Bài Giảng Tạo Hình Bề Mặt

MA TRẬN VÀ CHUYỂN ĐỔI TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIANMA TRẬN VÀ ỨNG DỤNG TẠO HÌNH Những năm gần đây cùng với sự phát triển của tin học,công cụ toán học ngày càng được ứng dụng rộng rãi trong lĩn

Tài liệu tham khảo

1 Palei M.M Tekhnologia Proizvodstva Rejusevo Inxtrumenta, Moxkva - 1963.

2 Liusin; V.S Teoria Vintovưx Paverkhnostei I Proektirovanii Rejusik Inxtrumentov,

M Masgiz – 1968.

3 Lei Shi; En Fu Liu; Yi Zhang; Peng Chen; Zong Bin Li:

The simulation of cutting force of free-form surface machining with ball-end milling cutter.

Industrial Engineering and Engineering Management, 2009 IEEM 2009 IEEE

International Conference 8-11 Dec 2009.

4 C F Cheung, L B Kong, W B Lee, S To

Modelling and simulation of freeform surface generation in ultra-precision raster milling Department of Industrial and Systems Engineering, The Hong Kong Polytechnic

University, Hong Kong, People's Republic of China

5 Bram de Smit, Adrie Kooijman, Johan J Broek, Imre Horváth:

Developing a Tool for the Direct Cutting of Freeform Surfaces out of Extruded

Polystyrene Foam.

Faculty of Design Engineering and Production, Delft University of Technology

Landbergstraat 15, 2628 CE, Delft, The Netherlands.

6 N.E Kotsin

Phép tính vectơ và mở đầu phép tính tenxơ (người dịch: Đặng Hân)

Nhà xuất bản Khoa học và Kỹ thuật, Hà Nội 1976

7 Rodin, P.R

Oxnovư Formoobrazovania Paverkhnostei Rezaniem

Kiev – Visa Skola – 1977

8 Yaman Boz, Onur Demir, and Ismail Lazoglu:

Model Based Feedrate Scheduling for Free-Form Surface Machining

Mechanical Engineering Department, Manufacturing and Automation Research Center, Koc University, Sariyer, Istanbul 34450, Turkey

9 Lasnieb, S.I

Formoobrazovania Zubtrsatưc Detalei Retsnưmi I Tserviatsnưmi Intrumentami, N.i.i Mas – 1979

10 Rodin, P.R Technologia Izgotovlenia Zuborenovo Instrumenta, Kiev – 1982

11 Trần Thế Lục, Trịnh Minh Tứ, Bành Tiến Long

Thiết kế dụng cụ gia công bánh răng

Nhà xuất bản Khoa học và Kỹ thuật – 1987

12 Weiner k., Albersmann F und Guntermann G Werkzeug – Formen und Modelban Reute 3D Erfrhrungsforum

Werkzeug-und Formenban 25/26 Febrnar - 1999.

13 Degner W ; Lutze H.; Smejkal E

Spanende Formung Carl-Hanser Verlag Munschen-Wien - 2000.

14 Bành Tiến Long, Trần Thế Lục, Trần Sỹ Tuý

Nguyên lý gia công vật liệu

Nhà xuất bản Khoa học và Kỹ thuật – 2001.

15 Nguyễn Đắc Lộc, Lê Văn Tiến, v…v.

Sổ tay công nghệ chế tạo máy (trọn bộ 3 tập),

Nhà xuất bản Khoa học và Kỹ thuật 2003.

16 Liqiang Zhang, Jingchun Feng, Yuhan Wang and Ming Chen:

KeywordsFeedrate scheduling strategy for free-form surface machining through an integrated geometric and mechanistic model The International Journal of Advanced Manufacturing Technology, 2003, Volume 22, Numbers 11-12, Pages 873-882

17 Liqiang Zhang

Process modeling and toolpath optimization for five-axis ball-end milling

based on tool motion analysis

The International Journal of Advanced Manufacturing Technology, Online

First™, 3 May 2011

18 Mustafa Kurt and Eyup Bagci

Feedrate optimisation/scheduling on sculptured surface machining: a

comprehensive review, applications and future directions

The International Journal of Advanced Manufacturing Technology, 2011,

Volume 55, Numbers 9-12, Pages 1037-1067

19 Yuwen Sun, Daidi Li, Fei Ren and Dongming Guo:

Predictive Force Model Based Variable Feedrate Scheduling for

High-Efficiency NC Machining

Lecture Notes in Computer Science, 2008, Volume 5315, Intelligent

Robotics and Applications, Pages 1076-1085

20 K V R Subrahmanyam, Wong Yoke San, Hong Geok Soon and

Huang Sheng:

Cutting force prediction for ball nose milling of inclined surface

The International Journal of Advanced Manufacturing Technology,

2010, Volume 48, Numbers 1-4, Pages 23-32

21 Yong Huang and StevenY Liang

Force modelling in shallow cuts with large negative rake angle and

large nose radius tools—application to hard turning

The International Journal of Advanced Manufacturing Technology,

2003, Volume 22, Numbers 9-10, Pages 626-632

22 Yong Huang and StevenY Liang

Journal ArticleForce modelling in shallow cuts with large negative

rake angle and large nose radius tools—application to hard turningYong Huang

23 K P Karunakaran, Rohitashwa Shringi, Deepak Ramamurthi and C

Hariharan:

Octree-based NC simulation system for optimization of feed rate in milling

using instantaneous force model

The International Journal of Advanced Manufacturing Technology, 2010,

Volume 46, Numbers 5-8, Pages 465-490

24 Zhao-cheng Wei, Min-jie Wang and Xian-guo Han

Cutting forces prediction in generalized pocket machining

The International Journal of Advanced Manufacturing Technology, 2010,

Volume 50, Numbers 5-8, Pages 449-458

25 O B Adetoro and P H Wen

Prediction of mechanistic cutting force coefficients using ALE formulation The International Journal of Advanced Manufacturing Technology, 2010,

Volume 46, Numbers 1-4, Pages 79-90

26.Feedrate scheduling strategy for free-form surface machining through an integrated geometric and mechanistic model

Liqiang Zhang & Jingchun Feng & Yuhan Wang & Ming Chen

27 Machining Free-Form Surface Cavities Using a Combination of Traditional and Non-Traditional Multi-Axis Machining Methods

C G Jensen¹, W E Red² and C Ernst³

28 Model Based Feedrate Scheduling for Free-Form Surface Machining

Yaman Boz, Onur Demir, and Ismail Lazoglu

Mechanical Engineering Department, Manufacturing and Automation Research Center, Koc University

MA TRẬN VÀ CHUYỂN ĐỔI TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

MA TRẬN VÀ ỨNG DỤNG TẠO HÌNH

Những năm gần đây cùng với sự phát triển của tin học,công cụ toán học ngày càng được ứng dụng rộng rãi trong lĩnh vực khoa học kỹ thuật,Ví dụ: toán tenxơ, phương pháp số, phương pháp phần tử hữu hạn … Khi giải các bài toán tạo hình ngoài công cụ toán học tenxơ ,phương pháp số mà sau này ta sẽ đề cập ,phương pháp khá phổ biến là sử dụng ma trận Để chuyển đổi hệ toạ độ không gian, toạ độ phẳng thì chúng ta sử dụng ma trận bậc bốn hoặc bậc ba.Để có cở sở áp dụng, ở đây sẽ ôn lại một số khái niện cơ bản và phép tính ma trận

a11 ,a12, , a1n a21,a22,….,a2n A= …………

……….

am1,am2,….,amn

I. Những khái niện và định nghĩa cơ bản.

Sơ đồ:

Phần tử nằm ở i- hàng ,j- cột ký hiệu là aij chỉ số thứ nhất gọi là hàng chỉ số thứ hai gọi là cột

Ta có thể ký hiệu ngắn ngọn như sau:

A = aij , (aij), { aij}

Ma trận lập bởi m phần tử phân bố trong cột gọi là ma trận cột.Ví dụ:

x

r = y

z

r là ma trận cột của bán kính véc tơ r

Định nghĩa 1: sô hàng tuyến tính không phụ thuộc lớn nhất của ma trận gọi là số hạng của ma trận.

Định nghĩa 2: Ma trận A có hạng là h nếu nó tồn tại h hàng tuyến tính không phụ thuộc, tuy nhiên h+1 , h+2 … Hàng tuyến tính

Định nghĩa 3: Hai ma trận A,B có cùng số cột gọi là tương đương nếu chúng có cùng hàng.Ta viết A

B

Tiên đề 3: Ta có ma trận ta hãy tạo ma trận B bằng cách biến đổi sau đây:

• Viết các hàng của ma trận A theo thứ tự khác nhau.

