Một số dạng toán cực trị trong hình học không gian

Khai thác các cách giải khác nhau về một số dạng toán cực trị trong hình học không gian Phần 1: Cơ sở lý thuyết 1.

Khai thác các cách giải khác nhau về một số dạng toán cực trị trong hình học không gian

Phần 1: Cơ sở lý thuyết

1 Trong không gian oxyz: Xét hệ toạ độ Đề các vuông góc giả sử A(x1,y1,z1), B(x2,y2,z2) thì AB (x1x2,y2 y1,z2 z1)

AB  (x1 x2)2 (y1 y2)2 (z1 z2)2

2 Cho 2 vectơ: u (x1,y1,z1), v (x2,y2,z2)

* 1

2 1 2

1 y z x

2 2 2

2 y z x

dấu đẳng thức p xảy ra khi và chỉ khi u, vcùng chiều hoặc 1 trong 2 vectơ bằng 0

* u  v  u v

dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi u, vcùng chiều hoặc 1 trong 2 vectơ bằng 0

*Điều kiện để hai véc tơ a

và b cùng phương là  t R để a

=tb

*Điều kiện để ba véc tơ a

;c

và b không đồng phẵng là a b c;  0

 

  

*Điều kiện để ba véc tơ a

;c

và b đồng phẵng làa b c;  0

 

  

* u  v  u v   0  x x1 2 y y1 2 z z1 2  0

* Cho ABC Thì AB+BC BC và ABBC AC dấu đẳng thức sãy ra khi ba điểm A;B;C thẳng hàng

Phần II Các dạng toán - phương pháp chung và ví dụ minh hoạ

I Dạng 1 Cho đường thẳng :x x0 y y0 z z0

Sao cho AB// Hãy tìm trên  điểm M sao cho :

1 MA+MB nhỏ nhất

2.MA MB  

nhỏ nhất

3 MA k MB  

ngắn nhất

A B

M

Câu 1; Cho đường thẳng :x x0 y y0 z z0

   Và hai điểm A và B sao cho AB//  hãy tìm trên  điểm M  Sao cho MA+MB nhỏ nhất

1 Phương pháp chung

Cách 1:

I

A B

M M'

:x x0 y y0 z z0

A'

*chứng minh cho AB// 

*Gọi I là trung điểm của AB Gọi M là hình chiếu của I trên  Ta chứng minh M là

điểm cần tìm như sau : Gọi A’ là điểm đối xứng của A qua  hiển nhiên 3 điểm A’;M;B

là thẳng hàng Giả sử M’ là 1 điểm tuỳ ý trên  ta có

M A M B M AM BA BMAMBMA MB

Cách 2: Gọi A’ là điểm đối xứng của A qua ,Gọi M là giao điểm của A’B và 

Ta chứng minh M là điểm cần tìm như sau Giả sử M’ là 1 điểm tuỳ ý trên  ta có

M A M B M AM BA BMAMBMA MB

2 Ví dụ minh hoạ: cho: 1 1

 



Với A=(-1,2,1); B =(1,-2,-1) Tìm trên  điểm M sao cho :MA+MB nhỏ nhất

Cách 1: Nhận xét đường thẳng  có vectơ chỉ phương là v   ( 1, 2,1)



Và AB (2, 4, 2) //   v

Thay toạ độ A vào phương trình  được: 2 2 3

1 2 1



 

 Vâỵ điểm A không thuộc  nên AB// 

Ta có phương trình tham số của  là:

1

1

 







   

 Gọi I là trung điểm của AB thì I=(0,0,0) Gọi M là hình chiếu của I trên  thì

M=(1-t, 2t , t-1) (1) Vậy:IM  (1 t, 2 ,t t 1)

Ta có:

1

3

v IM     t t  t  t

Thay 1

3

t  vào (1) ta được 2 2, , 2

3 3 3

Gọi A’ là điểm đối xứng với A qua  vì AB// nên A’,M, B thẳng hàng và MA’=MB Lấy điểm M’ tuỳ ý thuộc 

