DABTTL the tich khoi lang tru phan 02

Hình chiếu vuông góc của A’ trên ABC là trọng tâm tam giác ABC.. Tính thể tích khối chóp A’BB’C’C và khoảng cách đường thẳng AA’ với mặt phẳng BB’C’C theo a và b, biết b > a.. Tính thể

H A

B

B'

C

M

Bài 1 Cho lăng trụ ABCA’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, AA’ = b Hình chiếu vuông góc của

A’ trên (ABC) là trọng tâm tam giác ABC Tính thể tích khối chóp A’BB’C’C và khoảng cách đường thẳng AA’ với mặt phẳng (BB’C’C) theo a và b, biết b > a

Giải

Gọi H là trọng tâm ABCA H' (ABC)

* VA’BB’C’C = VABCA’B’C’ – VA’ABC

= ' 1 ' 2 '

A H S  A H S  A H S

Mà:

+)

2

ABC

2

2

2 3

3 2 3

a

b

     



' ' '

A BB C C

* d(AA’,(BB’C’C) = ?

'



  mà A’A // B’B => BCB’B

=> BB’C’C là hình chữ nhật

+) Vì AA’ // (BB’C’C) nên khoảng cách giữa AA’ và (BB’C’C) bằng khoảng các từ điểm A đến mặt phẳng (BB’C’C)

+) Ta có

2

A BB C C BB C C

a

V  S h b a  a b h

3

(AA ', ( ' ' )) 2

a b a

b



Bài 2 Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông cân tại C, ABa 2 ,

AA 'a 3, (AA 'C)(ABC), góc giữa hai mặt phẳng (A’AB) và (ABC) bằng 60o Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’

Giải

- Kẻ A’K AC (KAC)

THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ (PHẦN 02)

ĐÁP ÁN BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƯƠNG

Các bài tập trong tài liệu này được biên soạn kèm theo bài giảng Thể tích khối lăng trụ (Phần 02) thuộc khóa học

Luyện thi PEN-C: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương)tại website Hocmai.vn để giúp các Bạn kiểm tra, củng cố lại

các kiến thức được giáo viên truyền đạt trong bài giảng Thể tich khối lăng trụ (Phần 02)

B

B'

C K

I

C'

B

A

D

C

B'

H K

M

' (AA 'C), '



- Kẻ KI  AB, (IAB)

=> A’I  AB

' ( ' ), ( ) 60o

A IK A AB ABC

Mà:

+) CA2 + CB2 = AB2

2CA (a 2) CA a CB

2

ABC

+) Xét tam giác vuông A’KI, ta có tan 60o A K'

KI



tan 60o 3

A K A K KI

Mặt khác, xét tam giác vuông KAI, ta có sin 45o KI

AK



o

Từ (1) và (2) suy ra: 3 2 ' 2 2 '

A K

Vậy:

3 2

' ' '

2 5 2 5

ABCA B C

a a

Bài 3 Cho hình lăng trụ ABCDA’B’C’D’, đáy ABCD là hình chữ nhật với ABa 3,ADa 7 Hai mặt bên (ABB’A’) và (ADD’A’) lần lượt tạo với mặt phẳng đáy các góc 45o và 60o, biết AA’ = a Tính thể tích khối lăng trụ ABCDA’B’C’D’

Giải

- Gọi H là hình chiếu vuông góc của A’ trên (ABCD)

- Kẻ HKAB (KAB), HMAD (M AD)

' 45 ;o ' 60o

- VABCDA’B’C’D’ = SABCD.A’H

Mà:

+) SABCD = AB.AD = a2 21

+) Ta có:

' 2 ' '

sin 60o 3

A H A H

AA ' '

Nhưng HK = A’H.cot45o

= A’H

2 2

Vậy V ABC A B C ' ' ' = S ABCD.A’H = 2 21 3 3 3

7

Bài 4 Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ với A’.ABC là hình chóp tam giác đều cạnh đáy AB = a;

cạnh bên AA’ = b Gọi  là góc giữa hai mp(ABC) và mp(A’BC) Tính tan  và thể tích chóp A’.BCC’B’

Giải

Gọi O là tâm đáy suy ra A O '   ABC và góc    AIA '

*)Tính tan 

'

OI

OI  AI  

A O  A A  AO  b   

2 3

a

*)Tính VA BCC B'. ' '

 

1

3

Bài 5 Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a, hình chiếu vuông góc của A’ lên măt

phẳng (ABC) trùng với tâm O của tam giác ABC Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ biết khoảng

cách giữa AA’ và BC là a 3

4

Giải

Gọi M là trung điểm BC ta thấy:











BC O A

BC AM

' BC(A'AM)

Kẻ MH  AA',(do A nhọn nên H thuộc trong đoạn AA’.)

