-Nếu hình chóp có các mặt bên nghiêng đều trên đáy hoặc có các đường cao của các mặt bên xuất phát từ một đỉnh bằng nhau thì chân đường cao là tâm đường tròn nội tiếp đáy -Hình chóp có m[r]
Trang 1PH Ҫ1
TH ӆ7Ë&+.+Ӕ,Ĉ$',ӊ1
1 Khái niӋPWKӇWtFKFӫDNKӕLÿDGLӋQ 6JNKK
2 Các công thӭFWtQKWKӇWtFKFӫDNKӕLÿDGLӋQ
a) ThӇWtFKNKӕLKӝSFKӳQKұW
V = abc vӟLDEFOjNtFKWKѭӟFFӫDNKӕLKộp chӳQKұW b) ThӇWtFKFӫDNKӕLFKóp
V=
3
1
Sÿi\ h ; h: ChiӅXFDRFӫDNKӕLFKyS c) ThӇWtFKFӫDNKӕLOăQJWUө
V= Sÿi\ h ; h: ChiӅXFDRFӫDNKӕLOăQJWUө
Trang 2D Ҥ1* : TÍNH TH ӆ7Ë&+&Ӫ$.+Ӕ,Ĉ$',ӊ1
+Áp dөQJWUӵFWLӃSFiFF{QJWKӭFWtQKWKӇWtFK
+Chia khӕLÿDGLӋQWKành các khӕLQKӓKѫQPjWKӇWtFKFӫDFiFNKӕLÿyWtQKÿѭӧF +BәVXQJWKêm bên ngoài các khӕLÿDGLӋQÿӇÿѭӧFNKӕLÿDGLӋQFyWKӇWtQKWKӇ tích bҵQJF{QJWKӭFYà phҫQEù vào cNJQJWtQKÿѭӧFWKӇWtFK
*Các bài t ұS
1)V ӅWKӇWtFKFӫDNKӕLFKyS
+NӃXNKӕLFKySÿã có chiӅXFDRYjÿi\WKì ta tính toán chiӅXFDRGLӋQWtFKÿi\Yà
áp dөQJF{QJWKӭF 9
3
1
Sÿi\ h
Bài 1: Tính thӇWtFKKình chóp tam giác ÿӅX6$%&WURQJFiF WUѭӡQJKӧSVDX
a) CҥQKÿi\EҵQJDJyF$%& o
b) AB = a, SA = l
c) SA = l, góc giӳDPһWEên và mһWÿi\EҵQJӓ
GI Ҧ,
a) GӑL2Oà tâm ¨$%&ÿӅX
SABC =
2
1
a
2
3
a
= 4
3
2
a
¨$%&Fy6$ 6% $%& o
S
A
B
O a
SO2= SA2- OA2= a2- (
3
2
a
2
3
2 2
3
2
a
a
⇒ SO = a
3 2
Vұ\9SABC = S¨$%& SO = 31 . 4 3
2
2 .
3
2 a2
l
E 7ѭѫQJWӵFkXDÿiSVӕ
Trang 3VSABC = 3
1
.
4 3
2
a
.
3
2 a2
l
c)
GӑL2Oà tâm ¨$%&
GӑL$¶OjWUXQJÿLӇP%&
DӉWKҩ\ 6%& $%& JyF6$¶2 ӓ
Tam giác vuông SOA có:
SO2= l2- OA2= l2- 94 AA’2
Tam giác vuông SOA’ có:
'
3
AA
SO
Tӯ WDFy
91 AA'sin2 94 AA'.sin l2
O B A'
a
AA’2(sin2ӓ O2
l
AA
4 sin 3
3 4
sin
3 2
1 2
1
2 2 2
2
l l
l
BC AA
4 sin
sin 4
sin
3 3
1
2
2 sin
.
l SO
⇒VSABC = 31 S¨$%& SO = (sin 4). sin 4
sin 3
3
2 2
2 .
l
Bài 2. &KROăQJWUө$%&$¶%¶&¶FyÿӝGài cҥQKEên = 2a, ¨$%&YX{QJWҥL$$% D
AC = a 3 Hình chiӃXYX{QJJyFFӫD$¶WUên (A%& OjWUXQJÿLӇP%&7tQK9A’ABC
theo a?