Ta có: M’A +M’B=M’A’+M’B A’B= MA’+ MB = MA+ MB

Cách 2:

Nhận xét đường thẳng có vectơ chỉ phương là v   ( 1, 2,1)

Và AB (2, 4, 2) //   v

Thay toạ độ A vào phương trình  được: 2 2 3

1 2 1



 

 Vâỵ điểm A không thuộc  nên

AB//  Ta có phương trình tham số của  là:

1

1

 







   

 Gọi H là hình chiếu của A trên  Thì H=(1-t,2t,-1+t) (1)

Vậy AH    ( t 2, 2t 2,t 2)

3

v AH    t t   t  t  t

 

Thay 4

3

t  vào (1) được toạ độ điểm 1 8 1, ,

3 3 3

H   

Gọi A' x y z1 , 1 , 1 là điểm đối xứng với A qua  Ta có: ' 2, 16, 2 // (1, 8, 1)

A B    v  

Vậy phương trình đường thẳng A’B là: 1 2 1 8 6 0 8 6

Vậy phương trình tổng quát của  là: 2 2 2 2



Gọi M=(x,y,z) là giao điểm của A’B và  thì toạ độ M là nghiệm của hệ:

2

2

3

x

x y

y z

y

x y







 





  

 







vậy 2 2, , 2

3 3 3

Nhận xét M là điểm cần tìm thật vậy lấy điểm M tuỳ ý trên 

Ta có: M’A+M’B=M’A’+M’B A’B=MA’+MB=MA+MB

Câu 2 : Cho đường thẳng :x x0 y y0 z z0

Sao cho AB// Hãy tìm trên  điểm M sao cho :MA MB  

nhỏ nhất

1.Phương pháp chung

Cách 1:

A I B

M M' :x x0 y y0 z z0

Gọi I là trung điểm của AB Gọi M là hình chiếu của I trên  Tìm toạ độ M và chứng minh M là điểm cần tìm như sau Gọi M' là điểm tuỳ ý trên  ta có

M A M B

 

=2M'I 2MI= MA MB  

Cách 2: Lấy M x( 0at y; 0bt z; 0ct) tính độ dài của MA MB  

từ đó tìm được GTNN

 

 Với A=(-1,2,1); B =(1,-2,-1) Tìm trên  điểm

M sao cho : MA MB  

nhỏ nhất

Cách 1: Nhận xét đường thẳng có vectơ chỉ phương là v   ( 1, 2,1)

Và AB (2, 4, 2) //   v

Thay toạ độ A vào phương trình  được: 2 2 3



 



Vâỵ điểm A không thuộc  nên AB// 

Ta có phương trình tham số của  là:

1

1

 







   

 Gọi I là trung điểm của AB thì I=(0,0,0)

Gọi M là hình chiếu của I trên  thì M=(1-t , 2t, t-1) (1)

Vậy:IM  (1 t t t, 2 ,  1)

3

v IM    t t  t  t

 

Thay 1

3

t  vào (1) ta được 2 2, , 2

3 3 3

M    

Ta chứng minh điểm M cần tìm:

Thật vậy Gọi M’ là điểm tuỳ ý thuộc 

Ta có: M A M B  '  '  2 M I '  2M I'  2MI MA MB  

Cách 2: Ta có phương trình tham số của  là:

1

1

 







   



Lấy điểm

M (1 t ;2t; 1 t) Ta có AM (



2-t;2t-2;t-2) và BM   ( ; 2t t 2; )t



Nên  AMBM 

(2-2t) +16t +(2t-2) 24 16 8

 

MA MB

 

nhỏ nhất khi t=1

3 tức 2 2, , 2

3 3 3

M    

Câu 3: Cho đường thẳng :x x0 y y0 z z0

   Và hai điểm A và B sao cho AB //

hãy tìm trên  điểm M  Sao cho MA k MB  

ngắn nhất

1 Phương pháp giải

*Viết phương trình  về tham số

0 0 0

x x at

y y bt t R

z z ct







  



