SKKN HH 9

cơ sơ ký luận Trong nhiều năm giảng dạy môn Toán ở khối lớp 9 tại trường THCS Tăng BạtHổ, tôi nhận thấy rằng: học sinh gặp nhiều khó khăn khi giải một bài toán, chodù đó là những bài toá

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

TƯƠNG TỰ HÓA, ĐẶC BIỆT HÓA , TỔNG QUÁT HÓA TRONG DẠY VÀ HỌC TOÁN

I PHẦN MỞ ĐẦU.

1 Lí do chọn đề tài.

a cơ sơ ký luận

Trong nhiều năm giảng dạy môn Toán ở khối lớp 9 tại trường THCS Tăng BạtHổ, tôi nhận thấy rằng: học sinh gặp nhiều khó khăn khi giải một bài toán, chodù đó là những bài toán đơn giản và tương tự như một bài toán mà giáo viên đãchữa cho học sinh tại lớp Hay là đó là một bài toán được phát triển từ một bàitoán chứa các yếu tố đặc biệt nhưng học sinh vẫn không tìm ra được phươngpháp giải kể cả những học sinh khá giỏi, chính vì vậy mà có nhiều học sinhkhông yêu thích môn toán dẫn đến tỉ lệ học sinh có điểm kiểm tra yếu kémngày càng cao, và học sinh học giỏi môn toán ngày càng ít đi

b Cơ sở thực tiễn.

Trong thực tế, ta nhận thấy rằng khi tổ chức cho học các em học toán thườngthì giáo viên dựa trên các bài tập ở sách giáo khoa, sách bài tập để cho học sinhrèn luyện kỹ năng giải toán, chưa xây dựng các bài toán tương tự, chưa giúpđược cho học sinh thấy được đó là một trường hợp đặc biệt hay là một trườnghợp khái quát từ một bài toán đã cho, từ đó học sinh gặp nhiều khó khăn trongviệc phân tích và tìm lời giải cho bài toán

Để giúp cho các em có được kỹ năng phân tích và tìm lời giải cho một bàitoán một cách nhanh chóng giáo viên cần phải giúp cho học sinh có một thóiquen đặt và trả lời cho các câu hỏi: Bài toán này ta đã gặp lần nào chưa? Bàitoán này tương tự như bài toán nào? “bài toán này có phải là một đường hợp đặcbiệt không? Ta có thể khái quát bài toán này để được một bài toán khác không?

Ta có thể chia bài toán này thành những bài toán nhỏ nào? Còn cách giải nàocho bài toán không? … Khi đã có thói quen như vậy sẽ giúp cho các em tìm rađược lời giải cho bài toán và nhớ nó lâu hơn, tạo cho các em có hứng thú vớimôn học hơn

2 Nhiệm vụ nghiên cứu.

Quá trình dạy học môn toán phải nhằm mục đích đào tạo con người mà xã hội

cần Vì vậy, môn Toán phải góp phần cùng môn học khác thực hiện mục tiêuchung của giáo dục THCS thể hiện ở các mặt.

 Làm cho HS nắm vững toán phổ thông, cơ bản, thiết thực…

 Có kỹ năng thực hành giải toán…

 Hình thành cho HS những phẩm chất đạo đức và năng lực cần thiết

Dạy toán không chỉ nhằm cung cấp cho HS một số kiến thức toán mà dạy cho

HS phải biết tính toán Ngoài kiến thức còn có phương pháp, kĩ năng, phát triểncác năng lực trí tuệ và hình thành ở HS các phẩm chất đạo đức

Chuyên đề “Tương tự hóa, đặc biệt hóa, tổng quát hóa trong dạy và họcToán” Nhằm giúp cho HS nắm tổng quát các kiến thức, các mạch kiến thứctrong chương trình, có kỹ năng phân tích các dạng bài tập, các cách trình bàymột bài toán sao cho khi người học tiếp cận nó xong thì có thể vận dụng mộtcách hiệu quả trong thực tế Nếu giáo viên làm được như vậy thì có thể chuẩn bị

cho tiết dạy một hệ thống bài tập tốt hơn, xây dựng được các bài toán phù hợp

cho từng đối tượng học sinh Hiệu quả giảng dạy sẽ cao hơn.

