Toán tối ưu đa mục tiêu

SỰ TỒN TẠI VÀ TÍNH CHẤT CỦA NGHIỆM TỐI ƯU CỦA BÀI TOÁN TỐI ƯU ĐA MỤC TIÊU Mệnh đề 5.2.1... SỰ TỒN TẠI VÀ TÍNH CHẤT CỦA NGHIỆM TỐI ƯU CỦA BÀI TOÁN TỐI ƯU ĐA MỤC TIÊU Mệnh đề 5.2.1... SỰ T

Trang 1

Chương V :

Tối ưu đa mục tiêu

TS Hoàng Quang Tuyến

Trang 2

CHƯƠNG V : TỐI ƯU ĐA MỤC TIÊU

5.1 ĐIỂM HỮU HIỆU VÀ TỐI ƯU ĐA MỤC TIÊU

5.1.1 Điểm hữu hiệu

Định nghĩa 5.1.1 Cho nón lồi R−p := {x ∈ Rp| x ≤ 0}, x, y ∈ Rp

Ta nói x nhỏ hơn hoặc bằng y (x ≤ y) khi và chỉ khi x − y ∈ R−p, tức là

Trang 3

Định nghĩa 5.1.1 Cho nón lồi R−:= {x ∈ Rp| x ≤ 0}, x, y ∈ Rp

không chứa mọi điểm y ∈ Y, y 6= y∗

Trang 4

Trang 5

xi≤ yi, ∀i = 1, p

Định nghĩa 5.1.2 Cho Y ⊆ Rp, ta nói y∗∈ Y là điểm hữu hiệu hay điểm Pareto

của Y nếu không tồn tại y ∈ Y để y ≤ y∗, và y 6= y∗

Nhận xét 5.1.1 Về mặt hình học, nếu y là điểm Pareto của Y thì nón có đỉnhtại y∗ và có phương của các cạnh trùng với phương của các cạnh của nón R−p

không chứa mọi điểm y ∈ Y, y 6= y∗

Trang 6

Trang 7

5.1.2 Bài toán tối ưu đa mục tiêu

Cho Rn⊃ D 6= Ø, f : Rn→ Rp, Y := f (D) là ảnh của D qua f Bài toán tối ưu

đa mục tiêu được viết như sau

(5.1) Min{ f (x) | x ∈ D}

Bài toán này được hiểu là : "Hãy tìm một tập (có thể là một điểm) các điểm

x∗∈ D sao cho y∗:= f (x∗) là điểm Pareto của Y Khi đó x∗ được gọi là nghiệmtối ưu của bài toán (5.1) hay điểm hữu hiệu của f trên D"

Chú ý 5.1.2

1 Khi p = 1 thì x∗ là điểm làm cực tiểu tuyệt đối f trên D

2 Nếu D là khúc lồi, f affine trên D (mỗi filà affine) thì (5.1) được gọi làbài toán tuyến tính đa mục tiêu

Trang 8

Cho R ⊃ D 6= Ø, f : R → R , Y := f (D) là ảnh của D qua f Bài toán tối ưu

(5.1) Min{ f (x) | x ∈ D}

Chú ý 5.1.2

Trang 9

(5.1) Min{ f (x) | x ∈ D}

x∗∈ D sao cho y∗:= f (x∗) là điểm Pareto của Y Khi đó x∗ được gọi là nghiệm

tối ưu của bài toán (5.1) hay điểm hữu hiệu của f trên D"

Chú ý 5.1.2

Trang 10

(5.1) Min{ f (x) | x ∈ D}

Chú ý 5.1.2

Trang 11

5.2 SỰ TỒN TẠI VÀ TÍNH CHẤT CỦA NGHIỆM TỐI ƯU CỦA BÀI TOÁN TỐI ƯU ĐA MỤC

TIÊU

Mệnh đề 5.2.1 Cho λ ∈ R là vectơ dương λ > 0, khi đó mọi nghiệm tối ưu củabài toán một mục tiêu

(5.2) min{λTf(x) | x ∈ D}

đều là điểm hữu hiệu của f trên D

Chứng minh Gọi x∗∈ arg min(5.2), giả sử x∗6∈ argMin(5.1) (tức là khôngphải là điểm hữu hiệu của f trên D), suy ra

Trang 12

TIÊU

Mệnh đề 5.2.1 Cho λ ∈ Rplà vectơ dương λ > 0, khi đó mọi nghiệm tối ưu của

bài toán một mục tiêu

(5.2) min{λTf(x) | x ∈ D}

Chứng minh Gọi x ∈ arg min(5.2), giả sử x 6∈ argMin(5.1) (tức là khôngphải là điểm hữu hiệu của f trên D), suy ra

