bài tập giải tích lớp 12

VẤN ĐỀ 3: Ứng dụng tính đơn điệu để chứng minh bất đẳng thức Chứng minh các bất đẳng thức sau:... Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:... KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ Khảo

CHƯƠNG I ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO

SÁT HÀM SỐ

§1 SỰ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ

VẤN ĐỀ 1: Xét chiều biến thiên của hàm số

Xét chiều biến thiên của các hàm số sau:

a) y   2x2  4x 5 b) 2 5

x

y  x c) y x 2  4x 3 d) y x 3  2x2  x 2 e) y  (4 x x)(  1) 2 f) y x 3  3x2  4x 1



  f) y x   3 2 2 x g) y  2x  1 3 x h) y x 2 x2 i) y 2x x 2

VẤN ĐỀ 2: Tìm điều kiện để hàm số luôn đồng biến hoặc nghịch biến

trên tập xác định (hoặc trên từng khoảng xác định)

Chứng minh rằng các hàm số sau luôn đồng biến trên từng khoảng xác định (hoặc tập xác định) của nó:





 d) 2 2 3

a) y  5x cot(x 1) b) y cosx x c) y sinx cosx 2 2x

Tìm m để các hàm số sau luôn đồng biến trên tập xác định (hoặc từng khoảng xác định) của nó:

Tìm m để hàm số:

a) y x 3  3x2 mx m nghịch biến trên một khoảng có độ dài bằng 1

y  m x  m x đồng biến trên khoảng (1; +)

b) y x 3  3(2m 1)x2  (12m 5)x 2 đồng biến trên khoảng (2; +)

VẤN ĐỀ 3: Ứng dụng tính đơn điệu để chứng minh bất đẳng thức

Chứng minh các bất đẳng thức sau:

Chứng minh các bất đẳng thức sau:

VẤN ĐỀ 4: Chứng minh phương trình có nghiệm duy nhất

Giải các phương trình sau:

HD: a, b) Xét hàm số f t( )   t3 t2 t c) Xét hàm số f t( ) 6  t2  12 8t

§2 CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ

VẤN ĐỀ 1: Tìm cực trị của hàm số

Tìm cực trị của các hàm số sau:



 c) y e x 4ex

d) y x 2  5x  5 2lnx e) y x  4sin 2x f) y x  ln(1 x2 )

VẤN ĐỀ 2: Tìm điều kiện để hàm số có cực trị

Chứng minh rằng các hàm số sau luôn có cực đại, cực tiểu:

Tìm m để hàm số:

a) y (m 2)x3  3x2 mx 5 có cực đại, cực tiểu

b) y x 3  3(m 1)x2  (2m2  3m 2)x m m (  1) có cực đại, cực tiểu

c) y x 3  3mx2  (m2  1)x 2 đạt cực đại tại x = 2

d) y mx4  2(m 2)x2  m 5 có một cực đại 1

 có một giá trị cực đại bằng 0

Tìm m để các hàm số sau không có cực trị:

Tìm a, b, c, d để hàm số:

a)y ax 3 bx2 cx d đạt cực tiểu bằng 0 tại x=0 và đạt cực đại bằng 4

 đạt cực đại bằng 5 tại x = 1

Tìm m để hàm số : a) y x 3  2(m 1)x2  (m2  4m 1)x 2(m2  1) đạt cực trị tại hai điểm x1, x2 sao cho:

 có hai điểm cực trị và khoảng cách giữa chúng nhỏ nhất

Tìm m để đồ thị hàm số : a) y 2x3 mx2  12x 13 có hai điểm cực trị cách đều trục tung

b) y x 3  3mx2  4m3 có các điểm cực đại, cực tiểu đối xứng nhau qua đường phân giác thứ nhất

c) y x 3  3mx2  4m3 có các điểm cực đại, cực tiểu ở về một phía đối với đường thẳng (d): 3x 2y  8 0

VẤN ĐỀ 3: Đường thẳng đi qua hai điểm cực trị

Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số : a) y x 3  2x2  x 1 b) y 3x2  2x3 c) y x 3  3x2  6x 8

