Bài tập thể tích khối đa diện

Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a,SA=a, SB=a 3 và mpSAB vuông góc với mặt đáy.. TÍNH GIÁN TIẾP Nghĩa là ta sử dụng phân chia lắp ghép khối đa diện, để đưa về bài to

BÀI TẬP THỂ TÍCH

KHỐI ĐA DIỆN

I TÍNH THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN THEO CÔNG THỨC

BÀI 2: Cho hình chóp tam giác SABC có SA=5a,BC=6a,CA=7a Các mặt bên

SAB,SBC,SCA cùng tạo với đáy một góc 600

Cho hình chóp SABC có các cạnh bên bằng nhau cùng hợp với đáy góc 600, đáy là

tam giác cân AB=AC=a vàBAC=1200 Tính thể tích khối chóp đó

.

Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a,SA=a, SB=a 3 và

mpSAB vuông góc với mặt đáy Gọi M,N lần lượt là trung điểm của AB,BC Hãy tính thể tích khối chóp SBMDN

2 2

.

SB SA

SB SA

Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình thang vuông tại A,D;

AB=AD=2a,CD=a Góc giữa hai mpSBC và ABCD bằng 600 Gọi I là trung điểm của AD, Biết hai mp SBI,SCI cùng vuông góc với mpABCD Tính thể tích khối chóp S.ABCD

N

SI=IH.tan600= a

5

3 9

Bài 6

Cho chóp SABC có SA=SB=SC=a, ASB= 600,CSB=900, CSA=1200 CMR tam giác ABC vuông rồi tính thể tích chóp

Bài giải

 SAB đều AB=a,  SBC Vuông BC=a 2

Nên AB mp(ACC1A) do đó AC1B=300 và AC1=AB.cot300=3a

Á.D pitago cho tam giác ACC1 : CC1= 2 2

mặt khác A1A= A1B=A1C A1ABC là tứ diện đều

gọi G là trọng tâm tam giác ABC có A1G là đường cao

Trong tam giác A1AG có AG=2/3AH=

Bài 9

Cho khối trụ tam giác ABCA1B1C1 có đáy là ABC là tam giác vuông cân với cạnh huyền AB= 2.Cho biết mpABB1vuông góc với đáy,A1A= 3,Góc A1AB nhọn, góc giữa mpA1AC và đáy bằng 600 hãy tính thể tích trụ

Do đó A1G=

5

5 3

vậy VLT=A1G.SABC=

10 5 3

N H M

Đặt A1H=x(x>0) ta có A1M= 0

60 sin

x

=

3

2x

tứ giác AMHN là hcn( góc A,M,N vuông)

1 2

II TÍNH GIÁN TIẾP

Nghĩa là ta sử dụng phân chia lắp ghép khối đa diện, để đưa về bài toán áp dụng tính thể tích theo công thức hoặc dùng bài toán tính tỉ lệ hai khối tứ

diện(chóp tam giác)

Cho hình chóp SABC Trên các đoạn thẳng SA,SB,SC lấy lần lượt ba điểm

A1,B1,C1 khác với S thì

SC

SC SB

SB SA

SA V

1 1

sin

3 1

sin 3 1

1 1

SC SB

SB E A

AH BSC SC

SB E A

BSC SC

SB AH V

V

C B SA

Nên

SC

SC SB

SB SA

SA V

Bài giải

Nhận xét các mặt ở đây không có các lưu ý nên việc xác định đường cao là khó nhưng ta thấy các góc ở đỉnh S là rất quen thuộc Ta liên tưởng đến bài 6 phần I Vây ta có lời giải sau

Trên SB lấy B1 Sao cho SB1=a,

Trên SC lấy C1 sao cho SC1=a,

Ta có

12

2

3

1 1

a

V SAB C  (theo bài 6)

1 1 1 1

C SAB

SC

SC SB

SB SA

SA

2

2

3

a

Bài 2 : Cho khối trụ tam giác ABCA1B1C1 có đáy là tam giác đều cạnh a A1A =2a

và A1A tạo với mpABC một góc 600 Tính thể tích khối tứ diện A1B1CA

S

C

B

A C1

B1

Bài giải

Gọi H là hình chiếu của A1 trên mpABC

Khi đó A1H=A1A.sinA1AH=2a.sin600=a 3

Mà VLT=A1H.SABC=

4

3 4

3 3

3 2

a a

nhận thấy khối lăng trụ được chia làm ba khối chóp

khối chóp CA1B1C1 có

1 1

1B C CA

K

Ba tam giác IEB1,EFC1,FJD1 bằng nhau “ c.g.c”