GI Ҧ,
-GӑL+OjWUXQJÿLӇP%&
-Ta có S¨$%&= . 21 2 3
2
1 AB AC a
Tam giác vuông A’HA có:
A’H2 = A’A2- AH2 = (2a)2- 4
1 (a2+ 3a2) hay A’H2= 4a2- a2 = 3a2 ⇒ A’H = a 3
2a
C' A'
Trang 4⇒VA’ABC = 31 S¨$%&.A’H = 2
2 2
1 3
Bài 3 Hình chóp SABCD có SA ⊥ (ABC), SA = a ¨$%&YX{QJFkQFy
$% %& D%¶OjWUXQJÿLӇP6%&¶OjFKkQÿѭӡQJFDRKҥWӯ$FӫD¨6$& a) tính VSABC
b) ChӭQJPLQKUҵQJ$%⊥ (AB’C’) Tính VSAB’C’
GI Ҧ,
a)
S¨$%&= 2
2 1 2
1BA.BC a ; SA =a
⇒ VSABC = 13 S¨$%&.SA = 6
1
a3
a
C A
a
a
B' C'
B
B’S = B’B
Cách 1
2
2 2
1
2
Vì AB’ ⊥ (SBC) ⇒AB’ ⊥B’C’ SC = SA2 AC2 3a
3
2
SC
SA
SC
B’C’2= SB’2- SC’2= a62 B ' C ' 6a
⇒S¨$%¶&¶= 21AB'.B'C' 21 a2 a6 4a23
⇒V¨$%¶&¶= 13 24 3 36
3 2
.a a a
Cách 2
Trang 5a
S B S C
S B S C a
3
' ' '
3
S A B C
S A B C
a
S A B C
V S A S B S C a V a
Bài 4 Hình chóp SABC có SA⊥(ABC), ¨$%&FkQWҥL$'OjWUXQJÿLӇP%&$' D (SB, (ABC)) = ӓ 6% 6$' õ Tính VSABC
GI Ҧ,
DӉWKҩ\
(SB, (ABC)) = ӓ 6%$
(SB, (SAD)) = õ = BSD
¨$%&FkQ⇒ AD ⊥BC
DB = DC
¨6$%FyFRVӓ SB
AB
(1)
BC ⊥AD
SD
a
B
D S
Tam giác vuông SB có sinõ = BD SB (2)
Tӯ ⇒ cos sin sin
2 2
a AB BD
cos
2 2 2
2
a AB
⇒ AB2
(sin2õ – cos2ӓ) = -a2
sin cos
1
2
S¨6$%=BD.AD =
2 2
cosSin.AD AB cos cosa sin cosa sin
SA = AB tan ӓ = cos 2 sin 2
sin
a
⇒ VSABC = 31 SA.S¨$%&= 2 2
sin cos
sin 3
1
a
2 2 2
sin cos
sin
a
= 2 2
3
sin cos 3
cos sin
a
Bài 5 Cho hình vuông ABCD cҥQKDFiFQӱDÿѭӡQJWKҷQJ$[&\⊥ (ABCD) và ӣ cùng mӝWSKtDYӟLPһWSKҷQJÿyĈLӇP0NK{QJWUùng vӟLYӟL$WUrQ$[ÿLӇP1NK{QJ trùng vӟL&WUrQ&\ĈһW$0 P&1 Q7tQKWKӇ tích cӫDKình chóp BAMNC
GI Ҧ,
Trang 6GӑL,OjJLDRÿLӇPFӫD$&Yà BD
(vì ABCD là hình vuông)
BI = BD2 a22
x
n
A
m
B
M
N
2 ) ( 2
) (
CN AM
AC
2 2 ) ( 3
1 3
1 S BI m n a a a2 m n
*N ӃXNKӕLFKySFҫQWtQKWKӇWtFKFKѭDEtӃWFKLӅXFDRWKì ta phҧL[iFÿӏQKÿӵѫFYӏWUt FKkQÿѭӡQJFDRWUrQÿi\
Ta có mӝWVӕQKұQ[pWVDX
