PHƯƠNG PHÍP TÍNH THỂ TÍđH KHỐI ® ĐIỆN ài hình học không gian trong các đề thi thường được coi là câu khó đối với nhiều bạn học sinh.. Nhằm giúp các bạn ôn thi tốt chúng tôi xin giới thi
Trang 1
Chuan bi
cho ki thi
st nghiép THPT
\ va thi vao : CẢ am,
LTS Bat dau tir sé 387, tháng 9.2009 đến số
396, thang 6.2010 THTT sé lan lượt đăng các chuyên để toán cho chuyên mục C) huấn bi thi tot nghiép THPT va thi vao Đạt học do các thấy cỏ giáo có kinh nghiệm biên soạn Tập họp các chuyên đẻ đó các bạn sẽ được một tài liệu bồ ích,
có hệ thống vẻ các dạng toán thi vào Đại học và Cao đẳng Xi giới thiệu chuyên đẻ thứ nhất với
các bạn đọc
PHƯƠNG PHÍP TÍNH THỂ TÍđH KHỐI ® ĐIỆN
ài hình học không gian trong các đề thi
thường được coi là câu khó đối với
nhiều bạn học sinh Nhằm giúp các bạn ôn thi
tốt chúng tôi xin giới thiệu một số phương
pháp tinh thé tích khối đa diện thông dụng -
I PHƯƠNG PHÁP 1 Tính trực tiếp
Hai yếu tổ quan trọng dé tính thể tích khối đa
điện là chiếu cao và diện tích đáy Trong quả
trình tính cân lưu ý:
+ Các hệ thức lượng trong tam giác, đặc biệt
là hệ thức lượng trong tam giác vudng
+ Với khối chóp cân chính xác hóa vị trí
chân đường cao của hình chóp, cụ thể :
s Hình chóp có các cạnh bên bằng nhau (hoặc
hop day những góc bằng nhau ) thì chân đường
cao là tâm đường tròn ngoại tiêp đáy
se Hình chóp có các mặt bên tạo với đáy
những góc bằng nhau thì chân đường cao là
tâm đường tròn nội tiếp đáy
e Hình chóp có một mặt bên vuông góc với
đáy thì chân đường cao năm trên giao tuyên
của mặt đó với đáy
e Hình chóp có hai mặt bên kẻ nhau cùng
vuông góc với đáy thì đường cao của nó là
giao tuyên của hai mặt đó
+ Với khối lăng trụ có thể tinh thé tích theo
các hướng trên, hoặc chia nhỏ thành nhiều
khối chóp đơn giản dé tính
NGUYEN MINH NHIEN
(GV THPT Quế Võ số 1, Quế Võ, Bắc Ninh)
+ Với khối đa diện phức tạp, để tính thể tích
ta thường chia nhỏ nó thành nhiều khối chóp đơn giản để tính
*Thí dụ 1 Co hình chóp SABCD, đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D; 4B =
AD = 2a, CD = a Góc giữa hai mặt phẳng (SBC) va (ABCD) bang 60° Goi I la trung điểm của AD Biết hai mặt phẳng (SBI) va (SCI cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD) Tính thể tích hình chóp S.ABCD
(Đề TSĐH khối A năm 2009)
Gọi H là hình chiếu của 7 trên
BC (h 1) Từ giả thiết suy ra SI vuông góc với
mặt phẳng đáy # -
Tính được
=a\2,
IB= BC = a5 > Sagcp =24D(AB+CD) = 3a
, |
Ta có 21H.bC = Sige = Sascp — Sani — Scpr
=3 -d a 3ˆ Nên 7= _N3
Tir d6 Vs ase =A, *(avtt)
Số ã87 (9-2009) TOÁN HOC he es ie gí
Trang 2* Thi du 2 Cho hinh lăng trụ tam giác
ABC.A’B’C’ cé BB’ = a Goc gitta dwong
thang BB’ va mat phang (ABC) C) bằng 60°; tam
giác ABC VUÔNg tai C và BAC = 60° Hinh
chiếu vuông sóc của điểm B' lên mặt phẳng
(ABC) trùng với trọng tâm cua tam giác ABC
Tinh thé tích khối tứ dién A’ABC theo a
(Đề TSĐH khối B năm 2009)
Hướng dẫn giải Gọi M là trung điểm của
AC, H là trọng tâm tam giác 4BC é 2)
Tính được
BH ="
=> BM =—
4
BH = a3
2
Đặt BC =x thi
2
-1_#% Ta có BM = BC +CM'
2 tan BAC ers
«œ-~a =x hà => =A’
2 Suy ra Sune = =2BC AC === ov3 a
2V3 104"
1
