Sáng kiến kinh nghiệm: Xác định công thức tổng quát của dãy số

đặt vấn đề Trong chơng trình toán học THPT các bài toán liên quan đến dãy số là một phần quan trọng của đại số và giải tích lớp 11 , Học sinh thờng phải đối mặt với nhiều dạng toán khó l

đặt vấn đề

Trong chơng trình toán học THPT các bài toán liên quan đến dãy số

là một phần quan trọng của đại số và giải tích lớp 11 , Học sinh thờng phải

đối mặt với nhiều dạng toán khó liên quan đến vấn đề này và gặp khó khăn trong vấn đề xác định công thức số hạng tổng quát của dãy số Đặc biệt ở một số lớp bài toán khi đã xác định đợc công thức tổng quát của dãy số thì nội dung của bài toán gần nh đợc giải quyết

Để đáp ứng đợc một phần đề tài “ Xác định công thức tổng quát

của dãy số “ và kết hợp với sự tiếp cận “ Lý thuyết phơng trình sai phân

“ qua một số chuyên đề mà bản thân tác giả đã đợc học

Nội dung của đề tài nhằm cung cấp một số phơng pháp cơ bản xác

định công thức tổng quát của dãy số và có sự phân loại ở một số lớp bài toán Đây cũng là đề tài và bài giảng mà tác giả đã dạy cho học sinh , đặc biệt

là học sinh khá giỏi và lớp chọn, là tài liệu học sinh và đồng nghiệm tham khảo

Trong đề tài này tác giả đã sử dung một số kết quả có tính hệ thống

của ‘ Lý thuyết phơng trình sai phân “ Tuy nhiên những vấn đề áp dụng kiến thức toán học hiện đại chỉ dừng lại ở một số trờng hợp đặc biệt vàgiới hạn trong trờng số thực

Giới hạn của đề tài chỉ dừng lại ở việc xác định công thức tổng quát của một số dãy số , từ đó có áp dụng vào một số bài toán cụ thể Qua đó, ngời đọc có thể trang bị thêm cho mình phơng pháp xác định công thức tổngquát của dãy số Đặc biệt các thầy cô có thể tự kiểm tra kết quả và xây dựng cho mình một lớp các bài toán về dãy số đợc trình bày trong đề tài

Một số phơng pháp xác định công thức tổng quát của dãy số và xây dựng bài

toán về dãy sốA.

Ph ơng trình sai phân tuyến tính cấp một

Phơng trình sai phân tuyến tính cấp một là phơng trình sai phân dạng

Phơng pháp giải

Giải phơng trình đặc trng a. b 0 để tìm  Khi đó u n q n (q là hằng số ) , trong đó q đợc xác định khi biết u1 

Bài toán 1: Xác định số hạng tổng quát của cấp số nhân, biết số hạng đầu

n

u c Từ u  suy ra1 11

1) Nếu #1 thì u là đa thức cùng bậc với *n f n

2) Nếu  1 thì u*n n g n với g là đa thức cùng bậc với n f n

Thay u vào phơng trình, đồng nhất các hệ số ta tính đợc các hệ số của n* *

Bài giải Phơng trình đặc trng  3 0 có nghiệm  3 Ta có

n

Phơng pháp giải

Ta có u n u n0 u1*n u2*n Trong đó u là nghiệm tổng quát của phơng n0

trình thuần nhất au n1 bu n  , 0 u là một nghiệm riêng của phơng trình *n

không thuần nhất a u n1 b u n f1n, u là nghiệm riêng bất kỳ của phơng *2n

2

3.2 3 22

B Ph ơng trình sai phân tuyến tính cấp hai

Phơng trình sai phân tuyến tính cấp một là phơng trình sai phân dạng

*

trong đó a,b,c,  , là các hằng số , a # 0 và f là biểu thức của n cho trớc n

(NX: Phơng trình đặc trng của phơng trình sai phân tuyến tính cấp hai luôn

có hai nghiệm kể cả nghiệm phức, song nội dung của đề tài chỉ dừng lại trong trờng số thực , tức là chỉ xét nghiệm thực )

