Kinh nghiệm giải một số bài toán cực trị số phức bằng phương pháp hình học giải tích

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁTRƯỜNG THPT SẦM SƠN SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM KINH NGHIỆM GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN CỰC TRỊ SỐ PHỨC BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÌNH HỌC GIẢI TÍCH Người thực hiện: Nguyễn Mi

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ

TRƯỜNG THPT SẦM SƠN

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

KINH NGHIỆM GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN CỰC TRỊ SỐ PHỨC BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÌNH HỌC GIẢI TÍCH

Người thực hiện: Nguyễn Minh Thế Chức vụ: Giáo viên

SKKN thuộc lĩnh mực (môn): Toán

THANH HOÁ NĂM 2019

MỤC LỤC

Trang

I MỞ ĐẦU 1

1.1 Lí do chọn đề tài 1

1.2 Mục đích nghiên cứu 1

1.3 Đối tượng nghiên cứu 1

1.4 Phương pháp nghiên cứu 1

II NỘI DUNG 1

2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm 1

2.1.1 Các định nghĩa và kí hiệu 1

2.1.2 Các phép toán trên tập hợp số phức 2

2.1.3 Một số kí hiệu chuyển từ số phức sang tọa độ Oxy quen thuộc 2

2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm 2

2.3 Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề 2

2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm với hoạt động giáo dục, với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường 19

III KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ 20

3.1 Kết luận 20

3.2 Kiến nghị 20

TÀI LIỆU THAM KHẢO 21

I MỞ ĐẦU 1.1 Lí do chọn đề tài

Trong chương trình Toán THPT, phần đại số mà cụ thể là chủ đề số phức,học sinh sẽ được hoàn thiện hiểu biết của mình về các tập hợp số Trong chủ đềnày, học sinh đã bước đầu làm quen với các phép toán cộng, trừ, nhân, chia, lũythừa; lấy môđun, … các số phức Bằng cách đặt tương ứng mỗi số phức

 , , 2 1

z x yi x y  ��i   với mỗi điểm M x y trên mặt phẳng tọa độ Oxy , ;

ta thấy giữa Đại số và Hình học có mối liên hệ với nhau khá "gần gũi" Hơn nữa,nhiều bài toán số phức, khi chuyển sang hình học, từ những con số khá trừutượng, bài toán đã được minh họa một cách rất trực quan, sinh động và cũng giảiđược bằng hình học với phương pháp rất đẹp Đặc biệt, trong kỳ thi THPT Quốcgia, việc sử dụng phương pháp hình học để giải quyết các bài toán về số phức làmột trong những phương pháp khá hay và hiệu quả, đặc biệt là các bài toán vềcực trị trong số phức Hơn nữa, với những bài toán hình học theo phương pháptrắc nghiệm, nếu khi biểu diễn được trên giấy thì qua hình ảnh minh họa, ta cóthể lựa chọn đáp án một cách dễ dàng

Tuy nhiên, trong thực tế giảng dạy, việc chuyển từ bài toán đại số nóichung và số phức nói riêng sang bài toán hình học ở nhiều học sinh nói chungcòn khá nhiều lúng túng, vì vậy việc giải các bài toán về số phức gây ra khánhiều khó khăn cho học sinh

Trước vấn đề trên tôi thấy cần có một lý thuyết, phương pháp và phân loạibài tập đối với loại toán này

1.2 Mục đích nghiên cứu

Bài toán cực trị số phức thông thường thì có khá nhiều cách lựa chọn đểgiải như dùng bất đẳng thức, dùng khảo sát hàm số, … Qua nội dung này, tôimuốn gợi ý cho học sinh một lối tư duy vận dụng linh hoạt các phương phápchuyển đổi từ bài toán đại số sang hình học cho học sinh, giúp các em có cáinhìn cụ thể hơn về việc chuyển đổi đó và vận duy tư duy này cho những bài toánkhác

1.3 Đối tượng nghiên cứu

Với mục tiêu trên, trong nội dung này, tôi chỉ tập trung giải quyết bài toántheo hướng hình học, không đặt nặng việc so sánh phương pháp nào nhanh hơn,tối ưu hơn phương pháp nào

