Biên Soạn Hệ Thống Lý Thuyết Và Bài Tập Phần Đạo Hàm Và Vi Phân Của Hàm Nhiều Biến Cho Giáo Trình

HỒ CHÍ MINH KHOA VẬT LÝ NGUYỄN VĂN DŨNG KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP BIÊN SOẠN HỆ THỐNG LÝ THUYẾT VÀ BÀI TẬP PHẦN ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN CỦA HÀM NHIỀU BIẾN CHO GIÁO TRÌNH GIẢI TÍCH 2 Chuyên ngà

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

KHOA VẬT LÝ

NGUYỄN VĂN DŨNG

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP

BIÊN SOẠN HỆ THỐNG LÝ THUYẾT VÀ BÀI TẬP PHẦN ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN

CỦA HÀM NHIỀU BIẾN CHO GIÁO TRÌNH GIẢI TÍCH 2

Chuyên ngành: Sư phạm Vật lý

TP Hồ Chí Minh, năm 2019

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

Người thực hiện: Nguyễn Văn Dũng

Người hướng dẫn khoa học: ThS Nguyễn Lê Anh

TP Hồ Chí Minh, năm 2019

LỜI CẢM ƠN

Từ những ngày đầu thực hiện đến khi hoàn thành khóa luận tốt nghiệp, đó là cả một quá trình cố gắng học tập và trưởng thành lên từng ngày của bản thân em Tuy nhiên trên thực tế không có sự thành công nào mà không gắn liền với sự hỗ trợ, giúp

đỡ, dù ít hay nhiều, dù gián tiếp hay trực tiếp của người khác Vì vậy, xin cho phép

em được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến:

− Quý thầy cô giảng viên khoa Vật Lý trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh đã dạy dỗ, truyền đạt kiến thức, kinh nghiệm, sự nhiệt huyết với nghề cho

em trong suốt quá trình học tập tại trường

− Thầy ThS Nguyễn Lê Anh, giảng viên đã trực tiếp hướng dẫn, hỗ trợ, dìu dắt

em thực hiện khóa luận tốt nghiệp Thầy - với kinh nghiệm, sự nhiệt huyết cùng lòng yêu nghề của mình - đã tận tình hướng dẫn, chỉ bảo, giúp đỡ và động viên những lúc

em khó khăn; tạo điều kiện thuận lợi cho em được nghiên cứu và phát triển Hơn bao giờ hết, em cảm nhận được sự quan tâm, dạy dỗ ân cần và tận tâm từ thầy

Cuối cùng, em xin gửi lời cảm ơn của mình đến gia đình, bạn bè đã luôn sát cánh, giúp đỡ, động viên em trong suốt quá trình học tập và hoàn thành khóa luận tốt nghiệp này

Thành phố Hồ Chí Minh, ngày 29 tháng 04 năm 2019

Sinh viên

Nguyễn Văn Dũng

DANH MỤC BẢNG BIỂU

Bảng 2.1 Các dạng bài tập và kĩ thuật giải tương ứng trong S1 và S2 63 Bảng 2.2 Số lượng bài tập trong S1 và S2 63

DANH MỤC HÌNH ẢNH

Hình 2.1 Giá trị chỉ số nhiệt [8] 8

Hình 2.2 Mối liên hệ giữa số gia y và vi phân dy [8] 13

Hình 2.3 Mối liên hệ giữa số gia  z và vi phân dz [8] 18

Hình 2.4 Sơ đồ cây [8] 25

Hình 2.5 Đường cong  ( )x y, = [3] 500 Hình 2.6 Biểu đồ nhiệt độ các Bang ở Hoa Kỳ [8] 30

Hình 2.7 Vector đơn vị u.[8] 31

Hình 2.8 Mặt cong S cắt mặt phẳng thẳng đứng theo hướng vector u [8] 32

Hình 2.9 Đồ thị của hàm số f có cực trị [8] 40

Hình 2.10 Đồ thị hàm số ( ) 2 2 , f x y = x −y [8] 42

Hình 2.11 Dốc núi có hình yên ngựa [8] 43

Hình 2.12 Các dạng tập hợp [8] 46

Hình 2.13 Đường đồng mức của f x y và ( ), g x y ( ) , = k [8] 49

Hình 2.14 Giao tuyến C và các vector gradient tại P [8] 53

Hình 2.15 Mặt phẳng tiếp tuyến với S tại P và vector gradient tại P [8] 57

Hình 2.16 Đường tiếp tuyến T và 1 T với mặt cong tại P [8] 592 Hình 2.17 Đồ thị hàm số 2 2 2 z= x +y và mặt phẳng tiếp tuyến (1,1,3) [8] 61

Hình 2.18 Đường đồng mức hàm số z = 2 x2+ y2 [8] 61

Hình 3.1 Ý nghĩa đạo hàm riêng 74

Hình 3.2 Hình tam giác 75

Hình 3.3 Mặt phẳng tiếp tuyến gồm hai đường thẳng tiếp tuyến T và 1 T 882 Hình 3.4 Đồ thị hàm số z= x2+3y2+ và mặt pẳng tuyến tuyến tại điểm 9 (2,1, 4) 91

