Kẻ IC vuông góc với ox ; ID vuông góc với oy.. A, Chứng minh rằng tích AC.. DB không đổi khi đờng thẳng qua I thay đổi.
Trang 1Phòng gd-đt thờng xuân Tiên học lễ
♣♣♣♣♣♣
Đề thi học sinh giỏi lớp 8 năm học 2006-2007
Môn thi : toán
Thời gian làm bài 120 phút
Họ và tên : ……… SBD: ………
-à -Đề bài Bài1( 2.5 điểm)
a, Cho a + b +c = 0 Chứng minh rằng a3 +a2c – abc + b2c + b3 = 0
b, Phân tích đa thức thành nhân tử:
A = bc(a+d)(b-c) –ac ( b+d) ( a-c) + ab ( c+d) ( a-b)
Bài 2: ( 1,5 điểm)
Cho biểu thức: y = (x+ 2004 ) 2
x
; ( x>0) Tìm x để biểu thức đạt giá trị lớn nhất Tìm giá trị đó
Bài 3: (2 ,5 điểm)
a, Tìm tất cả các số nguyên x thoả mãn phơng trình: :
( 12x – 1 ) ( 6x – 1 ) ( 4x – 1 ) ( 3x – 1 ) = 330
B, Giải bất phơng trình:
x− 6 ≤ 3
Bài 4: ( 3 ,5 điểm) Cho góc xoy và điểm I nằm trong góc đó Kẻ IC vuông góc với ox ; ID vuông góc với oy Biết IC = ID = a Đờng thẳng kẻ qua I cắt õ ở A cắt oy ở b
A, Chứng minh rằng tích AC DB không đổi khi đờng thẳng qua I thay đổi
B, Chứng minh rằng 22
OB
OC DB
CA
=
C, Biết SAOB =
3
8a2 Tính CA ; DB theo a
Trang 2Đáp án đề thi học sinh giỏi môn toán lớp 8
Bài 1: 3 điểm
a, Tính: Ta có: a3 + a2c – abc + b2c + b3
= (a3 + b3) + ( a2c –abc + b2c)
= (a + b) ( a2 –ab =b2 ) + c( a2 - ab +b2)
= ( a + b + c ) ( a2 – ab + b2 ) =0 ( Vì a+ b + c = 0 theo giả thiết)
Vậy:a3 +a2c –abc + b2c + b3 = 0 ( đpCM)
b, 1,5 điểm Ta có:
bc(a+d) 9b –c) – ac( b +d) (a-c) + ab(c+d) ( a-b)
= bc(a+d) [ (b-a) + (a-c)] – ac(a-c)(b+d) +ab(c+d)(a-b)
= -bc(a+d )(a-b) +bc(a+d)(a-c) –ac(b+d)(a-c) + ab(c+d)(a-b)
= b(a-b)[ a(c+d) –c(a+d)] + c(a-c)[ b(a+d) –a(b+d)]
= b(a-b) d(a-c) + c(a-c) d(b-a)
= d(a-b)(a-c)(b-c)
Bài 2: 2 Điểm Đặt t = 20041 y
Bài toán đa về tìm x để t bé nhất
Ta có t =
x
x
2004
) 2004 ( + 2 =
x
x x
2004
2004 2004
(
=
x
x 2004 2
2004
2004 2 2
+
+
x
Ta thấy: Theo bất đẳng thức Cô Sic ho 2 số dơng ta có:
x2 + 20042 ≥ 2 2004 x ⇒ 2
2004
2004 2 2
≥
+
x
Dấu “ =” xảy ra khi x= 2004
Từ (1) và (2) suy ra: t ≥ 4 ⇒ Vậy giá trị bé nhất của t = 4 khi x =2004
Vậy ymax= 20041 =80161
t Khi x= 2004
Bài 3: 2 Điểm
a, Nhân cả 2 vế của phơng trình với 2.3.4 ta đợc:
(12x -1)(12x -2)(12x – 3)(12x – 4) = 330.2.3.4 (12x -1)(12x -2)(12x – 3)(12x – 4) = 11.10.9.8
Vế tráI là 4 số nguyên liên tiếp khác 0 nên các thừa số phảI cùng dấu ( + )hoặc dấu ( - )
Suy ra ; (12x -1)(12x -2)(12x – 3)(12x – 4) = 11 10 9 8 (1)
Và (12x -1)(12x -2)(12x – 3)(12x – 4) = (-11) (-10) (-9) (-8) (2)
Từ phơng trình (1) ⇒ 12x -1 = 11 ⇔x = 1 ( thoả mãn)
Từ phơng trình (2) ⇒ 12x -1 = - 8 ⇔x=−127 suy ra x∉ Z
Vậy x=1 thoả mãn phơng trình
b, Ta có x− 6 < 3 ⇔ -3 < x – 6 < 3 ⇔ 3< x < 9
Vậy tập nghiệm của bất phơng trình là: S = { x ∈ R/ 3 < x < 9}
Bài 4 : 3 Điểm
Ta có A chung ; AIC = ABI ( cặp góc đồng vị)
Trang 3Suy ra:
BO
IC AO
AC = ⇒
BO
AO IC
Tơng tự: ∆BID ~ ∆BAO (gg)
Suy ra:
BD
OB ID
OA = ⇒
BD
ID OB
Từ (1) và(2) Suy ra: AC IC =BD ID
Hay AC BD = IC ID = a2
Suy ra: AC.BD = a2 không đổi
b, Nhân (1) với (2) ta có:
AC IC .BD ID =OB OA.OB OA
mà IC = ID ( theo giả thiết)
OB
OA BD
AC
=
C, Theo công thức tính diện tích tam giác vuông ta có;
SAOB =
2
1 OA.OB mà SAOB =
3
8a2 ( giả thiết) Suy ra: OA.OB =
3
3
16a2
Suy ra: (a + CA) ( a+DB ) =
3
16a2 ⇒ a2 + a( CA + DB ) + CA DB =
3
16a2
Mà CA DB = a2 ( theo câu a) ⇒ a(CA +DB) =
3
16a2
- 2a2
⇒ CA + DB +
3 10
2 3
16
2 2
2
a a
a a
=
−
Vậy: CA DB = a2
CA + DB =
3
10a2
Giải hệ pt ⇒ CA =
3
a
và DB = 3a Hoặc CA = 3a và DB =
3
a