1.4 Phương pháp nghiên cứu

Nghiên cứu lý thuyết và thực nghiệm

II NỘI DUNG 2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm

2.1.1 Các định nghĩa và kí hiệu

a) Số i (đơn vị ảo): i2   1

b) Số phức: Biểu thức z x yi  ( ,x y ��) gọi là số phức x được gọi là phần thực, y được gọi là phần ảo.

c) Với mỗi số phức z x yi  , giá trị biểu thức x2 y2 gọi là môđun

của z Kí hiệu: z Như vậy , z  x2  y2

d) Với mỗi số phức z x yi  Số phức z�  x  y i x yi  gọi là số

phức liên hợp của số phức z Kí hiệu z Như vậy nếu z x yi   thì z x yi 

e) Với mỗi số phức z x yi  Xác định điểm M x y trên mặt phẳng ;

tọa độ Oxy Điểm M gọi là biểu diễn hình học của số phức z x yi 

Để cho thuận tiện trong nội dung này tôi kí hiệu M x y ; M z  hay đơn giản

+ Với A A z  A ,B B z  B trong đó ,z z là hai số phức khác nhau cho A B

trước thì tập hợp các điểm M M z  thỏa mãn z z A  z z B hệ thức làđường trung trực của đoạn AB

+ Với M0 M z0 0 ,R , tập hợp các điểm 0 M M z  thỏa mãn hệthức z z 0  là đường tròn tâm R M bán kính R 0

2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm

Hiện nay, đa số các em học sinh còn rất lúng túng trong việc giải các bàitoán liên quan đến cực trị số phức Với mong muốn có một hệ thống các bài tậpliến quan đến liên quan đến cực trị số phức để các em làm tốt hơn các bài tậpthuộc dạng này

Vì vậy, bản thân tôi cũng đã viết được sáng kiến kinh nghiệm cho mình:

"Kinh nghiệm giải một số bài toán cực trị số phức bằng phương pháp hình học giải tích"

2.3 Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề

BÀI TOÁN 1: Cho số phức z0 a0 b i a b0  0 , 0 �� và tập hợp các số phức

Từ hệ thức z z  1 z z2 , suy ra phương trình đường thẳng .

+ Với câu a), ta tính khoảng cách d M 0; , và kết luận  min z z 0 d M 0; + Với câu b)

• Viết phương trình đường thẳng d đi qua M , vuông góc với 0  (hoặc song

song với AB ).

• Giải hệ gồm hai phương trình:  và d suy ra nghiệm  x y Kết luận, số phức;

cần tìm là z x yi 

Đặc biệt: zmin tức là tìm số phức z sao cho môđun của z là nhỏ nhất.

Ví dụ 1.1 Trong tất cả các số phức z thỏa mãn z 1 2i    Tìm giáz 3 4i

trị nhỏ nhất của môđun của z

A 5 13

Lời giải Chọn A.

Bình luận: Hãy thể hiện bài toán trên giấy kẻ

ô, rồi đoán đáp án đúng

Ví dụ 1.2 Trong tất cả các số phức z thỏa mãn hệ thức z     ,1 3i z 3 5i

tìm giá trị nhỏ nhất của z  2 i

A 5 B 68 C 12 17

Lời giải Chọn C.

Bình luận: Hãy thể hiện bài toán trên giấy

kẻ ô, rồi đoán đáp án đúng

25.

Lời giải Chọn A.

Từ đó z  nhỏ nhất khi 1 i 1 23 23

z  i�P 

Bình luận: Hãy thể hiện bài toán trên giấy kẻ ô, rồi đoán đáp án đúng.

BÀI TOÁN 2: Cho số phức z thỏa mãn hệ thức z z 0   , trong đóR 0 0

+ Từ hệ thức z z 0   Suy ra phương trình đường tròn R 0  C

+ Viết phương trình đường thẳng d đi qua hai điểm A z 1 ,I z  0

+ Giải hệ phương trình gồm phương trình của  C và d , suy ra các nghiệm

x y1; 1 , x y 2; 2

+ Thử lại để bộ  x y thích hợp từ hai bộ trên.; 

Ví dụ 2.1 Trong tất cả các số phức z thỏa mãn hệ thức z   Tìm min1 3i 3

1

z  i

Lời giải Chọn A.

