đạo hàm và vi phân

Đạo hàm theo hướng, véctơ Gradient véctơ gradient của f tại M0 Tích vô hướng của véctơ gradient tại M0 với véctơ đơn vị... Giá trị lớn nhất của đạo hàm theo hướng bằng độ lớn véctơ gradf

Trường Đại học Bách khoa tp Hồ Chí Minh

Bộ môn Toán Ứng dụng

-

Giải tích hàm nhiều biến

Chương 2: Đạo hàm riêng và vi phân (tt)

• Giảng viên Ts Đặng Văn Vinh (2/2008)

dangvvinh@hcmut.edu.vn

0.5 – Công thức Taylor, Maclaurint

0.6 – Cực trị của hàm nhiều biến

0.4 – Đạo hàm theo hướng

IV Đạo hàm theo hướng, véctơ Gradient

-

có đạo hàm riêng đến cấp n + 1 trong một lân cận của

IV Đạo hàm theo hướng, véctơ Gradient

véctơ gradient của f tại M0

Tích vô hướng của véctơ gradient tại M0 với véctơ đơn vị

Trong đó: véctơ đơn vị cùng phương với là: l0  cos,cos,cos 

là các góc tạo bởi và chiều dương trục 0x, 0y và 0z tương ứng u

IV Đạo hàm theo hướng, véctơ Gradient

Ví dụ

Tìm đạo hàm của tại điểm Mf x y( , )  x3  3xy  4y2 0(1,2)

theo hướng của véctơ tạo với chiều dương trục 0x một góc 300

IV Đạo hàm theo hướng, véctơ Gradient



0

1 3,

IV Đạo hàm theo hướng, véctơ Gradient

-

Ví dụ

Tìm đạo hàm của tại điểm Mf x y z( , , )  x2  3yz  4 0(1,2,-1)

theo hướng của véctơ tạo với các trục tọa độ những góc nhọn bằng nhau

IV Đạo hàm theo hướng, véctơ Gradient

-

Ví dụ

Tìm đạo hàm của tại điểm Mf x y z( , , ) | | 2 x  yz 0(0,1, 1)

theo hướng của véctơ (1,0,0)

Véctơ đơn vị là: 1, 0, 0

Không tồn tại đạo hàm riêng theo x tại M0

Tìm đạo hàm của f theo hướng của véctơ (1,0,0) bằng định nghĩa

t

t t

Đạo hàm của f tại M0 đạt giá trị lớn nhất theo hướng của véctơ gradf M( 0)

Giá trị lớn nhất của đạo hàm theo hướng bằng: gradf x y( 0, 0)

Đạo hàm của f tại M0 đạt giá trị nhỏ nhất theo hướng ngược với gradf M( 0)

Giá trị nhỏ nhất của đạo hàm theo hướng bằng:  gradf x y( 0, 0)

0 0

IV Đạo hàm theo hướng, véctơ Gradient

-

Ví dụ

Cho hàm và một điểm f x y z( , , )  xyz  2xy2  yz3

1) Tìm hướng mà đạo hàm của f theo hướng đó tại M0 đạt giá trị lớn nhất

Giá trị lớn nhất bằng độ lớn véctơ gradf (M0): fgrad' f M( 0) | gradf M( 0) |

2) Hướng cần tìm là ngược hướng của véctơ gradf (M0)

Ví dụ

Cho hàm và một điểm f x y( , )  ln(xyz)

1) Tìm giá trị lớn nhất của đạo hàm theo hướng của f tại M0

Giải

1) Đạo hàm theo hướng của hàm f tại M0 là một hàm phụ thuộc vào

hướng của véctơ l =(l 1, l 2 ,l 3)

Giá trị lớn nhất của đạo hàm theo hướng bằng độ lớn véctơ gradf (M0)

2) Tìm giá trị nhỏ nhất của đạo hàm theo hướng của f tại M0

Giá trị lớn nhất đạt được khi lấy đạo hàm theo hướng của véctơ gradf (M0

IV Đạo hàm theo hướng, véctơ Gradient

-

Ví dụ

Cho hàm và một điểm f x y( , )  x2  sin(xy)

Tìm hướng mà đạo hàm của f theo hướng đó tại M0 có giá trị bằng 1

điểm đó là theo hướng của véctơ

Giả sử điểm cần tìm là M(a,b)

Tốc độ thay đổi nhanh nhất của f tại M là theo hướng của véctơ gradf(M)

( ) ( , ), ( , )gradf M  f a b f x y a b

1) Tìm tốc độ thay đổi của nhiệt độ tại điểm P(2,-1,2) theo hướng đến

2) Tìm hướng mà nhiệt độ thay đổi nhanh nhất tại điểm P(2,-1,2)