Tìm m để hàm số:

a) y 2x3  3(m 1)x2  6(m 2)x 1 có đường thẳng đi qua hai điểm cực trị song song với đường thẳng y = –4x + 1

b) y 2x3  3(m 1)x2  6 (1 2 )m  m x có các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị nằm trên đường thẳng y = –4x

c) y x 3 mx2  7x 3 có đường thẳng đi qua các điểm cực đại, cực tiểu vuông góc với đường thẳng y = 3x – 7

d) y x 3  3x2 m x m2  có các điểm cực đại và cực tiểu đối xứng nhau qua đường thẳng (): 1 5

y x

§3 GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ

VẤN ĐỀ 1: Tìm GTLN, GTNN của hàm số bằng cách lập bảng biến thiên

Tìm GTLN, GTNN của các hàm số sau:

a) y x 2  4x 3 b) y 4x3  3x4 c) y x 4  2x2  2

d) y x2  x 2 e) 2 1

x y

1

x y

VẤN ĐỀ 2: Tìm GTLN, GTNN của hàm số bằng cách dùng bất đẳng thức

Giả sử D( ; ; ) /x y z x 0,y 0,z 0,x y z   1 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

VẤN ĐỀ 3: Tìm GTLN, GTNN của hàm số bằng cách dùng miền giá trị

Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:

VẤN ĐỀ 4: Sử dụng GTLN, GTNN của hàm số trong PT, HPT, BPT

Giải các phương trình sau:

a) 4x  2 4 4  x 2 b) 3x  5x  6x 2 c) 5 (1 )5 1

16

Tìm m để các phương trình sau có nghiệm:

b) Tìm m để bất phương trình thoả mọi x thuộc [0; 2]

Tìm m để các bất phương trình sau:

a) mx x   3 m 1 có nghiệm

b) (m 2)x m  x 1 có nghiệm x  [0; 2]

c) m x( 2   x 1) x2  x 1 nghiệm đúng với mọi x  [0; 1]

§5 KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số:







Nguồn bài tập: Thầy Trần Sỹ Tùng

CHƯƠNG II HÀM SỐ LŨY THỪA HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LOGARIT

5 4 3

a b c bc

0,001  và 100 f) 2   2

4 và 0,125  g)   3   5

x x

3

x x

e x



  i) y cos x ecotx Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) y ln(2x2 x 3) b) y log (cos )2 x c) y e x.ln(cos )x

k) 81 log 5 3  27 log 36 9  3 4log 7 9 l) 25 log 6 5  49 log 8 7 m) 5 3 2log 4 5

log 3 log 2

9  4 o) 3 1 log 4 9  4 2 log 3 2  5 log 27 125 p) log 3.log 366 3

q) lg(tan1 ) lg(tan2 ) lg(tan89 ) 0  0   0

r) log log (log 16) log log (log 64)8 4 2  2 3 4 

Cho a > 0, a  1 Chứng minh: log (a a  1) log (a1 a 2)

So sánh các cặp số sau:

a) log 4 và log3 41

Tính giá trị của biểu thức logarit theo các biểu thức đã cho:

a) Cho log 14 a2  Tính log 3249 theo a

b) Cho log 3 a15  Tính log 1525 theo a

Tính giá trị của biểu thức logarit theo các biểu thức đã cho:

a) Cho log 7 a25  ; log 5 b2  Tính 3 5

49 log

8 theo a, b

b) Cho log 3 a30  ; log 5 b30  Tính log 135030 theo a, b

c) Cho log 7 a14  ; log 5 b14  Tính log 2835 theo a, b

d) Cho log 3 a2  ; log 5 b3  ; log 2 c7  Tính log14063 theo a, b, c

Chứng minh các đẳng thức sau (với giả thiết các biểu thức đã cho có nghĩa):

l) log log log

loga b logb c loga c

x x

3

x x

e x



  i) y cos x ecotx Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) y ln(2x2 x 3) b) y log (cos )2 x c) y e x.ln(cos )x