Trang 13

TIÊU

Mệnh đề 5.2.1 Cho λ ∈ Rplà vectơ dương λ > 0, khi đó mọi nghiệm tối ưu của

bài toán một mục tiêu

(5.2) min{λTf(x) | x ∈ D}

Chứng minh Gọi x∗∈ arg min(5.2), giả sử x∗6∈ argMin(5.1) (tức là không

phải là điểm hữu hiệu của f trên D), suy ra

∃x0∈ D : f (x0) ≤ f (x∗) và f (x0) 6= f (x∗)

Kết hợp với λ > 0 (tức λi> 0 ∀i = 1, p) ta có : λTf(x0) < λTf(x∗), suy ra mâu

thuẫn với x∗∈ arg min(5.2) ⇒ x∗∈ argMin(5.1)

Hệ quả 5.2.2 Nếu D compăct và f (x) nữa liên tục dưới thì bài toán tối ưu đamục tiêu (5.1) có nghiệm tối ưu

Trang 14

5.2 SỰ TỒN TẠI VÀ TÍNH CHẤT CỦA NGHIỆM TỐI ƯU CỦA BÀI TOÁN TỐI ƯU ĐA MỤCTIÊU

Mệnh đề 5.2.1 Cho λ ∈ Rplà vectơ dương λ > 0, khi đó mọi nghiệm tối ưu củabài toán một mục tiêu

(5.2) min{λTf(x) | x ∈ D}

Chứng minh Gọi x∗∈ arg min(5.2), giả sử x∗6∈ argMin(5.1) (tức là khôngphải là điểm hữu hiệu của f trên D), suy ra

Trang 15

TIÊU

Định lý 5.2.3 Giả sử (5.1) là bài toán quy hoạch lồi Khi đó với mọi u ∈argMin(5.1) đều tồn tại λ = (λ1, λ2, , λp) ≥ 0 sao cho u ∈ arg min của bài toánmin{λTf(x) | x ∈ D}

Chứng minh Đặt C := cov(K := {y ∈ Rp| y = f (x) − f (u), x ∈ D})1) Ta chứng minh C ∩ R−p = {0} Trước hết C 6= Ø vì {0} ∈ K (lấy x ≡ u) Lấybất kỳ y ∈ C, vì C là bao lồi của K nên tồn tại y1, y2∈ K : y = ty1+ (1 − t)y2, 0 ≤

t≤ 1 và tồn tại x1, x2∈ D

(5.3) yi= f (xi) − f (u), i = 1, 2

Lấy x = tx1+ (1 − t)x2 ⇒ x ∈ D (D lồi) Do f lồi và kết hợp với (5.3) có f (x) −f(u) ≤ t f (x1) + (1 −t) f (x2) − f (u) = t( f (x1) − f (u)) + (1 − t)( f (x2) − f (u)) = y1+(1 − t)y2= y, tức là f (x) − f (u) ≤ y

Giả sử y ∈ C ∩ R−p và y 6= 0, suy ra y ∈ R−p và y ≤ 0, y 6= 0, do đó f (x) − f (u) ≤ 0

và f (x) 6= f (u), nên u không phải là điểm hữu hiệu của f trên D, mâu thuẫn vớigiả thiết u là điểm hữu hiệu của f trên D

Trang 16

TIÊU

Định lý 5.2.3 Giả sử (5.1) là bài toán quy hoạch lồi Khi đó với mọi u ∈

argMin(5.1) đều tồn tại λ = (λ1, λ2, , λp) ≥ 0 sao cho u ∈ arg min của bài toán

min{λTf(x) | x ∈ D}

Chứng minh Đặt C := cov(K := {y ∈ R | y = f (x) − f (u), x ∈ D})1) Ta chứng minh C ∩ R−p = {0} Trước hết C 6= Ø vì {0} ∈ K (lấy x ≡ u) Lấybất kỳ y ∈ C, vì C là bao lồi của K nên tồn tại y1, y2∈ K : y = ty1+ (1 − t)y2, 0 ≤

(5.3) yi= f (xi) − f (u), i = 1, 2

Trang 17

TIÊU

Chứng minh Đặt C := cov(K := {y ∈ Rp| y = f (x) − f (u), x ∈ D})

1) Ta chứng minh C ∩ R−p = {0} Trước hết C 6= Ø vì {0} ∈ K (lấy x ≡ u) Lấy

bất kỳ y ∈ C, vì C là bao lồi của K nên tồn tại y1, y2∈ K : y = ty1+ (1 − t)y2, 0 ≤

(5.3) yi= f (xi) − f (u), i = 1, 2

Lấy x = tx + (1 − t)x ⇒ x ∈ D (D lồi) Do f lồi và kết hợp với (5.3) có f (x) −f(u) ≤ t f (x1) + (1 −t) f (x2) − f (u) = t( f (x1) − f (u)) + (1 − t)( f (x2) − f (u)) = y1+(1 − t)y2= y, tức là f (x) − f (u) ≤ y

Trang 18

TIÊU

1) Ta chứng minh C ∩ R−p = {0} Trước hết C 6= Ø vì {0} ∈ K (lấy x ≡ u) Lấy

bất kỳ y ∈ C, vì C là bao lồi của K nên tồn tại y1, y2∈ K : y = ty1+ (1 − t)y2, 0 ≤

