PP LIÊN kết yếu PP LIÊN kết yếu PP LIÊN kết yếu

PP LIÊN kết yếu PP LIÊN kết yếu PP LIÊN kết yếu PP LIÊN kết yếu PP LIÊN kết yếu PP LIÊN kết yếu PP LIÊN kết yếu PP LIÊN kết yếu PP LIÊN kết yếu PP LIÊN kết yếu PP LIÊN kết yếu PP LIÊN kết yếu PP LIÊN kết yếu PP LIÊN kết yếu PP LIÊN kết yếu PP LIÊN kết yếu PP LIÊN kết yếu PP LIÊN kết yếu PP LIÊN kết yếu PP LIÊN kết yếu PP LIÊN kết yếu PP LIÊN kết yếu PP LIÊN kết yếu PP LIÊN kết yếu PP LIÊN kết yếu PP LIÊN kết yếu PP LIÊN kết yếu PP LIÊN kết yếu PP LIÊN kết yếu PP LIÊN kết yếu PP LIÊN kết yếu PP LIÊN kết yếu PP LIÊN kết yếu PP LIÊN kết yếu PP LIÊN kết yếu PP LIÊN kết yếu PP LIÊN kết yếu PP LIÊN kết yếu PP LIÊN kết yếu PP LIÊN kết yếu PP LIÊN kết yếu PP LIÊN kết yếu PP LIÊN kết yếu PP LIÊN kết yếu PP LIÊN kết yếu PP LIÊN kết yếu PP LIÊN kết yếu PP LIÊN kết yếu PP LIÊN kết yếu PP LIÊN kết yếu PP LIÊN kết yếu PP LIÊN kết yếu PP LIÊN kết yếu PP LIÊN kết yếu PP LIÊN kết yếu PP LIÊN kết yếu PP LIÊN kết yếu PP LIÊN kết yếu PP LIÊN kết yếu PP LIÊN kết yếu PP LIÊN kết yếu PP LIÊN kết yếu PP LIÊN kết yếu PP LIÊN kết yếu PP LIÊN kết yếu PP LIÊN kết yếu PP LIÊN kết yếu PP LIÊN kết yếu PP LIÊN kết yếu PP LIÊN kết yếu PP LIÊN kết yếu PP LIÊN kết yếu PP LIÊN kết yếu PP LIÊN kết yếu PP LIÊN kết yếu PP LIÊN kết yếu PP LIÊN kết yếu PP LIÊN kết yếu PP LIÊN kết yếu PP LIÊN kết yếu PP LIÊN kết yếu PP LIÊN kết yếu PP LIÊN kết yếu PP LIÊN kết yếu PP LIÊN kết yếu PP LIÊN kết yếu PP LIÊN kết yếu PP LIÊN kết yếu PP LIÊN kết yếu PP LIÊN kết yếu PP LIÊN kết yếu PP LIÊN kết yếu PP LIÊN kết yếu PP LIÊN kết yếu PP LIÊN kết yếu PP LIÊN kết yếu PP LIÊN kết yếu PP LIÊN kết yếu PP LIÊN kết yếu PP LIÊN kết yếu PP LIÊN kết yếu PP LIÊN kết yếu PP LIÊN kết yếu PP LIÊN kết yếu PP LIÊN kết yếu PP LIÊN kết yếu PP LIÊN kết yếu PP LIÊN kết yếu

PHƯƠNG PHÁP ĐIỆN TỬ LIÊN KẾT YẾU (ĐIỆN TỬ GẦN TỰ DO)

Trong phương pháp này, các điện tử ở các lớp ngoài được xem như liên kết yếu với

lượng của điện tử trong tinh thể thì xem thế năng tuần hoàn của mạng tinh thể là rất nhỏ chỉ là một thế nhiễu loạn Từ đó có thể áp dụng lý thuyết nhiễu loạn để giải bài toán này

Để tìm năng lượng của điện tử trong tinh thể ta phải giải phương trình Schrodinger cho điện tử:

   

Với giả thiết thế năng là một thế nhiễu loạn thì toán tử Hamilton của điện tử có

 

(0)

loạn

2 (0)

2

2

H

m

  

Phương trình Schrodinger cho điện tử được viết lại:

(0)

k k k

H V r  r E r

2 2

2m V r k r E kk r

     