-NӃXKình chóp có cҥQKErQQJKLrQJÿӅXWUrQÿi\KRһFFiFFҥQKEên bҵQJQKDX thì chân ÿѭӡQJFDROjWkPÿѭӡQJWUòn ngoҥLWLӃSÿi\
-NӃXKình chóp có các mһWErQQJKLrQJÿӅXWUên đáy hoһFFyFiFÿѭӡQJFDRFӫD các mһWEên xuҩWSKiWWӯPӝWÿӍQKEҵQJQKDXWKì chân ÿѭӡQJFDROjWkPÿѭӡQJWUòn nӝL
tiӃSÿi\
-Hình chóp có mһWEên hoһFPһWPһWFKpRYX{QJJyFYӟLÿi\WKì ÿѭӡng cao cӫD hình chóp là ÿѭӡQJFDRFӫDPһWEên hoһFPһWFKpRÿy
-NӃXFyPӝWÿѭӡQJWKҷQJYX{QJJyFYӟLPһWÿi\FӫDNKӕLFKySWKì ÿѭӡQJFDRFӫD
khӕLFKySVӁVRQJVRQJKRặc nằm trӡQYӟLÿѭӡQJWKҷQJÿy
-NӃXPӝWÿѭӡQJWKҷQJQҵPWURQJÿi\FӫDNKӕLFKySYX{QJJyc vuông góc vӟL
mӝWPһWSKҷQJFKӭDÿӍQKFӫDNKӕLFKySWKì ÿѭӡQJFDRFӫDNKӕLFKySOjÿѭӡQJWKҷQJNҿ
tӯÿӍQKYX{QJJyFYӟLJLDRWX\ӃQFӫDPһWÿi\Yà mһWSKҷQJFKӭDÿӍQKÿã nói ӣWUên
*N ӃXNKӕLFKySOà khӕLWӭGLӋQWKì ta cҫQNKpRFKӑQPһWÿi\WKtFKKӧS
Bài 6: 6$%&'Fyÿi\OjWkPJLiFFkQWҥL$%& DABC = ӓFiFFҥQKEên nghiêng WUrQÿi\PӝWJyFӓ7tQK9SABC
GI Ҧ,
Trang 7S
H
a
- GӑL+Oà hình chiӃXFӫD6Oên (ABC)
- Vì các cҥQKErQQJKLrQJÿӅXWUrQÿi\⇒ +OjWkPÿѭӡQJWUòn ngoҥLWLӃS¨$%&
- Ta có: ¨$%& 21 AB.AC.sin
mà BC2= 2AB2- 2AB2cosỏ = 2AB2
(1-cosỏ) = a2
cos
1
a
⇒ S¨$%&=21 AB2 sin 12 a22 1sincos a42 cos2
HA = R = 2sinBC 2sina
Tan giác vuông có tanӓ AH
SH
⇒ SH = 2sina tan 2cosa
cos 24
cot cos
2 2 4 3
1 3
3 2
cot
ABC SH
Bài 7: 6$%&Fyÿi\$%&'OjKình bình hành và SABCD = 3 và góc giӳDÿѭӡQJFKpR
= 60o các cҥQKErQQJKLrQJÿӅXWUrQÿi\JyFo
Tính VSABCD
GI Ҧ,
C
O D
Trang 8- Vì khӕLFKySFyFiFErQQJKLrQJÿӅXWUrQÿi\⇒ 2OjWkPÿѭӡQJtròn ÿLTXDÿӍQK$
B, C, D ⇒ tӭJLiF$%&'Oà hình chӳQKұWYà {O} = AC ŀ%'
-ĈһW$& %' [
Ta có ShcnABCD = 2
1
2 3 2 2
- (SA, (ABCD)) = (SA, AO) = SAO = 45o= SCO = (SC, (ABCD)) ⇒ ¨$6&YX{QJFkQ
tҥLS ⇒ SO = 21 AC 1 ⇒ VSABCD= 13 3.1 33
Bài 8: SABC có SA = SB = SC = a ASB = 60o, BSC = 90o, CSA = 120o
a) ChӭQJPLQKUҵQJ¨$%&YX{QJ
b) Tính VSABC
