Toán tập lồi

Định lý 1.1.1 Tập lồi là đóng với phép giao, cộng, phép nhân với một số phép lấy tổ hợp tuyến tính.. Thứ nguyên của tập lồi A kí hiệu là dim A... Một tập hợp được gọi là lồi đa diện k

Chương 1

Cơ bản về giả tích lồi

1.1 Tập lồi

Các kí hiệu:

- Một vectơ α luôn hiểu là vectơ cột

- Chuyển vị của vectơ α là một vectơ hàng αT .

- Tích vô hướng của hai vectơ a b , là a b a b , , T .

- Tập các số thực là Rn

n R

Đường thẳng qua hai điểm a b , trong không gian Euclid

Định nghĩa 1.1.1

có là tập hợp tất cả các điểm x R ∈ ncó dạng:

(1 ) ,

x = λ a + − (1 λ ) , b λ ∈ R

x = λ a + − λ b λ ∈ R

n R

Đoạn thẳng qua hai điểm a b , trong không gian Euclid

Định nghĩa 1.1.2

có là tập hợp tất cả các điểm x R ∈ ncó dạng:

(1 ) , 0 1.

x = λ a + − λ b ≤ ≤ λ

Định nghĩa 1.1.3

gọi là đa tạp affin nếu với bất kì 2 điểm x y M , ∈

gọi thì đường thẳng qua chúng cũng thuộc M, tức là:

(1 ) , , ,

x y M x y M R

λ + − λ ∈ ∀ ∈ λ ∈

Tập M ⊂ Rn

Mỗi đa tạp affin đều có duy nhất một không gian con L song song với nó tức là:

, n.

L M a a R = + ∈

Thứ nguyên của M cũng là thứ nguyên của L

Định nghĩa 1.1.4

Siêu phẳng trong Rn là tập:

1, , ,2 | 1 2 ,

, 1, ,

n

i

x x x x x a x a x a

α α

Ví dụ: siêu phẳng trong không gian 2 chiều là đường thẳng, siêu phẳng trong không gian 3 chiều là mặt phẳng

Bài tập: Siêu phẳng có phải là đa tạp?

Cho siêu phẳng Q, ta có:

1 1 1 1

1 1 1

n n n n

n n n

λ

λα λα α α

Vậy Q là đa tạp

Định nghĩa 1.1.5

Nửa không gian đóng trong Rn là tập:

1, , ,2 | 1 2 ,

, 1, ,

n

i

x x x x x a x a x a

α α

Nửa không gian mở trong Rn là tập:

1, , ,2 | 1 2 ,

, 1, ,

n

i

x x x x x a x a x a

α α

Đây là các nữa không gian xác định bởi siêu phẳng:

x a + x a + + x a = α

Hai nữa không gian đóng, mở nằm bên kia siêu phẳng:

n n n n

x a x a x a

x a x a x a

α α

+ + + <

Định nghĩa 1.1.6 ( tập lồi)

gọi là tập lồi nếu ∀ x y D , ∈ , λ ∈ [ ] 0,1

(1 )

λ + − λ ∈

Tập D R ⊂ n

Định nghĩa 1.1.7 (nón lồi)

gọi là tập lồi nếu ∀ x y D , ∈ ,

, , 0.

x y D tx D t + ∈ ∈ ≥

R là nón lồi

Bài tập: Nón lồi là tập lồi?

Cho D là nón lồi:

[ ]

( )

( )

1

1

x y D

x D

y D

λ λ

λ

∈



⇒  − ∈



Vậy D là tập lồi

Ví dụ 1.1.3

Bao lồi của

Định nghĩa 1.1.8 ( Bao lồi )

là tập lồi nhỏ nhất chứa kí hiệu coA

A = x y → coA = λ x + − λ y ≤ ≤ λ

Cho

Định nghĩa 1.1.9 ( Tổ hợp lồi của hai tập )

tổ hợp lồi của chúng là tập các điểm thuộc

có dạng

x = λ a + − λ b a A b B ∈ ∈ ≤ ≤ λ

Bài tập: Tổ hợp lồi là tập lồi?

