Tài liệu Toán Cao cấp C

Toán C dùng cho các ngành Đại học Trồng trọt, Chăn nuôi, Phát triển nông thôn, Bảo vệ thực vật,... Bao gồm các kiến thức về giải tích hàm một biến: Giới hạn và tính liên tục hàm một biến, Đạo hàm và vi phân hàm một biến, Phép tính tích phân hàm một biến; Hàm nhiều biến: giới hạn, tính liên tục, đạo hàm riêng và vi phân toàn phần hàm hai biến số; Phương trình vi phân và Lý thuyết chuỗi; Đại số tuyến tính: Ma trận, Định thức và Hệ phương trình tuyến tính.

TRƯỜNG ĐẠI HỌC AN GIANG

i

MỤC LỤC

CHƯƠNG 1: GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC CỦA HÀM MỘT BIẾN 1

1 KHÁI NIỆM HÀM SỐ MỘT BIẾN 1

1.1 Hàm số: 1

1.2 Hàm số hợp: 1

1.3 Hàm số ngược: 1

1.4 Các loại hàm số: 2

1.5 Hàm số sơ cấp 3

2 GIỚI HẠN HÀM MỘT BIẾN 4

2.1 Giới hạn hàm một biến 4

2.2 Giới hạn một phía: 5

2.3 Các tính chất: 5

2.4 Một số giới hạn cơ bản: 6

2.5 Vô cùng bé, vô cùng lớn: 7

3 HÀM MỘT BIẾN LIÊN TỤC 9

3.1 Hàm số liên tục: 9

3.2 Hàm số liên liên tục trên khoảng 9

3.3 Các tính chất 9

4 BÀI TẬP THỰC HÀNH 10

4.1 Bài tập giới hạn 10

4.2 Bài tập về hàm liên tục: 16

5 BÀI TẬP RÈN LUYỆN 20

CHƯƠNG 2: PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN 23

1 Đạo hàm cấp một và đạo hàm cấp cao 23

1.1 Đạo hàm: 23

1.2 Đạo hàm trái: 23

1.3 Đạo hàm phải: 23

1.4 Đạo hàm trên khoảng: 23

1.5 Đạo hàm cấp hai: 23

1.6 Đạo hàm cấp cao: 23

1.7 Quy tắc đạo hàm: 24

1.8 Các công thức tính đạo hàm 24

2 Vi phân hàm một biến: 25

2.1 Vi phân hàm một biến: 25

2.2 Tính chất 25

2.3 Vi phân cấp cao: 26

2.4 Các quy tắc lấy vi phân 26

ii

3 Ứng dụng của đạo hàm và vi phân 26

3.1 Khử dạng vô định trong tình giới hạn (Quy tắc L’Hospital) 26

3.2 Tìm cực trị hàm số: 27

3.3 Cách tìm cực trị của hàm số: 27

3.4 Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số: 28

3.5 Tính gần đúng: 28

4 BÀI TẬP THỰC HÀNH 28

4.1 Tính đạo hàm bằng định nghĩa: 28

4.2 Tính đạo hàm hàm số phụ thuộc tham số: 29

4.3 Tính vi phân: 30

4.4 Tìm giới hạn bằng quy tắc L’hospital: 30

5 BÀI TẬP RÈN LUYỆN 31

CHƯƠNG 3: PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN 33

1 Tích phân bất định 33

1.1 Nguyên hàm: 33

1.2 Tích phân bất định 33

1.3 Tính chất: 33

1.4 Tích phân một số hàm sơ cấp: 33

2 Các Phương pháp tính tích phân 34

2.1 Phương pháp đổi biến 34

2.2 Phương pháp tích phân từng phần: 36

3 Tích phân của một số dạng hàm số thường gặp: 38

3.1 Tích phân các hàm số hữu tỷ: 38

3.2 Tích phân các hàm số lượng giác: 41

3.3 Tích phân các hàm số vô tỷ: 44

4 Tích phân xác định: 46

4.1 Bài toán mở đầu: 46

4.2 Tích phân xác định: 46

4.3 Quy ước: 47

4.4 Các tính chất của tích phân xác định: 47

4.5 Công thức đạo hàm theo cận trên và công thức Newton – Leibnitz: 48

4.6 Phương pháp tính tích phân xác định: 50

5 BÀI TẬP THỰC HÀNH 51

6 BÀI TẬP RÈN LUYỆN 54

CHƯƠNG 4: ĐẠO HÀM – VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN 57

1 Khái niệm hàm số hai biến 57

1.1 Khoảng cách trong mặt phẳng 57

iii

1.2 Lân cận của một điểm 57

1.3 Hàm hai biến 57

2 Giới hạn của hàm số hai biến 57

2.1 Giới hạn hàm hai biến 57

2.2 Tính chất 1: 58

2.3 Tính chất 2: 58

2.4 Nguyên lý kẹp 58

3 Sự liên tục của hàm hai biến: 59

3.1 Hàm hai biến liên tục tại một điểm: 59

3.2 Hàm hai biến liên tục trên miền D 59

3.3 Tính chất 1 59

3.4 Tính chất 2 60

4 Đạo hàm riêng cấp một và đạo hàm riêng cấp cao: 60

4.1 Đạo hàm riêng của hàm hai biến 60

4.2 Đạo hàm riêng cấp cao 61

4.3 Tính chất 63

5 Vi phân toàn phần của hàm hai biến 63

5.1 Vi phân hàm hai biến 64

5.2 Vi phân toàn phần cấp hai 64

6 Ứng dụng của đạo hàm và vi phân hàm hai biến 64

6.1 Cực trị hàm hai biến: 65

6.2 Cực trị có điều kiện của hàm hai biến: 66

6.3 Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất: 67

7 BÀI TẬP THỰC HÀNH 69

8 BÀI TẬP RÈN LUYỆN 71

CHƯƠNG 5: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN 74

1 Phương trình vi phân 74

1.1 Khái niệm về phương trình vi phân 74

2 Các loại phương trình vi phân cấp 1 75

2.1 Phương trình có biến phân ly 75

2.2 Phương trình thuần nhất (đẳng cấp) 76

2.3 Phương trình vi phân hoàn chỉnh 78

2.4 Phương trình tuyến tính: 81

2.5 Phương trình Bernouli: 83

3 Phương trình vi phân cấp 2 84

3.1 Phương trình vi phân cấp hai giảm cấp được 84

3.2 Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai có hệ số là hằng số 86