Khai triển Fourier hàm ta được: V r 

    iG r

G

V r  V G e

là vetor mạng đảo

G

Theo kết quả của lý thuyết nhiễu loạn hàm sóng và năng lượng tìm được có dạng:

k r k r k r k r

  0   1   2

E  E  E  E 

 Gần đúng bậc 0:

  0

2

2

m

Phương trình Schrodinger ở gần đúng bậc 0:

(0)

2

m

      

Phương trình này cho nghiệm có dạng của sóng phẳng, và năng lượng

là dạng năng lượng của điện tử tự do Như vậy ở gần đúng bậc 0 ta có:

 

2 2

(0)

2

k E

m



Hàm sóng ở gần đúng bậc 0:

 

(0) i k r

k r C e

Năng lượng ở gần đúng bậc 0:

2 2 (0)

2

k E

m



 Gần đúng bậc 1:

Hàm sóng của điện tử khi tính đến gần đúng bậc 1 có dạng:

Trong đó, theo lý thuyết nhiễu loạn số hạng hàm sóng bậc 1 có dạng:

'

k k r

V



     

(0)* (0)

r

V   r V r  r d r

với

k k

k k k k

V







Năng lượng của điện tử tính đến gần đúng bậc 1 có dạng:

  0   1

E  E  E

Số hạng năng lượng bậc 1 có dạng:

  1 (0)*     (0)  

r

E V   r V r  r d r  V r

  0  

k k

E  E  V r

Như vậy khi tính đến gần đúng bậc 1, năng lượng của điện tử dịch chuyển một đoạn bằng trị trung bình của thế nhiễu loạn so với trường hợp điện tử chuyển động

 Gần đúng bậc 2:

Biểu thức năng lượng ở gần đúng bậc 2 có dạng:

 

   

2

k k k

k k k

V E







  0   1   2

E  E  E  E

  0     2

Số hạng năng lượng bậc 2 có dạng:

     

r

Với

2

k k

k k

V





'

k k

V

Thay hàm sóng và thế năng khai triển vào biểu thức ta được:

 

'

i k r iG r i k r

k k

G r

'

i k k G r

k k

Hàm sóng thoả mãn các tính chất trực chuẩn *  

k k G



k k

G

V  V G  k k G

 

'

k k

V V G

Như vậy, năng lượng của điện tử trong tinh thể tính đến gần đúng bậc 2 có dạng:

       

2 0

0 0

k k

k G k k G

V G





  0   0

k k G

  0   0

k k G

  0   0

k k G

2 2

2

k



2

2kG G 0

Một giá trị năng lượng sẽ ứng với hai trạng thái có hai hàm sóng và

nghĩa là mức năng lượng của trạng thái không nhiễu loạn bị suy biến bậc 2

 

(0)

k r



 

(0)

k G r

 

  0   0

k k G

Như vậy, biểu thức năng lượng không thỏa mãn khi nằm ở biên vùng Brillouin Để

hai trạng thái ứng với hai hàm sóng và

k

 

(0)

k r

k G r

 

Hàm sóng của trạng thái nhiễu loạn là chồng chất của các hàm sóng không nhiễu loạn

   

   

 

(0)

1 (0)

2

k

k G

C k





















Thay vào phương trình Schrodinger ta được:

     

(0)

H V r  r E r

(0)

(0) (0)

2



* 1



2

2

                 

                 









 





r

r r d r



r

r V r r d r V



Ta có:



Chọn gốc thế năng sao cho V11 V22  V  , hệ phương trình trở thành: 0

 

 

0 0



Hệ phương trình có nghiệm không tầm thường khi định thức của nó bằng 0:

21 2

0







2

Đây là phương trình bậc 2 theo năng lượng E có nghiệm là:

12 21

k k G

k k G E E

Thay bằng các kí hiệu ban đầu

Từ đây có thể thấy rằng khi điều kiện phản xạ Bragg thoả mãn, có nghĩa

trị:

2

2kGG  0

k

2

2

2

2

k G

k G

k

k k G

k

k k G



























Mặt khác ta có  0  0

E  E 

   

   

0

0

k

k











 

2

E E E V G

   

Như vậy, phương pháp liên kết yếu cho thấy các giá trị của vector sóng ở lân cận

tử tự do, vùng này tương ứng với vùng được phép Nhưng một giá trị của nằm ở

k

 

E k

k

 

2V G

Vùng được phép

Vùng cấm

0

Hình 2.18 Đồ thị năng lượng trong phương pháp liên kết yếu

 

2V G

 

2V G