Bài tập giải tích lớp 12

ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ Đây là một trong những chương quan trọng trong chương trình toán lớp 12 và cũng là một phần trong các đề thi Đại học và Cao đẳng. Mong đây sẽ là một trong những tài liệu bổ ích mà các em cũng như các thầy cô đang tìm kiếm .

1 Đinh nghĩa:

Hàm số f đồng biến trên K ⇔ (∀x1, x2 ∈ K, x1 < x2 ⇒ f(x1) < f(x2)

Hàm số f nghịch biến trên K ⇔ (∀x1, x2 ∈ K, x1 < x2 ⇒ f(x1) > f(x2)

2 Điều kiện cần:

Giả sử f có đạo hàm trên khoảng I

a) Nếu f đồng biến trên khoảng I thì f′(x) ≥ 0, ∀x ∈ I

b) Nếu f nghịch biến trên khoảng I thì f′(x) ≤ 0, ∀x ∈ I

3 Điều kiện đủ:

Giả sử f có đạo hàm trên khoảng I

a) Nếu f′ (x) ≥ 0, ∀x ∈ I (f′(x) = 0 tại một số hữu hạn điểm) thì f đồngbiến trên I

b) Nếu f′ (x) ≤ 0, ∀x ∈ I (f′(x) = 0 tại một số hữu hạn điểm) thì f nghịchbiến trên I

c) Nếu f′(x) = 0, ∀x ∈ I thì f không đổi trên I

Chú ý: Nếu khoảng I được thay bởi đoạn hoặc nửa khoảng thì f phải liên tục trên đó.

VẤN ĐỀ 1: Xét chiều biến thiên của hàm số

Để xét chiều biến thiên của hàm số y = f(x), ta thực hiện các bước như sau:

x y

VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ

CHƯƠNG I ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT

VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ

I TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ

=

2 2

11

=

− + f) y x= + +3 2 2−xg) y = 2x− −1 3−x h) y x= 2−x2 i) y= 2x x− 2

00

a b c

00

a b c

3) Định lí về dấu của tam thức bậc hai g x( )=ax2+bx c+ :

• Nếu ∆ < 0 thì g(x) luôn cùng dấu với a.

• Nếu ∆ = 0 thì g(x) luôn cùng dấu với a (trừ x =

2

b a

− )

• Nếu ∆ > 0 thì g(x) có hai nghiệm x 1 , x 2 và trong khoảng hai nghiệm thì g(x) khác dấu với a, ngoài khoảng hai nghiệm thì g(x) cùng dấu với a.

4) So sánh các nghiệm x 1 , x 2 của tam thức bậc hai g x( )=ax2+bx c+ với số 0:

• Tìm điều kiện để hàm số có khoảng đồng biến và nghịch biến:

00

• Sử dụng định lí Viet đưa (2) thành phương trình theo m.

• Giải phương trình, so với điều kiện (1) để chọn nghiệm.

−

=+ d) 2 2 3

y= + m+ x − m+ x+ đồng biến trên khoảng (1; +∞)

b) y x= 3−3(2m+1)x2+(12m+5)x+2 đồng biến trên khoảng (2; +∞)

VẤN ĐỀ 3: Ứng dụng tính đơn điệu để chứng minh bất đẳng thức

Để chứng minh bất đẳng thức ta thực hiện các bước sau:

• Chuyển bất đẳng thức về dạng f(x) > 0 (hoặc <, ≥, ≤ ) Xét hàm số y

= f(x) trên tập xác định do đề bài chỉ định.

• Xét dấu f′ (x) Suy ra hàm số đồng biến hay nghịch biến.

• Dựa vào định nghĩa sự đồng biến, nghịch biến để kết luận.

Chú ý:

1) Trong trường hợp ta chưa xét được dấu của f′ (x) thì ta đặt h(x) = f′

(x) và quay lại tiếp tục xét dấu h′ (x) … cho đến khi nào xét dấu được thì thơi.

2) Nếu bất đẳng thức cĩ hai biến thì ta đưa bất đẳng thức về dạng: f(a) < f(b).

Xét tính đơn điệu của hàm số f(x) trong khoảng (a; b).

Bài 1. Chứng minh các bất đẳng thức sau:

Bài 4. Chứng minh các bất đẳng thức sau:

VẤN ĐỀ 4: Chứng minh phương trình có nghiệm duy nhất

Để chứng minh phương trình f(x) = g(x) (*) có nghiệm duy nhất, ta thực hiện các bước sau:

• Chọn được nghiệm x 0 của phương trình.

• Xét các hàm số y = f(x) (C 1 ) và y = g(x) (C 2 ) Ta cần chứng minh một hàm số đồng biến và một hàm số nghịch biến Khi đó (C 1 ) và (C 2 ) giao nhau tại một điểm duy nhất có hoành độ x 0 Đó chính là nghiệm duy nhất của phương trình (*).

Chú ý: Nếu một trong hai hàm số là hàm hằng y = C thì kết luận trên vẫn

Khi đó f(x0) đgl giá trị cực đại (cực đại) của f.

b) x0 – điểm cực tiểu của f nếu tồn tại khoảng (a; b) ⊂ D và x0 ∈ (a; b)sao cho

f(x) > f(x0), với ∀x ∈ (a; b) \ {x0}

Khi đó f(x0) đgl giá trị cực tiểu (cực tiểu) của f

c) Nếu x0 là điểm cực trị của f thì điểm (x0; f(x0)) đgl điểm cực trị của đồthị hàm số f

II Điều kiện cần để hàm số có cực trị

Nếu hàm số f có đạo hàm tại x0 và đạt cực trị tại điểm đó thì f′ (x0) = 0

Chú ý: Hàm số f chỉ có thể đạt cực trị tại những điểm mà tại đó đạo hàm

bằng 0 hoặc không có đạo hàm.

III Điểu kiện đủ để hàm số có cực trị

1 Định lí 1: Giả sử hàm số f liên tục trên khoảng (a; b) chứa điểm x0

và có đạo hàm trên (a; b)\{x0}

a) Nếu f′ (x) đổi dấu từ âm sang dương khi x đi qua x0 thì f đạt cực

tiểu tại x0.

b) Nếu f′ (x) đổi dấu từ dương sang âm khi x đi qua x0 thì f đạt cực đạitại x0

2 Định lí 2: Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng (a; b) chứa điểm

x0, f′ (x0) = 0 và có đạo hàm cấp hai khác 0 tại điểm x0

a) Nếu f′′ (x0) < 0 thì f đạt cực đại tại x0

b) Nếu f′′ (x0) > 0 thì f đạt cực tiểu tại x0

II CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ

Nếu f′′ (x i ) < 0 thì hàm số đạt cực đại tại x i

Nếu f′′ (x i ) > 0 thì hàm số đạt cực tiểu tại x i

Bài 1. Tìm cực trị của các hàm số sau:

Bài 3. Tìm cực trị của các hàm số sau:

a) y=3 2x +1 b) 3 2

2 1

x y x

Khi đĩ nếu x 0 là điểm cực trị thì ta cĩ thể tính giá trị cực trị y(x 0 ) bằng

− Khi đó nếu x 0 là điểm cực trị thì ta có thể tính giá trị cực trị y(x 0 ) bằng hai cách:

0 0

0

( )( )

27 tại x =

13b) y ax= 4+bx2+c có đồ thị đi qua gốc toạ độ O và đạt cực trị bằng –9tại x = 3

a) y=2x3+mx2−12x−13 có hai điểm cực trị cách đều trục tung.

b) y x= 3−3mx2+4m3 có các điểm cực đại, cực tiểu đối xứng nhau quađường phân giác thứ nhất

c) y x= 3−3mx2+4m3 có các điểm cực đại, cực tiểu ở về một phía đối vớiđường thẳng (d): 3x−2y+ =8 0

• Chia f(x) cho f′ (x) ta được: f(x) = Q(x).f′ (x) + Ax + B.

• Khi đó, giả sử (x 1 ; y 1 ), (x 2 ; y 2 ) là các điểm cực trị thì:

( )( )

• Giả sử (x 0 ; y 0 ) là điểm cực trị thì 0 0

0

'( )'( )

P x y

− −

=

−

qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số:

VẤN ĐỀ 1: Tìm GTLN, GTNN của hàm số bằng cách lập bảng biến

thiên

Cách 1: Thường dùng khi tìm GTLN, GTNN của hàm số trên một khoảng.

• Tính f′ (x).

• Xét dấu f′ (x) và lập bảng biến thiên.

• Dựa vào bảng biến thiên để kết luận.

Cách 2: Thường dùng khi tìm GTLN, GTNN của hàm số liên tục trên một đoạn [a; b].

x y x

−

=+ trên [0; 4]

11

x x y

x x

− +

=+ − trên [0; 1]i) y= 100−x2 trên [–6; 8] k) y= 2+ +x 4−x

a) 2sin 1

sin 2

x y

d) y=cos2x−2sinx−1 e) y=sin3x+cos3x f) 4 2 21

1

x y

−

=

− +g) y=4 x2−2x+ +5 x2−2x+3 h) y= − +x2 4x+ x2−4x+3

VẤN ĐỀ 2: Tìm GTLN, GTNN của hàm số bằng cách dùng bất đẳng

thức

Cách này dựa trực tiếp vào định nghĩa GTLN, GTNN của hàm số

4) Bất phương trình f(x) ≥ α đúng với mọi x ⇔ m ≥ α.

5) Bất phương trình f(x) ≤ β đúng với mọi x ⇔ M ≤β.

Bài 1. Giải các phương trình sau:

Bài 4. Cho bất phương trình: x3−2x2+ − + <x 1 m 0.

a) Tìm m để bất phương trình cĩ nghiệm thuộc [0; 2]

b) Tìm m để bất phương trình thoả mọi x thuộc [0; 2]

Bài 5. Tìm m để các bất phương trình sau:

a) mx− x− ≤ +3 m 1 cĩ nghiệm b) (m+2)x m− ≥ +x 1 cĩ nghiệm x ∈ [0;2]

c) m x( 2− + ≤x 1) x2+ +x 1 nghiệm đúng với mọi x ∈ [0; 1]

1 Định nghĩa:

Điểm U x f x( 0; ( )0 ) đgl điểm uốn của đồ thị hàm số y = f(x) nếu tồn tại

một khoảng (a; b) chứa điểm x0 sao cho trên một trong hai khoảng (a;x0) và (x0; b) tiếp tuyến của đồ thị tại điểm U nằm phía trên đồ thị cịntrên khoảng kia tiếp tuyến nằm phía dưới đồ thị

2 Tính chất:

• Nếu hàm số y = f(x) cĩ đạo hàm cấp hai trên một khoảng chứa điểm

IV ĐIỂM UỐN CỦA ĐỒ THỊ

x0, f′′(x0) = 0 và f′′(x) đổi dấu khi x đi qua x0 thì U x f x( 0; ( )0 ) là một điểm

x y x

+

=

2 2

1

y x

−

=+d) 22 1

=

2 2

2 51

31

y x

• Đường thẳng y y= 0 đgl đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số

• Đường thẳng y ax b a= + , ≠0 đgl đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm

số y f x= ( ) nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thoả mãn:

• Nếu Q(x) = 0 có nghiệm x0 thì đồ thị có tiệm cận đứng x x= 0

• Nếu bậc(P(x)) ≤ bậc(Q(x)) thì đồ thị có tiệm cận ngang

• Nếu bậc(P(x)) = bậc(Q(x)) + 1 thì đồ thị có tiệm cận xiên

b) Để xác định các hệ số a, b trong phương trình của tiệm cận xiên, ta

x y

x

+

=

−d) 2 4 3

x y

=

29

x y

4 51

y x

+ +

=

−d) 2 22 3 3

11

y x

+ +

=

4 3

41

y x

2

3 2( 1) 4

x y

x y

+

=+ + −

Bài 7. Tính diện tích của tam giác tạo bởi tiệm cận xiên của đồ thị các hàm

số sau chắn trên hai trục toạ độ:

+ Tìm các điểm tại đĩ đạo hàm y′ bằng 0 hoặc khơng xác định

+ Tìm các giới hạn tại vơ cực, giới hạn vơ cực và tìm tiệm cận (nếucĩ)

VI KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN

VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ

VI KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN

VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ

+ Lập bảng biến thiên ghi rõ dấu của đạo hàm, chiều biến thiên, cựctrị của hàm số.

• Vẽ đồ thị của hàm số:

+ Tìm điểm uốn của đồ thị (đối với hàm số bậc ba và hàm số trùngphương)

– Tính y′′

– Tìm các điểm tại đó y′′ = 0 và xét dấu y′′

+ Vẽ các đường tiệm cận (nếu có) của đồ thị

+ Xác định một số điểm đặc biệt của đồ thị như giao điểm của đồ thịvới các trục toạ độ (trong trường hợp đồ thị không cắt các trục toạ độhoặc việc tìm toạ độ giao điểm phức tạp thì có thể bỏ qua) Có thể tìmthêm một số điểm thuộc đồ thị để có thể vẽ chính xác hơn

+ Nhận xét về đồ thị: Chỉ ra trục đối xứng, tâm đối xứng (nếu có) của

I

y

x 0

I

= − và một tiệm cận xiên Giaođiểm của hai tiệm cận là tâm đối xứng của đồ thị hàm số.

a > 0a < 0y’ = 0 có 3 nghiệm phân biệt

y

x 0

y

x 0

y

x 0

 Các d ng đ th :ạ ồ ị

a.a′ > 0 a.a′ < 0

y′ = 0 cĩ 2 nghiệm

phân biệt

y′ = 0 vơ nghiệm

Bài 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số:

a) y x= 3−3x2−9x+1 b) y x= 3+3x2+3x+5 c) y= − +x3 3x2−2d) y= −(x 1) (42 −x) e) 3 2 1

x y x

+

=

34

x y

x

−

=

−d) 1 2

1 2

x y

x y x

−

=+

Bài 4. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số:

+ −

=+

x y

x

=

2 21

y x

−

=+

1 SỰ TƯƠNG GIAO CỦA CÁC ĐỒ THỊ

1 Cho hai đồ thị (C1): y = f(x) và (C2): y = g(x) Để tìm hoành độ giao điểm

của (C1) và (C2) ta giải phương trình: f(x) = g(x) (*) (gọi là phương trìnhhoành độ giao điểm)

Số nghiệm của phương trình (*) bằng số giao điểm của hai đồ thị

2 Đồ thị hàm số bậc ba y ax= 3+bx2+ +cx d a( ≠0) cắt trục hoành tại 3 điểmphân biệt

⇔ Phương trình ax3+bx2+ + =cx d 0 có 3 nghiệm phân biệt

2 4

x y x

2 1

22

x y

x y x

1313

y x

− cắt nhau tại hai điểm thuộc hai nhánh khác

VII MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN

ĐẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ VII MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN

ĐẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ

a) y x= 3+3x2+mx+2 ;m y= − +x 2 cắt nhau tại ba điểm phân biệt

b) y mx= 3+3mx2− −(1 2 )m x−1 cắt trục hồnh tại ba điểm phân biệt

c) y= −(x 1)(x2−mx m+ 2−3) cắt trục hồnh tại ba điểm phân biệt

d) y x= 3+2x2−2x+2m−1;y=2x2− +x 2 cắt nhau tại ba điểm phân biệt.e) y x= 3+2x2−m x2 +3 ;m y=2x2+1 cắt nhau tại ba điểm phân biệt

Bài 5. Tìm m để đồ thị các hàm số:

a) y x= 4−2x2−1; y m= cắt nhau tại bốn điểm phân biệt

b) y x= 4−m m( +1)x2+m3 cắt trục hồnh tại bốn điểm phân biệt

c) y x= 4−(2m−3)x2+m2−3m cắt trục hồnh tại bốn điểm phân biệt

2 BIỆN LUẬN SỐ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẰNG ĐỒ THỊ

• Cơ sở của phương pháp: Xét phương trình: f(x) = g(x) (1)

Số nghiệm của phương trình (1) = Số giao điểm của (C 1 ): y = f(x) và (C 2 ): y = g(x)

Nghiệm của phương trình (1) là hoành độ giao điểm của (C 1 ): y = f(x)

và (C 2 ): y = g(x)

• Để biện luận số nghiệm của phương trình F(x, m) = 0 (*) bằng đồ thị tabiến đổi (*) về một trong các dạng sau:

Dạng 1: F(x, m) = 0 ⇔ f(x) = m (1)

Khi đó (1) có thể xem là phương trình hoành độ

giao điểm của hai đường:

(C): y = f(x)d: y = m

• d là đường thẳng cùng phương với trục hoành

• Dựa vào đồ thị (C) ta biện luận số giao điểm

của (C) và d Từ đó suy ra số nghiệm của (1)

Dạng 2: F(x, m) = 0 ⇔ f(x) = g(m) (2)

Thực hiện tương tự như trên, có thể đặt g(m) = k

Biện luận theo k, sau đó biện luận theo m

Dạng 3: F(x, m) = 0 ⇔ f(x) = kx + m (3)

(k: không đổi)Khi đó (3) có thể xem là phương trình hoành độ

giao điểm của hai đường:

(C): y = f(x)d: y = kx + m

• Vì d có hệ số góc k không đổi nên d cùng phương

với đường thẳng y = kx và cắt trục tung tại điểm A(0; m)

• Viết phương trình các tiếp tuyến d1, d2, … của (C)

có hệ số góc k

• Dựa vào các tung độ gốc m, b1, b2, … của d, d1, d2, …

để biện luận

Dạng 4: F(x, m) = 0 ⇔ f(x) = m(x – x0) + y0 (4)

Khi đó (4) có thể xem là phương trình

hoành độ giao điểm của hai đường:

(C): y = f(x)d: y = m(x – x0) + y0

• d quay quanh điểm cố định M0(x0; y0)

• Viết phương trình các tiếp tuyến d1, d2, …

của (C) đi qua M0

• Cho d quay quanh điểm M0 để biện luận

VẤN ĐỀ 1: Biện luận số nghiệm của phương trình bằng đồ thị

Để biện luận số nghiệm của phương trình F(x, m) = 0 (*) ta biến đổi (*) về một trong các dạng như trên, trong đĩ lưu ý y = f(x) là hàm số đã khảo sát và vẽ đồ thị.

Bài 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số Dùng đồ thị (C)biện luận theo m số nghiệm của phương trình:

a) y x= 3−3x+1; x3−3x+ − =1 m 0 b) y= − +x3 3x−1; x3−3x m+ + =1 0c) y x= 3−3x+1; x3−3x m− 2−2m− =2 0 d) y= − +x3 3x−1; x3−3x m+ + =4 0e) 4 2 2 2; 4 4 2 4 2 0

b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) vuông góc với đường thẳng

b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) vuông góc với đường thẳng

b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) đi qua điểm A(0; 1)

c) Dùng đồ thị (C), biện luận theo m số nghiệm của phương trình:

2(1−m x) − −(1 m x) + =1 0

VẤN ĐỀ 2: Biện luận số nghiệm của phương trình bậc ba bằng đồ

thị

Cơ sở của phương pháp: Xét phương trình bậc ba: ax3+bx2+ + =cx d 0(a ≠ 0) (1)

Gọi (C) là đồ thị của hàm số bậc ba: y f x= ( )=ax3+bx2+ +cx d

Số nghiệm của (1) = Số giao điểm của (C) với trục hoành

Dạng 1: Biện luận số nghiệm của phương trình bậc 3

• Trường hợp 1: (1) chỉ có 1 nghiệm ⇔ (C) và Ox có 1 điểm chung

• Trường hợp 2: (1) có đúng 2 nghiệm ⇔ (C) tiếp xúc với Ox

Dạng 2: Phương trình bậc ba có 3 nghiệm cùng dấu

• Trường hợp 1: (1) có 3 nghiệm dương phân biệt

⇔ (C) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt có hoành độ dương

• Trường hợp 2: (1) có 3 nghiệm có âm phân biệt

⇔ (C) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt có hoành độ âm

A

x 0 o x 1

B x' 0 (y CT = f(x 0 ) = 0)

x 1

x A x B x C C

(C)

y CĐ y

Bài 2. Tìm m để các phương trình sau chỉ cĩ 2 nghiệm:

a) x3−(m+1)x2−(2m2−3m+2)x+2 (2m m− =1) 0 b) x3−3mx+2m=0

c) x3−(2m+1)x2+(3m+1)x m−( + =1) 0 d) x3−3x2+3(1−m x) + +1 3m=0

Bài 3. Tìm m để các phương trình sau cĩ 3 nghiệm phân biệt:

a) x3−3mx2+3(m2−1)x m−( 2− =1) 0 b) x3−6x2−3(m−4)x+4m− =8 0c) 2x3+3(m−1)x2+6(m−2)x+ − =2 m 0 d) 1 3 0

3x − + =x m

Bài 4. Tìm m để các phương trình sau cĩ 3 nghiệm dương phân biệt:

a) x3−3mx2+3(m2−1)x m−( 2− =1) 0 b) x3−6x2−3(m−4)x+4m− =8 0c) 1 3 5 2 4 7 0

A

a < 0

y CT B

f(0)

3 SỰ TIẾP XÚC CỦA HAI ĐƯỜNG TIẾP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG CONG.

1 Ý nghĩa hình học của đạo hàm: Đạo hàm của hàm số y = f(x) tại điểm x0

là hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị (C) của hàm số tại điểm

2 Điều kiện cần và đủ để hai đường (C1): y = f(x) và (C2): y = g(x) tiếp xúc

nhau là hệ phương trình sau có nghiệm:

• Phương trình tiếp tuyến ∆ là: y – y 0 = f′ (x 0 ).(x – x 0 )

Bài toán 2: Viết phương trình tiếp tuyến ∆ của (C): y =f(x), biết ∆ có hệ số góc k cho trước.

Cách 1: Tìm toạ độ tiếp điểm.

• Gọi M(x 0 ; y 0 ) là tiếp điểm Tính f′ (x 0 ).

• ∆ tiếp xúc với (C) khi và chỉ khi hệ phương trình sau cĩ nghiệm:

( )'( )

• Giải hệ (*), tìm được m Từ đĩ viết phương trình của ∆.

Chú ý: Hệ số gĩc k của tiếp tuyến ∆ cĩ thể được cho gián tiếp như sau: + ∆ tạo với chiều dương trục hồnh gĩc α thì k = tanα

+ ∆ song song với đường thẳng d: y = ax + b thì k = a

+ ∆ vuơng gĩc với đường thẳng d: y = ax + b (a ≠ 0) thì k = 1

− =

Bài tốn 3: Viết phương trình tiếp tuyến ∆ của (C): y = f(x), biết ∆ đi qua

điểm ( ; A x y A A)

Cách 1: Tìm toạ độ tiếp điểm.

• Gọi M(x 0 ; y 0 ) là tiếp điểm Khi đĩ: y 0 = f(x 0 ), y′0 = f′ (x 0 ).

• Phương trình tiếp tuyến ∆ tại M: y – y 0 = f′ (x 0 ).(x – x 0 )

• ∆ đi qua ( ; A x y nên: y A A) A – y 0 = f′ (x 0 ).(x A – x 0 )

(2)

• Giải phương trình (2), tìm được x 0 Từ đĩ viết phương trình của ∆.

Cách 2: Dùng điều kiện tiếp xúc.

• Phương trình đường thẳng ∆ đi qua ( ; A x y và cĩ hệ số gĩc k: y – y A A) A = k(x – x A )

• ∆ tiếp xúc với (C) khi và chỉ khi hệ phương trình sau cĩ nghiệm:

• Giải hệ (*), tìm được x (suy ra k) Từ đĩ viết phương trình tiếp tuyến ∆.

Bài 1. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm được chỉ ra:

a) (C):y=3x3−x2−7x+1 tại A(0; 1) b) (C):y x= 4−2x2+1 tạiB(1; 0)

c) (C): 3 4

2 3

x y

Bài 2. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm được chỉ ra:

1

x y

x

−

=

− tại điểm B cĩ yB = 4c) (C): 1

2

x y

e) (C): y x= 3−3x+1 tại điểm uốn của (C)