM dt dL 3 4 3 1 E 2 E 3 1 2 1 2 1 E E (11) TÀI LIỆU BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI 5 TRUNG TÂM LUYỆN THI HỒNG ĐỨC – THẦY CHU VĂN BIÊN Giá trị Γ 0 tính từ phương trình(11) : ( ) Nm10.5,4 64,8.65,3 10.8,3 . 10.85,3.10 97,50735,0 10.67,6 .10.97,5.35,7. dt dr . r)MM( G MM dt dL 16 8 824 11 46 2 1 00E E 2 1 0 0 = + =       + =       =Γ− − Cũng với phương trình(11) ta có : 0 6 0 r r dt dL Γ       =       .Dùng phương trình(3)để tính với số hạng có ω,được: ( )( ) ( ) 3 16 3 16 3 5 EE 0 6 0 3 16 2 E 0 6 0 3 1 E 2 E 3 1 .b. MMGGMM .r3 dt d . MMG .r dt d . MM G MM ω=ω       + Γ = ω ω + Γ = ω         + (với b là hằng số thay cho biểu thức trước ω) .Phương trình đó dẫn đến: ( ) 0t f 3 b13 3 13 0 3 13 f −=ω−ω − − − ;t f là thời gian cần để chu kì quay của Trái Đất bằng chu kì quay của Mặt Trăng xung quanh Trái Đất . Dùng các giá trị ω f và ω 0 ở các phương trình (1a)và (5b) và giá trị Γ 0 trong phương trình (13) ta có: ( )( ) ( ) 10 3 13 0 3 13 f b13 3 f 8 0 6 0 3 5 EE 10.6,2t10.4,3 r13 MMGGMM b13 3 ≈       ω−ω=⇒= Γ− + =− −− − − năm Bài 5 (VLQT-11)Một con tàu vũ trụ có khối lượng 12 tấn đi quanh Mặt Trăng theo quỹ đạo tròn ở độ cao 100km. Để chuyển sang quỹ đạo hạ cánh động cơ hoạt động trong một thời gian ngắn với vận tốc phụt khí ra khỏi ống là 10 4 m/s. Biết bán kính Mặt Trăng 1,7.10 3 km ,gia tốc trên bề mặt Mặt Trăng là 1,7m/s. Xác định khối lượng nhiên liệu đã đốt cháy để động cơ hoạt động ở A làm con tàu đáp xuống Mặt Trăng ở điểm đối diện với A. Trong phương án thứ hai ,ở điểm A con tàu nhận xung lượng hướng về tâm của Mặt Trăng và chuyển sang quỹ đạo tiếp tuyến với Mặt Trăng ở điểm C bán kính xác định vị trí A,C trên quỹ đạo vuông góc với nhau.Trường hợp này tốn bao nhiêu nhiên liệu. ĐS: kg116'm)b;kg29m)a == Bài 6 (VLQT-16)Có hai phương án thám hiểm vũ trụbằng con tàu đi ra ngoài thái dương hệ. Phương án 1,con tàu được phóng với vận tốc đủ lớn để trục tiếp thoát ra khỏi thái dương hệ.Phương án 2,con tàu tiến lại gần một hành tinh ở xa Mặt Trời hơn Trái Đất và dưới tác dụng của hành tinh này ,vận tốc của con tàu đổi hướng và tăng tới giá trị cần thiết để thoát ra khỏi thái dương hệ (giả thiết con tàu chuyển động dưới hoặc của trường hấp dẫn của Mặt Trời hoặc của hành tinh ,tuỳ theo trường hợp nào mạnh hơn tại vị trí xem xét). Xác định vận tốc nhỏ nhất đối với Trái Đất v a và hướng của nó so với hướng vận tốc của Trái Đất khi theo phương án 1. Giả thiết con t5àu được phóng theo hướng ở câu a) nhưng với vận tốc đối với Trái Đất là v b bé hơn v a .Xác định vận tốc con tàu khi nó đi qua quỹ đạo Hoả Tinh ,nghĩa là xác định các thành phần song song và vuông góc với quỹ đạo ấy.Giả thiết Hoả Tinh ở rất xa con tàu đi qua quỹ đạo của nó. Theo phương án hai ,con tàu đi vào trường hấp dẫn của Hoả Tinh.Xác định vận tốc nhỏ nhất từ Trái Đất để con tàu thoát ra khỏi thái dương hệ. TÀI LIỆU BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI 6 TRUNG TÂM LUYỆN THI HỒNG ĐỨC – THẦY CHU VĂN BIÊN Phương án 2,có thể tiết kiệm được động năng hơn .Xác định giá trị lớn nhất của tỉ số giữa động năng tiết kiệm được và động năng theo phương án 1. ĐS: 8.0)d;s/km5,5)c;s/km3,12)a TÀI LIỆU BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI 7 . TRUNG TÂM LUYỆN THI HỒNG ĐỨC – THẦY CHU VĂN BIÊN TUYỂN CHỌN CÁC BÀI TOÁN THIÊN VĂN HỌC Bài 1(ol-5)Một con tàu vũ trụ bay quanh Mặt Trăng theo. động quay của Trái Đất và làm cho Mặt Trăng ngày càng ra xa Trái Đất . Trong bài toán này chúng ta muốn ước tính xem phải mất bao lâu nữa thì chu kì quay của