Đề cương ôn tập môn toán lớp 8 (41)

Phương trình một ẩn x có dạng Ax = Bx trong đó vế trái Ax và vế phải Bx là hai biểu thức có cùng một biến x, x gọi là ẩn của phương trình.. - Tập hợp tất cả các nghiệm của một phương trì

ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP HKII MÔN TOÁN LỚP 8

NĂM HỌC 2013-2014 TRƯỜNG THCS THỊ TRẤN CHÂU THÀNH

Chương III: PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN

Bài 1: MỞ ĐẦU VỀ PHƯƠNG TRÌNH

* Các khái niệm:

1 Phương trình một ẩn x có dạng A(x) = B(x) trong đó vế trái A(x) và vế phải B(x)

là hai biểu thức có cùng một biến x, x gọi là ẩn của phương trình

VD: 2x +1 = x – 5 là phương trình với ẩn x

2t – 5 = 3(4 – t) – 7 là phương trình với ẩn t

2 Nếu với x = a mà ta có A(a) = B(a) thì a gọi là một nghiệm của phương trình

A(x) = B(x)

VD: x = -6 là nghiệm của phương trình 2x +1 = x – 5

vì với x = -6 thì 2(-6) +1 = -6 -5 (= -11)

Bài tập 1:

1.1/ Trong các số -2; -1,5; -1; 0,5; 23; 2; 3, số nào là nghiệm của mỗi phương trình sau đây:

a/ y 2 - 3 = 2y b/ t + 3 = 4 – t c/ 3 4 1 0

2

x 

 

1.2/ Với mỗi phương trình sau, hãy xét xem x = -1 có là nghiệm của nó không:

a/ 4x – 1 = 3x -2; b/ x +1 = 2(x -3); c/ 2(x +1) +3 = 2 – x.

3 Một phương trình có thể có 1 nghiệm, 2 nghiệm, ….hoặc vô số nghiệm, hoặc không có nghiệm nào

- Tập hợp tất cả các nghiệm của một phương trình gọi là tập nghiệm của phương

trình và thường được kí hiệu là chữ S

4 Giải phương trình là tìm tập nghiệm S của phương trình đã cho.

5 Hai phương trình có cùng một tập nghiệm gọi là hai phương trình tương đương.

6 Hai quy tắc biến đổi phương trình:

+ Quy tắc chuyển vế: Trong một phương trình, ta có thể chuyển một hạng tử từ

vế này sang vế kia và đổi dấu hạng tử đó, khi đó ta được một phương trình mới tương

đương với phương trình đã cho

+ Quy tắc nhân( hoặc chia) với một số: Trong một phương trình, ta có thể nhân

(hoặc chia) cả hai vế của nó với cùng một số khác 0, khi đó ta được một phương trình

mới tương đương với phương trình đã cho

Bài 2: PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN

1.Định nghĩa: Phương trình dạng ax + b = 0, với a, b là hai số đã cho và a 0 được

gọi là phương trình bậc nhất một ẩn.

VD: 5x +3 = 0 là phương trình bậc nhất với ẩn x với a = 5, b = 3

6 – 3t = 0 là phương trình bậc nhất với ẩn t với a = -3, b = 6

0x +7 = 0 không phải là phương trình bậc nhất với ẩn x

2 Cách giải phương trình : ax + b = 0 (a 0)

Ta có: ax + b = 0 (a 0)

 ax = - b

 x =  b a

Vậy: Phương trình trên có một nghiệm duy nhất là: x =  b a

VD: Giải phương trình:

a/ 5x +3 = 0

b/ 6 – 3t = 0

Giaỉ: a/ 5x +3 = 0 b/ 6 – 3t = 0

 5x = -3  6 = 3t

 x = 3

5

  t = 6 2

3 Vậy x =  53 là nghiệm của PT đã cho Vậy t = 2 là nghiệm của PT đã cho

Bài tập 2 : Giải các phương trình sau:

a/ 7x + 21 = 0 b/ 5x – 2 = 0

c/ 12 – 6x = 0 d/ -2x + 14 = 0

e/ 3x +1 = 7x – 11 g/ 5 – 3x = 6x +7

h/ 11 – 2x = x -1 k/ 15 – 8x = 9 - 5x

Bài 3: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯA ĐƯỢC VỀ DẠNG ax + b = 0