Đặt M M z , 1; 3 ,I    A 1;1 �AI 4 và z  1 i MA

Từ hệ thức z   Suy ra 1 3i 3. M � đường tròn bán kính R 3

Vậy min z  1 i minMA M A 1  AI R  1

Bình luận: Hãy thể hiện bài toán trên giấy kẻ ô rồi đoán đáp án đúng

Ví dụ 2.2 Trong tất cả các số phức z thỏa mãn hệ thức z i  Tìm giá trị lớn1

nhất của z

Lời giải Chọn A.

Ta có: I 0;1 , A O�  0; 0 �IA1

 

M M z với z thỏa mãn hệ thức z i   suy ra M1

thuộc đường tròn bán kính R1 Vậy



Lời giải Chọn A.

Xét hệ

Bình luận: Hãy thể hiện bài toán trên giấy kẻ ô rồi đoán đáp án đúng

Ví dụ 2.4 Cho số phức z thỏa mã hệ thức z i   Biết z lớn nhất Tìm phần2.

ảo của z

Lời giải Chọn A.

Bình luận: Hãy thể hiện bài toán trên giấy kẻ ô rồi đoán đáp án đúng

BÀI TOÁN 3 Cho số phức z thỏa mãn hệ thức z z 1  z z2 Với z z là1, 2 các số phức.

a) Tìm giá trị nhỏ nhất của z z 3  z z4 Với z z là các số phức3, 4 cho trước.

b) Tìm số phức z để z z 3   nhỏ nhấtz z4

Nhận xét:

- Đặt ( ),M z A z   3 ,B z4 thì z z 3  AM z z,  4 BM

- Từ hệ thức z z  1 z z2 Suy ra, M thuộc đường thẳng 

Dẫn đến bài toán: Tìm M� sao cho MA MB nhỏ nhất

+ Nếu ,A B nằm về cùng một phía so với  thì gọi 'A là điểm đối xứng

với A qua  Khi đó, với mọi điểm M�,MA MB MA MB A B  ' � ' .

Phương pháp giải

- Từ hệ thức z z  1 z z2 Suy ra phương trình đường thẳng 

- Thay tọa độ các điểm A A z  3 ,B B z  4 vào phương trình  để kiểm traxem ,A B nằm cùng phía hay khác phía so với:

* Nếu ,A B cùng phía với  thì

+ min z z  3  z z4  z3z4

+ Để tìm z thì ta viết phương trình đường thẳng d đi qua hai điểm , A B

Giải hệ gồm phương trình  và phương trình d Nghiệm  x y suy ra số phức;

z x yi  cần tìm

* Nếu ,A B khác phía với  thì viết phương trình đường thẳng a qua A và

vuông góc với  Giải hệ phương trình gồm phương trình của và phương

trình của a suy ra nghiệm là tọa độ điểm I là trung điểm của AA� Từ tọa độcủa ,A I và công thức tính tọa độ trung điểm suya ra tọa độ A�

+ min zz3� z z4  z3�z4 với A� � � A z 3

+ Để tìm z thì ta viết phương trình đường thẳng d đi qua hai điểm ', A B

Giải hệ gồm phương trình  và phương trình d Nghiệm  x y suy ra số phức;

Lời giải Chọn B.

z    i z i  A B�

Nhận xét: Nếu ta biểu diễn bài toán trên giấy có ô thì ta cũng có thể chọn đáp án

phù hợp với 1 trong 4 đáp án đưa ra

Đáp án A : 5,97;B : 6,53;C : 9,31;D : 2,81� � � �

Dựa vào hình minh họa: A B�� 4,52 4,52 �6,36 nên chọn đáp án B

Ví dụ 3.2 Cho số phức z thỏa mãn hệ thức z2i   Tìm phần thực củaz i

Lời giải Chọn D.

Vậy, phần thực của số phức thỏa mãn yêu cầu bài toán là 3

4

x 

Bình luận: Hãy thể hiện bài toán trên giấy kẻ ô, rồi đoán đáp án đúng.