Hình 3.5 Đồ thị hàm số z=x2+xy+4y2 và mặt phẳng tiếp tuyến tại điểm (1, 0,1) 91

Hình 3.6 Đồ thi hàm số 96

Hình 3.7 Đồ thị thể hiện mối liên hệ giữa dy và y 99

Hình 3.8 Sơ đồ mạch điện cơ bản 103

Hình 3.9 Sơ đồ cây 115

Hình 3.10 Sơ đồ cây 118

Hình 3.11 Sơ đồ cây 119

Hình 3.12 Sơ đồ cây 120

Hình 3.13 Sơ đồ cây 121

Hình 3.14 Sơ đồ cây 123

Hình 3.15 Mặt phẳng tiếp tuyến tại P [8] 135

Hình 3.16 Vector đơn vị u =ai + 136bj Hình 3.17 Vector gradient và đường đồng mức 151

Hình 3.18 Đồ thị hàm số z= cosxy 160

Hình 3.19 Đồ thị hàm số ( ) 2 2 , 2 2 3 f x y =x +y − x− y+ 160

Hình 3.20 Đồ thị hàm số ( ) 2 2 , 9 f x y = −x −y 160

Hình 3.21 Đồ thị hàm số ( ) 2 2 , f x y =x −y 161

Hình 3.22 Đồ thị hàm số ( ) 2 2 , 3 6 7 2 4 f x y = x + xy+ y − x+ y 162

Hình 3.23 Đồ thị hàm số ( ) 2 3 2 , 6 2 3 6 z= f x y = x − x + y + xy 163

Hình 3.24 Đồ thị hàm số ( ) 3 3 , 6 f x y =x + xy+y 166

Hình 3.25 Đồ thị hàm số 5 3 2 2 2 3 5 z= x +y + y − x 166

Hình 3.26 Đồ thị hàm số z=xy+ − 167x y Hình 3.27 Ứng dụng khớp hàm 170

Hình 3.28 Miền xác định D 174

Hình 3.29 Khoảng cách từ gốc tọa đô 183

Hình 3.30 Khoảng cách từ gốc tọa độ 186

Hình 3.31 Các đường đồng mức 187 Hình 3.32 Giao tuyến giữa g x y z = và ( , , ) 0 h x y z = 194( , , ) 0

MỤC LỤC

PHẦN MỞ ĐẦU 1

1 Lý do chọn đề tài 1

2 Mục đích nghiên cứu 2

3 Khách thể và đối tượng nghiên cứu 2

4 Giải thiết khoa học 3

5 Giới hạn nghiên cứu 3

6 Cấu trúc luận văn 3

Chương 1 NHỮNG VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU TRỌNG TÂM 5

1.1 Giáo trình phân tích 5

1.2 Câu hỏi nghiên cứu 5

1.3 Nội dung trong Đề cương chi tiết học phần Giải tích 2 6

1.4 Cấu trúc nội dung 6

Chương 2 PHÂN TÍCH VÀ SO SÁNH PHẦN ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN CỦA HÀM NHIỀU BIẾN 8

2.1 Phần lý thuyết 8

2.1.1 Cách tiếp cận khái niệm Đạo hàm và Vi phân của hàm nhiều biến 8

2.1.2 Định nghĩa và tính chất Đạo hàm riêng và Vi phân của hàm nhiều biến 13

2.1.3 Các phương pháp tính đạo hàm riêng phân 21

2.1.4 Ứng dụng của đạo hàm riêng 30

2.2 Phần bài tập 62

2.3 Một vài kết luận 64

Chương 3 VIẾT MẪU PHẦN ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN CỦA HÀM NHIỀU BIẾN 67