iv

4 BÀI TẬP THỰC HÀNH 94

4.1 Phương trình vi phân biến số phân li sau 94

4.2 Tìm nghiệm riêng các phương trình vi phân thỏa mãn điều kiện đầu 95

4.3 Phương trình vi phân thuần nhất (đẳng cấp) sau 96

4.4 Phương trình vi phân hoàn chỉnh (Toàn phần): 97

4.5 Phương trình vi phân tuyến tính cấp một 97

4.6 Phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 hệ số hằng 98

5 BÀI TẬP RÈN LUYỆN 98

CHƯƠNG 6: LÝ THUYẾT CHUỖI 100

1 Chuỗi số 100

1.1 Khái niệm chuỗi số 100

1.2 Tính chất: 101

2 Chuỗi số dương 101

2.1 Dấu hiệu so sánh: 101

2.2 Dấu hiệu D’Alembert, Cauchy, Tích phân: 103

3 Chuỗi số có dấu bất kỳ 104

3.1 Chuỗi đan dấu Dấu hiệu Leibnitz: 104

3.2 Chuỗi có dấu bất kỳ: 105

3.3 Chuỗi luỹ thừa: 105

4 BÀI TẬP THỰC HÀNH 107

4.1 Dùng các dấu hiệu so sánh, xét tính hội tụ của các chuỗi số 107

4.2 Dùng dấu hiệu Cô - si hoặc Đalămbe hoặc dấu hiệu tích phân Cô – si 108

4.3 Khảo sát sự hội tụ của các chuỗi đan dấu (hoặc chuỗi có dấu bất kỳ) sau 109

5 BÀI TẬP RÈN LUYỆN 109

CHƯƠNG 7: MA TRẬN - ĐỊNH THỨC 111

1 Ma trận 111

1.1 Ma trận và các loại ma trận: 111

1.2 Các phép toán của ma trận 113

2 Định thức 115

2.1 Khái niệm về phép thế 115

2.2 Định nghĩa và tính chấtt của định thức 116

2.3 Tính chất của định thức 118

2.4 Khai triển định thức 120

2.5 Các phương pháp tính định thức 121

3 Hạng của ma trận 123

3.1 Hạng của ma trận 123

3.2 Các phương pháp tính hạng ma trận 123

v

4 Ma trận nghịch đảo: 124

4.1 Ma trận khả nghịch 124

4.2 Các phương pháp tìm ma trận nghịch đảo 125

5 BÀI TẬP THỰC HÀNH 126

5.1 Các phép toán về ma trận 126

5.2 Tính định thức 127

5.3 Giải phương trình, bất phương trình định thức 128

5.4 Hạng của ma trận 128

5.5 Ma trận nghịch đảo 129

5.6 Giải phương trình ma trận 129

6 BÀI TẬP RÈN LUYỆN 130

CHƯƠNG 8: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 134

1 MỘT SỐ KHÁI NIỆM MỞ ĐẦU 134

1.1 Định nghĩa hệ phương trình tuyến tính(hpttt) 134

1.2 Nghiệm của hpttt 134

2 ĐIỀU KIỆN ĐỂ HỆ CÓ NGHIỆM 134

3 CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 135

3.1 Phương pháp Crame 135

3.2 Phương pháp Gauss (phương pháp khử dần ẩn số) 135

4 BÀI TẬP rèn luyện 140

4.1 Giải các hệ phương trình tuyến tính sau bằng phương pháp Crame 140

4.2 Giải các hệ phương trình tuyến tính sau bằng phương pháp Gauss 141