• Nhân một hàng nào đó của ma trận A với một số k #0

• Thêm vào ma trân A vào một hàng là tổ hợp tuyến tính của các hàng khác

• Viết cột ma trận A theo thứ tự khác

• Loại trừ ma trận A một hàng tuyến tính của hàng khác.

• Cộng với một hàng nào đó của ma trận A tuyến tính tổ hợp của các hàng khác

Thì ma trận A và B tương đương nhau A

B.

Các yếu tố a11,a22, ….amm của ma trận A tạo đường chéo chính.

Ma trận có các phân tử của đường chéo chính luôn luôn bằng 1,các phần tử còn lại bằng 0 gọi là ma trận đơn vị.

Ma trận có tất cả các phần tử bằng không gọi là ma trận không.

Ma trận chuyển vị của ma trận A khi chuyển hàng thành cột và cột thành hàng.

Các phép tính cơ bản của ma trận:

a Hai ma trận bằng nhau :A = B khi aij = bij

b Tổng của hai ma trận A + B + C khi các phần tử tương ứng của

Ví dụ:

A= B=

C11= 2.3+5.(-4)+7.2=0 C12= 2.2+5.0 +7.11=81 C22= (-1).2+0.0+4.11=42

C =

cij = ai1.b1j+ai2.b2j+ai3.b3j Tất nhiên tích A.B

B.A ≠ BA A.E=E.A=A

A=

D= - 4

1.5 Ví dụ ứng dụng giải hệ phương trình tuyến tính

A=

x1

X = x2

…

x3

b1

B = b2 …

b3

Hệ phương trình trên ta có thể viết:

A.X= B (1.5)

a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 + …+ a1n xn

a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 + …+ a2n xn (1.6) A.X =

AK = B (1.8)

Nhân A-1 với hai vế:

A-1 (AK) = A-1 B

• PHƯƠNG PHÁP CHUYỂN ĐỔI TOẠ ĐỘ TRONG TẠO HÌNH

Cho hai hệ toạ độ S1 ( x1 , y1 , z1 ) và S2 ( x2 , y2 , z2 ) với các góc độ là 01,02 Khi biết:

• Góc của các trục toạ độ tương ứng của hệ

02

Hình 1

Theo hình học giải tích thì toạ độ x1 , y1 , z1 được xác định như sau:

x2 = a11 x1+ a12 y1+a13 z1+a

x2 = a21 x1+ a22 y1+a23 z1+b

x2 = a31 x1+ a32 y1+a33 z1+c

trong đó các hệ số aij là các cosin chỉ phương giữa trục x1 , y1 , z1 và x2 , y2 , z1

Điểm A biểu diễn véc tơ trong hai hệ bằng ma trận cột.

x1

r1 = 0A = y1 (1.10) z1

1

x2

r2 = 02A = y2 (1.11 )

z2

1

Khi đó công thức chuyển đổi ma trận có thể viết :

r2 = M21 r1 ( 1.12)

a11 a12 a13 a a21 a22 a23 b (1.13) M21= a31 a32 a33 c

0 0 0 1

Chỉ số “21” trong ký hiệu ma trận M21 cho biết đó là ma trận chuyển từ S1 sang s2

M21 = aij i,j = 1,2,3, 4 (1.14)

Ba phần tử đầu của ba dòng đầu cẩu ma trận M21 là cosin chỉ phương giữa trục thứ I với trục thứ j cũ Còn dòng thứ 4 của ba dòng đầu của ma trận là toa độ 01 trong hệ s2

a14= a a24= b ; a34= c dòng cuối luôn luôn gắn với các phần tử a41= a42 = a43 = 0 ; a44 = 1

ví dụ ứng dụng: trong tạo hình khi xác định prôfin của bề mặt khởi thuỷ hoặc xác định đường ăn khớp

của các đối động học , cần chuyển đổi hệ toạ độ của 1 điểm.

Nếu bánh răng 1 của hệ truyền động phẳng gắn chặt với hệ thống x1,y1.Sau khi ăn khớp gắn gốc tọa độ của hệ thống không chuyển động x,y là 0.Vị trí của hệ chuyển động x1,y1 so với hệ y không chuyển động đặc trưng bởi góc quay φ1 và khoảng cách trục r1=001 cho tọa độ điểm M.Ta cầm xác định tọa độ của điểm này trong hệ x,y.