3) Tìm giá trị lớn nhất của tốc độ thay đổi tại điểm P(2,-1,2)

Cho hàm có các đạo hàm riêng đến cấp n + 1 trong lân cận V f  f x y( , )

n k

V Công thức Taylor, Maclaurint

-

Có hai cách thường dùng để biễu diễn phần dư:

1) Nếu cần đánh giá phần dư, thì sử dụng phần dư ở dạng Lagrange:

Ứng dụng khai triển Taylor

1) Xấp xĩ hàm đã cho với một đa thức (một hoặc nhiều biến) trong lân cận

một điểm cho trước

3) Tính giới hạn của hàm số (giới hạn kép nếu hàm 2 biến)

2) tính đạo hàm cấp cao của f tại một điểm cho trước

4) Tính gần đúng với sai số cho trước (vi phân cấp một không làm được điều

này)

V Công thức Taylor, Maclaurint

3) Đổi f(X,Y) sang f(x,y) (thay ) X  x  x Y0,  y  y0

4) Sắp xếp theo thứ tự tăng dần các bậc của x  x y0,  y0

V Công thức Taylor, Maclaurint

Ví dụ

Tìm khai triển Taylor đến cấp ba của tại f x y( , )  ln(x  y) M 0 1,1

Sử dụng khai triển hàm một biến

V Công thức Taylor, Maclaurint

-

Ví dụ

Tìm khai triển Maclaurint đến cấp ba của f x y( , )  e x sin y

Sử dụng khai triển hàm một biến

Hàm f đạt cực đại không chặt tại , nếu

với mọi (x,y) gần (x y0, 0)

VI Cực trị hàm nhiều biến: cực trị tự do

Khảo sát cực trị của tại (1,1) f x y( , ) 1  (x 1)2  (y 1)2

VI Cực trị hàm nhiều biến: cực trị tự do

-

Khảo sát cực trị f(x,y) = x2y2 tại (0,0)

Ta có f x y( , )  f (0, 0)  x y2 2  0

suy ra f đạt cực tiểu tại (0,0)

Trong mọi lân cận của (0,0) đềutìm được một điểm khác với (0,0

mà giá trị của f tại đó bằng giá trị

của f(0,0) = 0

Vậy (0,0) là điểm cực tiểu không chặt

Khảo sát cực trị của f(x,y) = x y2 tại điểm (0,0)

Trong mọi lân cận của (0,

đều tìm được điểm mà f >

và điểm mà f < 0

VI Cực trị hàm nhiều biến: cực trị tự do

Điểm tới hạn: các đạo hàm riêng cấp 1 bằng 0 hoặc không tồn tại

Điểm cực trị: hàm đạt cực đại hoặc cực tiểu

Định lý điều kiện đủ của cực trị

Cho là điểm dừng của hàm f = f(x,y) và f có các đạo hàm riêng lien tục đến cấp 2 trong lân cận của điểm M0

0( 0, 0)

Chứng minh

1) Nếu , thì là điểm cực tiểu d f M2 ( 0)  0 M0

2) Nếu , thì là điểm cực đại d f M2 ( 0)  0 M0

Chú ý: Nếu , thì không kết luận được Ta phải tìm vi phân

cấp cao hơn của f

2

0

( ) 0

VI Cực trị hàm nhiều biến: cực trị tự do

-

Sơ đồ khảo sát cực trị của hàm hai biến f = f(x,y)

1) Tìm điểm dừng

' '

( , ) 0( , ) 0

phải khảo sát bằng định nghĩa

Theo định lý điều kiện đủ, để khảo sát tại điểm dừng ta xét dấu vi phân cấp

2 Đây là một dạng toàn phương

3) Sơ đồ ở slide chỉ sử dụng cho hàm hai biến

VI Cực trị hàm nhiều biến: cực trị tự do

VI Cực trị hàm nhiều biến: cực trị tự do

-

Khảo sát bằng định nghĩa:

Vậy hàm không đạt cực trị tại (0,0)

Tại điểm dừng không thể kết luận được P3(0, 0) :  AC  B2  0

VI Cực trị hàm nhiều biến: cực trị tự do

y f

Suy ra (0,0) là điểm cực tiểu chặt

Dùng định nghĩa ta thấy đạo hàm riêng theo x, theo y tại (0,0) không tồn tại 0,0) là điểm tới hạn, không là điểm dừng

2 2

      f (0, 0)  0  ( , )x y  (0, 0).