Tổ hợp lồi có thể không là tập lồi

Ví dụ:

Xét đường tròn đơn vị trong siêu phẳng xOy, lấy 1 điểm E ( 0,0,1) nằm trên trục Oz Thì tổ hợp lồi của 2 tập đó là một mặt nón,

mà mặt nón thì không phải là tập lồi

3 :

R

Trong

Định lý 1.1.1

Tập lồi là đóng với phép giao, cộng, phép nhân với một số phép lấy tổ hợp tuyến tính Tức là, nếu A, B là hai tập lồi trong

n

R thì ta có các tập sau đây cũng lồi:

Định nghĩa 1.1.10

Thứ nguyên của một tập lồi A là thứ nguyên của đa tạp affin

nhỏ nhất chứa A, gọi là bao affin của A, kí hiệu aff A Thứ

nguyên của tập lồi A kí hiệu là dim A

Nhận xét 1.1.1

Nếu A ⊂ Rn thì dim A n ≤

(1 )

λ

∀ ∈ ∈

⇒ + − ∈

Suy ra tồn tại duy nhất không gian con của đa tạp affin A, song song với nó

Khi đó: dim A = dim M M1, 1 ⊂ ⊂ A Rn

Tương tự ta có:

1

Suy ra:

0 : dim dim 0

dim

n

n n A M n

A n

Định nghĩa 1.1.11

Tập hợp các điểm trong tương đối của một tập

.

riA ≠ ∅

là tập hợp:

riA = ∈ x affA U U ∃ ∩ affA ⊂ A

Trong đó U là lân cận mở của x.

Bài tập

A ≠ ∅

Nếu và lồi thì

Định nghĩa 1.1.12 Một tập hợp được gọi là lồi đa diện

( khúc

lồi ) nếu nó là giao hữu hạn các nữa không gian đóng.Như vậy một khúc lồi là tập hợp các bất đẳng thức dạng:

n n

n

a x a x a x b

Hệ này có thể viết dưới dạng:

1 2

n n

   

Nhận xét 1.1.2 Khúc lồi là một tập đóng, có thể không bị chặn Thật vậy:

- Khúc lồi là giao hữu hạn của các nữa không gian đóng nên nó

là tập đóng Có thể không bị chặn

Ví dụ:

Định nghĩa 1.1.13 Một khúc lồi bị chặn gọi là đa diện lồi

Một tập con A’ của A được gọi là một diện nếu:

x A a b A

Nhận xét 1.1.3 Mỗi diện của một tập lồi đa diện cũng là tập

lồi đa diện

2 :

R

Trong Xét nữa không gian đóng

Khi đó giao của chúng là góc góc phần tư thứ 3, là lồi đa diện

nhưng không bị chặn

Một diện có thứ nguyên 0 gọi là một đỉnh Cạnh là diện có thứ nguyên bằng 1

Định nghĩa 1.1.14.

Điểm x C ∈ được gọi là điểm cực biên của C ( C không nhất thiết lồi) nếu C không có đoạn thẳng nào nhận x làm điểm trong

Định nghĩa 1.1.15.

Một vectơ h ≠ 0 được gọi phương vô hạn của tập C nếu:

x + λ h ⊂ C ∀ ∈ ∀ > x C λ

Định lý 1.1.2.

i) Một khúc lồi không chứa trọn một đường thẳng đều có ít

nhất một đỉnh

ii) Mọi khúc lồi A có đỉnh đều là tập:

: i i j j | i 1, j 0

A x λ v β d λ β

Trong đó:

i

v ∈ {Tập I đỉnh}

j

d ∈ {Tập J phương vô hạn}

Chú ý 1.1.4.

i)Nếu khúc lồi A bị chặn thì A chỉ là tổ hợp lồi của các đỉnh (tập I đỉnh):

i I i I

ii) Nếu D là tập lồi đa diện ( khúc lồi ) thì D có thể biển diễn

0

D E D = +

Trong đó:

E là không gian con

0

D là khúc lồi có đỉnh

Định nghĩa 1.1.16.

Ta nói siêu phẳng H = { x v x | , = α } tách 2 tập A, B nếu:

v a ≤ α v b ≥ α ∀ ∈ ∀ ∈ a A b B

Ta nói H tách hẳn A và B nếu ( 1.1) có ít nhất một bất đẳng thức thật sự

Định lý 1.1.3.

Cho A là một tập lồi đóng và x0 ∈ A , lúc đó tồn tại một siêu phẳng tách A x , 0

Hệ quả 1.1.4 ( Bổ đề Ferkas )

, 0,

a x ≥ ∀ x

0 0 : T .

Ax ≥ ⇔ ∃ ≥ y a A y =

n

a R ∈

Cho và A là ma trận cấp m x n Khi đó:

thỏa mãn

Nhận xét 1.1.5

Ý nghĩa hình học của bổ đề siêu phẳng đi qua gốc tọa độ

a x = tách nón { x Ax | ≥ 0 } về một phía vectơ pháp

a của siêu phẳng thuộc nón sinh bởi các hàng của ma trận A