3.1 Đạo hàm riêng 68

3.1.1 Đạo hàm riêng cấp một 71

3.1.1.1 Định nghĩa 71

3.1.1.2 Một số kí hiệu của đạo hàm riêng 71

3.1.1.3 Quy tắc tìm đạo hàm riêng 72

3.1.1.4 Ý nghĩa đạo hàm riêng cấp một 74

3.1.2 Đạo hàm riêng cấp một của hàm số nhiều hơn hai biến 76

3.1.3 Đạo hàm cấp cao 77

3.1.3.1 Định nghĩa 78

3.1.3.2 Định lý Clairaut 81

3.1.4 Bài tập 84

3.2 Khả vi và vi phân 87

3.2.1 Mặt phẳng tiếp tuyến và phép tính gần đúng tuyến tính 88

3.2.1.1 Mặt phẳng tiếp tuyến 88

3.2.1.2 Phép tính tuyến tính gần đúng 92

3.2.2 Khả vi 96

3.2.2.1 Định nghĩa 97

3.2.2.2 Điều kiện đủ khả vi 98

3.2.2.3 Hệ quả của hàm khả vi 99

3.2.3 Vi phân 99

3.2.3.1 Vi phân cấp một 99

3.2.3.2 Vi phân cấp cao 104

3.2.4 Hàm ba biến hoặc nhiều hơn ba biến 106

3.2.5 Bài tập 108

3.3 Quy tắc dây chuyền 113

3.3.1 Quy tắc dây chuyền (Đạo hàm riêng của hàm hợp) 114

3.3.1.1 Đạo hàm riêng của hàm hợp hai biến 114

3.3.1.2 Đạo hàm riêng hàm hợp tổng quát 119

3.3.2 Đạo hàm của hàm ẩn 121

3.3.2.1 Đạo hàm của hàm ẩn một biến 121

3.3.2.2 Đạo hàm riêng của hàm ẩn nhiều biến 123

3.3.2.3 Đạo hàm riêng của hệ hàm ẩn 128

3.3.3 Bài tập 132

3.4 Đạo hàm có hướng và vector gradient 135

3.4.1 Đạo hàm theo hướng 136

3.4.1.1 Định nghĩa 137

3.4.1.2 Định lý 139

3.4.2 Vector Gradient 143

3.4.2.1 Định nghĩa 143

3.4.2.2 Tính chất 145

3.4.2.3 Ứng dụng của Gradient 146

3.4.2.4 Ý nghĩa hình học của vector gradient 150

3.4.3 Đối với hàm ba biến 152

3.4.4 Bài tập 155

3.5 CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ NHIỀU BIẾN 158

3.5.1 Cực trị của hàm hai biến 159

3.5.1.1 Định nghĩa cực trị địa phương của hàm hai biến 159

3.5.1.2 Điều kiện cần để có cực trị 161

3.5.1.3 Điều kiện đủ để có cực trị 163

3.5.2 Cực trị tuyệt đối và cực trị tuyệt đối ở vùng đóng hoặc bị chặn 173

3.5.3 Cực trị của hàm ba biến 176

3.5.4 Bài tập 179

3.6 Phương pháp nhân tử lagrange 182

3.6.1 Nhân tử Lagrange với một ràng buộc 182

3.6.1.1 Phương pháp nhân tử Lagrange – Điều kiện cần của cực trị có điều kiện 185

3.6.1.2 Điều kiện đủ của cực trị có điều kiện 185

3.6.2 Nhân tử Lagrange với hai ràng buộc 192

3.6.3 Bài tập 196

KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 199

TÀI LIỆU THAM KHẢO 200

PHẦN MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Roger Bacon từng dành những lời có cánh cho toán học: “Nếu chúng ta muốn

đo tới tính xác thực hiển nhiên và chân lý vô điều kiện trong các khoa học khác, cần phải lấy căn cứ của mọi tri thức từ toán học.” Thật vậy, từ thời cổ đại, toán học đã bắt đầu hình thành ở nhiều nơi trên thế giới tiêu biểu là ở Hy Lạp cổ đại Ngày nay, khoa học kĩ thuật ngày càng phát triển, toán học trở nên quan trọng hơn nữa và trở thành một trong những công cụ không thể thiếu để giải quyết các vấn đề thực tiện Ở thời cổ đại, Pythagoras đã nghĩ ra định lý Pythagoras về liên hệ các cạnh của tam giác vuông để giúp ta tìm ra được các cạnh của một tòa tháp Tương tự vậy, Newton đã suy nghĩ ra phép vi phân và tích phân giúp ta có thể đưa ra định nghĩa chính xác các khái niệm như vận tốc, gia tốc, Ở thời nay, toán học giúp chúng ta tìm ra số liệu và cách tối ưu để giải quyết vấn đề, giúp chúng ta xử lý các vấn đề của vật lý, hóa học, sinh học,

Ở cấp độ trung học, học sinh tiếp cận giải tích của hàm một biến một cách tổng quát và chỉ tập trung ở mặt toán học, do đó, ta chưa hiểu được nó thật sự Ở học kì 1, năm nhất của bậc đại học, học sinh tiếp tục học về giải tích hàm một biến một cách chuyên sâu hơn, biết được nhiều ứng dụng của toán học trong vật lý Tuy nhiên, các vấn đề sau này giải quyết không phải lúc nào cũng chỉ có một biến số mà đa số là nhiều yếu tố, nhiều biến số chi phối Do đó, học sinh cần tìm hiểu về hàm nhiều biến

số và những ứng dụng của hàm nhiều biến số

Có thể khẳng định giải tích là môn học với những ứng dụng chi phối hầu như các toàn bộ các ngành khoa học – kĩ thuật và kể cả kinh tế Tất cả các ngành học về khoa học tự nhiên đều gắn liền với giải tích Vì thế, giải tích là môn bắt buộc đối với các ngành khoa học tự nhiên Do vậy, ở nước ta nói riêng, nguồn tài liệu tham khảo

về bộ môn giải tích ngày càng nhiều, các giáo trình ra đời với nhiều mục đích khác nhau, nhưng đa số các tài liệu này chỉ tập trung cung cấp các công thức toán học, các phương pháp tính toán, các bài tập thuần toán học mà chưa có nhiều ứng dụng đến thực tiễn nói chung và các bài tập vật lý nói riêng

Các giáo trình giải tích nước ngoài có nhiều ứng dụng của giải tích vào trong rất nhiều lĩnh vực và đặc biệt có khá nhiều ứng dụng vào trong vật lý Tuy nhiên, chúng tôi nhận thấy rằng sinh viên khoa vật lý ít quan tâm đến các tài liệu nước ngoài, hạn chế trong việc trao dồi ngoại ngữ trong quá trình học ở bậc đại học – chỉ 10 tín chỉ chiếm 7,4% chương trình học ở Trường Đại học Sư phạm Thành Phố Hồ Chí Minh

Đồng thời tiếp nối đề tài nghiên cứu của sinh viên Bùi Quốc Long – sinh viên khoa vật lý khóa 37 Trường Đại học Sư phạm Thành Phố Hồ Chí Minh – đã thực hiện luận văn [6] để nghiên cứu các giáo trình Giải tích hiện tại ảnh hướng đến việc dạy và học của giảng viên cũng như sinh viên khoa vật lý – Trường Đại học Sư phạm Thành Phố Hồ Chí Minh Trong đó, luận văn [6] đã phân tích giữa các giáo trình giải tích ở các trường đại học có ngành vật lý, như là [3] so sánh với giáo trình nước ngoài [8] để thấy điểm mạnh và điểm yếu Từ đó, chúng tôi đưa ra cấu trúc để viết mẫu phần Đạo hàm của hàm một biến trong luận văn [6] để minh họa

