DABTTL mat cau phan 02

Các bài đ c tô màu đ là các bài t p m c đ nâng cao

trong hình thang có bán kính r Bi t SO vuông góc (ABCD) và SO = 2r Xác đ nh tâm và bán kính m t c u

n i ti p hình chóp S.ABCD

Gi i:

G i M, N, P, Q là các ti p đi m c a đ ng tròn n i ti p hình thang v i các c nh c a hình thang

Do SO vuông góc mp(ABCD)

nên các tam giác SOM, SON, SOP, SOQ b ng nhau

và m i đi m trên SO cách đ u các m t bên c a hình chóp

Tâm m t c u n i ti p là giao c a đ ng phân giác trong SON v i SO

Ta có: SN  SO2 ON2  r 5

Theo tính ch t phân giác:

IS

NS



Suy ra bán kính m t c u n i ti p hình chóp là:

2



Bài 2: Cho m t c u tâm O bán kính R T 1 đi m S trên m t c u k ba dây cung SA, SB, SC sao cho

SA = SB = SC và  ASB   BSC   CSA  

a) Tính th tích kh i chóp SABC theo R và 

b) Xác đ nh  đ th tích kh i chóp SABC l n nh t

Gi i:

a) Vì SA = SB = SC và  ASB   BSC   CSA  

suy ra AB = BC = CA nên tam giác ABC đ u

- G i H là hình chi u c a S trên (ABC) khi đó ta có :

HA = HB = HC nên H là tâm đ ng tròn ngo i ti p tam giác ABC

- Ta có : SH  ( ABC OH );  ( ABC )  3 đi m S, O, H th ng hàng

2

S ABC

M t khác :

M T C U (PH N 02)

ÁP ÁN BÀI T P T LUY N

Giáo viên: LÊ BÁ TR N PH NG

Các bài t p trong tài li u này đ c biên so n kèm theo bài gi ng M t c u (Ph n 02) thu c khóa h c Luy n thi Qu c

gia PEN-C: Môn Toán (Th y Lê Bá Tr n Ph ng) t i website Hocmai.vn s d ng hi u qu , B n c n h c tr c

Bài gi ng sau đó làm đ y đ các bài t p trong tài li u này

G i S’ là đi m đ i x ng v i S qua O và đ t SA x 

Khi đó vì tam giác SAS’ vuông t i A nên ta có :

2

2

x

R

Trong tam giác SAB ta có : AB2 SA2SB22SASB c osx2x22 osx x c 2x2(1cos )

Trong tam giác SHA ta có :

2

AB

2

3

AB

2



;

V y

2

S ABC

b) t t  c os  ( 1    t 1)

27

R

V t  t   t

Ta có :

2

2

V    t     t

B ng bi n thiên :

t -1 1

2

 1

2 1 V’ - 0 + 0 -

V

3

8 3 27

R

3

8 3 27 R

0 0

T b ng bi n thiên suy ra V l n nh t 1 os 1

Bài 3 : Cho m t c u (S) đ ng kính AB = 2R, H là đi m n m gi a A và B M t ph ng (P) đi qua H và

vuông góc v i AB c t m t c u (S) theo m t đ ng tròn (C) Xét hình nón có đ nh A và có đáy là hình tròn

gi i h n b i (C) t AH x 

a Tìm x đ th tích V c a kh i nón gi i h n b i hình nón đó là l n nh t

b Tìm x đ di n tích xung quanh c a hình nón l n nh t

Gi i :

a) L y M thu c (C) khi đó hình nón có bán kính r = HM

- Vì tam giác AMB vuông t i M và MH  AB

nên ta có: MH2  HAHB

C

D

A

M

N Q

- Hình nón có chi u cao AH  x Do đó ta có:

V   r AH   x R x 

.(4 2 )

3

R

b) Hình nón có đ ng sinh là l AM  AH AB  2 R x

2

xq

S   r l   x R x  Rx   Rx R x 

Suy ra Sxql n nh t b ng

2



m t c u ngo i ti p t di n ABCD (m t c u đi qua 4 đi m A, B, C, D)

Gi i:

- G i M, N l n l t là trung đi m c a AB và CD

- Vì ACD, BCD là các tam giác cân nên CD vuông góc v i AN và BN

Suy ra CD  ( ANB )  CD  MN

T ng t ta có: AB MN 

,





MN là đo n vuông góc chung c a AB và CD

- G i O là trung đi m MN thì OA = OB = OC = OD

V y O là tâm m t c u ngo i ti p t di n ABCD, bán kính c a nó là R = OA

Ta có:

R  OA  OM  AM        

Mà

2

( 2

b

Bài 5: Cho kh i chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân t i A, ABa 2,SASBSC.Góc

gi a đ ng th ng SA và m t ph ng (ABC) b ng 600

Tính th tích kh i chóp S.ABC và bán kính m t c u ngo i ti p hình chóp S.ABC theo a

Gi i:

G i H là trung đi m c a BC  HA HB   HC K t h p v i gi thi t SA = SB = SC

Suy ra

0

,

A

C S

H

F

E

S

M

A

B

C H

I

Tam giác ABC vuông cân t i A: ACABa 2BC2aAH a

Tam giác SHA vuông:

0

3

tan 60 3

S ABC

a

G i O, R l n l t là tâm, bán kính c a m t c u ngo i ti p hình chóp S.ABC

O

 thu c đ ng th ng SH O  thu c m t ph ng (SBC)

R

 là bán kính đ ng tròn ngo i ti p tam giác SBC

Xét SHA  , ta có: 0 2

sin 60

SH

SA  a SBC đ u có đ dài c nh b ng 2a

0

R

Bài 6: Cho hình chóp tam giác đ u S.ABC có c nh đáy b ng a, chi u cao = h

a) Xác đ nh tâm và tính bán kính m t c u ngo i ti p hình chóp

b) Xác đ nh tâm và tính bán kính m t c u n i ti p hình chóp

Gi i:

a) G i H là hình chi u c a S trên m t ph ng (ABC) thì H là tâm đ ng tròn ngo i ti p c a tam giác đáy

Trong m t ph ng (SAH) d ng trung tr c MI c a c nh SA c t SH t i đi m I thì I là tâm m t c u ngo i tieps

hình chóp

Hai tam giác SMI và SHA đ ng d ng nên SM SA

do đó bán kính m t c u ngo i ti p hình chóp S.ABC là:

R



2 2

h



b) D dàng ch ng minh m i đi m thu c đ ng cao SH cách đ u 3 m t bên c u hình chóp

Trong tam giác SHE k phân giác EJ c a góc  SEHc t SH ta J thì J là tâm m t c u n i ti p hình chóp

Theo tính ch t phân giác, ta có



2 2

ê

HE  AE  a n n SE  HE  SH  

E

S

A

C H

J

Ngu n : Hocmai.vn