§5 PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƠGARIT

PHƯƠNG TRÌNH MŨ

Giải các phương trình sau (đưa về cùng cơ số hoặc logarit hoá):

a)9 3 1x  3 8 2x b)  2

3 2 2  x   3 2 2 c) 4x2 3 2x  4x2 6 5x  4 2x2 3 7x  1 d) 5 2x 7x 5 35 7 35 0 2x  x 

g) 6 9 13 6 6 4 0

1 1 1





x h) 41x  61x  91x i) 2.41x  61x  91x

3 5 2

14 10 15

e) 4x23x2  4x26x5  42.x23x7  1 f)  

1 2

2

4x2x  1x2  x12 

g) x2.3x  3 (12 7 )x  x   x3 8x2 19x 12 h) x2 3x 1 x(3x  2 ) 2(2x  x 3 )x 1

i) 4 sinx 2 1 sin  xcos( ) 2xy  y  0 k) 2 2(x x2 )  2 1x2  2 2(x x2 ) 1 2x2   1 0

Giải các phương trình sau (phương pháp đối lập):

a) 2x  cos ,x4 với x  0 b) 3x2 6 10x  x2  6x 6 c) 3 sin x  cosx d) 2.cos 2 3 3 3

k) 3 4 2 x2  2.3 2x2  2m  3 0 l) 1 3 1 3

4 x  x  14.2 x   x   8 m m) 9x  1 x2  8.3x 1 x2   4 m n) 9 1 1 t2  (m 2).3 1 1 t2  2m  1 0

Tìm m để các phương trình sau có nghiệm duy nhất:

m có 2 nghiệm dương phân biệt

b) 16xm.8x (2m 1).4x m.2x có 3 nghiệm phân biệt

c) 4x2  2x2  2   6 m có 3 nghiệm phân biệt

d) 9x2  4.3x2   8 m có 3 nghiệm phân biệt

PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT

Giải các phương trình sau (đưa về cùng cơ số hoặc mũ hoá):

a) log2x x(  1)  1 b) log2x log (2 x  1) 1

c) log (2 x  2) 6.log1/8 3x  5 2 d) log (2 x  3) log (2 x  1) 3

e) log (4 x  3) log (4 x   1) 2 log 84 f) lg(x  2) lg(x   3) 1 lg5

3

x  x  h) lg 5x  4 lg x   1 2 lg0,18 i) 2

log (x   6) log (x  2) 1 k) log (2 x  3) log (2 x  1) 1/ log 25

l) log4x log (104 x) 2  m) log (5 x  1) log (1/5 x 2) 0 

n) log (2 x  1) log (2 x  3) log 10 12  o) log (9 x  8) log (3 x 26) 2 0  

Giải các phương trình sau (đưa về cùng cơ số hoặc mũ hoá):

a) log3x log 3 x log1/3x 6 b) 1 lg(  x2  2x  1) lg(x2   1) 2lg(1 x)

c) log4x log1/16x log8x 5 d) 2 lg(4  x2  4x  1) lg(x2  19) 2lg(1 2 )   x

e) log2x log4x log8x 11 f) log (1/2 x  1) log (1/2 x   1) 1 log1/ 2(7 x)

g) log log2 2x log log3 3x h) log log2 3x log log3 2x

i) log log2 3x log log3 2x log log3 3x k) log log log2 3 4x log log log4 3 2x

Giải các phương trình sau (đưa về cùng cơ số hoặc mũ hoá):

a) log (9 2 ) 32  x  x b) log (33 x    8) 2 x

c) log (6 7 ) 17  x  x d) 1

3

log (4.3x   1) 2x 1 e) log (3 ) 5

2

log (9 2 ) 5  x  x f) log (3.22 x  1) 2x  1 0 g) log (12 2 ) 52  x  x h) log (26 3 ) 25  x 