3 Phương pháp tiến hành.

Trên cơ sở việc rút kinh nghiệm các tiết dạy trên lớp và kết quả làm bàikiểm tra của học sinh và bằng cách thử nghiệm việc tổ chức rèn luyện cho họcsinh kỹ năng giải toán ở trên lớp và phần giao việc về nhà cho học sinh, yêucầu học sinh tìm ra các bài toán tương tự về nội dung và tương tự về quy trìnhsuy luận phân tích tìm lời giải Học sinh tự đặt ra các bài toán mang tính kháiquát hơn hay đặc biệt hơn … Tổ chức kiểm tra đánh giá thường xuyên trên cơ sở

đi từ đơn giản đến phức tạp để rút ra những ưu điểm và nhược điểm nhằm nângcao hiệu quả giải toán

4 Cơ sở và thời gian tiến hành.

Môn toán là một môn học có vận dụng nhiều trong cuộc sống, là môn học cóbổ trợ cho nhiều môn học khác và rèn luyện cho học sinh khả năng tuy duy sángtạo Căn cứ vào kết quả các bài kiểm tra môn toán HKI và HKII của học sinhcác lớp 9 từ năm học 2003 -2004 đến năm học 2004 – 2005 cho thấy tỉ lệ họcsinh các lớp tôi phụ trách giảng dạy môn toán có điểm dưới trung bình khá caotừ 30% đến 40%, tỉ lệ học sinh có điểm khá, giỏi từ 12% đến 20% Tỷ lệ nàychưa cao, chưa xứng tầm với yêu cầu của môn học Trong thời gian từ năm học

2004 – 2005 đến nay, bản thân tôi cố gắng tìm ra cách phương pháp dạy họcmới phù hợp với khả năng nhận thức và tuy duy của các đối tượng học sinh giúp

II GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ:

Để giải các bài toán, ngoài việc nắm vững kiến thức còn cần phải cónhững phương pháp suy nghĩ khoa học cùng với những kinh nghiệm cá nhân tíchlũy được trong quá trình học tập, rèn luyện Trong môn Toán ở trường THCS córất nhiều bài toán tương tự nhau về cách giải hoặc có những bài toán được xâydựng trên cơ sở của một bài toán khác hoặc nó là một trường hợp đặc biệt củabài toán đã cho Để giải bài toán như vậy đòi hỏi học sinh phải có khả năng suyluận lôgíc và biết cách xây dựng được các dạng toán khác tương tự như bài toánđã cho hoặc tìm ra các trường hợp đặc biệt của giả thiết thì kết luận có gì đặcbiệt (đặc biệt hóa bài toán) từ đó xem xét bài toán ở mức độ tổng quát hơn

1. Tương tự hóa

Từ hai dối tượng giống nhau ở một số dấu hiệu ta rút ra kết luận rằng haiđối tượng đó cũng giống nhau ở dấu hiệu khác thì suy luận ấy gọi là tương tự

Chẳng hạn, hai đối tượng X, Y cùng có dấu hiệu a, b, c và X có dấu hiệu

d thì ta kết luận Y cũng có dấu hiệu d

Như vậy, kết luận rút ra từ những suy luận tương tự chỉ là một dự đoán,một giả thiết Cũng giống như quy nạp không hoàn toàn, những dự đoán, giảthiết này có tác dụng góp phần thúc đẩy Toán học phát triển Nói riêng, tronghoạt động giải toán, sử dụng suy luận tương tự để liên hệ giữa bài toán cần giảivới bài toán đã giải, có thể giúp ta nhanh chóng tìm ra được lời giải của bàitoán

Ví dụ1: (Bài tập 35 chương III GÓC VỚI ĐƯỜNG TRÒN SBT Toán 9)