GI Ҧ,
a)
H
B A
S
C a
o
ASB
SB SA
-Tam giác vuông SBC có BC2= SB2+ SC2= 2a2
-¨6$&Fy$&2
= a2+ a2-2a2cos120o= 2a2- 2a2(- 2
1 ) =3a2
-¨$%&Fy$&2
= AB2 + BC2⇒¨$%&YX{QJWҥL%
b) Hҥ6+⊥(ABC)
Vì SA = SB = SL HA = HB = HC ⇒ +OjWUXQJÿLӇP$&
¨$%&YX{QJWҥL%
Tam giác vuông SHB có SB = a ⇒ SH2
BH = AC2 a23
(HoһF¨6$&Oà nӱDÿӅXWDPJLiFÿӅX⇒ SH = 2 2
a
SA )
⇒VSABC = 13 13.21 61 2 a2 a123 2
ABC SH AB BC SH a a
Trang 9Bài 9: 6$%&'Fyÿi\$%&'OjKình thang vӟLÿi\OӟQ$% $&% o
¨6$&Yà
¨6%'Oà FiFWDPJLiFÿӅXFyFҥQK 3
Tính thӇWtFKNKӕLFKyS6$%&'
ĈiSVӕ 9SABCD = 46
Bài 10:6$%&'Fyÿi\OjKình thang vuông tҥL$Yà D, ¨6$'ÿӅXFҥQK D
BC = 3a Các mһWEên lұSYӟLÿi\FiFJyFEҵQJQKDX7tQK9SABCD
GI Ҧ,
2a
3a
C D
H K
- Vì các mһWEên lұSYӟLÿi\FiFJyFEҵQJQKDXQên dӉGàng chӭQJPLQKÿѭӧF+Oà tâm ÿѭӡQJWUòn nӝLWLӃSÿi\
- GӑL.Oà hình chiӃXFӫD+Oên AD
- Ta có HK = AD2 a
- Tam giác vuông SHK có HK = a
SK = 2a 23 a 3 (vì ¨6$'ÿӅX
⇒SH = 3a2 a2 a 2
Vì ⋄ABCD ngoҥLWLӃSQên: AB + CD = AD + BC = 5a
2 ).
(
5a
a a AD CD
AB
2 3
2 5
Bài 11: Cho hình chóp SABCD có ABCD là hình vuông cҥQKD6$ D
SB = a 3, (SAB) (ABCD) M, N lần lượt là WUXQJÿLӇP$%%&7tQK9SBMDN
GI Ҧ,
Trang 10H
15a
8a
C B
S
C
H
B
M N
¨6$%Kҥ6+b AB ⇒SH b (ABCD) ⇒ SH b(BMDN) (SAB) b (ABCD)
S¨&'1= S¨0'$= 14 S⋄ABCD ⇒ S⋄BMDN = 21 S⋄ABCD = 21 2a.2a = 2a2
= SA2+ SB2= 4a2 ⇒ SAB vuông tҥL6
3
4 3
1 1 1
1
1
a a
a SB SA
⇒VSBMDN = 13 S⋄BMDN.SH = 13 2 23 2 3
3
.
2 a a a
Bài 12: SABCD có ⋄ABCD là hình thang vӟL$% %& &' 2
1
tҥL6Yà nҵPWURQJPһWSKҷQJYX{QJJyFYӟLÿi\6% D6' D
Tính VSABCD
GI Ҧ,
Vì (SBD) b (ABCD)
1 1
1
SD SH
1 64
1 1
a a
289
14400
-Vì hình thang có AB = BC = CD = 2
1
AD ⇒ Aˆ Dˆ= 60o, B = C = 120o
-¨6%'Fy%'2
= SB2+SD2=289a2 ⇒ BD = 17a
¨&%'Fy%'2
=2BC2(1+ 21 ) = 3BC2 = 289a2 ⇒ BC = 173 a
S¨%&'= 21 2 12 2893 2 23 289123
2
.