Ví dụ 3.3 (Câu 46 - Đề minh họa THPT Quốc gia năm 2018)

Xét các số phức z a bi  , a b, �� thỏa mãn  z  4 3i 5 Tính P a b khi z     đạt giá trị lớn nhất.1 3i z 1 i

Lời giải Chọn A.

Đặt M M z  Từ hệ thức z  4 3i 5, ta được

    2 2

M�C x  y 

Đặt A1;3 , B1; 1 ,  I là trung điểm của AB thì I 0;1

Theo lí thuyết ở trên, ta thấy MA MB lớn nhất khi MI lớn nhất , khi M � K

Đường thẳng qua I vuông góc với AB có phương trình x2y  2 0

x y x y

BÀI TOÁN 4 Cho số phức z thỏa mãn hệ thức z z 1  z z2 Tìm

a) Giá trị nhỏ nhất của biểu thức z z A 2 z z B 2

b) Tìm số phức z để z z A2  z z B 2 đạt giá trị lớn nhất Ở đây z ,1 2

z , z , A z là các số phức cho trước B

Nhận xét

- Đặt A A z  , B B z  , M M z 

- Từ hệ thức z z  1 z z2 Suy ra M thuộc đường thẳng  Dẫn đến bài toántìm M � sao cho MA2 MB2nhỏ nhất.

- Gọi I là trung điểm AB Khi đó với mọi điểm M� , ta có: 

- Từ z z  1 z z2 Suy ra được phương trình đường thẳng 

- Tìm trung điểm I của đoạn thẳng AB

+ Với câu a): Tính khoảng cách từ I đến  , và độ dài đoạn thẳng AB Kết luận

+ Với câu b): Viết phương trình đường thẳng d qua I và vuông góc với 

Nghiệm x , y của hệ hai phương trình  và d là phần thực và phần ảo của z

Ví dụ 4.1 Cho số phức z thỏa hệ thức z 1 2i    Tìm giá trị nhỏz 3 inhất của z i    2 z 2 i2

Ví dụ 4.2 Cho số phức z thỏa hệ thức z      Tìm số phức z sao1 3i z 5 i

cho z     đạt giá trị nhỏ nhất.1 i2 z 3 i2

A z   3 i B z 2 C z   2 i D z  1 i

Lời giải Chọn B.

Lời giải Chọn A.

Đặt M x y ; M z 

Đặt A(2 ; 8), B(6 ; 6), I là trung điểm của AB thì I 4;7

Đường thẳng d qua I và vuông góc với  có phương trình 3x4y16 0. Xét hệ phương trình 4 3 12 0 0

+) Nếu ,A B cùng phía so với  thì với mọi điểm M �, ta luôn có

|MA MB |�AB. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi M A B thẳng hàng hay, ,

M   �AB

+) Nếu ,A B khác phía so với , gọi A� là điểm đối xứng với A qua thì vớimọi điểm M �, ta luôn có |MA MB | MA�MB �A B�. Dấu bằng xảy rakhi và chỉ khi M A B, ,� thẳng hàng hay M   �A B�

Phương pháp giải

Từ hệ thức z z  1 z z2 suy ra phương trình đường thẳng 

Thay lần lượt tọa độ điểm ,A B vào phương trình  để kiểm tra xem ,A B cùng

phía hay khác phía so với 

+) Nếu ,A B cùng phía so với 

Với câu a) thì giá trị lớn nhất của z z A  z z B là AB

Với câu b) ta viết phương trình đường thẳng AB Giải hệ gồm phương trình

đường thẳng  và AB ta được nghiệm , x y là phần thực và phần ảo của z

+) Nếu ,A B khác phía so với A

- Viết phương trình đường thẳng d đi qua A , vuông góc với  Giải hệ phươngtrình gồm phương trình của  và d , ta được nghiệm  x y là tọa độ điểm ; H

- Lấy điểm A� sao cho H là trung điểm của AA� .

Với câu a) thì giá trị lớn nhất của z z A  z z B là A B�

Với câu b) ta viết phương trình đường thẳng A B� Giải hệ gồm phương trình.đường thẳng  và A B� ta được nghiệm ,x y là phần thực và phần ảo của z

Ví dụ 5.1 Cho số phức z thỏa mãn hệ thức z     Tìm giá trị5 i z 1 7i

lớn nhất của biểu thức P     z 4 i z 2 4i

Lời giải Chọn A.