* Các bước chủ yếu để giải phương trình:

B1: Thực hiện các phép tính để bỏ dấu ngoặc hoặc quy đồng mẫu để khử mẫu

B2: Chuyển các hạng tử chứa ẩn sang một vế, các hằng số sang vế kia

B3: Thu gọn và giải phương trình nhận được

VD1: Giải phương trình: 2x – (3 -5x) = 4(x +3)

Ta có: 2x – (3 -5x) = 4(x +3)

 2x – 3 +5x = 4x +12

2x +5x -4x = 12 +3

3x = 15

 x = 5

Vậy x = 5 là nghiệm của phương trình trên

VD2: Giải phương trình: 5 2 1 5 3

x

  

Ta có: 5 2 1 5 3

x

  

 2(5 2) 6 6 3(5 3 )

x  x   x

  10x – 4 + 6x = 6 +15 – 9x

 10x + 6x +9x = 6 + 15 +4

 25x = 25

 x = 1

Vậy: x = 1 là nghiệm của phương trình trên

Bài tập 3: Giải các phương trình sau:

a/ 1,2 – (x – 0,8) = -2(0,9 + x ) b/ 23x – 2(7 + 20x) = 36 -17x

c/ 3(22 – 30x) = 26 + (10x – 40) d/ 3 6 1 2

x  x

 

e/ 3 2 5 3 2( 7)

x  x

 

Bài 4 PHƯƠNG TRÌNH TÍCH

1 Định nghĩa: Phương trình tích là phương trình có dạng: A(x).B(x) = 0, trong đó A(x),

B(x) là hai đa thức chứa biến x

VD: (3x + 4).(6-5x) = 0;

x.(x +3).(2x-4) = 0;

là các phương trình tích

2 Cách giải: A(x).B(x) = 0  A(x) = 0 hoặc B(x) = 0

VD: Giaỉ các phương trình:

a/ (3x + 4).(6-5x) = 0;

b/ x (x +3) (2x-4) = 0

Giaỉ: a/ (3x + 4).(6-5x) = 0 3x +4 = 0 hoặc 6 – 5x = 0

 x = 4

3

 hoặc x = 6

5 Vậy tập nghiệm của phương trình là: S = 4 6;

3 5



b/ x (x +3) (2x-4) = 0  x = 0 hoặc x +3 = 0 hoặc 2x -4 = 0

 x = 0 hoặc x = -3 hoặc x = 2

Vậy tập nghiệm của phương trình là: S =  3;0; 2

Bài tập 4: Giải các phương trình sau:

a/ ( 4x – 10).(24 + 5x) = 0 b/ (3,5 – 7x) (0,1x +2,3) = 0

c/ (x – 1).(5x +3) = (3x -8) d/ 2x (x -3) + 5(x -3) = 0

e/ 3(x -2) + (x 2 -4) = 0

Bài 5: PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN Ở MẪU

+ Điều kiện xác định của B x A x( )( )là B(x)0

+ Cách giải:

B1: Tìm điều kiện xác định (ĐKXĐ) của phương trình

B2: Quy đồng mẫu hai vế của phương trình rồi khử mẫu

B3: Giaỉ phương trình vừa tìm được

B4: Trong các giá trị tìm được của ẩn ở bước 3, các giá trị thỏa mãn ĐKXĐ chính là nghiệm của phương trình đã cho

VD : Giaỉ phương trình: 2 1 2

x

x  x Giaỉ:

Ta có: 2 3

x x (1) ĐKXĐ: x 1; x -2

(1) => 2(x +2) = 3(x-1)

 2x + 4 = 3x - 3

 4 +3 = 3x – 2x

 7 = x

 x = 7 ( tmĐKXĐ)