Dĩ nhiên bằng giải tích ta tìm được ngay:

' 1

1

x x

t

=

' 1 '

x x

t

'

y y

Tiếp đến ta có điều kiện t’1=t=1

Vị trí điểm M trong hệ tọa độ tương thích bây giờ có thể viết:

1 1

x y z

Hay

là bán kính véc tơ của điểm M trong hệ x,y

là bán kính véc tơ của điểm M trong hệ x1,y1 Cần lưu ý phải nằm bên phải của ma trận

=

véc tơ ma trận (1.22)

cos sin 0 sin cos

Trong hàng thứ hai của ma trận Φ1

A21 = cos(y,x1)= cos (90 o - φ 1) = sin φ1 (1.28)

A22 = cos(y,y1) = cos φ1 (1.29)

1 1

Hàng thứ ba của ma trận luôn luôn 0,0,1

Khi chuyển đổi ngược lại thì ta phải tìm ma trận

để chuyển từ hệ trục x,y sang hệ trục mới x1,y1

Ma trận nghịch đảo có thể tìm một cách dễ dàng từ hệ x,y sang hệ x1,y1

1

Φ

1 1 1 1

1 1 1 1

cos sin sin -sin cos cos

0 0 1

r r

D11= cos φ1 ; D12= -sin φ1 ; D13= 0 D21= sin φ1 ; D12= cos φ1 ; D23= 0 D31= r1 sin φ1 ; D32= -r1cos φ1 ; D33= 1

N

1 1

x y z

N N N

N N N

Ma trận này được xác lập bắng cosin của các góc giữa các trục toạ độ tương ứng Ma trận này nhận được từ ma trận M21 bằng cách bỏ dòng 4 và cột 4 đi.

Ma trận bậc 3 cũng được dung để biến đổi toạ độ điểm A khi toạ độ 01 và 02 luôn luôn trùng nhau , tức là a=b=c=0

Khi biến đổi hệ toạ độ phẳng thì cột 3 và dòng 3 bị mất đi Dùng công thức trên để biến đổi hệ toạ độ thì rất nhanh và có thể biến đổi tiếp từ hệ s2 sang hệ sd

rd = Md2.r2 (1.36)

phối hợp lại ta có thể viết:

Phần tử b23 của ma trận M12 phù hợp với quy tắc chung và bằng cosin của góc giữa trục thứ hai của hệ mới là s1 còn hệ cũ là s2 Do đó b23 là cosin góc giữa trục y1 và z2.Trong ma trận M21 thì cosin này là phần tử a32 và do đó b23 =a23.

Tổng quát bij = aij (i,j =1,2,3)

Ví dụ ứng dụng:

• Trường hợp hai bắnh răng ăn khớp với nhau.

• Trường hợp dao xọc ăn khớp với bắnh răng.

Chuyển đổi hệ toạ độ tù x,y sang x2,y2 có thể biểu diễn bằng phương trình ma trận:

x

= y

z (1.43)

1 0

0

sin cos

sin

sin sin

cos

2

n n

n n

r

r

ϕ ϕ

ϕ

ϕ ϕ

φ ρ

ρ φ φ ρ

1 2 1 2

2

2 2 0

φ

1 0

0

cos sin

0 sin

cos

11

1

11

ϕ

ϕ φ

0

sin cos

sin

sin sin

cos

2 2

2 2

2 2

2

ϕ ϕ

ϕ

ϕ ϕ

0

cos sin

0 sin

cos

1 1

1

1 1

r

ϕ ϕ

ϕ

ϕ −

1 0

0

sin )

cos(

) sin(

sin )

sin(

) cos(

2 2

1 2

1

2 2

1 2

1

ϕ ϕ

ϕ ϕ

ϕ

ϕ ϕ

ϕ ϕ

ϕ

A

A

− +

+

+

− +

(1.48)