Cho D là trung điểm của đoạn thẳng AM Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AM vẽ nửa đường tròn đường kính AM và nửa đường tròn đường kính AD Tiếp tuyến tại D của nửa đường tròn đường kính AD cắt nửa đường tròn lớn tại

C và tiếp tuyến tại C của nửa đường tròn lớn cắt tiếp tuyến tại A của nửa đường tròn nhỏ tại B P là một điểm bất kỳ trên cung nhỏ AC đường thẳng PD cắt nửa đường tròn nhỏ tại K Chứng minh AP là tia phân giác góc BAK

K

B A

D

C P

Phân tích:

Gọi Q là giao điểm của AK và nửa đường tròn đường kính AM

-Muốn chứng minh AP là tia phân giác của góc BAK ta phải chứng minh



BAP = PAK

-Muốn chứng minh BAP = PAK ta phải chứng minh AP = PQ 

-Muốn chứng minh AP = PQ ta phải chứng minh DP  AQ tại K vì AKD

= 1v (góc nội tiếp chắn ½ đường tròn)

Lời giải tóm tắt:

Ta có: AKD = 1v (góc nội tiếp chắn ½ đường tròn)

Suy ra DPAQ tại K

Do đó: AP = PQ (T/c đường kính vuông góc với dây trong đường tròn)Từ đó suy ra BAP = PAK (cùng chắn hai cung bằng nhau)

Vậy AP là tia phân giác của góc BAK (đpcm)

Khai thác bài toán:

Sau khi giải xong bài toán VD1 ta nhận thấy tứ giác ABCD là một hìnhvuông, ta có thể thay đổi giả thiết ta có các bài toán mới như sau:

Ví dụ1.1: Cho hình vuông ABCD, vẽ nửa đường tròn đường kính AD, lấy

D làm tâm vẽ cung tròn AC trên cùng một nửa mặt phẳng bờ là AD Nối D với một điểm P bất kỳ trên cung AC, DP cắt nửa đường tròn đường kính AD tại K Kẻ PN vuông góc với AB Chứng minh rằng tam giác AKN vân tại A.

Việc giải bài toán này tương tự như

cách giải ở DV1 Ở đây việc đi chứng minh

NAP = KAP được thay bằng chứng minh hai

đoạn thẳng AN = AK

Ví dụ1.2: Cho hình vuông ABCD, vẽ nửa đường tròn đường kính AD, lấy

D làm tâm vẽ cung tròn AC trên cùng một nửa mặt phẳng bờ là AD Nối D với một điểm P bất kỳ trên cung AC, DP cắt nửa đường tròn đường kính AD tại K Kẻ PN vuông góc với AB Chứng minh rằng APNK.

K

B A

D

C P

yx

4 3 2 1

DC

O

M

Việc giải bài toán này tương tự như

cách giải ở DV1.1 Ở đây việc đi chứng minh

APNK ta đưa về chứng minh tam giác AKN

Cân tại A và có NAP = KAP 

Ví dụ 2: ( Trích câu a bài tập 30 trang 116 SGK HH 9 tập I)

Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB Vẽ các tia tiếp tuyến Ax và By với nửa đường tròn (Ax, By và nửa đường tròn cùng thuộc một nửa mặt phẳng bờ là AB) Qua một điểm M thuộc nửa đường tròn (M khác A và B), kẽ tiếp tuyến với nửa đường tròn đó, nó cắt Ax và By theo thứ tự tại C và D chứng minh rằng: COD = 90o

(O) có AB là đường kính

Có nhiều cách để đi chứng minh COD = 90o, chẳng hạn ta đi chứng minh

Ô1 = Ô2 và Ô3 = Ô4 rồi suy ra OCOD, suy ra (đpcm)

Hoặc ta có thể đi chứng minh các tứ giác BDMO và ACMO nội tiếp rồisuy ra MDO MBO và MCO MAO     mà AMB = 90o suy ra COD = 90o