(5.3) yi= f (xi) − f (u), i = 1, 2

Lấy x = tx1+ (1 − t)x2 ⇒ x ∈ D (D lồi) Do f lồi và kết hợp với (5.3) có f (x) −

f(u) ≤ t f (x1) + (1 −t) f (x2) − f (u) = t( f (x1) − f (u)) + (1 − t)( f (x2) − f (u)) = y1+

(1 − t)y2= y, tức là f (x) − f (u) ≤ y

Giả sử y ∈ C ∩ R−và y 6= 0, suy ra y ∈ R−và y ≤ 0, y 6= 0, do đó f (x) − f (u) ≤ 0

Trang 19

Định lý 5.2.3 Giả sử (5.1) là bài toán quy hoạch lồi Khi đó với mọi u ∈argMin(5.1) đều tồn tại λ = (λ1, λ2, , λp) ≥ 0 sao cho u ∈ arg min của bài toánmin{λTf(x) | x ∈ D}

1) Ta chứng minh C ∩ R−p = {0} Trước hết C 6= Ø vì {0} ∈ K (lấy x ≡ u) Lấybất kỳ y ∈ C, vì C là bao lồi của K nên tồn tại y1, y2∈ K : y = ty1+ (1 − t)y2, 0 ≤

(5.3) yi= f (xi) − f (u), i = 1, 2

Trang 20

Trang 21

Trang 22

2) Chứng minh u ∈ arg min{λTf(x) | x ∈ D} Do C lồi, R−p lồi và C ∩ R−p = {0},nên theo định lý tách ∃λ 6∈ 0 (λ = (λ1, λ2, , λp)) :

Trang 23

Định lý 5.2.4 Giả sử quy hoạch lồi (5.6) thỏa mãn điều kiện Slater Khi đó

x0là điểm hữu hiệu của (5.6) khi và chỉ khi ∃(u0, v0) ≥ 0 sao cho (u0, v0) là điểmyên ngựa của hàm

F(u0, x, v) := hu0, f (x)i + hv, g(x)itrên Rn× Rm

Chứng minh

(⇒) Giả sử x0 là điểm hữu hiệu của quy hoạch lồi (5.6).Theo định lí (5.1),

∃u0≥ 0 : x0∈ arg min{hu0, f (x)i | g(x) ≤ 0} áp dụng định lý điểm yên ngựa (định

lý 2.8) cho hàm Lagrange của bài toán này, suy ra ∃v0≥ 0 sao cho (x0, v0) làđiểm yên ngựa của hàm F(u0, x, v) := hu0, f (x)i + hv, g(x)i trên Rn× Rm

Trang 24

Chứng minh

Trang 25

x0là điểm hữu hiệu của (5.6) khi và chỉ khi ∃(u0, v0) ≥ 0 sao cho (u0, v0) là điểm

yên ngựa của hàm

Chứng minh

(⇒) Giả sử x là điểm hữu hiệu của quy hoạch lồi (5.6).Theo định lí (5.1),

Trang 26

Cho quy hoạch lồi

(5.6) Min f(x)x∈D={x∈Rn |g(x)≤0}

trong đó f : Rn→ Rp

, g : Rn→ Rmlồi

Chứng minh

Trang 27

TIÊU

Tức là

F(u0, x0, v) ≤ F(u0, x0, v0) ≤ F(u0, x, v0) ∀(x, v) ∈ Rn× Rm

⇐ x0, v0là điểm yên ngựa của F(u0, x, v) trên Rn× Rm Từ điều kiện Slater, lặplại chứng minh điểm yên ngựa (định lý 2.8), ta có u0> 0 Áp dụng định lý (5.7)với v = 0, ta có

hu0, f (x0)i ≤ hu0, f (x)i + hv, g(x)i = hu, f (x)i ∀x ∈ D

⇒ x0∈ arg min{hu0, f (x)i | ∀x ∈ D}

Do đo, theo mệnh đề 5.1, x0là điểm hữu hiệu của f trên D

Trang 28

Tức là

F(u0, x0, v) ≤ F(u0, x0, v0) ≤ F(u0, x, v0) ∀(x, v) ∈ Rn× Rm

⇐ x0, v0là điểm yên ngựa của F(u0, x, v) trên Rn× Rm Từ điều kiện Slater, lặplại chứng minh điểm yên ngựa (định lý 2.8), ta có u0> 0 Áp dụng định lý (5.7)với v = 0, ta có

hu0, f (x0)i ≤ hu0, f (x)i + hv, g(x)i = hu, f (x)i ∀x ∈ D

⇒ x0∈ arg min{hu0, f (x)i | ∀x ∈ D}

Do đo, theo mệnh đề 5.1, x0là điểm hữu hiệu của f trên D

Định dạng
Số trang	29
Dung lượng	366,28 KB