> Va apc = Vo arc = 5 BA Same: = 5 = „ (đvt), Oo
* Thi du 3 Cho hinh chép S.ABC cé AABC
vudng tai C, AC = a, AB = 2a, SA vudng goc với
đáy Góc giữa mặt phăng (S1B) và mặt phẳng
(SBC) bằng 60” Gọi H K lân lượt là hình chiếu
cua A lén SB va SC Ching mình răng
AK | HK vatinh thé tich hinh chép S.ABC
Hướng dẫn giải (h 3)
® Ta có
SA 1 BC,AC L BC
=> BC 1 (SAC)
=> BC LAK
Ma AK 1 SC nén AK (SBC)
=> AK 1 HK
lnh 3
TOAN HỌC
8 - '°Tluổiye Số5879-2009)
e Dễ dàng tính được $¿„:=——— z8 (dvdt)
Trong tam giác vuông 4KH, 4K = AH.sin60°
J3
4H Các tam giác SAB, SAC vung tai A
mm AK? S& AC? 3A? S# da
=> 2 =——+—— (2)
AH’ 4SA’ 4a
Từ (1) và (2) suy ra (1) và (2) suy asi =———~, SUY ra 2a y
a
spo, Vay Vo aye = #6 (ay vt) O
* Thí dụ 4 Cho lăng trụ đều ABC.A'B'C' có
cạnh đáy băng a, khoảng cách từ tâm O của tam giác ABC đến mặt phẳng (A'BC) bằng =
Tinh thé tich hinh lang tru déu do
Hướng dẫn giải Gọi M là trung diém cua BC, H
là hình chiêu của
Ó lên 4 3⁄ (h 4)
Có AM 1 BC, AA’ | BC
=BC L(A4M)
=> BC LOH
OH 1(A'BC) = d(O,(A'BC)) = OH = = Dat AA’ =x , tacé AMOH «> AMA'A nén
a a3
——=—x>~=-=>-‹x _a
x +
32 ›;
Suy ra Vago age = AA'S xc: “76° (dvtt) n
Trang 3
Hinh 9
tạo [ao „ MP MD MƠ 1
pc y MN MC MB 6
5
=> Vipocng = Maen
Vi D là trung điểm của A⁄C, nên
d(M.(BCN)) =24(D,(BCN))
1
=> Vụgcw = 2Fbncw = Ÿbụcx = 27 XABCD
Tu do Vipoons = 12 Vs azcp
7 Vipocns — 5
=> Vsapnpo ==—ŸN Ancp > = =—.0
* Thi du 8 Cho hình lập phương ABCD.A'BC”D'
cạnh băng a, K là điểm thuộc đoạn CC" sao
cho CK=Ša Mặt phẳng (œ) qua A, K và
song song với BD chia khói lập phương thành
hai phân Tính tỉ số thể tích hai phan do
Hướng dẫn giải
Goi O va O’
theo thứ tự là
tâm của hình
và A’B’C’D’, M=AKQOO'
Qua M kẻ đường thăng song song
voi BD cat BB’,
DD’ lan lượt tại
E, F
Khi đó, thiết diện tạo bởi (2) và hình lập
phương chính là hình bình hanh AEKF
(h 10)
Hình 10
TOAN HOC
10 FCluốïgg._ Số 5970-2009)
Vi OM là đường trung bình tam giác 4CK
1
nén OM =—CK =“ Do dé BE= DF =<
Dat Vj = Ÿ AngKrbc › Vy =Vargea cn -
pé y ring mp(44’C’C) chia khéi ABEKFDC
thanh hai phan bang nhau nén
ị =2 wk, = 2 ABS ‘KE = ÊA— Sự = 3 2 BCC`B
3
a 2#
3
W = Vancp kg» —Ứ =đ ——=——
Vậy he 1, ñ
V, 2
Hi vong rằng qua các thí dụ trên bạn đọc có thé nam được phương pháp tính thé tích khối
đa diện Cuối cùng mời các bạn tham gia giải
một số bài toán sau
1 Cho tứ diện ABCD co AABC, AABD đều
cạnh a, (ACD) 1 (BCD) Tính V‡pgcp
2 Cho hinh chép S.ABCD có đáy 4BCD là
hình vuông canh 2a, SA=a, SB= a3 và mặt phang (SAB) vudng goc voi mat day Goi
M và N lần lượt là trung điểm của 48 và BC
Tinh Vs gun -
(Đề TSĐH khối B năm 2008)
3 Cho tứ diện 4BCD; các điểm M, N, P lần
lượt thuộc ĐC, BD, AC sao cho BC = 4BM,
BD = 2BN, AC = 3AP; mặt phang (MNP) cat
AD tai Q Tinh ti so thê tích hai phần khôi tứ dién ABCD bi phan chia béi mat phang (MNP)
4 Cho lang trụ ABC.A’B'C’ cé cac mat phang (A’AB), (A’BC), (A’CA) hop voi day
(ABC) góc 60°, góc ACB=60°, AB =av7,
AC = 2a Tinh Vag ac’
5 Cho hình lập phuong ABCD.A’B’C’D’ canh bang a Goi M, N, P lần thuộc các đoạn AA’, BC, CD sao cho AA'= 3A'M, BC = 3BN,
CD = 3DP Mat phang (MNP) chia khối lập phương thành hai phân Tính thê tích từng phân