120
Trang 11C
K
B
H
S⋄ABCD= 3S¨%&' = 289123a
⇒VSABCD= 13 S⋄ABCD.SH = 31 289123a2.12017a
= 170 3a3
Bài 13: hình chóp SACD có ÿi\$%&'OjKình chӳQKұW¨6&'FkQWҥL6Yà nҵPWURQJ
mһWSKҷQJ (ABCD) ¨6$%Fy6$ D, ASB = 2 ӓYà nҵPWURQJPһWSKҷQJOұSYӟL (SCD) mӝWJyFӓ7tQKWKӇWtFKNKӕLFKyS6$%&'
GI Ҧ,
Trong ¨6&'Kҥ6+CD
Vì ¨6&'FkQWҥL6
⇒ +OjWUXQJÿLӇP&'
SH CD
(SCD) (ABCD
GӑL.OjWUXQJÿLӇP$%
Ta có HK AB
AB SH (vì SH (ABD))
⇒AB (SKH) ⇒ AB SK ⇒ ¨6$%FkQWҥL6
DӉWKҩ\ 6$% 6&' KSH = ӓ
¨6$%Fy6. acos ӓ$% $. DVLQӓ
¨6+.YX{QJWҥL+Fy6+ 6.FRVӓ DFRV2ӓ
KH = SKsinӓ DVLQӓFRVӓ6ABCD =AB.BC = 2asinӓDVLQӓFRVӓ
= 2a2sin2ӓFRVӓ⇒VSABCD = 3SH1 .S ABCD 32a3sin2ӓ
Bài 14: Hình chóp SABCD có ¨$%&YX{QJWҥL%6$b (ABC) ACB =60o,
BC = a, SA = a 30OjWUXQJÿLӇP6%7tQKWKӇWtFK0$%&
GI Ҧ,
H
C A
B
a M
Cách 1
SA b (ABC)
Trang 12Vì M trung ÿLӇP6%+- WUXQJÿLӇP
MH=12SA a23
S¨$%&= tan 60 21 2 3
2 1 2
VMABC= 13 31.12 2 3.a23 a43
ABC MH a
Cách 2
2 1
SM SB V
V
ASABC
MABC
VMABC= 21VSABC
mà VSABC = 31SA.S¨$%& = 3 2 3 21 3 6
2
1 3
⇒VMABC= 41 a3
Bài 15: Hình chóp SABCD có ABCD là hình vuông tâm O, SA (ABCD),
AB = a, SA = a 2 H, K lҫQOѭӧWOà hình chiӃXYX{QJJyFFӫD$WUên SB, SD ChӭQJ minh rҵQJ 6& (AHK) và tính thӇWtFKKình chóp OAHK
GI Ҧ,
A
C O
H
a
N F E
B
D
S
y
x
AH SB (gt) (1)
BC AB (vì ABCD là hình vuông)
BC SA (vì SA (ABCD))
⇒BC (SAB) BC AH (2)
Tӯ ⇒AH (SBC ⇒AH SC (3)
ChӭQJPLQKWѭѫQJWӵWDFy 6&AK (4)
Tӯ ⇒ SC (AKH)
Kéo dài AF cҳW6&WҥL1
Trong (SAC) kҿÿѭӡQJWKҷQJTXD26&FҳW$1WҥL(⇒ OE (AHK)
Trang 13Vì OA = OC; OE//CN OE = 2
1
CN
1 1 1
AD AS
2 3
2
2 2
a
a a AD AS AD
2
a
¨$.+FkQWҥL$
KH SD
SA AK a a
SF a
a BD
KH 32
3 3 2
HK = 32 BD = 32a 2
1
SF OF
¨6$&Fy 2$ 2&
⇒
2
1
SF
OF SN
OE
⇒OE =
2
1
SN =
2
1 a
S¨$+.=
2
1 KH
4
2
9
2
2a2
3
1
S OE
27
2
2 a 3
* Có thӇGùng PP toҥÿӝÿӇWtQKWKӇWtFK2$+.QKѭVDX
ChӑQKӋWRҥÿӝQKѭKình vӁ7DFy
A(0,0,0) , B(a,0,0) ,D(0,a,0) , S(0,0,a 2) , O(
2
a
, 2