Theo TA-LET

3

1

1 1 1

IA

IB AA

JA

JD AA KD

1 1

72 3

2

2

2

1 3

1

3

1

1 1

3 2

3 2

1 3

1 2

1 3

1

1

abc c

b a JA

AI AA

I

E

F

J

3abc abc abc

III BÀI TOÁN ÔN TẬP

Sau khi đã trang bị phần phương pháp như vậy ta cũng giúp học sinh đưa ra cách giải một bài toán linh hoạt bằng cả hai phương pháp để học sinh so sánh đối chiếu lựa chọn và đưa ra bài tập ở mức độ tổng hợp

Bài 1

Cho khối lăng trụ đứng ABC.A1B1C1 có tất cả các cạnh đều bằng a

a) hãy tính thể tích khối tứ diện A1BB1C

b) Mp đi qua A1B1và trọng tâm tamgiác ABC cắt AC,BC lần lượt tại E,F Hãy tính thể tích chóp C.A1B1FE

2

3 3

1

3

a a a S

H

Nên

12

3 4

3 3

1

3

1 1

a a

a V

b) cách 1 Tính trực tiếp

gọi Q là trung điểm của A1B1,G là trọng tâm tam giác ABC

Khi đó qua G kẻ d // với AB thì E=ACd và F=BC d

MpCKQ chính là mp trung trực của AB,FE

Nên khoảng cách từ C đến QG chính là khoảng cách từ C đến mpA1B1FE

13 12 6

3 ,

2

a

a a KG

KQ QG

a GK

H

3 2

3 3

1

2

1 3

2 3

a QK CK S

Mặt khác

54

3 5 12

13 ).

2

3 (

2

1 13

13 2 3

1 ).

, ( 3 1

13

13 2 12

13 6

3 2

2 ) , ( ) , ( 2 1

3

2

1 1

a a

a a

a S

QG C d V

a a

a QG

S QG C d QG C d QG S

B FEA B

FEA C

CQG CQG

2

3 2

1 3

1 3

2 3

2 2

2 2

3 2

1 1

1 1

a a a V

CB

CF CK

CG V

F

C2

Q

Bài 2 :Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hcn,AB=a,AD=a 3,SA=2a và

SA ABCD, Một mp đi qua A và vuông góc với SC,cắt SB,SC,SD lần lượt tại

H,I,K Hãy tính thể tích khối chóp S.AHIK theo a

SA BC AB

1 1

1

2 2 2

2 2

a AB

SA

BA SA AH

AS AB

4 2

2 2 2

a AH

AI

14 7

3 2 5

6 5

2 ( 2 6 1

)

.(

6

1 2

1 3

1 2

1 3 1

3

a a

a a

a a

V

KI AK HI AH SI KI AK SI HI AH SI

V V

V

SAHIK

SIKA SIHA

1

5

4 2

1

2

1

.

2 2 2

2

a a

a a

a V

SB

SA V

SC SB

SI SH

Tương tự

35

3

Ta dựng hình lăng trụ ABF.CED như (hv)

Khi đó d=d(x,y)=d(AB,CD)=d(AB,CDE)=d(B,CDE) hay d chính là chiều cao lăng trụ

mặt khác Khối lăng trụ được ghép từ 3 khối tứ diện gồm

Tứ diện BCDE có VBCDE=

.d.a.b.sin= hằng số

Cách 2 Dựng hình hộp, cách 3 dựng hbh “ Như hai hv sau”

Bài 4 Bài toán thể tích liên quan đến cực trị

Cho hình chóp S.ABCD,SA là đường cao,đáy là hcn với SA=a,AB=b, AD=c Trong mpSDB lấy G là trọng tâm tam giác SDB qua G kẻ đường thẳng d cắt cạnh

BS tại M, cắt cạnh SD tại N,mpAMN cắt SC tại K Xác định M thuộc SB sao cho

VSAMKN đạt giá trị lớn nhất và nhỏ nhất, Hãy tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất đó

E F

D

D F

SM V

SB

SM V

SB

SM V

SC

SK SA

SA SB

SM

V

V

SABCD SBAC

SMAK SBAC

SMAK

12

1

4

1

2

1

N

Trong mpSBD

) (

3

1

.

2

.

2

2

2 2

.

SC

SN SB

SM SC

SB

SN

SM

SC SO

SN SG SB SO

SM SG S

S S

S S

S S

SC

SN SB

SM

S

S

SOD SGN

SBO SGM

SBO

SGN SMG

SM SB

( 3

1

SN SC

SN t SC

SN t

Nhận thấy VSAMKN đạt GTLN,GTNN nếu f(t)=

SN SB

) 1 3 (

6 9 ) 1 3 (

1 1 )

) (    

G H

IV BÀI TẬP TỰ GIẢI

Bài 1 Cho tam giác ABC vuông cân ở A và AB=a Trên đường thẳngqua C và

vuông góc với mp(ABC) lấy điểm D sao cho CD=a Mặt phẳng qua C vuông góc với BD,cắt BD tại F và cắt AD tại E tính thể tích khối tứ diện CDEF