1 5

1

log (2x x  2x  3x  1) 3 e) logx 3 (x  1) 2 f) log (x x 2) 2 

1 2

x  x   q) log (3 2 ) 1x2  x 

log x x  14log x x  40log x x  0

Giải các phương trình sau (đặt ẩn phụ):

a) 2

3 3

log (x  3x  2) log (x  7x 12) 3 log 3  

Giải các phương trình sau (đặt ẩn phụ):

a) log7x log (3 x 2) b) log (2 x  3) log (3 x 2) 2 

c) log (3 x  1) log (25 x  1) 2 d) x log 6x x

e) 4 log 7 x3 x f)log 12  xlog3x

g) xlog 9 2 x2 3 log 2xxlog 3 2

Giải các phương trình sau (sử dụng tính đơn điệu):

a)x x log 3 2 xlog 5 2 (x 0) b) x2  3 log 2x  5 log 2x

Giải các phương trình sau (đưa về phương trình tích):

a) log2x 2.log7x  2 log log2x 7x b) log log2x 3x  3 3.log3x log2x

c) 2 log 9x2  log log3x 3 2x 1 1   

Giải các phương trình sau (phương pháp đối lập):

Tìm m để các phương trình sau:

a) log24x m x 1 có 2 nghiệm phân biệt

6 x  x x g) 4x2 x.2x21  3.2x2 x2 2x2  8x 12 h) 6 2  3  31  2 3 2  3  9

x x x

1 2

2 3

2 3

x x

d) 3 x4  2 2 4x  13

e) 32 3 2 0

x x x

BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT

Giải các bất phương trình sau (đưa về cùng cơ số):

a) log5( 1  2x)  1  log 5(x 1 ) b) log 1 2 log2  9x 1

e) log 2.log 2.log 4x 2x 2 x 1 f) 2 2

1 log 1 log 1 log

x x  x

log 2

2 log

4

1

2 2



2 16

1 log 2.log 2

x x x







e) log2x m  log2x f) logx m (x2   1) logx m (x2  x 2)

Tìm m để các bất phương trình sau nghiệm đúng với:

y x

y x

CHƯƠNG III NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VÀ

ỨNG DỤNG

§1 NGUYÊN HÀM

VẤN ĐỀ 1: Tính nguyên hàm bằng cách sử dụng bảng nguyên hàm

Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:

c)

2 2

4 ( ) ln

3 2 ( )

x

F x

x x

2 1 ( ) ln

, ,

20 30 7 ( )

VẤN ĐỀ 2: Tính nguyên hàm f x dx( ) bằng phương pháp đổi biến số

Tính các nguyên hàm sau (đổi biến số dạng 1):



VẤN ĐỀ 3: Tính nguyên hàm bằng phương pháp tính nguyên hàm từng phần

Tính các nguyên hàm sau:

a) x.sinxdx b) xcosxdx c) (x2 5)sinxdx

d) (x2  2x 3)cosxdx e) xsin2xdx f) xcos2xdx

Tính các nguyên hàm sau:

a) e x.cosxdx b) e x(1 tan  x tan )2x dx c) e x.sin2xdx

d) ln(cos )2

cos

x dx x

VẤN ĐỀ 4: Tính nguyên hàm bằng phương pháp dùng nguyên hàm phụ

Tính các nguyên hàm sau:

Tính các nguyên hàm sau:

a) sin2 sin5x xdx b) cos sin3x xdx c) (tan2x tan )4x dx

§2 TÍCH PHÂN

VẤN ĐỀ 1: Tính tích phân bằng cách sử dụng bảng nguyên hàm

Tính các tích phân sau:

2

1

1 3 2

1

dx x x

d) 2 2

x dx x

2 4 4

dx x

2 1

x dx x





e) 3 2 4

x dx x

x x

VẤN ĐỀ 2: Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số

Tính các tích phân sau (đổi biến số dạng 1):

a)  

1

0

19 ) 1 ( x dx

0

3 2 3 ) 1 ( x

x c) 1 

0 2 5

1dx

x x

x x

dx h) 3 

3 5

1

2

dx x

x

0 1

x x

e dx e

1

ln ln 3 1

n) 2 

0 cos2 4 sin2

2 sin



dx x x

x o) 2 

0

2 3 sin 1

sin cos



dx x

x

x p) 6 

0

2 2

cos sin

2

2 sin



dx x x

x

dx e) 1  

0

2 2

) 2 )(

1 (x x

dx f) 1  

0

2 4

1

x x xdx

2 1

dx x

2

0 1

x dx x

VẤN ĐỀ 3: Tính tích phân bằng phương pháp tích phân từng phần

Tính các tích phân sau:

a) 4

0

2 sin



xdx x

dx x

x

1 2

ln q) x(e x x 1 )dx

0

1

3 2









VẤN ĐỀ 4: Tính tích phân các hàm số có chứa giá trị tuyệt đối

Tính các tích phân sau:

dx b) 1  

0 2

2x

x

dx x

dx

1 2

) 1

x dx

6 5

11 4

x x

dx

0

1 1

2 3

dx x

0

2

2 3

4

9 4 2

dx x

x x x

0

1 (x 2) (x 3) dx

0

1 1

x dx x

x dx x

1

dx x

dx x x

1

dx x

x dx x





2 3 2



2 2 2

2

0 1

x dx x

cos

2 cos

xdx x





g) 2

2 0

cos

1 cos

xdx x

tan cos 1 cos

VẤN ĐỀ 7: Tính tích phân các hàm số lượng giác

Tính các tích phân sau:

a) 4

0

cos 2 sin



xdx

x b) 4

0 tan



xdx c) 2 

0 1 3 cos sin



dx x x

d) 2

0

3 sin



xdx e)  x dx

0

2 sin f) 

0

2 3 cos x



dx x

cos sin cos 1



xdx x

x b) 2  

6

cos sin

2 cos 2 sin 1





dx x x

x

x x

sin

) cos (tan



dx x e

x x f) 2  x x dx

0

3 2

2 sin sin





Tính các tích phân sau:

a) 2

3

1 sinx dx



dx x x

x dx x



x dx

VẤN ĐỀ 8: Tính tích phân các hàm số mũ và logarit

Tính các tích phân sau:

e

x

x

e) ln8  3 ln

e

x x

x dx

e 



Tính các tích phân sau:



xdx x

1

0 1

x dx x

VẤN ĐỀ 9: Một số tích phân đặc biệt

Tính các tích phân sau (dạng 1):

a) 4 7 5 43

4

1 cos

1 cos ln

1 cos

x dx x

VẤN ĐỀ 10: Thiết lập công thức truy hồi

Lập công thức truy hồi cho các tích phân sau:

2

0

sin

n n

§3 ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TRONG HÌNH HỌC

VẤN ĐỀ 1: Tính diện tích hình phẳng

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:

g) y sinx cos , 2x y 0, x 0, x  h) y x  sin ;x y x x ;  0; x  2

i) y x  sin ; 2x y   ;x 0;x  k) sin 2 sin 1, 0, 0,

d) ( ):C y x 3  3x 2, x  1 và tiếp tuyến cới (C) tại điểm có hoành độ x = –2

e) ( ):C y x 2  2x và các tiếp tuyến với (C) tại O(0 ; 0) và A(3; 3) trên (C)

VẤN ĐỀ 2: Tính thể tích vật thể

Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra bởi hình (H) giới hạn bởi các đường sau quay quanh trục Ox:

g) y x y 2 ,  x h) x – 42 y2  1 

4 9

2 2

d)

m i

a i a

a i a



) 1 )(

2 1 (

3

i i



a i

b i

a i) 2 3

4 5

i i

) 1 ( ) 2 1 (

i i

i i

§4 PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VỚI HỆ SỐ THỰC

Tìm căn bậc hai của số phức:

i i

i

i

i z

Giải các phương trình sau (ẩn x):

e) z  i z 2   2 2 0  z    f) z2  2iz   2 1 0i

g) z2  (5 14 ) 2(12 5 ) 0i z  i  h) z2  80z 4099 100  i 0

i) ( 3 )z i 2 6( 3 ) 13 0z  i  k) z2 (cos isin )  z icos sin    0

Giải các phương trình sau trên tập số phức:

a) x2  (3 4 )i x   5 1 0i b) x2  (1 )i x   2 i 0 c) 3x2   x 2 0 d) x2   x 1 0 e) x3   1 0

Giải các phương trình sau biết chúng có một nghiệm thuần ảo:

Tìm tất cả các số phức z sao cho (z 2)(z i ) là số thực

Giải các phương trình trùng phương: