Tài liệu ôn toán - Bài tập giải tích lớp 12 - phần 4 pdf

Tìm tập hợp các điểm từ đĩ cĩ thể vẽ được hai tiếp tuyến của C vuơng gĩc với nhau.. Tìm tập hợp các điểm trên trục tung mà từ đĩ cĩ thể kẻ được tiếp tuyến với C... HÀM SỐ CĨ CHỨA DẤU GI

e) (C):

2

y

x

= + và (C¢): y mx= + 1

Bài 3 Cho (C) và (C¢).Tìm tập hợp các điểm

1) Tìm m để (C) cắt (C¢) tại 3 điểm phân biệt A, B, C (trong đĩ xC khơng đổi)

2) Tìm tập hợp các trung điểm I của đoạn thẳng AB

a) (C): y x= 3-3x2 và (C¢): y mx=

b) (C): y x= 3-2(m+1)x2+(m2+1)x m- 2 và (C¢): y= -3mx m+

c) (C): y x= 3-6x2+9x và (C¢): y mx=

d) (C): y=(x+2)(x-1)2 và (C¢) là đường thẳng đi qua C(–2; 0) và cĩ hệ số gĩc m

Bài 4 Cho (C) Tìm tập hợp các điểm từ đĩ cĩ thể vẽ được hai tiếp tuyến của (C) vuơng gĩc với nhau

a) (C): y x 1

x

1

y x

+ +

= +

Bài 5

a) Cho (C): 2

1

x y x

-=

- Tìm tập hợp các điểm trên trục tung mà từ đĩ cĩ thể kẻ được tiếp tuyến với (C)

b) Cho (C): y= - +x3 3x2- Tìm tập hợp các điểm trên đường thẳng y = 2 mà từ đĩ cĩ 2 thể kẻ được 3 tiếp tuyến với (C)

6 HÀM SỐ CĨ CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI

Bài tốn: Vẽ đồ thị của hàm số y = f(x) với f(x) cĩ chứa dấu giá trị tuyệt đối

Cách 1: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị

· Xét dấu biểu thức cĩ chứa dấu giá trị tuyệt đối

· Chia miền xác định thành nhiều khoảng, trong mỗi khoảng ta bỏ dấu giá trị tuyệt đối

· Vẽ đồ thị hàm số tương ứng trong các khoảng của miền xác định

Cách 2: Thực hiện các phép biến đổi đồ thị

Dạng 1: Vẽ đồ thị hàm số y= f x( )

Đồ thị (C¢) của hàm số y= f x( ) cĩ thể được suy từ đồ thị (C) của hàm số y = f(x)

như sau:

+ Giữ nguyên phần đồ thị (C) ở phía trên trục hồnh

+ Lấy đối xứng phần đồ thị của (C) ở phía dưới trục hồnh qua trục hồnh

+ Đồ thị (C¢) là hợp của hai phần trên

Dạng 2: Vẽ đồ thị của hàm số y f x= ( )

Đồ thị (C¢) của hàm số y f x= ( ) cĩ thể được suy từ đồ thị (C) của hàm số y = f(x)

như sau:

+ Giữ nguyên phần đồ thị (C) ở bên phải trục tung, bỏ phần bên trái trục tung

+ Lấy đối xứng phần bên phải trục tung qua trục tung

+ Đồ thị (C¢) là hợp của hai phần trên

Bài 1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) Từ đĩ suy ra đồ thị C¢) Dùng đồ thị (C¢) biện luận số nghiệm của phương trình (1):

a) (C): y x= 3-3x2- ; (C¢): 6 y x= 3-3x2- ; 6 x3-3x2- = (1) 6 m

b) (C): y x= 4-2x2- ; (C¢): 3 y x= 4-2x2- ; 3 x4-2x2- = (1) 3 m

c) (C):

2

1

y

x

-=

+ ; (C¢):

2

1

y

x

-=

2

1

x

-=

d) (C):

2

x x y

x

-=

- ; (C¢):

2

y x

-=

2

x

e) (C): 2 2

2

x y

x

-=

- ; (C¢):

2

x y x

-=

- ;

2

x

-=

Bài 2 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) Từ đĩ suy ra đồ thị C¢) Dùng đồ thị (C¢) biện luận số nghiệm của phương trình (1):

a) (C): y=2x3-9x2+12x- ; (C¢): 4 y=2 x3-9x2+12 x - ; 4 2 x3-9x2+12 x m= b) (C): 2

1

x y

x

=

- ; (C¢):

2 1

x y x

=

- ; (m-2).x m- = (1) 0 c) (C):

2

y

x

= + ; (C¢):

2

y

x

=

2

x

=

Bài 3 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) Từ đĩ suy ra đồ thị C¢) Dùng đồ thị (C¢), tìm

m để phương trình (1) cĩ k nghiệm phân biệt:

a) (C): y x= 4-2x2- ; (C¢): 1 y x= 4-2x2- ; 1 x4-2x2- =1 log2m; k = 6

b) (C): y x= 3-6x2+9x; (C¢): y x= 3-6x2+9 x ; x3-6x2+9 x - + = ; k = 6 3 m 0 c) (C): 2 2 5 2

1

y

x

-=

+ ; (C¢):

2

1

y

x

-=

2

1

x

d) (C):

4

3

x

x

y= - x + ; 4 3 2 5 2 2

7 ĐIỂM ĐẶC BIỆT TRÊN ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ

VẤN ĐỀ 1: Tìm điểm trên đồ thị (C): y = f(x) cĩ toạ độ nguyên

Tìm các điểm trên đồ thị hàm số hữu tỉ ( )

( )

P x y

Q x

= cĩ toạ độ là những số nguyên:

· Phân tích ( )

( )

P x y

Q x

= thành dạng ( )

( )

a

y A x

Q x

= + , với A(x) là đa thức, a là số nguyên

· Khi đĩ xì Ỵí Ỵỵy ¢ ¢ Û Q(x) là ước số của a Từ đĩ ta tìm các giá trị x nguyên để Q(x) là ước số của a

· Thử lại các giá trị tìm được và kết luận

Bài 1 Tìm các điểm trên đồ thị (C) của hàm số cĩ toạ độ nguyên:

1

x

y

x

+

=

10 2

x y x

-=

2 2

x y x

+

= -d)

2

y

x

+ +

=

1

y x

+

=

4 1 1

y x

x

= + +

-Bài 2 Tìm các điểm trên đồ thị (C) của hàm số cĩ toạ độ nguyên:

a) y x= + y2+2(x+1)y+4x b) y=2x+ y2+4(x-1)y+6x

VẤN ĐỀ 2: Tìm cặp điểm trên đồ thị (C): y = f(x) đối xứng qua đường thẳng d: y = ax + b

Cơ sở của phương pháp: A, B đối xứng nhau qua d Û d là trung trực của đoạn AB

· Phương trình đường thẳng D vuơng gĩc với d: y = ax = b cĩ dạng:

D: y 1x m

a

· Phương trình hồnh độ giao điểm của D và (C):

f(x) = 1x m

a

· Tìm điều kiện của m để D cắt (C) tại 2 điểm

phân biệt A, B Khi đĩ x A , x B là các nghiệm của (1)

· Tìm toạ độ trung điểm I của AB

· Từ điều kiện: A, B đối xứng qua d Û I Ỵ d, ta tìm

được m Þ x A , x B Þ y A , y B Þ A, B

Chú ý: · A, B đối xứng nhau qua trục hồnh Û A B

A B

í = -ỵ

· A, B đối xứng nhau qua trục tung Û A B

A B

ỵ

· A, B đối xứng nhau qua đường thẳng y = b Û

2

A B

A B

ỵ

· A, B đối xứng nhau qua đường thẳng x = a Û A B 2

A B

ỵ

Bài 1 Tìm trên đồ thị (C) của hàm số hai điểm đối xứng nhau qua đường thẳng d:

(d) (C) (D)

B

A I

a) ( ) :C y x= 3+x; d x: +2y= 0 b)( ) : 4; : 2 6 0

2

x

x

+

1

x

x

1

x

+

-Bài 2 Cho đồ thị (C) và đường thẳng d Viết phương trình đồ thị (C¢) đối xứng với (C) qua đường thẳng d:

a)( ) :C y=3x3-5x2+10x-2; d x: = - 2 b)

2

1

x

-c)

2

x

+

2

1

x

-Bài 3 Tìm m để trên đồ thị (C) cĩ một cặp điểm đối xứng nhau qua đường thẳng d:

a)( ) :C y mx= 3+3x2+2x m d Ox+ 2; :

VẤN ĐỀ 3: Tìm cặp điểm trên đồ thị (C): y = f(x) đối xứng qua điểm I(a; b)

Cơ sở của phương pháp: A, B đối xứng nhau qua I Û I là trung điểm của AB

· Phương trình đường thẳng d qua I(a; b),

cĩ hệ số gĩc k cĩ dạng: y k x a b= ( - + )

· Phương trình hồnh độ giao điểm của (C) và d:

f(x) = k x a b( - + (1) )

· Tìm điều kiện để d cắt (C) tại 2 điểm phân biệt

A, B khi đĩ x A , x B là 2 nghiệm của (1)

· Từ điều kiện: A, B đối xứng qua I Û I là trung điểm của AB, ta tìm được k Þ x A , x B

Chú ý: A, B đối xứng qua gốc toạ độ O Û A B

A B

ì =

-í = -ỵ

Bài 1 Tìm trên đồ thị (C) của hàm số hai điểm đối xứng nhau qua điểm I:

a) ( ) :C y x= 3-4x2+ +x 2; I(2;4) b) ( ) : 2 2; 0;5

x

+ +

c) ( ) :C y x= 3-3x2-2x+1; I Oº (0;0) d) ( ) : 4; (0;0)

1

x

x

+

+ e) ( ) : 3 4; (1;1)

x

x

+

=

1

x

-+

Bài 2 Cho đồ thị (C) và điểm I Viết phương trình đồ thị (C¢) đối xứng với (C) qua điểm I: a)( ) :C y=2x3+3x2+5x+1; I(1;2) b)( ) : ( 1)2; (1;1)

2

x

x

-= -c)

1

x

- +

=

x

=

-Bài 3 Tìm m để trên đồ thị (C) cĩ một cặp điểm đối xứng nhau qua điểm:

a)( ) :C y x= 3-3mx2+3(m2-1)x+ -1 m2; I Oº (0;0)

b) ( ) :C y x= 3+mx2+7x+3; I Oº (0;0)

c) ( ) :C y x= 3+mx2+9x+4; I Oº (0;0) d)

1

x

+

VẤN ĐỀ 4: Khoảng cách Kiến thức cơ bản:

1) Khoảng cách giữa hai điểm A, B: AB = (x B-x A)2+(y B -y A)2

2) Khoảng cách từ điểm M(x 0 ; y 0 ) đến đường thẳng D: ax + by + c = 0:

ax by c

+

3) Diện tích tam giác ABC:

S = 1 . .sin 1 2. 2 ( . )2

2AB AC A= 2 AB AC - AB AC

uuur uuur

Bài 1 Cho đồ thị (C) và điểm A Tìm điểm M trên (C) sao cho AM nhỏ nhất Chứng minh rằng khi AM nhỏ nhất thì đường thẳng AM vuơng gĩc với tiếp tuyến của (C) tại M a) ( ) :C y x= 2-1; A Oº (0;0) b) ( ) :C y x= 2; A(3;0)

c) ( ) :C y=2x2+1; A(9;1)

Bài 2 Cho đồ thị (C) và đường thẳng d Tìm điểm M trên (C) sao cho khoảng cách từ M đến

d là nhỏ nhất

a) ( ) :C y=2x4-3x2+2x+1; d y: =2x- b) 1 ( ) : 2 4 5; : 3 6

2

x

-+ c) ( ) :C y x x= - 2; d y: =2(x+ 1) d) ( ) : 1; : 2 3

1

x

x

+

-Bài 3 Tìm các điểm M thuộc đồ thị (C) sao cho d(M,Ox) = k.d(M,Oy) với k cho trước

2

x

x

+

1

x

+

-c)

1

x

+

1

x

+

Bài 4 Tìm các điểm M thuộc hypebol (H) sao cho tổng các khoảng cách từ đĩ đến hai tiệm cận là nhỏ nhất

2

x

H y

x

+

=

( ) :

1

x

H y

x

-=

( ) :

3

x

H y

x

-= -d)

( ) :

3

H y

x

+

-=

( ) :

2

H y

x

- +

=

( ) :

2

H y

x

= +

Bài 5 Tìm các điểm M thuộc hypebol (H) sao cho tổng các khoảng cách từ đĩ đến hai trục toạ độ là nhỏ nhất

a) ( ) : 1

1

x

H y

x

-=

( ) :

2

x

H y

x

+

=

( ) :

3

x

H y

x

-= -d)

( ) :

1

H y

x

+

-=

( ) :

2

x

H y

x

-=

( ) :

3

H y

x

+

-=

-Bài 6 Tìm các điểm M thuộc hypebol (H) sao cho khoảng cách từ đĩ đến giao điểm của hai tiệm cận là nhỏ nhất

a)

( ) :

1

H y

x

=

1

x

- +

Bài 7 Cho hypebol (H) Tìm hai điểm A, B thuộc hai nhánh khác nhau của (H) sao cho độ dài AB là nhỏ nhất

a) ( ) : 1

1

x

H y

x

-=

( ) :

2

x

H y

x

+

=

( ) :

3

x

H y

x

-= -d) ( ) :H y 2x 1 1

x

1

H y

x

=

( ) :

1

H y

x

=

-Bài 8 Cho (C) và đường thẳng d Tìm m để d cắt (C) tại 2 điểm A, B sao cho độ dài AB là nhỏ nhất

a)

1

x

1

1

x

x

+

Bài 1 Cho hàm số: y = x3+ax2- a là tham số 4,

a) Khảo sát và vẽ đồ thị với a = 3

b) Tìm các giá trị của tham số a để phương trình sau cĩ nghiệm duy nhất:

ĐS: b) a < 3

Bài 2 a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số: y = x3-6x2+9x- 1

b) Từ một điểm bất kỳ trên đường thẳng x = 2 ta kẻ được bao nhiêu tiếp tuyến tới đồ thị của hàm số?

ĐS: b) một tiếp tuyến

Bài 3 Cho hàm số: y = x3-3 (1)x

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1)

b) Chứng minh rằng m khi thay đổi, đường thẳng d cho bởi phương trình: ( 1) 2

y m x= + + luơn cắt đồ thị hàm số (1) tại một điểm A cố định Hãy xác định các giá trị của m để đường thẳng d cắt đồ thị hàm số (1) tại 3 điểm A, B, C khác nhau sao cho tiếp tuyến với đồ thị tại B và C vuơng gĩc với nhau

ĐS: b) ( 1; 2); 1 2 2

3

Bài 4 a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số: y = x4-2x2-1 (1)

b) Với những giá trị nào của m thì phương trình sau cĩ 6 nghiệm phân biệt

4

ĐS: b) 4 < m < 16

Bài 5 Cho hàm số: y = x4-5x2+4 (1)

a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số

b) Tìm điều kiện của tham số m để đường thẳng y = m cắt đồ thị (C) của hàm số tại 4 điểm phân biệt

c) Tìm m sao cho đồ thị (C) của hàm số chắn trên đường thẳng y = m ba đoạn thẳng cĩ

độ dài bằng nhau

- < < c) 7

4

m =

Bài 6 Cho hàm số: 1 4 2 3

y = x -mx + (1) a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 3

b) Viết phương trình tiếp tuyến đi qua 0; 3

2

Aỉç ư÷

è ø tiếp xúc với (C)

c) Xác định m để hàm số (1) cĩ cực tiểu mà khơng cĩ cực đại

y= y= ± x+ c) m £ 0

Bài 7 Cho hàm số: 3 4 ( )

1

x

x

+

=

-VIII ƠN TẬP KHẢO SÁT HÀM SỐ

a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số

b) Với giá trị nào của a, đường thẳng y = ax + 3 khơng cắt đồ thị (H)?

c) Qua điểm M(2 ; 3) viết phương trình tiếp với đồ thị (H)

