giai tich loi phan 2

Bài toán không có ràng buộc... Vẽ hê trục tọa độ Oxy bất kồ sao cho trục tung hình 2.. Không giảm tống quát có thể già thiết các /, nằm trên các lường / / khác nhau... Đó là điều phải c

Đ i n h nghĩa 4.1 Dạo hàm của hàm f theo "phương (ỉ tại

, i \ ký hiệu là f'(x; d), được định nghĩa là giới hạn sau:

M ê n h đ ề 4 1 G i ã sir ọ là h à m l ồ i c h í n h t h ư ờ n g t r ê n R

K h i (ló, ỳ có đ ạ o h à m p h á i -p'Ạ-) t ạ i m ọ i đ i ể m của domxp Đồm* t h à i -p' + (t) l à h ù m k h ô n g g i ả m và n h ậ n giá t r ị h ữ u

Hơn nữa, v ớ i f i , Í 2 £ domip v à 0 < ỗ < í 2 — í Ì , t ừ (4.1) ta

nhận đirợc:

y + C i ) S ị

< v ơ a ) - y ( * i ) < y ( * 2 + A ) - y ( t2 )

v + ơ i ) < V + ( * 2 ) , tức là < j 3 + ( ) không giầm v à |y?+(í)| <

+oo khi í G intịdonvp) •

Như vậy, f có đ ạ o h à m theo p h ư ơ n g ả t ạ i X

B ờ i vì ¥?+(.) là h à m không giảm (mệnh đ ề 4.1), cho nên

(4.2) đ ú n g •

M O A

/ ( | ( T + A d i ) + è ( g + A r f 2 ) ) - / ( » )

= 2 l i m — é

ĂỊo A / ( g + A < * i ) - / ( » ) + / ( * + A d a ) - / ( * )

a) Nếu / khả vi Gâteaux t ạ i X với đạo hàm Gâteaux t ạ i

b) Giả sử df(x) = {x*} Theo định lý 4.2, /'(;?;,) liên tục Do đó, p(x;, ) là hàm đóng Vì vậy, Ve/ £ À",

/ ' ( ã ; d ) = (/'(<?;, ))••(<*) (định lý 3.6)

= s u p { < y * , d > : y * e d f ( x ) } (định lý 4.5) •

= < x \ ã >

D o / ' ( ỉ - ; ) liên t ụ c , / ' ( í - ; , ) l à h à m đ ó n g T h e o đ ị n h lý 4.5,

Không m ấ t t í n h chất t ô n g q u á t có the xem lỉ = —ì N h ư

vậy, CỊ v à C-J tách đ ư a c b ả i siêu phang:

H = {{.-.,a) e X X R : < r ; , r > - r v = ()}

T ừ ( 4 l õ ) suy ra:

s u p { < r ĩ r > - / , ( / • + Z) + Mx)}<

< mỉ{< V* - > +f (.v + z ) - f (x)} (4.17)

z e d f S 0 ( x ) c p

p đ ó n g N h ư v ậ y , p đ ó n g v à b ị c h ặ n

coP đ ó n g ( d i n h l ý 1.8), t ứ c l à coP = CÓP

4 4 H À M L Ồ I Đ Ị A P H Ư Ơ N G

Già sir A" là k h ô n g gian l ồ i địa p h ư ơ n g Hausdorff

Đ i n h nghĩa 4 5 H à m f x á c đ ị n h t r ê n A" đ ư ợ c gọi là lồi địa

phương t ạ i đ i ề m ã- € À", n ế u đạo h à m theo p h ư ơ n g f'(ĩ;.)

T ừ (4.27) suy ra v ớ i mọi d E X, v ớ i m ọ i l â n cận V của

0 £ Y, t ồ n t ạ i lân cận lĩ của d trong X sao cho:

F'(x;z)-F'{x;d)€V {VzeU)

