a Ch ng minh r ng tam giác SBC vuông.
Trang 1C
A
D S
I
B
A S
H
O
E
Các bài đ c tô màu đ là các bài t p m c đ nâng cao
Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông c nh a, SA(ABCD), SBa 3
a) Tính th tích kh i chóp S.ABCD
b) Ch ng minh trung đi m c a SC là tâm m t c u đi qua các đi m S, A, B, C, D
Gi i:
a)
.
1
3
S ABCD
a SA a SB AB
3
2 2
2
a
b) Ta có:
SA AC CBSB CDSD
Nh v y 3 đi m A, B, D cùng nhìn SC c đ nh d i m t góc vuông nên chúng cùng n m trên m t c u
đ ng kính SC Do đó tâm m t c u đi qua các đi m S, A, B, C, D (m t c u ngo i ti p hình chóp S.ABCD)
là trung đi m c a SC
Bài 2:Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác cân t i A, m t bên (SBC) vuông góc v i (ABC),
SA = SB = AB = AC = a
a) Ch ng minh r ng tam giác SBC vuông
b) Tính di n tích xung quanh c a m t c u ngo i ti p hình chóp S.ABC bi t r ng SCa 2
Gi i:
a) G i I là trung đi m SC, H là trung đi m BC
Tam giác SAC cân t i A AI SC
/ /
M T C U (PH N 01)
ÁP ÁN BÀI T P T LUY N
Giáo viên: LÊ BÁ TR N PH NG
Các bài t p trong tài li u này đ c biên so n kèm theo bài gi ng M t c u (Ph n 01) thu c khóa h c Luy n thi Qu c
gia PEN-C: Môn Toán (Th y Lê Bá Tr n Ph ng t i website Hocmai.vn s d ng hi u qu , B n c n h c tr c
Bài gi ng sau đó làm đ y đ các bài t p trong tài li u này
Trang 2O C
B
S
I
E
M
- G i E là trung đi m SA, qua E d ng m t ph ng trung tr c c a SA M t ph ng này acwts tr c AH t i O suy ra O là tâm m t c u ngo i ti p hình chóp S.ABC, bán kính m t c u này là R = OA
Ta có hai tam giác vuông AOE và tam giác ASH đ ng d ng
2 2
OA
Mà
2
AI SA SI SA SC a
2 2 1
HI SB HI
V y
2
2 2
2
a
di n tích xung quanh c a m t c u ngo i ti p hình chóp S.ABC là
S R OA a
Bài 3: Cho chóp t giác đ u S.ABCD đáy ABCD là hình vuông c nh b ng a, ASB Tính th tích
c a kh i c u gi i h n b i m t c u ngo i ti p hình chóp S.ABCD theo a và
Gi i:
G i O là giao đi m c a AC và BD SO(ABCD) SO là tr c c a đ ng tròn ngo i ti p hình vuông ABCD
- G i I là trung đi m c a SA, qua I d ng m t ph ng trung tr c c a SA M t ph ng này c t tr c SO t i E nên E là tâm m t c u ngo i ti p hình chóp S.ABCD, bán kính m t c u này là R = ES
Ta có hai tam giác vuông SOA và SIE đ ng d ng nên
2
ES
G i M là trung đi m AB Khi đó ta có : sin
2
sin 2sin
SA SA
2 2 2 2
2
2 sin
2
2
os
2
4 sin sin 4 sin os
SO
c
V y th tích kh i c u là :
3
2
a
c
2
os
2
Trang 3A
D B
H
I
A'
B'
C'
A
B
C
E
H
G'
G
O I
K
Bài 4 : Cho t di n ABCD có AB = AC = BC = BD = a, ADa 2; (ACD)(BCD)
a) Ch ng minh tam giác ACD vuông
b) Tính di n tích m t c u ngo i ti p t di n ABCD
Gi i:
a) G i H là trung đi m CD, vì tam giác BCD cân t i B BH CD
Ta có hai tam giác vuông BHC BHAHCHA
90 2
AH HC CDCAD
t c tam giác CAD vuông t i A
b) BH là tr c c a đ ng tròn ngo i ti p tam giác ACD
- G i I là trung đi m BD, qua I d ng m t ph ng trung tr c c a BD
M t ph ng này c t tr c BH t i O suy ra O là tâm m t c u ngo i ti p t di n ABCD
Bán kính R = OB
2
M t khác : Tam giác ACD vuông t i A 2
a
2
2 3 2
4
a
a a
V y di n tích m t c u ngo i ti p t di n ABCD là: 2 2 2
S R OB a