a
, 0)
SD
SA SA
3
2a
3a , 2
3
a
)
¨$%6FyAS2 SB.SH⇒ SH=
3
2a
3a,0, 2
3
a
)
3
2 , 0 , 3
2
AH
3
2 , 3
2 , 0 ( a a
2
, 2 (a a
AO
4 2 2 2
Trang 14a K
O
C
D
a
N
I
B
⇒ VOAHK=
6
1
|[AH , AK].AO|= 3
27
2
a
Bài 16: Hình chóp SABCD có ABCD là hình chӳQKұW$% D$' D 2,
SA = a, SA (ABCD) M, N lҫQOѭӧWOjWUXQJÿLӇP$'Yà SC {I} = BM ŀ$&7tQK
thӇWtFKKình chóp ANIB
GI Ҧ,
SA (ABCD)
GӑL^2` $&ŀ%'
Trong ¨6$&Fy216$
⇒ON (ABCD) ⇒ NO (AIB)
Ta có NO = 12 SA a2
Tính S¨$,%= ?
ABD só I là trӑQJWkP
⇒S¨$%,= 32 S¨$%2= 32.41 S⋄ABCD= 32 a.a 2 = 6
2 2
a
⇒ SANIB= 31NO.S¨$,%= 31 2 6 2 362
3 2
.a a a
Bài 17 Hình chóp SABCD có ÿi\$%&'OjKình vuông cҥQKD
(SAD)(ABCD), ¨6$'ÿӅX*ọi M, N, P lҫQOѭӧWOjWUXQJÿLӇP6%%&&'
Tính thӇWtFKKình chóp CMNP
GI Ҧ,
A
C
N a
D
P
B M
F E
S
y
x z
- GӑL(OjWUXQJÿLӇP$' &13 Ł $%&' ⇒ SE AD
⇒SE (ABCD)
- GӑL)Oà hình chiӃXFӫD0Oên (ABCD) ⇒ MF // SE DӉWKҩ\)∈ EB và F là trung ÿLӇP(%
Trang 15Ta có MF = 21 SE = 12.a23 a43
S¨&13= 41SCBD 81S ABCD 81a2
VCMNP = 12S¨1&3.MF = 31 81 2 43 963
3
.a a
NhұQ[pW có thӇGQJSKѭѫQJSKiSWRҥÿӝÿӇJLҧLYӟLJӕFWRҥÿӝ2
0x Ł(1R\Ł('R]Ł(6
Bài 18: Cho hình trөFyFiFÿi\Oà hai hình tròn tâm O và O’ bán kính ÿi\EҵQJFKLӅX cao bҵQJD7UrQÿѭӡQJWUòn tâm O lҩ\$7UrQÿѭӡQJWUòn tâm O’ lҩ\%VDRFKR$% 2a Tính thӇWtFKKình chóp OO’AB
GI Ҧ,
B
A
O
H
D
KҿÿѭӡQJVLQK$$¶*ӑL'ÿӕL[ӭQJYӟL$¶TXD2¶+Oà hình chiӃXFӫD%WUên
A’D
Ta có BH A’D
BHA’A
SAOO’ =
2
2
a
, A’B = AB2 AA'2 a 3
¨$¶%'YX{QJӣ%⇒ BD=a
¨2¶%'ÿӅX⇒ BH=
2
3
a ⇒VBAOO’
3
1
BH SAOO’ = 123
2
a
Bài 19: Cho hình chóp có ABCD là hình ch ữ nhật; AB = a.AD = 2a;
SA (ABCD); (SA, (ABCD) = 60 o Điểm M thuộc cạnh SA, AM = 3
3
a
(BCM) ŀ SD ={ N} Tính thể tích hình chóp S.BCMN
GI Ҧ,
Trang 16A
D
C B
N M
H
Ta có SAB=600
¨6$%YX{QJWҥL$Fy$0
3
3
Kҿ6+⊥ BM thì SH là ÿѭѫQJFDRFӫDKình chóp S.BCMN
ta có SH=SB sin 300 = a
BC//(SAD) ⇒MN//BC ⇒
AD
MN SA
3
4
SA
SM AD
⇒SBCMN =
3 3
10 ).