Lời giải tóm tắt:

Tứ giác BDMO nội tiếp ( vì có OBD OMD 90   O)

Suy ra MDO MBO (cùng chắn OM)  

Tứ giác ACMO nội tiếp ( vì có OMC OAC 90  O)

Suy ra MCO MAO (cùng chắn OM)  

Mà MAB MBA 90  O ( Vì tam giác AMB vuông tại M)

Suy ra MCO MDO 90  O Vậy COD = 90o (đpcm)

D C

O

M

N

Khai thác bài toán:

Nhận xét1: Vấn đề đặt ra là: hãy thay đổi một và điều kiện của bài toán

ở VD2, chẳng hạn như vị trí của điểm O ta thay bằng điểm N bất kì trên AB, khiđó đường thẳng vuông góc với MN tại M không còn là tiếp tuyến với (O) mà trởtành một cát tuyến với (O), ta có thể chứng minh được CND = 90o nữa không?

Ta có bài toán khác như sau:

VD2.1: Gọi M là một điểm nằêm trên (O) đường kính AB và N là một

điểm bất kỳ nằm trên đoạn thẳng AB (N khác A và B), đường thẳng vuông góc với MN tại M cắt các tiếp tuyến Ax và By của (O) lần lượt tại C và D CMR:



CND = 90o

Ta có vì N là một điểm bất kỳ trên đoạn thẳng AB (M khác A và B)

- Nếu N trùng với O thì việc chứng minh bài toán như VD2

- Nếu N không trùng với O (N khác A và B) ta có hình vẽ sau:

Việc đi chưng minh bài toán giống như VD2

Lời giải tóm tắt:

Tứ giác BDMN nội tiếp ( vì có NBD NMD 90  O)

Suy ra MDN MBN (cùng chắn NM)  

Tứ giác ACMN nội tiếp ( vì có NMC NAC 90  O)

Suy ra MCN MAN (cùng chắn NM)  

Mà MAB MBA 90  O(Vì tam giác AMB vuông tại M)

Suy ra MCN MDN 90  O Vậy CND = 90o (đpcm)

Nhận xét2: Ta tiếp tục mở rộng bài toán: hãy thay đổi một và điều kiện của

bài toán ở VD2, chẳng hạn như vị trí của N bất kì trên đường thẳng AB vàkhông nằm giữa A và B, khi đó ta có kết quả CND = 90o nữa không? Ta có bàitoán khác như sau:

VD2.2: Gọi M là một điểm nằm trên (O) đường kính AB và N là một

điểm bất kỳ nằm trên đường thẳng AB (N khác A, B và không nằm giữa A và B), đường thẳng vuông góc với MN tại M cắt các tiếp tuyến Ax và By của (O) lần lượt tại C và D CMR: CND = 90o

Phân tích:

Ta có nhiều cách để đi chứng minh CND = 90o, sau đây tôi xin nêu ra mộthướng phân tích để tìm lời giải cho bài toán:

Muốn chứng minh CND = 90o ta dựa

vào kết quả đã chứng minh ở bài toán VD2.1

ta đi chứng minh cho NDC NCD 90  O

Ta nhận thấy tứ giác BDNM nội tiếp

Suy ra: NDC MBA (cùng chắn NM )

Mà tứ giác AMCN cũng nội tiếp

Do đó NCD MAB ( cùng bù với NAM )

Mặt khác:

MAB MBA 90  O(Vì tam giác AMB vuông tại M)

Suy ra NCD NDC 90  O Vậy CND = 90o (đpcm)

Nhận xét3: Nhìn lại các bài toán vừa giải được ở trên, ta có thể đưa về một bài

toán tổng quát hơn

VD2.3: Gọi M là một điểm nằm trên (O) đường kính AB và N là một

điểm bất kỳ nằm trên đường thẳng AB (N khác A và B), đường thẳng vuông góc với MN tại M cắt các tiếp tuyến Ax và By của (O) lần lượt tại C và D CMR:



CND = 90o

Việc đi chứng minh VD2.3 trở nên đơn giản, ta tìm được lời giải như đãtrình bày ở trên

Ví dụ3: Một ca nô xuôi dòng một khúc sông dài 90 km rồi ngược dòng

về 36 km Biết rằng thời gian xuôi dòng nhiều hơn thời gian ngược dòng là 2 giờ và vận tốc khi xuôi dòng hơn vận tốc là 6km/h Hởi vận tốc của ca nô lúc ngược dòng ?