Cho n=0 , n=1 thay vào (5.2) ta thu đợc hệ phơng trình

 

0 1

1) Nếu #1 thì u là đa thức cùng bậc với *n f n

2) Nếu 1 là nghiệm đơn thì u*n n g g ,n n là đa thức cùng bậc với f n

3) Nếu 1 là nghiệm kép thì u*n n g g.2 n, n là đa thức cùng bậc với

Thay u vào phơng trình , dùng phơng pháp đồng nhất thức các hệ số sẽ tính n*

Ta có u n u n0 u1*n u2*n trong đó u là nghiệm tổng quát của phơng n0

trình thuần nhất au n1 bu n c u n1  , 0 u là nghiệm riêng tùy ý của ph- 1n*

ơng trình không thuần nhất au n1bu n c u n1 f n u là nghiệm riêng 2n*

tùy ý của phơng trình không thuần nhất au n1 bu n c u n1 g n

Bài toán 8: ( Đề thi OLYPIC 30 -4 Toán 11 Lần thứ VIII- 2002 )

Bài giải Phơng trình đặc trng 2  2 3 0 có nghiệm 1 1,2  3

C Ph ơng trình sai phân tuyến tính cấp ba

Phơng trình sai phân tuyến tính cấp ba là phơng trình sai phân dạng

u  u  u  a u  bu  c u d u  f n (a.1)trong đó a,b,c, d,  , ,  là các hằng số , a # 0 và f là biểu thức của n n

cho trớc

(NX: Phơng trình đặc trng của phơng trình sai phân tuyến tính cấp ba luôn

có ba nghiệm kể cả nghiệm phức, song nội dung của đề tài chỉ dừng lại trong trờng số thực , tức là chỉ xét nghiệm thực )

Phơng pháp giải

Nghiệm tổng quát của phơng trình sai phân tuyến tính cấp ba có dạng

u u u , trong đó u là nghiệm tổng quát ủa phơng trình tuyến tính n0

thuần nhất, u là một nghiệm riêng của phơng trình tuyến tính không thuần *n

nhất

Xét phơng trình đặc trng

a b c d  (a.2)1) Xác định công thức nghiệm tổng quát của phơng trình sai phân tuyến tính cấp ba thuần nhất

a) Nếu (a.2) có ba nghiệm thực  1, 2 , phân biết thì 3

0

1 1n 2 2n 3 3n n

b) Nếu  1 (nghiệm đơn ) thì u n* n g n g là đa thức cùng bậc n

D Bài tập áp dụng Bài toán 10: Cho dãy số a đợc xác định theo công thức sau n

a  a  a   a  a   n (10.1) Chứng minh số A4 .a a n n2  là số chính phơng1

Bài giải Ta có

Trong (9.2) ta thay n bởi n-1, ta đợc

có nghiệm  1 là nghiệm bội bậc ba

Vậy nghiệm tổng quát của phơng trình (10.4) là

    cã nghiÖm 1 1,2 5NghiÖm tæng qu¸t cña (11.1) lµ

 1n 5n n

Ta cã

1 2

8 25.53

1996

25 3 1997 18

Bài 1: Xác định công thức của dãy số  x thoả mãn các điều kiện sau n

Bài 3: Cho dãy số  b xác định bởi n

n n

Bài 5: (Tuyển tập đề thi Olympic 30 – 4 Toán 11 Lần thứ VIII – 2002

Bài 7: ( Báo Toán Học và Tuổi Trẻ số 356)

Cho dãy số  u ( i=1,2,3,4 )đ i …)đ ợc xác định bởi

F Xây dựng bài toán về dãy số truy hồi

Nhận xét : Nội dung của đề tài trên giúp bạn đọc tìm ra công thức tổng quát

của một lớp dãy số có tính chất truy hồi một cách chính xác nhất, giúp các Thầy cô kiểm tra kết quả bài toán theo cách giải khác Bên cạnh đó ta có thểtiến hành xây dựng thêm các bài toán mới về dãy số