ĐS: b) –28 < a £ 0 c) y = –28x + 59

Bài 8 a) Khảo sát và vẽ đồ thị 2 ( )

1

x

x

-=

b) Tìm tất cả những điểm trên đồ thị (C) cách đều hai điểm A(0; 0) và B(2; 2)

ĐS: b) (2 ; 0), (0 ; 2)

Bài 9 Cho hàm số: y x 2 1 ( )C

x

= - + a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C)

b) Tìm trên (C) các điểm cách đều hai trục tọa độ

c) Tìm k để đường thẳng y = k cắt (C) tại hai điểm mà tại đĩ hai tiếp tuyến với (C) vuơng gĩc với nhau

ĐS: b) 1 1;

2 2

Mỉç ư÷

è ø c) k = - ±2 5

Bài 10 Cho hàm số: 2 ( 1) 4 2 4 2

( 1)

y

x m

-=

-a) Khảo sát và vẽ đồ thị với m = 2

b) Tìm các giá trị của m để hàm số xác định và đồng biến trên khoảng (0 ; +¥)

Bài 11 a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số: 2 2 2

1

y

x

=

b) Gọi I là tâm đối xứng của đồ thị (C) và M là một điểm trên (C) Tiếp tuyến tại M với (C) cắt hai đường tiệm cận tại A và B Chứng minh rằng M là trung điểm của đoạn AB và diện tích tam giác IAB khơng phụ thuộc vào vị trí điểm M trên (C)

ĐS: b) S IAB =2 2

Bài 12 Cho hàm số: 2 2 2 1 1 ( )

a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C)

b) Tìm trên đồ thị hàm số đã cho các điểm sao cho tiếp tuyến tại đĩ vuơng gĩc với tiệm cận xiên của nĩ

ĐS: b) 1 1 2 3 2; ; 2 1 2; 3 2

M ỉç- + ư÷ M ỉç- - - ư÷

Bài 13 Cho hàm số: y x2 (m 1)x mx 1 (C m)

x m

=

-a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số ứng với m = 2

b) Chứng minh rằng tích các khoảng cách từ một điểm tùy ý thuộc đồ thị (C) (với m = 2 ở câu trên) tới hai đường tiệm cận luơn bằng một hằng số

c) Với giá trị nào của m thì hàm số đã cho cĩ cực đại, cực tiểu, đồng thời giá trị cực đại

và giá trị cực tiểu cùng dấu

ĐS: b) 9 2

c) m < - -3 2 3 hay m> - +3 2 3

Bài 14 a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số: 2 4 1

2

y

x

= + b) Tìm các điểm trên đồ thị cĩ khoảng cách đến đường thẳng ( ) : y + 3x + 6 = 0 là nhỏ nhất

ĐS: b) 1 3 5; ; 2 5; 5

M ỉç- ư÷ M ỉç- - ư÷

Bài 15 Cho hàm số: 2 2 2

1

x mx y

x

-=

- với m là tham số

a) Xác định m để tam giác tạo bởi hai trục tọa độ và đường tiệm cận xiên của đồ thị của hàm số trên cĩ diện tích bằng 4

b) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số trên khi m = –3

ĐS: a) m = –6 hay m = 2

Bài 16 Cho hàm số: y x2 x 1

x

+ +

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số trên

b) Xác định m sao cho phương trình sau cĩ nghiệm:

t - m- t + t - m- t+ =

m£ - hay m ³

Bài 17 Cho hàm số: y = -x3+3mx2+3(1-m2)+m2-m2 (1) (m là tham số)

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = 1

b) Tìm k để phương trình - +x3 3x2+k3-3k2 = cĩ 3 nghiệm phân biệt 0

c) Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số (1)

ĐS: b) - < <1 k 3; k¹0; k¹ 2; c) y = 2x m- 2+ m

Bài 18 Cho hàm số: y mx= 4+(m2-9)x2+10 (1) (m là tham số)

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 1

b) Tìm m để hàm số (1) cĩ ba điểm cực trị

ĐS: b) m< -3hay 0 < m < 3

Bài 19 Cho hàm số: (2 1) 2 (1)