*Lấy M tuỳ ý thuộc : M=(x0at;y0bt;z0ct)

Thay vào P= MA k MB  

= f t( ) với f(t) là tam thức bậc hai từ đó ta tìm được GTNN của P

1 2 1

 

 Với A=(-1,2,1); B=(1,-2,-1) Tìm trên  điểm

M Sao cho : MA  3MB

nhỏ nhất

Ta có phương trình tham số của  là:

1

1

 







   



Gọi M là điểm tuỳ ý thuộc  điểm

M=(1-t , 2t , t-1)(*)

Ta có MA  (t 2, 2 2 , 2  t t MB);   ( , 2 2 ,t   t   t) 3MB   ( 3 , 6t t 6,3 )t

 

 

P nhỏ nhất 5

3

t 

3

t vào (*) ta được 8, 10, 8

M     

II Dạng 2 Cho đường thẳng :x x0 y y0 z z0

   và hai điểm A và B

Sao cho AB cắt  Hãy tìm trên  điểm M sao cho :

1.MA+MB nhỏ nhất B

2.MA MB  

nhỏ nhất A

3.MA k MB  

ngắn nhất 

Câu1: Cho đường thẳng :x x0 y y0 z z0

   Và hai điểm A và B sao cho AB và 

cắt nhau ,và A;B nằm cùng phía so với  hãy tìm điểm M  Sao cho MA+MB nhỏ nhất

1 Phương pháp giải

Cách 1:

*chứng minh cho AB và  cắt nhau và A;B nằm cùng phía so với 

Gọi A’ là điểm đối xứng của A qua ,Gọi M là giao điểm của A’B và 

Ta chứng minh M là điểm cần tìm như sau Giả sử M’ là 1 điểm tuỳ ý trên  ta có

M A M B M AM BA BMAMBMA MB

Cách 2:

*Lấy M tuỳ ý thuộc : M=(x0at;y0bt;z0ct) ta tinh MA và MB

( ) ( )

PMA MB  f t  g t Dùng phương pháp đáng giá ta tìm được GTNN của P

2.ví dụ minh hoạ:

Ví dụ 1: Trong không gian Oxyz cho đường thẳng : 2 5

  (d)

và 2 điểm M1(2 ; 1; 5) ; M2(4 ; 3 ; 9) Tìm điểm I  (d) sao cho IM1 + IM2 nhỏ nhất (d) có véc tơ chỉ phương là :a  1, 5, 3   

và đi qua điểm A(2 ; -5 ; 0) Phương trình tham số của :



























t 3 z

) R t ( t 5 5 y

t 2 x :

)

d

(

Ta có M M  1 2 2, 2, 4

nên phương trình tham số đường thẳng M1M2 là :

























m 2 5 z

) R m ( m 1 y

m 2 x

Toạ độ giao điểm nếu có của (d) và đường thẳng M1 M2 là nghiệm hệ phương trình :





















































1 t

1 m

m t

m 2 5 t 3

m 1 t 5 5

m 2 t 2

Giao điểm E (1, 0, 3)

1,1, 2;EM 3,3,6

M E :

có





Vậy :





2 3EM M

E

nên M1 và M2 ở về cùng 1 phía đối với đường thẳng (d)

Gọi () là mặt phẳng qua M1 và ()  (d) nên phương trình mặt phẳng () là :

1(x - 2) - 5(y - 1) - 3(z - 5) = 0  x - 5y - 3z + 18 = 0 Giao điểm H của (d) với mặt phẳng () :

















































































7

27 , 7

10 , 7

5 H

7

27 z 7

10 y 7

5 x 7

9 t

t 3 z

t 5 5

y

t 2

x

0 18 z 3 y x

Gọi M' là điểm đối xứng của M1 qua (d) nên H là trung điểm M1M', do đó :



















































7

19 , 7

13 , 7

4 ' M

7

19 z z 2 ' z

7

13 y y ' y

7

4 x x ' x

1 H

1 H 1 H