Dới đây là một số ví dụ xây dựng thêm các bài toán về dãy số có “

tính quy luật “ chỉ mang tính chất tham khảo Tác giả mong muốn bạn đọc

tìm hiểu và phát triển rộng hơn các bài toán khác về dãy số

Ví dụ 1: Xuất phát từ phơng trình

 1 9  0 2 8 9 0 (12.1)

phơng trình (12.1) có thể đợc coi là phơng trình đặc trng của một dãy số có quy luật Chẳng hạn dãy số u đợc xác định theo công thức sau n

có thể cho u0 2,u1  Ta có thể phát biểu thành các bài toán sau8

Bài toán 1: Cho dãy số x xác định nh sau n

Bài toán 2: Cho dãy số x xác định nh sau n

Ví dụ 2: Xuất phát từ phơng trình

 12  0 2  2  (12.2)1 0phơng trình (12.2) có thể đợc coi là phơng trình đặc trng của một dãy số có quy luật Chẳng hạn dãy số u đợc xác định theo công thức sau n

Ta có thể phát biểu thành các bài toán sau

Bài toán 1: Xác định công thức của dãy số x thoả mãn các điều kiện sau n

ơng pháp trình bày trong đề tài để giải bài toán

3) Là một phơng pháp tham khảo cho học sinh và các thầy cô giáo4) Qua nội dung đề tài, đồng nghiệp có thể xây dựng thêm các bài toán về dãy số

Xây dựng phơng pháp giảng dậy theo quan điểm đổi mới là việc mà toàn xã hội và nghành đang quan tâm Tuy nhiên, trong một số lớp bài toán bậc THPT ta có thể sử dụng một số kết quả của toán học hiện đại để xây dựng phơng pháp giải toán sơ cấp là một vấn đề ít đợc chú ý Qua nội dung

đề tài tác giả mong muốn có sự tìm hiểu sâu hơn về mối quan hệ giữa “Toán

học hiện đại” và Ph“ ơng pháp toán sơ cấp ” Qua đó ta có thể tìm đợc

phơng pháp giải, xây dựng các lớp bài toán ở bậc THPT

Tài liệu tham khảo

1) Lê Đình Thịnh- Lê Đình Định , Phơng pháp sai phân Nhà xuất bản

Đại Học Quốc Gia Hà Nội 2004

2) Tuyển tập đề thi OLYMPIC 30 – 4 Môn Toán Lần thứ V , Nhà xuất

bản Giáo Dục

3) Tuyển tập đề thi OLYMPIC 30 – 4 Môn Toán Lần thứ VII-2002 , Nhà xuất bản Giáo Dục

4) Tạp trí Toán Học và Tuổi Trẻ Số 356 , Nhà xuất bản Giáo Dục

5) Trần Chí Hiếu – Nguyễn Danh Phan Tuyển chọn các bài toán PTTH

Đại số và giải tích 11, Nhà xuất bản Giáo Dục

6) Nguyễn Văn Mậu , Một số bài toán chọn lọc về dãy số , Nhà xuất bản

1 Loại động cơ (motivation) thứ nhất.

Trong nhiều ứng dụng ta thường phải làm phộp tớnh sau đõy: cho trước một ma trận A

và nhiều vectors x, tớnh với nhiều giỏ trị khỏc nhau của số mũ Vớ dụ 1: nếu A là

ma trận của một phộp biến đổi tuyến tớnh (linear transformation) nào đú, như phộp quay

và co dón trong computer graphics chẳng hạn, thỡ cho ra kết quả của phộp BĐTT này ỏp dụng k lần vào x Cỏc games mỏy tớnh hay cỏc annimations trong phim của Hollywood cú vụ vàn cỏc phộp biến đổi kiểu này Mỗi một object trong computer graphics là một bộ rất nhiều cỏc vector x Quay một object nhiều lần là làm phộp nhõn với từng vectors x biểu diễn object đú Khối lượng tớnh toỏn là khổng lồ, dự chỉ

trong không gian 3 chiều Ví dụ 2: nếu A là transition matrix của một chuỗi Markov rời rạc và x là distribution của trạng thái hiện tại, thì chính là distribution của chuỗi

Markov sau k bước Ví dụ 3: các phương trình sai phân (difference equation) như kiểu

phương trình cũng có thể được viết thành dạng để tính với k tùy ý Ví dụ 4: lũy thừa của một ma trận xuất hiện tự nhiên khi giải các

phương trình vi phân, xuất hiện trong khai triển Taylor của ma trận chẳng hạn.