=

2 1 2

1 r o o

0 33

2

cos

) 2 1

( 2

cos 2

cos 2

2

cos 1

13

) 2 1

cos(

1

cos 2

cos 1

sin 2

sin 22

) 2 1

sin(

2

cos 1

sin 1

cos 2

sin 21

2

sin 2

sin

) 2 1

( 2

sin 2

2

sin 1

13

) 2 1

sin(

1

cos 2

sin 1

sin 2

cos 12

) 2 1

cos(

1

sin 2

sin 1

cos 2

cos 11

=

= +

r r

r a

a

a

A r

r r

r a

a

a

ϕ ϕ

ϕ ϕ

ϕ ϕ

ϕ ϕ

ϕ ϕ

ϕ ϕ

ϕ ϕ

ϕ ϕ

ϕ ϕ

ϕ ϕ

ϕ ϕ

ϕ ϕ

ϕ ϕ

ϕ ϕ

ϕ ϕ

ϕ ϕ

Trong đó :A=

Chứng minh:

1 1

0

cos

) 2 1

cos(

) 2 1

sin

) 2 1

sin(

) 2 1

x A

A z

y

x

ϕ ϕ

ϕ ϕ

ϕ

ϕ ϕ

ϕ ϕ

ϕ

− +

1

2

cos

) 2 1

cos(

) 2 1

sin(

1 2

2

sin

) 2 1

sin(

1

) 2 1

cos(

1 2

=

=

− +

+ +

=

+ +

− +

=

t

t

A x

y

A y

x

x

ϕ ϕ

ϕ ϕ

ϕ

ϕ ϕ

ϕ ϕ

được gắn vào thang răng

(dao phay lăn răng).

Ở đây ta phải khảo sát hai trường hợp:

1 0

0

cos sin

sin cos

2 2

2

2 2 2

1

2 2

cos 2

2

sin 2

1

2 2 2

sin 2

2

cos 2

t

t

r y

x n

y

y

r y

x n

x

x

ϕ ϕ

ϕ ϕ

2

cos 2

2

sin 2

1

2

sin 2

2

cos 2

y x

n y y

y x

n x x

ϕ ϕ

ϕ ϕ

S  2 = − 1

Để chuyển đổi từ

sang hệ cố định x ,y thì ta phải dời

=0 Do đó:

−

U

1 0

0

) 2

sin 2

(cos 2

2

cos 2

sin

) 2

cos 2 2

(sin 2 2

sin 2

cos

ϕ ϕ

ϕ ϕ

1

2 cos ) 2 1

( 2 sin ) 1

(

2

2 sin ) 2 1

( 2 cos ) 1

−

−

=

+ +

a x

y

r y

a x

x

ϕ ϕ

ϕ ϕ

n

y

y n

Động học gia công và động học tạo hình bề mặt chi tiết

Định nghĩa.

• Tạo hình Là một quá trình hình thành bề mặt thực của những cặp đối tượng có mối quan hệ ràng buộc hay tự do và dựa trên dữ liệu đầu vào của đối tượng này sẽ tìm ra được dữ liệu đầu ra của đối tượng kia Thường đó là các bề mặt khởi thủy để xác định profile lưỡi cắt.

• Trong cơ khí tạo hình tồn taijoer nhưng cặp đối tượng như:Dụng cụ -chi tiết gia công;bánh răng –thanh râng ;bánh vít-trục vít hay bất kỳ một cặp động học nào.

• Mối quan hệ động học ràng buộc hay tự do quyết định sơ đồ động học trong quá trình gia công hay sơ đồ động học tạo hình Động học gia công dùng sơ đồ động học để nghiên cứu chuyển động của dụng cụ và chi tiết trong mạch tạo hình.

§uêng sinh (®uêng th¼ng)

ω

r O

Đường sinh thẳng song song với trục và quay quanh trục

Đường sinh tròn bán kính r trong mặt phẳng vuông góc với trục và chuyển động tịnh tiến song

Một bề mặt trụ được hình thành do một đường sinh thẳng chuyển động quay quanh một trục song song với nó (hình 1.1a), hoặc

có thể do một vòng tròn nằm trong mặt phẳng vuông góc với trục qua tâm vòng tròn và chuyển động tịnh tiến dọc trục tâm tạo thành (hình 1.1b).

Một mặt phẳng do một đường sinh thẳng chuyển động tịnh tiến song song với nó dựa trên một đường dẫn là đường thẳng (hình 1.1c).

Một mặt xoắn vít do một đường sinh chuyển động xoắn vít (quay tròn và tịnh tiến) tạo thành, v v

Trong quá trình tạo hình, dựa vào động học hình thành các bề mặt, các lưỡi cắt của dụng cụ thường được chọn làm đường sinh

để tạo hình bề mặt cần thiết cho trước