Phân tích: Đề bài toán có các phần khá rõ và mỗi phần đều có thể phiên dịch

sang ngôn ngữ đại số dễ dàng dựa trên cơ sở của ba đại lượng tham gia bài toánđó là vận tốc, thời gian và quãng đường (không đổi) và được liên hệ với nhaubởi công thức (thời gian = quãng đường : vận tốc) Lại có hai trường trường hợpcụ thể đó là đi xuôi dòng và ngược dòng như sau:

Vận tốc canô lúc ngược dòng x (km/h), (x > 0)

Vận tốc canô lúc xuôi dòng x + 6 (km/h)

Thời gian xuôi dòng nhiều hơn thời gian ngược dòng la 2 giờ, ta có PT

90 36 2

x 6  x 

Hoặc ta có thể biểu thị các số liệu ở dạng bảng :

ĐLTH

Vận tốc(km/h)

Thời gian(h)

Q đường(km)

Giải phương trình ta được x1 = 9, x2 =12 đều thỏa mãn

Suy ra vân tốc canô lúc ngược dòng là 9km/h hoặc 12km/h

Khai thác bài toán Ta có thể đưa ra các bài toán tương tự bằng cách:

1) Thay “thời gian xuôi dòng nhiều hơn thời gian ngược dòng là 2 giờ” bằng “tổng thời gian xuôi dòng và ngược dòng là 10 giờ” còn các phần khác của

bài toán giữ nguyên

2) Thay “Hỏi vận tốc lúc ngược dòng ?” bằng “Hỏi thời gian khi ngược

dòng” còn các phần khác thì giữ nguyên

3) Ta có thể thay đổi nội dung bài toán để có một dạng toán khác như:

VD3.1 “Một đội máy cày dự định cày một cánh đồng có diện tích 90ha trong

một thời gian dự định Nhưng khi cày thì 6 máy cày được điều đi cày ở nơi khác nên thời gian cày 36ha kém thời gian dự định cày xong cánh đồng là 2 ngày Hỏi số máy cày lúc sau của đội ? Giả sử năng suất của mỗi máy cày là như nhau”.

Phân tích: Sự tương tự của hai bài toán này ở chổ cũng có ba đại lượng tham

gia bài toán đó là số máy cày, thời gian cày và diện tích cày (không đổi) về mốiquan hệ giữa các đại lượng thì giống nhau ( thời gian cày = diện tích : số máycày) và cũng được chia thành hai trường hợp cụ thể đó là số máy cày của độidự định cày và số máy cày thực tế tham gia cày trên cánh đồng

Ta có bảng số liệu sau:

Diện tích(ha)

VD4 (Trích bài tập 6a trang 04 SGK tập II)

Vẽ hai đường thẳng (d 1 ): y = -2x + 1 và (d 2 ): y = 2x +5 trên cùng một mặt phẳng Oxy rồi tìm tọa độ giao điểm của hai đường thẳng đó.