4.3 Giải và biện luận các hệ phương trình tuyến tính sau 142

Chú ý: Nếu hàm số cho bởi một công thức dạng y f x  thì miền xác định là tập hợp tất cả giá trị của x làm cho biểu thức f x  có nghĩa

Ví dụ 1 1 Hàm số y f x( )x có miền xác định là 3  và miền giá trị là 

Ví dụ 1 2 Cho các hàm số y f x( )x và 3 y g x ( ) sin x khi đó hàm hợp của

X

- Hàm số y f x( ) được gọi là bị chặn trong tậpD nếu nó vừa bị chặn trên và vừa

bị chặn dưới, tức là tồn tại số 0M sao cho f x( ) M với mọi x D

Ví dụ 1 4 Các hàm số ysin ,x ycosx là các hàm số bị chặn vì  1  mà | sin | 1x  và

| cos | 1x  với mọi x

- Còn hàm số y 1

x là hàm số không bị chặn trong khoảng (0,  ) 1.4.4 Hàm tuần hoàn

Giả sử hàm số f X:  xác định trên tập hợp số thực X Nếu tồn tại một số dương

T sao cho với mọi x X ta đều có: x T X& (f x T )  f x( ) (1) thì f gọi là một hàm

3

Từ đẳng thức trên suy ra: Với mọi x X thì f x( )f x T(  ) f x( 2 ) T 

Nếu trong tập hợp các số T 0 thỏa mãn đẳng thức (1) có số nhỏ nhất thì số đó được

gọi là chu kì của hàm số tuần hoàn

Ví dụ 1 5 Các hàm số f x( ) sin & ( )x g x  2 cosx3 là những hàm số tuần hoàn có

chu kì 2, hàm số h x( ) 2sin 2  x5 có chu kì 

1.5 Hàm số sơ cấp

Ta gọi các hàm số gồm: hàm hằng, hàm luỹ thừa, hàm số mũ, hàm logarit, hàm lượng

giác, hàm lượng giác ngược là các hàm số sơ cấp cơ bản

Ta gọi các hàm cho bởi một công thức duy nhất, trong đó có hữu hạn phép toán hàm

(tổng, hiệu, tích, thương và hợp hàm) tác động lên một số hữu hạn các hàm sơ cấp cơ bản là

Hàm lôgarit yloga x,với 1 a 0 có miền xác định là (0,  ), miền giá trị là

 Nếu a1 thì hàm đồng biến 0 a 1 thì hàm nghịch biến Hàm lôgarit ylogaxlà

hàm số ngược của hàm số mũ y a x

1.5.3 Hàm số lũy thừa:

Hàm lũy thừa có dạng y x với , 

- Nếu  là số hữu tỷ thì miền xác định của hàm lũy thừa phụ thuộc vào  Chẳng hạn

- Nếu  là số vô tỷ dương thì ta quy ước miền xác định là [0,)

- Nếu  là số vô tỷ âm thì ta quy ước miền xác định của nó là (0, )

1.5.4 Các hàm số lượng giác

- Hàm số ysinx có miền xác định , miền giá trị [ 1, 1] , là hàm lẻ, tuần hoàn với

chu kỳ 2

1.5.5 Các hàm số lượng giác ngược

- Hàm yarcsinx là hàm ngược của hàm số ysinx

- Hàm y  arccos x là hàm ngược của hàm số y  cos x

- Hàm yarctanx là hàm ngược của hàm số ytanx

- Hàm yarc cotx là hàm ngược của hàm số ycotx

Tóm tắt định nghĩa của các hàm số ngược:

Hàm số lượng giác ngược Miền xác định Miền giá trị

Cho hàm số xác định trên có thể trừ điểm Ta nói hàm số

có giới hạn là L khi nếu với mọi   (có thể bé bao nhiêu tùy ý) ta luôn 0tìm được số   sao cho với mọi giá trị 0 x(x0;x0 ) \ x0 ta đều có f x  L  Khi đó ta viết  

0

lim

x x f x L Nói theo cách bình thường, hàm số y f x( ) có giới hạn là L khi x tiến tới x0 nếu hàm

số đó nhận giá trị rất gần L khi x có giá trị gần x0

 

 

5

2.2 Giới hạn một phía:

Nếu x x 0 mà xx0 thì ta quy ước viết xx0 và nếu x x 0 mà xx0 thì ta quy ước ta viết xx0

2.2.1 Giới hạn bên trái

Số L được gọi là giới hạn trái của hàm số y f x( ) khi xx0 nếu với mọi   0luôn tìm được   sao cho với mọi 0 xx0;x0 ta luôn có f x  L  Khi đó viết

2.2.2 Giới hạn bên phải

Số L được gọi là giới hạn phải của hàm số y f x( ) khi xx0 nếu với mọi   0luôn tìm được   sao cho với mọi 0 xx x0; 0  ta luôn có f x  L  Khi đó viết

   

 

x

x aa



 

x axa

g x thì ta nói f x( )là vô cùng bé bậc cao so với g x( )(nghĩa là f x( )

dần tới 0 nhanh hơn g x( ) đến nỗi tỷ số ( )

2.5.5 Ứng dụng thay các vô cùng bé, vô cùng lớn trong tính giới hạn

Giả sử f x F x g x G x( ), ( ), ( ), ( )là các vô cùng bé (hay các vô cùng lớn)) đồng thời khi



x a

Nếu

lim ( ) ( ) lim ( ) ( )( ) ( )

(a) nên sin ~x x khi

(b) nên và là hai vô cùng bé cùng cấp khi

(c) Cho thì nên là vô cùng bé cấp cao hơn

vô cùng bé khi (d) nên là vô cùng lớn cấp cao hơn khi

2.5.6 Một số vô cùng bé tương đương:

e x

- Nếu ta nói hàm liên tục trái tại

- Nếu ta nói hàm liên tục phải tại

3.2 Hàm số liên liên tục trên khoảng

Hàm số liên tục trên khoảng nếu nó liên tục tại mọi điểm trên khoảng đó Hàm số liên tục trên đoạn nếu nó liên tục trên khoảng và liên tục trái tại liên tục phải tại

 

x x , c) 1 2

1lim( 1)



x xGiải

5lim

x

xI

xI

x , c)

2

1lim

x

12

Giải

Vì: a), b) không thuộc dạng vô định nào, nên ta có:

2 2 2

5 4 5

4 33

11

2 2

2

2 1

lim

2lim

1

x

xx

1 1

14

2 2

lim

21

lim lim

x x

) lim





x x x

b

xGiải

b I

x ;

3 0

2014

1 arcsin 2 6 2

6 2 0

2 2014

xx

2 2

3 3

1 01

2 1lim

xI

x x

4.1.14 Tính 0

1 cos 4lim





x

xI

0 0.

3

18

2 sinlim ( ) lim sin

f x

khi x Chứng tỏ rằng hàm số f x( )liên tục trên toàn bộ 

19

+ Tại x 1 f(1) 

Đặt:

1 6 Tìm giới hạn sau

2 0

cotlim 1 3tan

xx

1 9 Tìm giới hạn sau

1,1

khikhi

khikhi

22

1 17 Tìm a  để hàm số

1 cos

0,( )

0,

khikhi

( )

1

2,4

khikhi

f x

liên tục trên 

23

CHƯƠNG 2: PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN

1 ĐẠO HÀM CẤP MỘT VÀ ĐẠO HÀM CẤP CAO

1.1 Đạo hàm:

Cho hàm số xác định trên , , x là số gia của đối số tại x 0Đặt gọi là số gia của hàm số Nếu tồn tại hữu hạn thì ta nói hàm số có đạo hàm tại và giới hạn đó được gọi là đạo hàm của tại , kí hiệu là

Đạo hàm cấp của hàm số , kí hiệu là Ta có: f n  x f n  1  x  1.6.1 Công thức tính đạo hàm bậc cao của tổng, của tích

24

1.6.2 Công thức đạo hàm bậc cao của một số hàm số

( )1) ( )ax n axlnna a( 0)

( )