Để tiếp tục đến mục tiêu hoàn thiện một giáo trình giải tích bằng tiếng Việt với ngôn ngữ dễ hiểu và có các ví dụ về ứng dụng Vật lý cụ thể nhằm tạo thêm tài liệu tham khảo cho sinh viên ngành Vật lý – trường Đại học Sư Phạm Thành Phố Hồ Chí Minh nói riêng, chúng tôi quyết định thực hiện luận văn này dựa trên cấu trúc đã có

ở [5,6] để phân tích và so sánh phần Đạo hàm và Vi phân của hàm nhiều biến giữa các giáo trình trong nước [3] và [7] với giáo trình nước ngoài [8] và cuối cùng là viết mẫu phần Đạo hàm và Vi phân của hàm nhiều biến dựa trên những phân tích và so sánh đó Đồng thời, chúng tôi cũng đưa thêm các bài tập ứng dụng vật lý cụ thể tham khảo từ các tài liệu vật lý [1,2], [4]

2 Mục đích nghiên cứu

Đề tài nhằm hoàn thiện ý tưởng một giáo trình Giải tích bằng tiếng Việt có thể dùng làm tài liệu tham khảo cho sinh viên vật lý – Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh Trong luận văn này, chúng tôi chú trọng đến khái niệm Đạo hàm

và Vi phân của hàm nhiều biến số: định nghĩa và ứng dụng của nó

Các kết quả cần đạt được trong luận văn này:

− Phân tích và so sánh khái niệm Đạo hàm và Vi phân của hàm nhiều biến số giữa các giáo trình [3], [7] với [8] để rút ra những điểm mạnh và điểm yếu của chúng

− Cấu trúc lại để viết phần Đạo hàm và Vi phân của hàm nhiều biến số dựa trên những phân tích và so sánh

3 Khách thể và đối tượng nghiên cứu

− Chương trình Giải tích 2 và Vật lý

− Mối liên hệ và ứng dụng của toán học trong Vật lý

4 Giả thiết khoa học

Nếu luận văn này được hoàn thiện sẽ hỗ trợ cho sinh viên năm nhất khi học về giải tích hàm nhiều biến một cách đầy đủ hơn, đồng thời thấy được ứng dụng cụ thể của toán học trong vật lý, đặc biệt là ở khía cạnh giải tích

5 Nhiệm vụ nghiên cứu

− Tìm hiểu các giáo trình được sử dụng tại khoa vật lý của một số trường đại học có đào tạo ngành vật lý

− Phân tích và so sánh các giáo trình trên với giáo trình nước ngoài [8] Từ đó, rút ra kết luận để đi đến việc viết phần Đạo hàm và Vi phân cùa hàm số nhiều biến số

6 Giới hạn nghiên cứu

Chúng tôi chỉ nêu ra sự khác nhau của các khái niệm Đạo hàm và Vi phân của hàm nhiều biến số của các giáo trình trong vào ngoài nước Đồng thời phân tích kiến thức của phần Đạo hàm và Vi phân của hàm nhiều biến số trong các giáo trình trên

và tiến hành viết mẫu chương Đạo hàm và Vi phân của hàm nhiều biến số theo mẫu

đã có trong [5,6]

Trong luận văn này, chúng tôi không viết về Hàm nhiều biến và Giới hạn và Khai triển Taylor của hàm nhiều biến

7 Những đóng góp mới của đề tài

Trong luận văn này, chúng tôi viết được phần Đạo hàm và Vi phân của hàm nhiều biến số với ngôn ngữ gần gũi và dễ hiểu thông qua những ví dụ và giải thích cụ thể

Chúng tôi chú ý đến nội dung, màu sắc, cách trình bày cùng với hình ảnh làm cho nội dung thêm sinh động hơn Những thay đổi sẽ được đề cập ở chương 3 của luận văn – Viết mẫu phần Đạo hàm và Vi phân của hàm nhiều biến

8 Cấu trúc luận văn

Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, cấu trúc luận văn gồm 3 chương:

❖ Chương 1: Những vấn đề nghiên cứu trọng tâm

Nhằm mục đích tìm hiểu vấn đề nghiên cứu một cách có hệ thống, logic và hiệu quả, chúng tôi sẽ đặt ra một số câu hỏi và trả lời các câu hỏi này sau khi phân tích phần Đạo hàm và vi phân của hàm nhiều biến trong Chương 3 của luận văn

❖ Chương 2: Phân tích và so sánh phần Đạo hàm và Vi phân của hàm nhiều biến Chúng tôi sẽ sử dụng phương pháp phân tích và so sánh lý thuyết cùng với phương pháp phân loại hệ thống hóa lý thuyết để tìm hiểu sâu sắc về phần Đạo hàm

và Vi phân của hàm nhiều biến được trình bày trong các giáo trình Từ đó, chúng tôi phân loại và so sánh chúng để tìm ra các kết luận nhằm trả lời các câu hỏi trong Chương 1 của luận văn

❖ Chương 3: Viết mẫu phần Đạo hàm và Vi phân của hàm nhiều biến

Ở chương này, chúng tôi sử dụng các kết quả phân tích và so sánh ở Chương

2 để tổng hợp các kiến thức vừa phân tích được và đồng thời kết hợp hài hòa giữa ưu điểm và nhược điểm giữa các giáo trình trong và ngoài nước để tiến hành viết phần Đạo hàm và Vi phân của hàm nhiều biến sao cho phù hợp với sinh viên Vật lý nhưng vẫn thỏa mãn các yêu cầu về kỹ thuật tính toán