Vậy tập nghiệm của phương trình (1) là: S =  7

Bài tập 5: Giải các phương trình sau:

a/ 2x x11 5( x x11)

  b/(x 1)(3x 2) ( x 3)(2x 1)(x 2)(1x 3)

c/ 2 1 1 1

x

x x



 

  c/ 2 5 3

5

x x







Bài 6: GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH

*Cách giải:

B1: Lập phương trình

- Chọn một đại lượng chưa biết làm ẩn số, đặt đơn vị và điều kiện thích hợp cho ẩn

số

- Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn số và các đại lượng đã biết.

- Lập phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng.

B2: Giải phương trình.

B3: Trả lời: Kiểm tra xem trong các nghiệm của phương trình, nghiệm nào thỏa mãn điều

kiện của ẩn, nghiệm nào không rồi kết luận

VD: Mẫu của một phân số lớn hơn tử số của nó là 3 đơn vị Nếu tăng cả tử và mẫu của nó thêm hai đơn vị thì được phân số mới bằng 1

2 Tìm phân số ban đầu Giaỉ:

Gọi mẫu số là x ( ĐK: x nguyên, khác 0)

Tử số là: x – 3

Khi đó: Phân số ban đầu có dạng: xx3

Nếu tăng cả tử và mẫu của phân số ban đầu thêm 2 đơn vị thì

phân số mới là: xx3 22 x x12

Ta có phương trình: 1 1

2 2

x x





 => 2x -2 = x +2

 2x - x = 2 + 2

 x = 4 (TMĐK)

Vậy: Phân số ban đầu là 3 4 3 1

4 4

x x

Bài tập 7: Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình.

7.1/ Tổng của hai số bằng 80, hiệu của chúng bằng 14 Tìm hai số đó.

7.2/ Năm nay, tuổi mẹ gấp 3 lần tuổi Phương Phương tính rằng 13 năm nữa tuổi mẹ chỉ còn gấp hai lần tuổi Phương thôi Hỏi năm nay Phương bao nhiêu tuổi?

Chương IV: BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN.

………

Bài 1: LIÊN HỆ GIỮA THỨ TỰ VÀ PHÉP CỘNG.

Tính chất: với ba số a,b, c Ta có:

a < b thì a +c < b +c ;

a > b thì a +c > b +c ;

a  b thì a +c  b +c ;

a  b thì a +c  b +c ;

VD: a/ Cho a < b, hãy so sánh: a +3 và b +3

b/ So sánh a và b nếu: a +7 > b +7

Giải:

a/ Ta có: a < b

Cộng 3 vào cả hai vế của bất đẳng thức a < b, ta được: a +3 < b +3

b/ Ta có: a +7 > b +7

Cộng (-7) vào cả hai vế của bất đẳng thức: a +7 > b +7 ,ta được:

a +7 + (-7) > b +7 + (-7) hay: a > b

Bài tập 8:

1.1 Cho m < n, hãy so sánh:

a/ m +1 và n +1 b/ m-2 và n -2

1.2 So sánh a và b nếu:

a/ a - 4 b – 4 b/ 12 +a  13 + b

Bài 2: LIÊN HỆ GIỮA THỨ TỰ VÀ PHÉP NHÂN.

Tính chất: với ba số a,b, c mà c > 0 Ta có:

a < b thì a c < b c ;

a > b thì a c > b c ;

a  b thì a c  b c ;

a  b thì a c  b c

VD: a/ Cho a < b, hãy so sánh: 3a và 3b

b/ So sánh a và b nếu: 2a > 2b.

Giải: a/ Ta có: a < b Nhân 3 vào cả hai vế của bđt a < b, ta được: 3a < 3b b/ Ta có: 2a > 2b Nhân 12 vào cả hai vế của bđt 2a > 2b, ta được:

2a 12 > 2b 12 hay a > b.