Như vậy, F'(x;.) liên tục t ạ i d •

Đ i n h nghĩa 4.8 H à m / xác đ ị n h t r ê n X đ ư ợ c gọi là lồi

địa pkuơng chính quy t ạ i ỉ , n ế u / l ồ i đ ị a p h ư ơ n g v à k h ả

vi đồng đ ề u theo m ọ i p h ư ơ n g t ạ i X

Nhận xét 4-4

T ừ mệnh đ ề 4.8 suy ra: nếu / l à h à m l ồ i đ ị a p h ư ơ n g chính

quy t ạ i X thì f'(ĩ,.) lồi liên tục

F'(x-d) = F'(ĩ)d

Vì v ậ y , F k h á v i d ồ n g đ ề u theo m ọ i p h ư ơ n g í/ t ạ i ã'

P h ầ n c ò n l ạ i suy r a t ừ đ ị n h n g h ĩ a 4.8 •

Đ ế n clâv, t a c ó t h ê m ở r ộ n g đ ị n h nghĩa, d ư ớ i v i p h â n cho h à m l ồ i đ ị a p h ư ơ n g t r o n g k h ô n g g i a n l ồ i đ ị a p h ư ơ n g

H a u s d o r f f À"

(ló, ịìivo m ệ n h đ ê 4.4,

ỡ / ( 0 ) = đomp

= {x* e À"* : f ( x ) >< x\x > , Va- G À ' }

a) Đ i ể m X £ Q đ ư ợ c gọi là cục tiều địa phương của bài

t o á n (P), n ế u t ồ n t ạ i l â n cận u của X sao cho:

5.1.1 Bài toán không có ràng buộc

b) G i ả sử (5.1) đ ú n g t ạ i X € c K h i đ ó , 3x* G a / f r ^ n l1

B ờ i vì v ớ i Ĩ £ C , I - Ĩ Ễ M , cho n ê n :

0=<x*,x-x><f(x)-f(x) ( V i e C )

Dơ đó, ì": là nghiệm của bài t o á i ! P2 •

Đ i n h lý 5.2 Cho X là không gian Banach; T * e A"*, Q j 6

i ỉ (ì = Ì , , r ? í ) v à

c = {x € -Ý : < : r * , : r > = ữ j , í = Ì , , 777.}

Giả sử / là h à m lồi t r ê n A' v à liên tục t ạ i m ộ t đ i ể m của M

K h i đ ó , X đ ạ t cực t i ể u của h à m / t r ê n c khi v à chỉ khi t ồ n

t h ì Ao > 0 và c ó tiu" xem n h ư Au = 1

1>) N ế u ( 5 5 ) (Õ.C) t h ỏ a m ã n v ớ i Ao = Ì , t h ì r l à n g h i ệ m (•lia bíu t o á n ( P 3 )

0 e Ỡ L j ( r : A o , , Ảm)

B ờ i vì Oồ{.r\A) - S\X\Ả) T h e o đ ị n h lý Moreau-Rockafellar

ta c ó :

0 e A 0 ỡ / o ( r ) + + A,„ỡ/H l(ã:) + J V ( i ị 4 ) lì) G i à sir ( 5 9 ) (Õ.10) t h ỏ a m ã n v ớ i Ao = 1 K h i đ ó , t ồ n

tại e ớ/,-(.r) ( / = 0 m ) , * m + i e jV(;r|.-l) sao cho:

n ó n và clưưc gói là nón tiếp tuyến cùa M tai (•() ký hiên

l à XA/(.»•())• Trong nliíôu t r ư ờ n g hợp T \ / ( ru) là một klìôiì^

gian con v à đ ư ợ c gọi là không gian tiếp xúc v á i M t ạ i ;•()

Do 0 G TA/ ( r0) n ê n r A , (:!•„) Ỷ

0-Đ ị n h l ý 5.5(0-ĐỊuÌj l y LjustmjiẰ- [3JJ

Già sư A , Ỵ là các k h ô n g gian Bnnacli; L là mót lân cân

cùa đ i ể m Co € A ; á n h xạ F : ư —y Y G i ả thict n ù i " ; F kha

v i liên tục theo n g h í a FrcVlirt t ạ i ('ó và

ImF'(.v tí ) = r

Đ ặ t : j \ / = {.(• e £• : F(x) = F(.!•„)}

A '(/ F ' ( ) ( )) :

r.w (.!•„) = A ' t r F ' ( ru)

I ( r À 0 , y * ) = A 0 / ( r ) + < y*,F(x) > (Ao 6 R, y* e Y*)

Đ ị n h l ý 5.7(Quy tắc nhâu từ Liigniugc)

G i ả s ử / v à F k h ả v i F r e c h e t t ạ i ĩ v ớ i c á c ( l ạ o h à m

P r é c h e t t ạ i f'{x) v à ^ ' ( ã : ) ; ;r l à c ự c t i ề n đ ị a p h ư ơ n g c ù a b à i

D o ì'\F'{.v)X mơ.'tun t ạ i l â n c ậ n ma \* c ù a I/O sao c h o

r ri F ' ( ì )A' = 0 T h e o ( l ị n h lý 3.1, 3y* e r * y* / 0 sao

Đ i n h n g h ĩ a 5 3 C ặ p (.r li) ẽ: Q (tược- g ọ i l à cực tiv.u địa

ịììiư.ơinỊ r ù a b à i t o á n ( P O ì nen t ồ n t a i l â n c â n u ("lìa sao

codi in F' r (.i\ u)X < + OC

b) Truông hạp s i n ' ììirii thú hai

Già sir ì = r Khi (ló lìiỶD í 0?

T h ậ t v ạ } - , ( l o ('(HỈ/lì)Lu < + O C k h ô n g í$ian t h ư ư n g Y/Lị)

T h e o đ ị n h lý 1.18, trong k h ô n g gian h ữ u h ạ n chiều, một tập lơi có bao affine t r ù n g với t o à n b ộ k h ô n g gian, thì p h ầ n

trong c ù a n ó k h á c 0 D o đ ó , intiĩịB) ^ 0

Mặt k h á c 7 T_ 1( 7 r ( B ) ) = B D o 7T liên tục, n ê n intB Ỷ

0-G i ả s ư : 0 ị intB

T h e o đ ị n h lý t á c h t h ứ nhất, tồn tại y* e Ì ' * , y* Ỷ 0 t á c h các tập B v à { 0 } , t ứ c là:

Để xác định, ta giả sử:

/ ì ( ỉ , ũ) = = /fc(x,ũ) = 0, /fc+i(x,ũ) < 0, , /m ( í , ũ ) < 0

Trong không gian Rk+Ì X Y, ta xét tập hợp:

Ý/Lữ Do 0 6 intB, nên 0 € intiĩ{B) Dơ dimY/Lo < +oo,

ta có thể tìm được hữu hạn điểm Zj 6 7r(2?) ( j = Ì , ,n)

sao cho:

lin{zi, ,z n } = Ý/Lũ và Zỵ + + z n = 0

(Chẳng hạn, nến codimLo = r, thì ta đồng nhất yyXo vỏi

i ?r, và lấy các đỉnh cùa hình hộp r- chiều đủ nhỏ tâm t ạ i 0

là Z\, , z )

trong đ ó f o , , fm n h ư trong bài t o á n (P6); / ỉ Ì , ,hn là

H Ư Ớ N G DẪN G I Ả I BÀI T Ậ P

1 1 Vì c k h ô n g giới n ộ i , n ê n t ồ n t ạ i dãy {.r1} sao cho

Hình Ì Xét dây

Từ định lý Kelly suy ra.:

(R2 \ p , ) n ( R2 \p2) n (R2\p3) n ( R2 \ p , ) Ỷ 0

<í=> i ỉ2\ ( P , U P 2 U P 3 U P 4 ) / 0

Từ (1), (2) suy ra điều vô lý =>• đ.p.c.111

1.4 Gọi Si là hình tròn tâm Ai, bán kính /',-,/ = Ì,ri Đó

là /í hình tròn đã cho Gọi là hình tròn tâm Ai, bán kính

/•, + í" Nhu' vậy tất cả tâm đường tròn có bán kính 7" mà cắt

1.5 Vẽ hê trục tọa độ Oxy bất kồ sao cho trục tung

(hình 2) Không giảm tống quát có thể già thiết các /, nằm trên các (lường / / khác nhau V ớ i mồi /, xét tất

cả các đường thằng cắt /,

I i ! i ; a v Hi l à h ì n h l ồ i ( h ì n h 4 )

H ì n h 4

Như vậy cứ ứng với mỗi đoạn thằng li, trong mặt phang

Ouv ta có một hình lồi Hi (i = 1,2, ,7?.) Mỗi điểm

(<*i,ậi) É Hi đại diện cho đường thằng y = dịX + Ai cắt

đoạn lị

Theo giả thiết bất kì ba đoạn UJjJk nào cũng có một

đường thằng cắt cả ba đoạn ấy ==> các hình Hi,Hj,Hi; có

điểm chung với mồi bộ ba ỉ , k Theo định lý Kellv, thì cà 77

hình Hi, Họ, ,H„ có điểm chung («*,/}*) Đường thững

y = atx + Ị3* là đường thằng cắt cà n đoạn ỈỊ, lo, , In

suy r a c ó m ộ t p h ù l ũ n Ì h ạ n p h ủ C'i m ( d o c , C()iii])ăc), t i r e là

là n ó i ri("ng ý G C) v ậ y theo g i ả t h i ế t suy ra t ồ n t ạ i // > Ì

C) V ậ y theo ( l ị n h lý 1.1G ta suy ra ì- € ' / C cl.!>.<•.in

1.8 1) L ấ y »• € Pl riCi (do Pl WC'i ^ 0 ) v à /7 e P) c~

2) Ngay t ừ (1) ta còn có:

Chú ý đen t í n h chất h i ể n nhiên sau: N ế u C'l = c> thì

1-iCy = r/C\> nlitr vậy tìr (2) suy ra:

tồn t ạ i /í; > Ì sao cho:

Hi* + {Ì - fii)ỹ e Ci, Vt = Ĩ Ã

Lấy li* = min li; = > ụ* > 1

Vậy theo bài 1.7 suy ra í" £ /•/ ( 1^1 c,

Nhít tilt", ta dã chưn"; minh đ ư ơ c :

Lấy ;r tùy ý e A C , tức là X = Ax' v ớ i x' € c

Do c' 6 r i C , x' € c, vậy theo bài 1.7 tồn tại ụ, > Ì sao

y* = z' + ( l - r ì x é c

Ta phải chứng minh X là đ i ể m cực biên G i ả t h i ế t phản

chứng X không phải là đ i ể m cực biên, tức là Ba;1 6 c , x2 6

Như vậy ta có: X = ^ ( x1 + à-2), mà X1 ,x2 Ẽ c, trái với già

thiết X là điểm cực biên =>• Giả thiết phản chứng là sai

X phải là điểm cực biên của c => đ.p.c.m

2) a) Giả sử a- là điểm cực biên Ta sẽ chứng minh Ị

c \ { x } là tập hợp lồi Giả thiết phàn chứng c \ { r } không I

lồi, tức là 3xl , x2 6 C'\{a;} sao cho đoạn [x1, X2] không nằm •

b) Đảo lại giả sử c\{a;} là tập hợp lồi, ta phải chứng

minh X là điểm cực biên của c Giả thiết phản chứng ;r

không phải là điểm cực biên của c , khi đó tồn t ạ i x l , x 2 €

c, X 1 Ỷ x ^ x - ì Ỷ x s a o ch ° x É [ Í T1, *2] Rõ ràng X 1 ,x 2 €

c\{ar}, mà [ x1, X2] không nằm trọn trong c\{a.-} (do [.ĩ1, X2]

với tính lồi cùa c \ { i : } Vậy giả thiết phản chứng là sai

= > ;r là điểm cực biên của c Đó là điều phải chứng minh 1.12 Do c compăc nên tồn t ạ i :r° G c mà

lk°||>||*||, Va-éc

Diều vô lý này chứng tỏ phản chứng giả thiết là sai = > x° ị

là điểm cực biên của c ==> đ.p.c.ni

1.13 Ký hiệu c là tập hợp các điểm cực biên của c Do ì

c lồi, compăc ( và do đó c đóng ) nên ta có ngay

ị Vậy ta chỉ còn phải chứng minh

Giả thiết phản chứng (2) không đúng, tức là tồn tại x° E c,

và x° ị coC Khi đó theo định lý tách tồn tại a 6 jRn sao

cho:

< a, X > > < a, x° > Va; G coC Nói riêng Vx 6 C, ta có:

< a,x > > < a,x° > (*)

Mặt khác, hàm tuyến tính < a, T > xét trên tập compăc

c phải đạt cực tiểu tai ít nhất một điểm cực biên của c

Đó là điều phải chứng minh

2.1 1) Mọi hàm affine / : Rn —> R đều có dạng:

f{x) = < «, X > +b, a 6 i?", b € i?, X € R"

< A l y o ( l ) + A 2< ? ( 0 ) = A , / ( r ) + x 2 f(y)

= 4 - / l ồ i t r ê n D(f)

2 ) Đ à o l ạ i , g i à s ù f l à h à m l ồ i t r ê n D{ ị ) L ấ y í-, li t ù y ý

€ D ( f ) t a p h a i c h ứ n g m i n h V?(A) l à l ồ i t r ê n [ 0 , 1 ] T h ậ t v â y ,

j = i j = i

a + b + c , 2ab + 2ac + 2bc

<í=> ỉn - 7 - >

a + b + c aỉn{ b+c) + bỉnịc + ít) + cln(a + b)

- a + b + c

Vì a, 6, c > 0, nên hiển nhiên ta có:

2.11 Chứng minh trực tiếp t ừ định nghĩa

2.12 Chứng minh trực tiếp t ừ định nghĩa

3.1 Vì hệ (1) không có nghiệm, nên suy ra C\ n C2 = 0, ồ

T ừ đây suy ra ĩ là nghiệm của hệ (1), mâu thuẫn v ớ i giả

thiết (1) vô nghiệm Như vậy d ri c2 = 0 Theo định lý

tách suy ra tồn tại vectơ 0 7^ ( u ° , ư ° , w°) 6 -Rp X i ỉ ? X Ra

T ậ p hợp là compile và lồi trong 7?" Theo định lý

tách suy ra ton t ạ i siêu phang H tách ngặt Ị/ và tập [ơi , « 2 ]

Điêu (ló có nu;hÌM là tồn t ạ i vector (•" G R"\ và a G -R sao

' "2 )V'(/ í.-' D i / * 1 ( tức- í/ •-• A u 1 4- í Ì - A i / ; - ' í

/ ' ( / / ! = - A/»| - ( Ì - A |/|_

3 7 C i ; ' i -ư / ị , ì // V r í D , / í - Ị.,- (- /?" : • ' /» <• r\

X é t b ố n 11 ir»rjiii l u í Ị > <;ni <l;iv:

Ì I Du M U k h o a n n ă m u m k i n niu: 'J,i;ui c o n -<ii.il i)<)'i Y i - i - i r

2) Lấy { Ị / } e df{;v°) và già sử ĩ/ -> y° Do yi € d f ( x ° )

4 = » max{|a-i|, | x 2 | } > ViXi +ỉ/2.T2,Va' = ( x i , x 2 ) € R2 (1)

a) Nếu \yi \ + \yz\ > Ì, ta chọn ĩ = (xi,x~2) mà IXi I =

max{|ĩT|, \xĩ\} < ViXi +

IJ2.V-2-Từ (1) suy ra: y = { y u y 2 ) ị ỡ / ( 0 ) , nếu \ V l ị + \y 2 \ > 1

b) Nếu | y i | + | y 2 | < l :

Ta chi xét khi y\Xi + ỊI2X2 > 0 ( vì nếu y\Xi + Ị/2X2 < 0

thì ta có ngay : max{|a'i|, \X2\} > ViXi + y2X 2 )- Lúc này

inf < y*,x > > sup < ỉ/*,;r >

Điều đó có nghĩa l à y* 6 K* và —y* G A ' *+ 1 ( đ i ể m X = 0

là đ i ể m giới h ạ n của Á" cũng n h ư Kn+i) Theo bài 4.4 ta

D Ư Ớ I V I P H Â N

4 1 Đ ạ o h à m theo plnrcni"; 104

4.2 D ư ứ i v i p h á n n o 4.3 C á c ( l ị n h lý c<r b a n ví" d ư ớ i v i p h a n 122

H ư ứ n g (.hùi iậiù b à i t ậ p 179

T à i l i ệ u t h a m k h á o 231

Tác giả: PGS.TS Đ ỗ Văn Lưu

Tại Nhà in Đại học Quốc gia Hà Nội

Giấy phép xuất bản số: 451 - Ì - 4/9/2000

In xong và nộp lưu chiểu tháng 10/2000