Khảo sát cực trị của f(x,y) = |x|+ y2 tại điểm (0,0)

Điểm (0,0) không là điểm dừng

VI Cực trị hàm nhiều biến: cực trị có điều kiện

Định nghĩa cực trị có điều kiện

Hàm đạt f  f x y( , ) cực đại chặt tại với điều kiện M0(x y0, 0) ( , )x y  0

nếu B M r( 0, ) :M  B M r( 0, )  D f ,M  M0 : (f M )  f M( 0)

Tương tự, ta có định nghĩa cực đại không chặt có điều kiện, cực tiểu chặt

và không chặt có điều kiện

và thỏa điều kiện ràng buộc (M )  0

VI Cực trị hàm nhiều biến: cực trị có điều kiện

-

Điểm được gọi là điểm kỳ dị của đường cong M0(x y0, 0) ( , )x y  0

nếu x' (M0)  0;'y(M0)  0

Định lý (điều kiện cần của cực trị có điều kiện)

Điểm thỏa các điều kiện: M0(x y0, 0)

1) M0 không là điểm kỳ dị của đường cong ( , )x y  0

2) và các đạo hàm riêng cấp 1 liên tục trong lân cận của Mf x y( , ), ( , ) x y 0

3) Hàm f(x,y) với điều kiện đạt cực trị tại M( , )x y  0 0

0

( ) ( ) 0( ) ( ) 0

Số được gọi là  nhân tử Lagrange

Hàm được gọi là L x y( , )  f x y( , )    ( , )x y hàm Lagrange

Định lý (điều kiện đủ của cực trị có điều kiện)

Giả sử khả vi liên tục đến cấp 2 trong lân cận của f x y( , ), ( , ) x y M0

Trong lân cận của các thỏa các điều kiện trong định lý điều kiện cần M0

VI Cực trị hàm nhiều biến: cực trị có điều kiện

-

' '

Dựa vào định lý điều kiện đủ để kết luận

Tương tự khảo sát các điểm dừng còn lại

Từ đây ta có dx theo dy (hoặc dy theo dx)

( , )x y 0

Chú ý:

1) Để khảo sát đôi khi ta cần sử dụng điều kiện d L P2 ( )1

2) Trong bài toán cực trị có điều kiện, dx và dy không đồng thời bằng 0

Thay vào biểu thức của , ta có một hàm theo dxd L P2 ( )1 2 (hoặc dy2)

3) Trường hợp có nhiều hơn một điều kiện: 1( , )x y  0,2( , )x y  0

VI Cực trị hàm nhiều biến: cực trị có điều kiện

: ,4

VI Cực trị hàm nhiều biến: giá trị lớn nhất, nhỏ nhất

Nhắc lại: Để tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của f = f(x) trên [a,b]:

1) Tìm điểm dừng thuộc (a,b): f x'( )  0  x x1, 2,

loại các điểm không thuộc (a,b) Tính giá trị của f tại những điểm còn lại

2) Tính giá trị của f(a), f(b)

3) So sánh giá trị của f ở bước 1) và bước 2) Kết luận

và giá trị nhỏ nhất trên D

Định lý Weierstrass

Hàm nhiều biến f liên tục trên tập đóng và bị chặn D thì đạt giá trị lớn nhất

Để tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm nhiều biến f trên D:

1) Tìm trong D (giữa các điểm trong của D)

loại các điểm không là điểm trong của D Tính giá trị của f tại những điểm

VI Cực trị hàm nhiều biến: giá trị lớn nhất, nhỏ nhất

-

Chú ý:

Tìm điểm dừng của L:

1) Tìm trên biên D: giả sử biên D cho bởi phương trình ( , )x y  0

Tìm trên biên D tức là tìm cực trị của f(x,y) với điều kiện ( , )x y  0

Lập hàm Lagrange: L x y( , )  f x y( , )    ( , )x y

' '

Chú ý:

Thay vào hàm f(x,y) ta có hàm một biến x, tìm gtln, gtnn của hàm này

2) Trường hợp đặc biệt, biên của D là những đoạn thẳng

Tìm trên từng đoạn thẳng Giả sử tìm trên đoạn AB có phương trình

( 0)

2( 6) 02( 8) 0

Tìm điểm dừng của L:

' '

VI Cực trị hàm nhiều biến: cực trị có điều kiện -

2) Tìm trên biên của D Có 4 cạnh Tìm trên từng cạnh một

(1 ) (1 ) 3 2 1

Trên AB: phương trình AB là y  1 x x, [0,1]

Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm một biến trên [0,1]

VI Cực trị hàm nhiều biến: cực trị có điều kiện -

Bài tập -

Bài tập -