*Tính chất: với ba số a,b, c mà c < 0 Ta có:

a < b thì a c > b c ;

a > b thì a c < b c ;

a  b thì a c  b c ;

a  b thì a c  b c

VD: a/ Cho a < b, hãy so sánh: -a và –b

b/ So sánh a và b nếu: -2a > -2b.

Giaỉ: a/ Ta có: a < b Nhân (-1) vào cả hai vế của bđt a < b, ta được: -a > -b

b/ Ta có: -2a > -2b Nhân  12

  vào cả hai vế của bđt -2a > -2b, ta được:

2a  12

  < 2b  12

  hay a < b.

Bài tập 9:

9.1 Cho a > b Chứng minh:

a/ 3a + 1 > 3b +1; b/ -2a -5 < -2b -5

9.2 So sánh a và b nếu:

a/ a +5 < b +5 b/ - 3a > -3b

c/ 5a -6  5b -6 d/ -2a + 3  -2a +3

*Tính chất bắc cầu: a < b và b < c thì a < c.

Bài 3: BẤT PHƯƠNG TRÌNH MỘT ẨN.

1 VD: 2x +1 > x – 5 là bất phương trình với ẩn x.

2t – 5 < 3(4 – t) – 7 là bất phương trình với ẩn t

2 Nếu thay x = a vào bất phương trình mà ta có bất đẳng thức đúng thì ta gọi a là

một nghiệm của bất phương trình.

-Tập hợp tất cả các nghiệm của bất phương trình được gọi là tập nghiệm của bất

phương trình đó

VD: Kiểm tra xem giá trị x = 3 là nghiệm của bất phương trình nào trong các bất

phương trình sau:

a/ 2x + 3 < 9 b/ - 4x > 2x +5 c/ 5 – x > 3x -12

Giaỉ: a/ Thay x = 3 vào hai vế của BPT 2x + 3 < 9 ta được: 2.3 + 3 < 9 hay 9 < 9 là khẳng định sai Vậy x = 3 không phải là nghiệm của BPT

b/ Thay x = 3 vào hai vế của BPT – 4x > 2x +5 ta được: - 4.(3) > 2.(3) +5 hay -12 >

11 là khẳng định sai Vậy x = 3 không phải là nghiệm của BPT

c/ Thay x = 3 vào hai vế của BPT 5- x > 3x - 12 ta được: 5 - 3 > 3.(3) -12 hay 2 > -6

là khẳng định đúng Vậy x = 3 là nghiệm của BPT

Bài tập 10:

Kiểm tra xem các giá trị sau của x giá trị nào là nghiệm của bất phương trình

x 2 -2x < 3x hay không:

a/ x = 2 b/ x = 1 c/ x = -3 d/ x = 4

3 Giải bất phương trình là tìm tập nghiệm của bất phương trình đó.

4 Hai bất phương trình có cùng một tập nghiệm gọi là hai bất phương trình tương đương.

5 Hai quy tắc biến đổi bất phương trình:

+ Quy tắc chuyển vế: Khi chuyển một hạng tử của bất phương trình từ vế này

sang vế kia ta phải đổi dấu hạng tử đó

+ Quy tắc nhân với một số: Khi nhân hai vế của bất phương trình với cùng một

số khác 0, ta phải:

- Giữ nguyên chiều bất phương trình nếu số đó dương.

- Đổi chiều bất phương trình nếu số đó âm.

Bài 4: BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN.

1.Định nghĩa: Bất phương trình dạng ax + b < 0, (hoặc ax + b > 0, ax + b  0, ax + b  0 ) trong đó a và b là hai số đã cho và a 0 được gọi là bất phương trình bậc nhất một ẩn.