22) (sinax)n ansin(ax n )

 y  f x g x g x f x f x  g x f x

1.8 Các công thức tính đạo hàm

Vậy, vi phân của hàm số y f x( ) là:

- Vi phân cấp ba của hàm số y f x( ) là vi phân của d y , kí hiệu 2 d y3  f x dx 3

- Vi phân cấp n của hàm số y f x( ) là vi phân của dn  1y và kí hiệu là d yn  f n  x dxn 2.4 Các quy tắc lấy vi phân

Nếu u v, là hai hàm số có đạo hàm trên khoảng ( , )a b thì :

(i) dc0 với c const 

(ii) d u v(  ) du dv

(iii) d cu( )c du với c const 

(iv) d uv( ) vdu udv

(v)     2

 

u vdu udvd

v v nếu v0.

3 ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN

3.1 Khử dạng vô định trong tình giới hạn (Quy tắc L’Hospital)

Điểm được gọi là điểm cực tiểu nếu có một khoảng chứa sao cho

3.2.3 Cực trị hàm số:

Các điểm cực tiểu và cực đại của hàm số được gọi là điểm cực trị hay cực trị của hàm số

x x

0 0

0 0

29

4.1.2 Cho hàm số

2sin

khi xHãy xét xem tại điểm x0 1, hàm số f x( ) có đạo hàm hay không?

Giải Xét:

2 2

2 2 2

Vậy f x( )có đạo hàm tại điểm x0 1và f(1)2

4.2 Tính đạo hàm hàm số phụ thuộc tham số:

4.2.1 Cho hàm số dạng tham số: y  bsin ,t x a cost với ; .

Tacó:yt cos ,t xt  2cos sint t

cos( ) 

tt

1 sin  4sin

4.4 Tìm giới hạn bằng quy tắc L’hospital:

4.4.1 Tìm các giới hạn sau đây :

tan 3





x

x

c C

x Giải

31

1 cos 3 cos 3

1 (cos 3 )lim

3   (cos )





x

x

2 2

1 cos 3lim

3   cos



x

xx





x

x

(sin 6 )lim

x

6 cos 6lim

2 cos 2





x

xx

6.( 1)

3.2.( 1)

2 2 Chứng minh rằng hàm số sau không có đạo hàm tại x2

2( ) 5 6

2 18 Dùng quy tắc L’Hospital tìm giới hạn sau

1.3 Tính chất:

(ii) (iii) 1.4 Tích phân một số hàm sơ cấp:

2.1 Phương pháp đổi biến

2.1.1 Đổi biến theo chiều thuận:

Chú ý: Khi gặp các tích phân: a2x dx2 hoặc  a2x dx2 hoặc  x2a dx a2 ( 0)

Thông thường các tích phân đó sẽ dễ tính hơn khi khử căn thức Lợi dụng các công thức lượng giác sin2 cos2 1 1 2 12

2

sincos

t

t sin2cos

a t dt

t

2.1.2 Đổi biến theo chiều ngược:

Đặt: u P x dv e ( ),  axsinbxdx (hoặc dv e axcosbxdx )

Ta có:  ( ) &  sin  sin 2 2cos



du P x dx v e bxdx e

a b (+C) (hoặc  cos  sin 2 2cos ( )

P xdx

3.2 Tích phân các hàm số lượng giác:

3.2.1 Dạng Rsin ,cosx x dx trong đó  Rsin ,cosx x là hàm số hai biến đối với sin x và

Nếu Rsin ,cosx x Rsin ,cosx x thì ta đặt tcosx

42

Nếu Rsin , cosx  x Rsin ,cosx x thì ta đặt tsinx

Nếu Rsin , cosx  xRsin ,cosx x thì ta đặt t  tan x

Ví dụ 10: Tính sin2xcos3xdx Ta thấy Rsin ,cosx xsin2xcos3x và

sin , cos sin2 ( cos ) 3  sin2 cos3  sin ,cos 

sin



t x dtcosxdxsin2xcos3xdxt2 1t dt 2

3.2.2 Dạngcosaxcosbxdx, cos axsinbxdx, sin axsinbxdx

: Phương pháp: Ta dùng công thức biến đổi tích thành tổng

sin  sin   (1 cos )   (1 cos )(1 cos )

xx

2 .sin 2sin cos sin cos

Cxtg

3cos , 9 3cos , arcsin

4.1 Bài toán mở đầu:

Tính diện tích phần mặt phẳng giới hạn bởi trục hoành, đường thẳng và barabol

Giải:

Chia đoạn  0;1 thành n phần bằng nhau bởi các điểm chia