1

y

x

-=

- (m là tham số) a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1) ứng với m = –1

b) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong (C) và hai trục tọa độ

c) Tìm m để đồ thị của hàm số (1) tiếp xúc với đường thẳng y = x

ĐS: b) 1 4 ln4

3

Bài 20 Cho hàm số: 2

1

y

x

+ +

=

- (1) (m là tham số) a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = –1

b) Tìm m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hồnh tại hai điểm phân biệt và hai điểm đĩ cĩ hồnh độ dương

- < <

Bài 21 Cho hàm số: y = x3-3x2+ (1) (m là tham số) m

a) Tìm m để hàm số (1) cĩ hai điểm phân biệt đối xứng nhau qua gốc tọa độ

b) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = 2

ĐS: a) m > 0

Bài 22 a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số 2 2 4 (1)

2

y

x

=

-b) Tìm m để đường thẳng dm: y = mx + 2 – 2m cắt đồ thị của hàm số (1) tại hai điểm phân biệt

ĐS: b) m > 1

Bài 23 Cho hàm số: 2 3 3

2( 1)

y

x

-=

- (1) a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1)

b) Tìm m để đường thẳng y = m cắt đồ thị tại 2 điểm A, B sao cho AB = 1

ĐS: b) 1 5

2

m= ±

Bài 24 Cho hàm số: 1 3 2 2 3 (1)

3

y = x - x + x cĩ đồ thị (C) a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1)

b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm uốn và chứng minh rằng là tiếp tuyến của (C) cĩ hệ số gĩc nhỏ nhất

3

y = - +x k=

-D

Bài 25 Cho hàm số: y = x3-3mx2+9x+1 (1) (với m là tham số)

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 2

b) Tìm m để điểm uốn của đồ thị hàm số (1) thuộc đường thẳng y = x + 1

ĐS: b) m = 0 hay m = 2 hay m = –2

Chân thành cảm ơn các bạn đồng nghiệp và các em học sinh đã đọc tập tài liệu này

transitung_tv@yahoo.com

1 Định nghĩa luỹ thừa

*

N

nÎ

=

a a Î R aa =a n =a a .a (n thừa số a)

0

=

) (n N*

-=

a a

a a = - = 1 )

, (m Z n N*

n

=

m

= Û

=

=

=

a

) ,

(

limr n r nÎQ nÎN*

=

2 Tính chất của luỹ thừa

· Với mọi a > 0, b > 0 ta có:

a

a a a

a a b

a b a b

a b

a b

a b

a

b

a b

a b

a ab a

a a

a

a a

a

ø

ö ç è

æ

=

=

=

· a > 1 : a a >a b Û >a b ; 0 < a < 1 : a a >a b Û <a b

· Với 0 < a < b ta có:

0

m m

a <b Û > ; m a m >b mÛ < m 0

Chú ý: + Khi xét luỹ thừa với số mũ 0 và số mũ nguyên âm thì cơ số a phải khác 0

+ Khi xét luỹ thừa với số mũ không nguyên thì cơ số a phải dương

3 Định nghĩa và tính chất của căn thức

· Căn bậc n của a là số b sao cho b n = a

· Với a, b ³ 0, m, n Î N*, p, q Î Z ta có:

n ab =n a b n ; n n ( 0)

n

b = b > ; n p a =( )n a p(a>0); m n a =mn a

( 0)

n p m q

p q

mn

n a= a m

· Nếu n là số nguyên dương lẻ và a < b thì n a<n b

Nếu n là số nguyên dương chẵn và 0 < a < b thì n a<n b

Chú ý:

+ Khi n lẻ, mỗi số thực a chỉ có một căn bậc n Kí hiệu n a

+ Khi n chẵn, mỗi số thực dương a có đúng hai căn bậc n là hai số đối nhau

4 Công thức lãi kép

Gọi A là số tiền gửi, r là lãi suất mỗi kì, N là số kì

Số tiền thu được (cả vốn lẫn lãi) là: C A= (1 )+r N

CHƯƠNG II HÀM SỐ LUỸ THỪA – HÀM SỐ MŨ – HÀM SỐ

LOGARIT

I LUỸ THỪA