Chương 1 NHỮNG VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU

TRỌNG TÂM

1.1 Giáo trình phân tích

Để thấy rõ điểm giống nhau và tương đồng cũng như là điểm khác nhau giữa các giáo trình trong nước ở một số trường Đại học có đào tạo ngành Vật lý và giáo trình nước ngoài, chúng tôi chọn các giáo trình sau để tiến hành phân tích:

− [3] Đỗ Công Khanh (2012), Toán cao cấp – Giải tích hàm nhiều biến, phương

trình vi phân, Nhà xuất bản Đại Học Quốc Gia Thành phố Hồ Chí Minh

(TP.HCM) Đây là giáo trình sử dụng ở trường Đại học Sư phạm Thành Phố

Hồ Chí Minh, Đại học Khoa học Tự Nhiên TP.HCM, Đại học Bách khoa TP.HCM và Đại học Sài Gòn

− [7] Nguyễn Đình Trí (2006), Toán học cao cấp – Tập 3, Nhà xuất bản Giáo dục Đây là giáo trình được sử dụng ở trường Đại học Sư phạm Thành Phố Hồ

Chí Minh

Chúng tôi gọi hai giáo trình [3] và [7] là giáo trình S1

− [8] James Stewart, Calculus, Canada

Chúng tôi gọi giáo trình [8] là giáo trình S2

Chúng tôi chọn S1 và S2 để so sánh vì S1 được sử dụng rộng rãi và phổ biến, đây cũng là giáo trình giải tích 2 chính của rất nhiều trường đã đề cập ở trên Còn S2

là một giáo trình nổi tiếng ở Mỹ và các nước Châu Âu

1.2 Câu hỏi nghiên cứu

Để phân tích hiệu quả và có logic, chúng tôi đặt ra một số câu hỏi sau mà câu trả lời của nó sẽ làm rõ vấn đề mà chúng tôi nghiên cứu

Chúng tôi đưa ra năm câu hỏi (CH), cụ thể là:

CH1: Khái niệm Đạo hàm và Vi phân của hàm nhiều biến được S1 và S2 tiếp

cận như thế nào? S1 và S2 có những ví dụ để đi đến định nghĩa Đạo hàm và Vi phân của hàm nhiều biến hay không?

CH2: Khái niệm Đạo hàm và Vi phân của hàm nhiều biến được định nghĩa như

thế nào? Việc định nghĩa như vậy tác động như thế nào đến việc tiếp thu kiến này?

CH3: Các phương pháp tính Đạo hàm và Vi phân của hàm nhiều biến được S1

và S2 trình bày theo hình thức nào?

Hình thức 1: Thông báo kiến thức mới rồi đưa ra bài tập ví dụ

Hình thức 2: Đưa ra tình huống có vấn đề rồi xây dựng kiến thức giải quyết

CH4: Ứng dụng của Đạo hàm và Vi phân của hàm nhiều biến được S1 và S2

trình bày như thế nào? Hệ thống bài tập được xây dựng như thế nào, có đề cập đến các bài tập vật lý hay không?

CH5: Cách trình bày về nội dung, hình ảnh, màu sắc được chú trọng hay không?

Việc trình bày như vậy tác động như thế nào?

1.3 Nội dung trong Đề cương chi tiết học phần Giải tích 2

Chúng tôi đã dựa theo đề cương chi tiết học phần Giải tích 2 của khoa vật lý Trường Đại học Sư phạm Thành Phố Hồ Chí Minh để phân tích Với thời lượng 15 tiết, nội dung chi tiết của Đạo hàm và Vi phân của hàm nhiều biến như sau:

Chương 1: Hàm nhiều biến

1.1 Đạo hàm riêng

1.2 Khả vi và vi phân, ứng dụng tính gần đúng

1.3 Đạo hàm, vi phân của hàm hợp

1.4 Đạo hàm riêng và vi phân của hàm ẩn

1.5 Đạo hàm có hướng theo hướng Gradient

1.6 Cực trị tự do

1.7 Cực trị có điều kiện

1.4 Cấu trúc nội dung

Trong phần này, chúng tôi đề cập đến cấu trúc chương Đạo hàm và Vi phân của hàm nhiều biến Dựa trên cấu trúc đã xây dựng ở luận văn [5,6] để làm nền tảng và

có chỉnh sửa để phù hợp hơn Cấu trúc chương Đạo hàm và Vi phân của hàm nhiều biến gồm

Phần mở đầu: chúng tôi nêu lên ý tưởng, đặt vấn đề hoặc nhắc lại các kiến thức

đã học để dẫn dắt sinh viên tiếp cận với nội dung kiến thức tốt hơn, kích thích tư duy của người học

Trình bày kiến thức: các kiến thức sẽ được trình bày cụ thể, chi tiết Trước khi

đưa ra định nghĩa, chúng tôi sẽ trình bày phần dẫn dắt và giải quyết một vài trường hợp cụ thể Bên cạnh đó, các ví dụ phải bao quát, giải chi tiết và giải thích được định nghĩa cũng như tính chất và các ví dụ liên quan đến kiến thức vật lý Ngoài ra, chúng tôi kèm thêm một vài lưu ý ở các kiến thức hay ví dụ giúp sinh viên không hiểu sai kiến thức và tránh được những lỗi thường gặp Từ đó, sinh viên sẽ giải các bài tập một cách dễ dàng hơn

Bảng tóm tắt: chúng tôi trình bày lại các nội dung kiến thức một cách cô đọng,

dễ nhớ để sinh viên có thể tra cứu lại khi cần thiết

Hệ thống bài tập:chúng tôi trình bày hệ thống bài tập tự giải Trong đó, các bài

tập về toán học vẫn chiếm đa số tập trung ở những bài tập đầu tiên và bổ sung thêm các bài toán vật lý cụ thể Các bài toán vật lý chỉ dừng lại ở mức độ vừa phải và đảm bảo được yêu cầu về kiến thức toán học tương ứng

Chương 2 PHÂN TÍCH VÀ SO SÁNH PHẦN ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN CỦA HÀM NHIỀU BIẾN

2.1 Phần lý thuyết

2.1.1 Cách tiếp cận khái niệm Đạo hàm và Vi phân của hàm nhiều biến

Cách tiếp cận khái niệm Đạo hàm

riêng cấp một

Không có phần nào nói về cách

tiếp cận khái niệm đạo hàm riêng cấp

một của hàm nhiều biến

Cách tiếp cận khái niệm Đạo hàm riêng cấp một

Một ngày nóng, độ ẩm cao làm chúng ta cảm thấy nhiệt độ cao hơn nhiệt

độ thực, nơi có không khí khô chúng ta cảm nhận nhiệt độ thấp hơn chỉ số của nhiệt kế The National Weather Service

đã nghĩ ra chỉ số nhiệt (còn gọi là chỉ số nhiệt độ - độ ẩm) để miêu tả ảnh hưởng

của nhiệt độ và độ ẩm Chỉ số nhiệt I là

nhiệt độ cảm nhận được lúc nhiệt độ thực là T và độ ẩm tương đối là H Do

đó, I là hàm số theo T và H và có thể viết I = f T H( , ) Hình 2.1 biểu diễn giá trị của I được trích từ bảng hoàn chỉnh

từ The National Weather Service

Nếu chúng ta tập trung vào cột màu xanh, tương ứng với độ ẩm tương đối là 70%

H = , chúng ta xét chỉ số nhiệt như hàm số của một biến T với giá trị cố

Hình 2.1 Giá trị chỉ số nhiệt [8]

định của H Hãy viết g T( )= f T( ,70 )Khi đó g T miêu tả chỉ số nhiệt ( ) I tăng như thế nào khi nhiệt độ thực tăng lúc độ

ẩm tương đối là 70% Đạo hàm của g

h = và −2:

98 9696

2

98, 70 96, 70

2

133 12524

2

94, 70 96, 70

2

118 1252

Có nghĩa là, khi nhiệt độ là o

96 F và độ

ẩm tương đối là 70% thì nhiệt độ biểu kiến (chỉ số nhiệt) tăng 3,75 Fo với mỗi

độ tăng của nhiệt độ thực

Bây giờ chúng ta hãy quan sát hàng màu xanh, tương ứng với nhiệt độ cố

96 F

T = Những số trong hàng là

những giá trị của hàm số ( ) (96, )

0 0

75 7070

5

96, 75 96, 70

5

130 12551

5

96, 65 96, 70

5

121 12550,8

Nó nói lên rằng, lúc nhiệt độ là 96 Fo và

độ ẩm tương đối là 70%, chỉ số nhiệt tăng khoảng o

0,9 F cho mỗi phần trăm

mà độ ẩm tương đối tăng

Trong trường hợp tổng quát, nếu

f là hàm số của hai biến x và y, giả sử

chúng ta chỉ xét biến x trong khi giữ y

Cách tiếp cận Khả vi và Vi phân

cố định, y=b , trong đó b là hằng số

Khi đó chúng ta thật ra đang xét hàm số của một biến x, tên tương tự ( ) ( ),

g x = f x a Nếu g có đạo hàm tại

a, khi đó chúng ta gọi nó là đạo hàm riêng của f đối với x tại ( )a b, và kí hiệu bằng f a b x( ), Do đó

1 f a b x( ), =g a( ) ở đó g x( )= f x b( ), Bằng cách định nghĩa của đạo hàm, chúng ta có

Một cách tương tự, đạo hàm riêng của

f đối với y tại ( )a b được kí hiệu bằng ,( ),

và độ ẩm tương đối H lúc T =96 Fo và 70%

H = như sau:

(96,70) 3,75

T

f  , f H (96,70)0,9 Nếu chúng ta giả sử điểm ( )a b biến đổi ,trong phương trình 2 và 3, f và x f trở y

thành hàm số của hai biến

Cách tiếp cận Khả vi và Vi phân

Không có phần nào nói về cách tiếp cận

Khả vi và Vi phân của hàm nhiều biến

Đối với Khả vi và Vi phân, S2 đã lập luận bằng cách nhắc lại các kiến thức

và ý tưởng có trong hàm một biến để liên

hệ với các kiến thức này đối với hàm nhiều biến

Một trong những ý tưởng quan trọng trong giải tích hàm một biến là chúng ta phóng to một điểm trên đồ thị của hàm số có thể phân biệt được, đồ thị trở nên không thể phân biệt được từ tiếp tuyến của nó và chúng ta có thể xấp xỉ hàm số bằng một hàm tuyến tính Ở đây, chúng ta phát triển ý tưởng tương tự trong không gian ba chiều Chúng ta có thể phóng to một điểm trên bề mặt là đồ thị của hàm số có thể phân biệt được của hai biến, bề mặt của chúng sẽ trông như mặt phẳng (mặt phẳng tiếp tuyến) và chúng ta có thể xấp xỉ hàm số bằng hàm

số tuyến tính của hai biến Chúng ta đồng thời mở rộng ý tưởng vi phân hàm

số của hai hay nhiều hơn hai biến Đối với hàm số một biến khả vi, ( ),

z= f x y , chúng ta xác định vi phân

dx là biến độc lập, đó là, dx có thể là bất kì số thực nào Vi phân của y được

xác định là

( )

dy= f x dx

Hình 2.2 thể hiện mối liên hệ giữa số gia

y

 và vi phân dy: y thể hiện sự thay đổi độ cao của đường cong y= f x( ) và

dy thể hiện sự thay đổi của độ cao của

đường tiếp tuyến lúc x thay đổi một lượng dx=  x

2.1.2 Định nghĩa và tính chất Đạo hàm riêng và Vi phân của hàm nhiều biến

Định nghĩa Đạo hàm riêng

Chúng ta định nghĩa đạo hàm riêng của

hàm f x y( ), theo biến x tại điểm

(x y như là đạo hàm thường của 0, 0)

ghi f hoặc 1 D f (để chỉ ra đạo hàm đối 1

với biến thứ nhất) hoặc f

x



 Nhưng

f x





ở đây không thể được giải thích là tỉ lệ

vi phân

Kí hiệu của đạo hàm riêng:

Hình 2.2 Mối liên hệ giữa số gia

và vi phân [8]

Chú ý: đối với hàm một biến ta đã biết,

nếu hàm có đạo hàm thì nó liên tục (tại

điểm khảo sát) Đối với hàm nhiều biến,

việc tồn tại các đạo hàm riêng chưa đảm

bảo sự liên tục của hàm số

f D f D f x

f D f D f y

Hàm số nhiều hơn hai biến

Đạo hàm riêng cũng có thể được xác định cho hàm ba hay nhiều hơn ba biến

Ví dụ, nếu f là hàm số của ba biến x ,

y và z , khi ấy đạo hàm riêng với biến

và nó được tìm bằng cách đối với y và

z như là hằng số và lấy đạo hàm

nhưng chúng ta không thể giải thích hình

học bởi vì đồ thị của f nằm trong không

Đạo hàm riêng cấp cao

Đạo hàm riêng cấp hai là đạo hàm riêng

của đạo hàm riêng cấp một Giả sử xét

hàm hai biến z= f x y( ), , ta có các đạo

Tuy vậy, nếu các đạo hàm hỗn hợp

liên tục thì chúng bằng nhau, điều đó thể

hiện trong định lý Schwarz sau đây

Đạo hàm riêng cấp cao

Nếu f là hàm số hai biến, khi đó đạo hàm riêng của nó fx và fy cũng là những hàm số hai biến, nên chúng ta có thể xét đạo hàm riêng ( )f x x, ( )f x y,

( )f y x, ( )f y y mà chúng được gọi là đạo hàm riêng cấp hai của f Nếu ( ),

z = f x y , chúng ta sử dụng các kí hiệu sau:

là chúng ta lấy đạo hàm với biến x sau

đó với biến y, ngược lại trong việc tính

yx

f thì theo thứ tự đảo ngược

Ví dụ: Tìm đạo hàm riêng cấp hai của

( ) 3 2 3 2

,

f x y =x +x y −y

Định lý Clairaut

Hơn nữa, nếu chúng liên tục thì lấy

đạo hàm hỗn hợp không phụ thuộc vào

Giả sử f được xác định trên miền mở

D mà chứa điểm ( )a b, Nếu hàm số

nếu những hàm số này liên tục

Định nghĩa Hàm khả vi và vi phân

Khả vi

Chúng ta đã chứng minh rằng f khả vi tại a, khi đó

5  =y f a( +  −x) ( )f a Bây giờ chúng ta xét một hàm số của hai biến, z = f x y( ), , và giả sử x thay đổi

vi của một hàm số hai biến như sau Cho hàm z= f x y( ), , hàm f khả vi tại ( )a b, nếu z có thể biểu diễn được ở dạng

Khi ấy đại lượng A x + B y được

gọi là vi phân của hàm f x y và được ( ),

Vậy biểu thức ở định nghĩa có thể được

viết như sau

là một trong những hàm tuyến tính hóa

là xấp xỉ tốt lúc ( )x y, gần ( )a b, Nói cách khác, mặt phẳng tiếp tuyến gần đúng đồ thị của f gần tiếp điểm

Đôi khi khó khăn sử dụng định nghĩa trên để kiểm tra chính xác sự khả vi của một hàm số, nhưng định lý sau đây sẽ cung cấp điều kiện đủ cho sự khả vi

Định lý: Nếu đạo hàm riêng fx và fy

tồn tại gần ( )a b, và là liên tục tại ( )a b,thì f là khả vi tại ( )a b,

đó vi phân dz , còn được gọi là vi phân

hàm riêng f  , x f  y liên tục tại (x y thì 0, 0)

hàm f x y( ), khả vi tại (x y0, 0)

Các tính chất của vi phân

Bây giờ giả sử f x y( ), và g x y( ),

thỏa mãn điều kiện khả vi, rõ ràng khi ấy

f +g, fg, f

g (với điều kiện mẫu khác

không tại điểm đang xét) cũng thỏa mãn

điều kiện khả vi, nên chúng khả vi Khi

của vi phân dz và số gia z  : dz thể hiện

sự thay đổi độ cao của mặt phẳng tiếp

tuyến trong khi z thể hiện sự thay đổi

độ cao của bề mặt z = f x y( ), lúc ( )x y,thay đổi từ ( )a b, đến (a+ x b, + y)

Các tính chất của vi phân

Không có phần nào đề cập đến các tính chất của vi phân

Sau khi bình phương theo các quy tắc

thông thường thì f được viết vào tử số

chỗ có  hoặc  2

Tương tự, với vi phân cấp n , ta có

n n

x y z

+

+

Vi phân cấp n có dạng

n n

Vi phân hàm nhiều hơn hai biến

Khả vi, vi phân có thể được xác định theo cách tương tự cho hàm số nhiều hơn hai biến Hàm số khả vi được xác định như biểu thức của hàm số khả vi của hàm hai biến

Nếu w= f x y z( , , ), khi đó số gia của w

Ngoài ra, ta cũng có công thức gần đúng

Không có phần nào trình bày phương

pháp tính đạo hàm riêng của hàm nhiều

Ngoài ra, khi t thay đổi trong

khoảng (t t1, 2) thì ( )x y, luôn thuộc D

chúng ta quy tắc sau

1 Để tìm fx , coi như y là hằng số và lấy đạo hàm đối với biến x

2 Để tìm fy , coi như y là hằng số và lấy đạo hàm đối với biến y

Quy tắc dây chuyền (Quy tắc đạo hàm riêng của hàm hợp)

Nhắc lại Quy tắc dây chuyền của hàm số một biến đưa ra quy tắc để lấy đạo hàm của hàm hợp: Nếu y= f x( ) và ( )

z = f x y và lần lượt mỗi biến x và

y là hàm số một biến của biến t, nghĩa

là z là hàm số của t một cách gián tiếp,

( ) ( )

z= f g t h t và theo Quy tắc đạo hàm của hàm hợp đưa ra công thức để

2 Quy tắc dây chuyền (Trường hợp 1):

Chứng minh: Sự thay đổi của t trong

t dẫn đến sự thay đổi của x trong x

và y trong y Do đó, dẫn đến sự thay đổi của z  trong z và theo định nghĩa

Bây giờ ta xét những trường hợp

tổng quát hơn: cho z= f x y( ), và , x y

là các hàm của hàm hai biến

( ), ,

x= x u v y = y u v( ), Cho các hàm

, ,

x y z khả vi tại các điểm tương ứng

Như vậy z là hàm hợp của hàm hai biến

,

u v và vì quá trình lấy đạo hàm riêng ta

luôn cố định một biến, cho nên thực chất

ta lại quay về trường hợp đã xét Vậy ta

là 300 K và tăng với tốc độ 0,1 K s và thể tích là 100 L và tăng với tốc độ

3 Quy tắc dây chuyền (Trường hợp 2)

Giả sử z = f x y( ), là hàm số khả vi của

x và y , trong đó x=g s t( ), và ( ),

 

Trường hợp 2 của Quy tắc đạo hàm của hàm hợp gồm ba loại biến số:

s và t là biến độc lập, x và y là biến

trung gian và z là biến phụ thuộc

Chúng ta chú ý rằng định lý 3 có một số hạng biến trung gian và lần lượt từng số hạng giống như vào một thứ nguyên quy

tắc đạo hàm của hàm hợp trong phương trình 1

Để nhớ Quy tắc dây chuyền, nên

vẽ biểu đồ cây theo hình 2.4, chúng ta vẽ nhánh cây từ biến phụ thuộc

z đến biến trung

gian x và y để chứng tỏ rằng z là hàm số của x và y Sau đó chúng ta vẽ nhánh từ x và y đến biến độc lập s và t Lần lượt mỗi nhánh

chúng ta viết được đạo hàm riêng tương

ứng Để tìm z

s



 , chúng ta tìm tích của những đạo hàm riêng theo mỗi hướng từ

Bây giờ chúng ta xét trường hợp

tổng quát trong đó biến phụ thuộc u là hàm số của n biến gián tiếp x x1, , ,2 xn

lần lượt chúng là hàm số của m biến độc

Đạo hàm của hàm ẩn

Cho hàm số F x y( ), xác định

trong miền mở D chứa điểm (x y0, 0)

Giả thiết rằng với mọi

x = x u v , y = y u v ( ) , , z = z u v ( ) , , ( ) ,

z t

định y hoàn toàn như một hàm số khả

F dy

định y hoàn toàn như hàm số của x

Định lý đạo hàm của hàm ẩn được chứng minh trong giải tích nâng cao, đưa ra những điều kiện dưới đây là những giả

điều kiện sau

Định lý: Cho hàm F x y( , , z) thỏa điều

f khả vi, thì chúng ta có thể dùng Quy tắc đạo hàm của hàm hợp để lấy đạo hàm phương trình F x y z = ( , , ) 0 như sau:



 và thu được công thức thứ nhất trong phương trình 7 Công thức cho z

y



 được tìm theo cách tương tự:

F F

ở trong mặt cầu gồm ( a b c , , ), trong đó

( )

' '

v=v x y có đạo hàm riêng liên tục và

thỏa điều kiện:

Để tìm các vi phân du , dv cũng

như các đạo hàm riêng, ta lấy vi phân

toàn phần của các hàm F , G, rồi giải

hệ

0 0.

dF dG

tốc độ thay đổi của hàm số f x y ( ) , theo

hướng trục Ox và Oy Để đo lường tốc

độ thay đổi của hàm số f x y ( ) , theo

một hướng khác, chúng ta cần đến khái

niệm tổng quát hơn đạo hàm riêng – đó

là đạo hàm theo hướng

Hình 2.6 Biểu đồ nhiệt độ các Bang ở

Hoa Kỳ [8]