AM A HM

AM A BC















) ' (

) ' (

.Vậy HM là đọan vông góc chung của

AA’và BC, do đó

4

3 )

BC , A'

Xét 2 tam giác đồng dạng AA’O và AMH, ta có:

AH

HM AO

O A



'

 suy ra

3

a a

4 4

3 a 3

3 a AH

HM AO O '

Thể tích khối lăng trụ:

12

3 a a 2

3 a 3

a 2

1 BC AM O ' A 2

1 S

O ' A V

3

I

B'

C'

O

B A'

A

B

C

C’ B’

A’

H

O

M

Bài 6 Cho lăng trụ ABC.A’B’C’đáy ABC là tam giác đều cạnh a A’ cách đều các điểm A, B, C Cạnh bên

AA’ tạo với đáy góc 600 Tính thể tích khối lăng trụ

Giải

Từ giả thiết ta được chop A’.ABC là chóp tam giác đều

'

A AG

 là góc giữa cạnh bên và đáy

A AG

 = 600 , AG = 3

3

a

; Đường cao A’G của chóp A’.ABC

cũng là đường cao của lăng trụ

Vậy A’G = 3

3

a

.tan600 = 3

3

a

3= a

Vậy Thể tích khối lăng trụ đã cho là V =

3

Bài 7 Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, cạnh bên hợp với đáy một góc

là 450 Gọi P là trung điểm BC, chân đường vuông góc hạ từ A’ xuống (ABC) là H sao cho 1

2

 

gọi K là trung điểm AA’,   là mặt phẳng chứa HK và song song với BC cắt BB’ và CC’ tại M, N Tính

tỉ số thể tích

' ' '

ABCKMN

A B C KMN

V

Giải

Gọi Q, I, J lần lượt là trung điểm B’C’, BB’, CC’ ta có:

2

3

a

AP AH a 3 (vì ' AHA' vuông cân tại H)

Vậy A'H a 3 V ABCA' 'C'S ABC.A'H

Ta có

4

3 2

3 2

1 a a2 a

S ABC   (đvdt)

4

3 4

3 3

3 2

' ' '

a a

a

Vì ' AHA' vuông cân HKAA'HKBB'C'C

Gọi E = MNKH BM = PE = CN (2)

mà AA’ = 2 2

'H AH

A  = 3a23a2 a 6

4

6 2

CN PE BM

a



Ta có thể tích K.MNJI là:

a

2

MNJI

( )

KMNJI

' ' '

3

1

8 8

8 8

ABCKMN

A B C KMN

a a V

a a V





G

N

M

C

B

A

B'

C' A'

45

E

K

J

I A

B

C

C'

B' A'

P

H

Q

N

M

Bài 8 Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A,BCa 2, hình chiếu của A’ trên mặt phẳng (ABC) là trọng tâm tam giác ABC, cạnh bên tạo với mặt đáy một góc 600

Tính thể tích của khối lăng trụ đó

Giải

Do ABC vuông cân tại A mà BC = a 2=> AB = BC = a

2

1

ABC

a

S  AB BC (đvdt)

Ta có A'G  (ABC) => A'G là đường cao của khối lăng trụ A'B'C'.ABC

Gọi M là trung điểm của BC 1 2

a

Do G là trọng tâm ABC 2 2

a

Xét A'AG ta có:

tan 60 ' tan 60 3

AG

' ' '

'

ABC A B C ABC

Giáo viên: Lê Bá Trần Phương Nguồn : Hocmai.vn

B

G

A

B'

C

M

60

0

a

a