Đặt M x y ; M z A     , 4;1 ,B 2;4

Từ hệ thức z     , ta được 5 i z 1 7i M�: 2x3y 6 0

Thay tọa độ điểm A vào phương trình  , ta được 2.4 3.1 6 0.  

Thay tọa độ điểm B vào phương trình  , ta được 2.2 3.4 6 0.  

Suy ra ,A B cùng phía so với 

Theo phần lý thuyết ở trên, ta được giá trị lớn nhất của P là

  2 2

AB    

Ví dụ 5.2 Cho số phức z thỏa mãn hệ thức z   Biết rằng, số phức1 z i.

z x yi  thỏa mãn z    3 i z 2 6i đạt giá trị lớn nhất Giá trị biểu thức

P x y  bằng

Lời giải Chọn A.

Đặt M x y ; M z A     , 3;1 ,B 2;6 Từ hệ thức z   ta được:1 z i,

M �  x y

Thay tọa độ điểm B vào phương trình , ta được 2 5 0. 

Vậy hai điểm ,A B khác phía so với 

Theo phần lý thuyết ở trên Gọi A� là điểm

đối xứng của A qua đường thẳng : y x  thì

được A� 1;3 Đường thẳng : 1 3

x y

A B�   hay 2x y  1 0.

Giao điểm của  và A B� là nghiệm của hệ

Bình luận: Hãy thể hiện bài toán trên giấy kẻ

ô, rồi đoán đáp án đúng

BÀI TOÁN 6 Cho số phức z thỏa mãn hệ thức z z 0  R R, 0 

a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức z z A 2  z z B 2

b) Tìm số phức z để z z A2  z z B 2 đạt giá trị nhỏ nhất (giá trị lớn nhất).

Nhận xét:

- Đặt A A z  A ,B B z  B ,M M z( ) thì z z A 2 MA z z2,  B 2 MB2

- Từ z z 0  Suy ra M � đường tròn R  C tâm I bán kính R

Dẫn đến bài toán: Với , A B cố định Tìm M�( )C để MA2 MB2 nhỏ nhất.Tìm giá trị đó

- Gọi H là trung điểm của AB Ta có

Phương pháp giải

- Từ hệ thức c z z 0 R R,(  Suy ra phương trình đường tròn 0)  C , tâm I

và bán kính của  C

- Tìm tọa độ trung điểm H của đoạn AB

- Nếu yêu cầu tìm min MA 2 MB2 thì   2

- Nếu yêu cầu tìm z thì viết phương trình đường thẳng IH Giải hệ gồm

phương trình đường thẳng IH và  C , suy ra hai nghiệm ( x y của hệ Thử lại; )

• Giá trị lớn nhất của P  |z 8 6 |i 2   |z 4 10 |i 2MA2MB2 là

2 2

Đặt M M z  Từ hệ thức z  5 i 13 Suy ra, điểm M thuộc đường tròn

Theo phần lý thuyết ở trên, thì z 1 5i2   z 3 9i2 MA2MB2 nhỏ nhấtkhi và chỉ khi M � Vậy số phức cần tìm là M1 z   3 4i

BÀI TOÁN 7 Cho hai số phức ,z z� thỏa mãn các hệ thức z z 1  ,R

z�z   Suy ra, M � thuộc đường thẳng z�z  và z z � MM�

Dẫn đến bài toán: Tìm điểm M �, M� C sao cho MM � nhỏ nhất.

+ Trường hợp ǹ� C thì giá trị nhỏ nhất của z z� bằng 0

+ Trường hợp � C � thì giá trị nhỏ nhất của z z� là

 , 

z z � d I   R

Lời giải

- Từ hệ thức z z  Suy ra, đường tròn 1 R  C , tâm I, bán kính R của  C

- Từ hệ thức z�z2   Suy ra, đường thẳng z�z3 

z x y M x y là hình chiếu của I lên  và z x y� � � ;  M x y� � � ;   �a  C

, trong đó a là đường thẳng qua I và vuông góc với  , (Chú ý: chọn M � là

điểm nằm giữa ,I M ).