Bài 5: Cho hình l ng tr đ u ABC.A’B’C’ có t t c các c nh đ u b ng a
a) Tính di n tích xung quanh c a m t c u đi qua 6 đi m A, B, C, A’, B’, C’ (m t c u ngo i ti p hình l ng
tr )
b) G i E là trung đi m c a A’B’ Xác đ nh tâm và bán kính m t c u ngo i ti p t di n ABCE
Gi i:
a) G i G và G’ l n l t là tr ng tâm
c a các tam giác đ u ABC và A’B’C’
- G i O là trung đi m GG’, khi đó d th y:
OA = OB = OC = OA’ = OB’ = OC’
O là tâm m t c u ngo i ti p hình l ng tr
Do đó bán kính m t c u ngo i ti p hình l ng tr là:
2
b) G i H là trung đi m AB,
I là tâm đ ng tròn ngo i ti p tam giác cân EAB
- Qua I k // CH (EAB) là tr c c a đ ng tròn ngo i ti p tam giác EAB
Trang 4H
P
D
F
A
G
O A
B
D
C S
H
K I
BÀI T P THAM KH O THÊM
Bài 1: Cho hai m t ph ng (P) và (Q) vuông góc v i nhau có giao tuy n là đ ng th ng Trên l y 2
đi m A, B v i AB = a Trong m t ph ng (P) l y đi m C, trong m t ph ng (Q) l y đi m D sao cho AC, BD cùng vuông góc v i và AC = BD = AB Tính bàn kính m t c u ngo i ti p t di n ABCD và tính kho ng cách t A đ n m t ph ng (BCD) theo a
Gi i:
Vì ( )P ( ) àQ v CA n n CAê ( )Q CA AD
T ng t BD BC, nên các đi m B, A cùng nhìn đo n CD d i m t góc vuông, do đó m t c u ngo i ti p
t di n ABCD có tâm là trung đi m CD và có bán kính
2
CD
R
Áp d ng pitago cho các tam giác ABD, ACD
ta có:
a
R AC AD AC AB BD
K AH BC thì H là trung đi m c a BC
(Do tam giác ABC vuông cân t i A)
a
AH BC AC AB
Vì BD (ABC) BD AH
nên AH (CBD)
V y d(A, (BCD)) = AH 2
2
a
60 BAD
và các c nh bên SA = SB
= SD Xác đ nh tâm và tính bán kính m t c u ngo i ti p hình t di n SBCD bi t 0
90 BSD
Gi i:
G i O là giao đi m c a 2 đ ng chéo c a hình thoi ABCD
Theo bài ra ta có tam giác ABD là tam giác đ u c nh a
BD = a Mà tam giác SBD vuông t i S
nên SB = SD 2 ;
SO
G i H là hình chi u c a S trên m t đáy thìH là tâm đ ng tròn
ngo i ti p tam giác ABD (do các c nh bên SA = SB = SC)
Ta có:
,
SH SO OH SC SH HC
G i K là tâm c a tam giác đ u BCD thì K là trung đi m c a HC, tr c đ ng tròn ngo i ti p tam giác BCD
đi qua K và song song v i SH nên là trung tr c c a HC c t SC t i đi m I Ta có I là trung đi m c a SC nên IS = IC, do đó I chính là tâm m t c u ngo i ti p hình t di n SBCD
Bán kính c a m t c u là 1 6
a
R SC
Trang 5M A
B
C
S
N
I
Bài 3:Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông t i A, D, AB = AD = a, CD = 2a C nh bên SD
(ABCD) và SD = a G i E là trung đi m c a DC Xác đ nh tâm và tính bán kính m t c u ngo i ti p
hình chóp S.BCE
Gi i:
Vì AB = DE = AD = a và DBA nên ABED là hình vuông Tam giác BCD có EB = ED = EC = a 1v nên vuông t i B, BE CD nên trung đi m M c a BC là tâm đ ng trong ngo i ti p tam giác EBC
D ng là tr c đ ng tròn ngo i ti p tam giác EBC thì song song v i SD
D ng m t ph ng trung tr c c a c nh SC, m t ph ng đó c t t i I
i m I là tâm m t c u ngo i ti p hình chóp S.BCE
K SN // DM c t MI t i N, ta có SDMN là hình ch nh t v i SD = a và
Ta có :
SI2 = SN2 + NI2 = SN2 + (NM – IM)2
=5 2 ( )2
2a a IM
Mà IC2 = IM2 + MC2 = IM2
2
2
a
Và R = IC = IS nên
V y bán kính m t c u ngo i ti p hình chóp S.BEC là
2
Giáo viên: Lê Bá Tr n Ph ng Ngu n : Hocmai.vn