Phân tích: Bài toán có hai yêu cầu:

- Vẽ đồ thị của hai đường thẳng trên cùng một mặt phẳng Oxy

Ta phải tìm hai điểm thuộc đường thẳng (d1) và hai điểm thuộc đườngthẳng (d2) (thường ta tìm tọa độ giao điểm của mỗi đường thẳng với cáctrục Ox và Oy) rồi vẽ hai đường thẳng đi qua các điểm đó

- Tìm tọa độ giao điểm của hai đường thẳng

Nếu M(xM; yM) là giao điểm của hai đường thẳng thì tọa độ của điểm Mchính là nghiệm của hệ phương trình:

Lời giải tóm tắt:

Ta có bảng giá trị tương ứng:

M

ABC

Gọi M(xM; yM) là giao điểm của hai đường thẳng thì tọa độ của điểm Mchính là nghiệm của hệ phương trình: y y22x x51

(Hay ta có phương trình hoành độ giao điểm của hai đường thẳng là: -2x +1= 2x +5)

Giải hệ phương trình ta được (x; y) = (-1; 3)

Vậy M(-1; 3)

Khai thác bài toán: Đây là một bài toán mà ta rất hay gặp trong chương II và

chương III Đại số 9 Mà ta nhận thấy chương II, chương III và chương IV Đại số

9 tương tự nhau trong xây dựng mạch kiến thức Nếu GV giúp cho học sinh nắmđược VD4 thì trong quá trình học chương IV Đại số 9 thì HS sẽ giải quyết đượccác bài toán tương tự như VD4 Giả sử ta thay đường thẳng (d2) bằng Parabol(P): y = -x2 ta có bài toán tương tự sau:

VD4.1: Vẽ đường thẳng (d): y = -2x + 1 và Parabol (P): y = - x 2 trên cùng một mặt phẳng Oxy rồi tìm tọa độ giao điểm của (d) và (P).

Phân tích: Bài toán có hai yêu cầu: (tương tự như VD4)

- Vẽ đồ thị của (d) và (P) trên cùng một mặt phẳng Oxy

Ta phải tìm hai điểm thuộc đường thẳng (d) và các điểm thuộc Parabol (P)

- Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng (d) và Parabol (P)

Nếu M(xM; yM) là giao điểm của đường thẳng (d) và Parabol (P) thì tọa độcủa điểm M chính là nghiệm của hệ phương trình: 2

phương trình hoành độ giao điểm: -x 2 = -2x +1)

Lời giải tóm tắt:

Ta có bảng giá trị tương ứng:

Gọi M(xM; yM) là giao điểm của hai đường thẳng thì tọa độ của điểm Mchính là nghiệm của hệ phương trình: 2

Phương trình (*) có nghiệm kép là x1 = x2 = 1 suy ra y1 = y2 = -1

Vậy (d) tiếp xúc với (P) tại M(1; -1)

2. Đặc biệt hóa:

Đặc biệt hóa là suy luận chuyển từ việc khảo sát một tập hợp đối tượngsang một tập hợp đối tượng nhỏ hơn chứa trong tập hợp ban đầu

Đặc biệt hóa có tác dụng kiểm nghiệm lại kết quả trong những trường hợpriêng hoặc để tìm ra kết quả khác Nói riêng, trong giải toán, việc xét trườnghợp đặc biệt của một bài toán nhiều khi giúp ta giải được bài toán hoặc giúp tatìm thấy hướng giải của bài toán

Ví dụ 5: (Trích bài tập 76 trang 139 SBT Toán 9 tập II)

Cho hai đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc ngoài tại A Kẻ đường kínhAOB và AO’C Gọi DE là tiếp tuyến chung ngoài của hai đường tròn, D thuộc (O) và

E thuộc (O’) Gọi M là giao điểm của BD và CE CM tứ giác ADME là hình chữ nhật.

(O) và (O’) tiếp xúc ngoài tại A

GT DE là tiếp tuyến chung của (O)và (O’)

BD cắt CE tại M

KL ADME là HCN

Phân tích:

Ta có nhiều cách để đi chứng

minh ADME là HCN, tôi xin nêu ra

một cách:

Ta chỉ cần đi chứng minh DAE hoặc DME = 90 Vì hiện tại đã có các O

góc ADM và AEM là các góc vuông

Để chứng minh được DAE hoặc DME = 90 ta cũng có nhiều cách, chẳn O

hạn ta đi chứng minh DAE = 90 Vẽ tiếp tuyến chung trong tại A của (O) vàO