( 2
BM BC
⇒VSBCMN = .
3
1
SH SBCMN = 10273
3
a
Bài 20: Cho hình chóp SABCD có ABCD là hình thang; BAD = ABC = 90o;
AB = BC = a; AD = 20; SA b (ABCD); SA = 2a M, N lҫQOѭӧWOjWUXQJÿLӇP6$Yà SD
ChӭQJPLQKUҵQJ%&01Oà hình chӳQKұWYà tính thӇWtFKKình chóp S.BCNM
GI Ҧ,
S H
Trang 17Ta có BC//AD ,BC= AD
2
1
2
Tӯ Yà (2) ta có BCNM là hình chӳQKұW
⇒VSBCNM=
3
1
SBCNM.SH=
3
1 BC.NM.SH=
3
3
a
Bài 21:&KROăQJWUөÿӭQJ$%&$1B1C1có ABC vuông AB = AC = a;
AA1= a 20OjWUXQJÿLӇP$$1 Tính thӇWtFKOăQJWUө0$1BC1
+ѭӟQJGүQ
+ChӑQPһWÿi\WKtFKKӧS⇒ V = 12
2
3
a
+Có thӇGùng cҧSKѭѫQJSKiSWRҥÿӝ
Bài 22: TӭGLӋQ$%&'Fy$% [FyFiFFҥQKFòn lҥLEҵQJ
a.Tính thӇWtFKWӭGLӋQWKHR[
b.tính khoҧQJFiFKWӯÿLӇP%ÿӃQPһWSKҷQJ$&'
c Tìm x ÿӇWKӇ$%&'ÿҥWJLiWUӏOӟQQKҩW
GI Ҧ,
a
H C
B
C
D
Cách 1:
Trang 18GӑL+Oà Hình chiӃXFӫD'Oên (ABC) vì DA = DC = DB = 1 ⇒ +OjWkPÿѭӡQJ tròn ngoҥLWLӃS¨$%&Pà ¨$%&FkQ+∈ CC’ vӟL&¶OjWUXQJÿLӇP$%
S¨$%&= CC'.AB 4 x .x 41 4 x2.x
4 2
1 2
4 2 2 2
1 1
4 cos sin 4 sin
x x
C x
x x C C
2 2
4
3 4
1
1
x
x
2
4
3
x
x
3 3 4 4 4 x 12x 3
ABC
x
Cách 2:
B
A
D M
C'
GӑL0OjWUXQJÿLӇP&'⇒ CD ABM
Vì ¨$&'Yà ¨%&'ÿӅX⇒ AM = BM = 2
3
VABCD = 2VCBMA= 2.13CM.S¨$%&= 21.SABM
3 2
S¨$%0= 21 MC’.AB = 23 2 2 2 4 2
2
1x ( ) (x) x 3 x
VABCD = x 3 x2 121 3 x2.x
4 3
b)
SACD=
4
ACD
ABCD
S
V
3
3
c)
12 3 x x 12 x2 x 8
DҩX³ ´[ҧ\UD⇔ x2
= 3-x3 ⇔ x = 2
3 và thӇWtFKOӟQQKҩWOà
8 1
Bài 23: Cho hình chóp SABCD có ÿi\$%&'OjKình vuông cҥQKD6$YX{QJJyFYӟL
mһWÿi\$%&'Yj6$ KĈLӇP0WKXӝFFҥQK&'ĈһW&0 [+ҥ
SH vuông góc vӟL%07tQKWKӇWtFKNKӕLWӭGLӋQ6$%+7ìm x ÿӇWKӇWtFKNKӕLQày là
lӟQQKҩW
Trang 19C A
S
M D
B
H
SABM =
2
1
SABCD =
2
1
a2