Tóm lại, trong rất nhiều ứng dụng thì ta cần tính toán rất nhanh lũy thừa của một ma trận vuông, hoặc lũy thừa nhân một vector

Mỗi ma trận vuông đại diện cho một phép BĐTT nào đó Lũy thừa bậc k của ma trận đại diện cho phép biến đổi này áp dụng k lần Ngược lại, bất kỳ phép BĐTT nào cũng có thể được đại diện bằng một ma trận Có rất nhiều ma trận đại diện cho cùng một BĐTT, tùy theo ta chọn hệ cơ sở nào Mỗi khi ta viết một vector dưới dạng là ta đã ngầm định một hệ cơ sở nào đó, thường là hệ cơ sở trực chuẩn ,

, và Các tọa độ 3, -2, 5 của x là tương ứng với tọa độ của x trong hệ cơ sở ngầm định này.

Hệ cơ sở như trên thường được dùng vì ta “dễ” hình dùng chúng trong không gian n chiều, chúng là sản phẩm phụ của hệ tọa đồ Descartes cổ điển hay dùng trong không gian 2 chiều Tuy nhiên, khi áp dụng một phép BĐTT thì các vectors

thường cũng bị biến đổi theo luôn, rất bất tiện nếu ta phải tính cho nhiều giá trị k

và x khác nhau.

Bây giờ, giả sử ta tìm được hướng độc lập tuyến tính và bất biến qua phép BĐTT đại diện bởi A (Đây là giả sử rất mạnh, may mà nó lại thường đúng trong các ứng dụng kể trên.) Dùng vector để biểu diễn hướng thứ Bất biến có nghĩa là áp dụng A vào hướng nọ thì hướng không đổi Cụ thể hơn, BĐTT A làm hướng “bất biến” nếu

với là một con số (scalar) thực hoặc phức nào đó (dù ta giả sử A là thực).

Do các hướng này độc lập tuyến tính, một vector x bất kỳ đều viết được dưới dạng

Nếu ta lấy l m hàm h ệ cơ sở thì cái hay l có áp dàm h ụng A bao nhiêu lần thì cũng không đổi hướng của các vectors trong hệ cơ sở! Điều n y àm hrất tiện lợi, bởi vì

Như vậy, thay vì tính lũy thừa bậc cao của một ma trận, ta chỉ cần tính lũy thừa của n con số v l m màm h àm h ột phép cộng vectors đơn giản Các giá trị

l các tràm h ị đặc trưng (eigenvalues) của A, v cácàm h vectors l các vector àm hđặc trưng (eigenvectors)

Tiếp tục với giả thiết rất mạnh là n eigenvectors độc lập tuyến tính với nhau Nếu ta bỏ các vectors này vào các cột của một ma trận , và các eigenvalues lên đường chéo của

một ma trận thì ta có Trong trường hợp này ma trận A có tính

diagonalizable (chéo hóa được) Diagonalizability và sự độc lập tuyến tính của n

eigenvectors là hai thuộc tính tương đương của một ma trận Ngược lại, ta cũng có

, và vì thế lũy thừa của A rất dễ tính: do lũy thừa của một

ma trận đường chéo rất dễ tính.

Cụm từ “khả năng đường chéo hóa được” (diagonalizability) nghe ghê răng quá, có bạn nào biết tiếng Việt là gì không?