Bài 2 cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông tại C,AC=a,AB=2a,SA

vuông góc với đáy.Góc giữa mpSAB và mpSBC bằng 600 Gọi H,K lần lượt là hình chiếu của A lên SB,SC Chứng minh rằng SA vuông KH và tính thể tích khối chóp S.ABC

Bài 3

Cho hình chóp đều S.ABC cạnh đáy bằng a, Hãy tính thể tích khối chóp S.ABC biết

a) MpSBA vuông góc với mpSCA

b) Gọi M,N lần lượt là trung điểm SA,SC và mpBMN vuông góc mpSAC

Bài 4 Cho khối lăng trụ ABC.A1B1C1 có BB1=a Góc giữa đường thẳng BB1và mpABC bằng 600

Tam giác ABC vuông tại C và góc BAC bằng 600 Hình chiếu vuông góc của điểm B1 lên mpABC trùng với trọng tâm tam giác ABC, tính thể tích khối tứ diện A1ABC theo a

Bài 5 Cho khối lăng trụ đều ABC.A1B1C1 có cạnh đáy bằng a,khoảng cách từ

tâm O của tam giác ABC đến mpA1BC bằng

6

a.hãy tính thể tích khối trụ đó

Bài 6 Cho khối lăng trụ đứng ABC.A1B1C1 có đáy ABC là tam giác cân tại A,góc giữa A1A và BC1 bằng 300, khoảng cách giữa chúng bằng a Góc giữa hai mặt bên qua A1A bằng 600

hãy tính thể tích khối trụ

Bài 7 Cho lăng trụ xiên ABC.A1B1C1 có đáy ABC là tam giác vuông tại

A,AB=a,BC=2a Mặt bênABB1A1 là hình thoi nằm trong mp vuông góc với đáy và hợp với mặt bên một góc  hãy tính thể tích khối lăng trụ

Bài 8 cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bầng a, cạnh bên hợp với

đáy góc 600, gọi M là điểm đối xứng với C qua D N là trung điểm SC.mpBMN chia khối S.ABCD thành hai phần Hãy tính tỉ số thể tích của hai phần đó

Bài 9 cho hình hộp chữ nhật ABCD.A1B1C1D1 có AB=a,BC=2a,A1A=a,M thuộc đoạn AD sao cho AM=3MD.Hãy tính thể tích khối tứ diện MAB1C1,

Bài 10 Cho hlp ABCD.A1B1C1D1 có cạnh a, điểm K thuộc CC1 sao cho

CK=2/3.a.Mặt phẳng (P) qua A,K và song song với BD chia khối lập phương thành hai phần Tính tỉ số thể tích hai phần đó

Bài 11 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại Avà D Tam giác

SAD là tam giác đều cạnh 2a, cạnh BC =3a Các mặt bên tạo với đáy các góc bằng nhau Hãy tính thể tích khối chóp

Bài 12 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang với các cạnh

AB=BC=CD=1/2.AD

Tam giác SBD vuông nằm trong mp vuông góc với đáy và có các cạnh góc vuông

là SB=8a,SD=15a hãy tính thể tích khối chóp

Bài 13 Cho tứ diện ABCD có tam giác ABC,ABD là hai tam giác đều cạnh

a,mpADC vuông góc mpBCD Tính VABCD

,gócACB=600,AB=a 7,AC=2a tính VLT

Bài 16 Cho hlp ABCD.A1B1C1D1 có cạnh a.Gọi M,N,P lần lượt thuộc các đoạn

A1A,BC,CD sao cho A1A=3A1M,BC=3BN,CD=3DP.MpMNP chia khối lập

phương làm hai phần tính thể tích từng phần

Bài 17 Cho tứ diện ABCD.Gọi M là trung điểm DA.Các điểm N,P thuộc BD sao

cho BN=NP=PD.Hãy tính tỉ số thể tích của hai phần tứ diện cắt bởi

a) mp qua MN và song song với trung tuyến AI của tam giác ABC

b) mp qua MP và song song với AI

c) mp  qua MN song song với trung tuyến CE của tam giác ABC

Bài 18 Cho tứ diện ABCD có AB=BD=AC=CD= 3, Cạnh BC=x, khoảng cách giữa BC và AD bằng y.Tính VABCD theo x và y,tìm x,y để VABCD đạt giá trị

b) Xác định vị trí của điểm M để thể tích khối tứ diện BDMN đạt min

Bài 20 Hai nửa đường thẳng Am,Bn vuông góc với nhau và nhận AB=a làm đoạn

vuông góc chung Các điểm M,N lần lượt chuyển động trên Am,Bn sao cho

MN=AM+BN

a) CMR VABMN không đổi, tính giá trị đó

b) Goi O là trung điểm AB,H là hình chiếu của O trên MN CMR

NH

MH V

V

HOBN HOAM 

HẾT