Mà SABM =
2
1
2 2
2 2
x a
a BM
a
x a
a h
AH SA
¨%$+YX{QJӣ+Fy%+
2 2 2
2
4 2
2 2
x a
ax x
a
a a
AH AB
SABH =
2
1 AH.BH =
2
1
2 2 3
x a
x a
VSABH =
2 2
3
6
1 3
1
x a
xh a SA
S ABH
ax
xh
12
1 2
6
DҩXEҵQJ[ҧ\UDNKLD [WӭF0WUùng D
Bài 24: Hình chóp S$%&Fyÿi\$%&OjWDPJLiFÿӅXFҥQKD6$YX{QJJyFYӟLÿi\
$%&Yj6$ DĈLӇP0WKXӝFFҥQK$%ĈһWJyF$&0EҵQJ
Hҥ6+YX{QJJyFYӟL&0
a)Tìm giá trӏOӟQQKҩWFӫDWKӇWtFKNKӕLWӭGLӋQ6$+&
b)Hҥ $, YX{QJ JyF YӟL 6&$. YX{QJ JyF YӟL 6+ Tính thӇ WtFK NKӕL Wӭ GLӋQ SAKI
ĈiSVӕ
a)Vmax=
12
3
a
b)VSAKI =
) sin 1 ( 24
2 sin
2
3
a
Trang 20CÓ TH ӆ7Ë1+7+ӆ7Ë&+.+Ӕ,Ĉ$',ӊ11+Ӡ9,ӊ&&+,$7+ÀNH
CÁC KH Ӕ,1+Ӓ+2Һ&%Ә681*7+ÊM
Bài 25: Cho tӭGLӋQ$%&'FyFiFFһSFҥQKÿӕLÿ{LPӝWEҵQJQKDX$% = CD =a, AC =
BD = b, AD = BC = c
Tính thӇWtFK$%&'
GI Ҧ,
H C P
Q
R B
+DӵQJ¨345VDRFKR%&'OҫQOѭӧWOjWUXQJÿLӇP344535
+S¨'&5= S¨%&4= S¨3'%= 41 S¨345
⇒ S¨%&'= 14 S¨345
AD = BC = PR
'OjWUXQJÿLӇP35
7ѭѫQJWӵ$3b AQ, AQbAR
VAPQR= 41 S¨345AR
Bài 26: VABCD =
6
1 AD.BC.MN.Sin ӓ7URQJÿy$%&'Oà tӭGLӋQFy01OjÿӝGài cӫD ÿRҥQYX{QJJyFFKXQJFӫDFiFFһSFҥQKÿӕL$'Yà CB, ӓ $'%&
+ѭӟQJGүQ 'ùng hình hӝSngoҥLWLӃSWứ diӋQQày
Bài 27: Cho hình chóp SABC có tҩWFҧFiFJyFSKҷQJӣÿӍQK$Yà B cӫDWDPGLӋQÿӅX
bҵQJӓ$% D7tQKWKӇWtFKKình chóp SABC
GI Ҧ,
... class="page_container" data-page="7">S
H
a
- GӑL+Oà hình chiӃXFӫD6Oên (ABC)
- Vỡ cỏc cQKErQQJKLrQJXWUrQi\ +OjWkPQJWUũn ngoLWLSă$%&
- Ta cú: ă$%&... = A’A2- AH2 = (2a)2- 4
1 (a2+ 3a2) hay A’H2= 4a2- a2 = 3a2... class="page_container" data-page="8">
- Vì khӕLFKySFyFiFErQQJKLrQJÿӅXWUrQÿi\⇒ 2OjWkPÿѭӡQJtrịn ÿLTXDÿӍQK$
B, C, D ⇒ tӭJLiF$%&''Oà hình chӳQKұWYà {O} = AC ŀ%''
-? ?һW$&