Nếu ta biết được các eigenvectors và eigenvalues của một ma trận thì — ngoài việc tính

lũy thừa của ma trận — ta còn dùng chúng vào rất nhiều việc khác, tùy theo ứng dụng ta

đang xét Ví dụ: tích các eigenvalues bằng với định thức, tổng bằng với trace, khoảng cách giữa eigenvalue lớn nhất và lớn nhì của transition matrix của một chuỗi Markov đo tốc độ hội tụ đến equilibrium (mixing rate) và eigenvector đầu tiên là steady state distribution, vân vân.

Quay lại với cái “giả thiết rất mạnh” ở trên Có một loại ma trận mà giả thiết này đúng;

và hơn thế nữa, ta có thể tìm được các eigenvectors vuông góc nhau, đó là các normal matrices Rất nhiều ứng dụng trong khoa học và kỹ thuật cho ta các normal matrices Các trường hợp đặc biệt thường thấy là các ma trận (thực) đối xứng và các ma trận Hermitian (đối xứng theo nghĩa phức)

Còn các ma trận không thỏa mãn “giả thiết rất mạnh” này, nghĩa là không

diagonalizable, thì làm gì với chúng? Ta có thể tìm cách làm cho chúng rất “gần” với một ma trận đường chéo bằng cách viết chúng thành dạng chuẩn Jordan Đề tài này nằm ngoài phạm vi bài đang viết.

2 Loại động cơ (motivation) thứ hai.

Trong rất nhiều ứng dụng, ta “được” làm việc với một ma trận đối xứng: nó có đủ bộ eigenvectors, do đó diagonalizable và vì thế có thể thiết kế các thuật toán hiệu quả cho các bài toán tương ứng Không những đối xứng, chúng còn có một thuộc tính mạnh hơn nữa gọi là positive (semi) definite, nghĩa là các eigenvalues đều không âm Ví dụ 1: bài

toán least squares có ứng dụng khắp nơi (linear regression trong statistics chẳng hạn) dẫn đến ma trận symmetric positive (semi) definite Ví dụ 2: bài toán xác

định xem một một điểm tới hạn của một hàm đa biến bất kỳ có phải là điểm cực tiểu hay không tương đương với xác định xem ma trận đối xứng Hessian của các đạo hàm bậc

hai tại điểm này là positive definite Ví dụ 3: ma trận covariance của một random vector (hoặc một tập hợp rất nhiều sample vectors) cũng là positive (semi) definite.

Nếu A là một ma trận symmetric positive definite thì ta có thể hiểu các eigenvectors và eigenvalues theo cách khác Bất phương trình

trong đó c l màm h ột hằng số dương làm h một bất phương trình bậc 2 với n biến (các tọa độ của vector x) Nghiệm của nó l cácàm h điểm nằm trong một hình e-líp trong không gian n chiều (Ellipsoid) m n tràm h ục của

ellipsoid chính l hàm h ướng của các eigenvectors của A, v chiàm h ều d i các àm htrục tỉ lệ nghịch với eigenvalue tương ứng (tỉ lệ với nghịch đảo của căn của eigenvalue) Đây l tràm h ực quan hình học phổ biến thứ hai của

eigenvectors v eigenvalues.àm h

Trong trường hợp của Principal Component Analysis (PCA) như có bạn đã hỏi trong phần bình luận bài tư duy trừu tượng , thì ta có thể hiểu nôm na về sự xuất hiện của eigen-vectors/values như sau Giả sử ta có một đống các sample vectors (data points) trên một không gian n chiều nào đó Các tọa độ là exponentially distributed (Gaussian noise chẳng hạn) Thì đa số các vectors này tập trung trong một ellipsoid định nghĩa bởi covariance matrix (positive semi-definite) Trục dài nhất của ellipsoid là trục có variance cao nhất, nghĩa là SNR cao Trục này chỉ cho ta hướng biến thiên quan trọng nhất của data PCA lấy các trục của ellipsoid làm hệ cơ sở, sau đó lấy k trục dài nhất làm

principal components để biểu diễn data (Dĩ nhiên, ta phải shift cái mean về gốc tọa độ trước khi đổi hệ cơ sở.)

Ngô Quang Hưng | Đề tài: Toán Ứng Dụng | | In bài này