2 Cách giải bất phương trình dạng ax + b < 0 (a 0)

Ta có: ax + b < 0 (a 0)

 ax < - b

+ Nếu a > 0 thì bất phương trình có nghiệm là: x b

a

 

+ Nếu a < 0 thì bất phương trình có nghiệm là: x b

a

 

Bài tập 11:

11.1/ Giải các bất phương trình và biểu diễn tập nghiệm trên trục số:

a/ 2x – 3 > 0 b/ 3x +4 < 0

c/ 4 – 3x  0 d/ 5 – 2x  0

e/ 2x – 1 > 5 g/ 3x – 2  4

h/ 3x + 4 > 2x + 3 i/ 2 6

3x  

k/ 5 1 2

3x

  l/ 23x3 25 x

11.2/ Tìm x sao cho:

a/ Gía trị của của biểu thức 2x – 5 không âm.

b/ Gía trị của biểu thức -3x không lớn hơn giá trị của biểu thức -7x +5

Bài 5: PHƯƠNG TRÌNH CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI.

Ta có: A = A nếu A 0 và A = - A nếu A < 0

VD: Giaỉ phương trình: 2x  x 6 (1)

Giaỉ: PT: 2x  x 6 (1)

Ta có: 2x  2x khi 2x 0 hay x 0

2x  2x khi 2x < 0 hay x < 0

Ta giải hai phương trình:

1/ 2x = x – 6 (ĐK: x 0)

Ta có: 2x = x – 6

 2x – x = -6

 x = - 6 ( không TMĐK)

=> x = -6 không là nghiệm của PT (1)

2/ -2x = x – 6 (ĐK: x < 0)

Ta có: -2x = x – 6

 -2x – x = -6

 -3x = - 6

 x = 2 ( không TMĐK)

= > x = 2 không là nghiệm của PT (1)

Vậy PT (1) vô nghiệm

Bài tập 12: Giải các PT sau: a/ x  2x 1 b/ x 4  2x 5

HÌNH HỌC

1 Đoạn thẳng tỉ lệ :

a) Định nghĩa :

AB, CD tỉ lệ với A’B’, C’D’  CD ABC A''D B''

b) Tính chất :

AB.C’D’= CD A’B’

CD AB C A''D B''  ' ' ' '

' '

AB CD A B C D

CD C D



CD AB C A''D B'' =CD AB C A''D B''





VD: Xác định tỉ số của hai đoạn thẳng AB và CD trong các trường hợp sau: a/ AB = 5 cm, CD = 15 cm; b/ AB = 45 dm, CD = 150 cm.

Giaỉ: a) 5 1

15 3

AB

CD   b) AB = 45dm, CD =150cm = 15dm

 1545

CD AB

= 3

2 Đ/lý Ta let thuận và đảo









3 Hệ quả định lý Talet

ABCcó: a // BC

=> AB AB'AC AC'B C BC' '

Bài tập 1:

1.1/ Xác định tỉ số của hai đoạn thẳng AB và CD trong các trường hợp sau: a/ AB = 3 cm, CD = 9 cm b/ AB = 12 dm, CD = 240 cm 1.2/ Áp dụng định lí Ta Lét hãy tính độ dài x trong hình vẽ sau:

ABC a//BC

A

B

B ’ C ’

C

A

B ’

C ’

A

B

B’

C C’ a

A

B

B’

C C’ a

M

D 4 N F

2 x

6,5

E

1.3/ Áp dụng hệ quả của định lí Ta Lét tính các độ dài x của các đoạn thẳng trong các hình vẽ sau:

4 Tính chất đường phân giác trong tam giác

AD tia phân giác của BÂC

AE tia phân giác của BÂx

 AB DB EB

AC DC EC

VD: Tính x trong hình vẽ sau và làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất.

14

A

E

A 2 3

x

a/ DE //

BC

E

B

D

C 6,5

O

P

N

x 2

b/ MN // PQ

A

Giaỉ: Vì ABC có AD là đường phân giác của BAC nên:

AB DB

AC DC hay 4,33 2x

Suy ra: x = 2.4,3 2,9

3  cm

Bài tập 2:

Tính x trong mỗi hình vẽ sau và làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất.

a/ b/

x P

N

M

Q x

3,8 cm

D

2,2 cm

5 Tam giác đồng dạng

a) Định nghĩa :

A’B’C’ ABC (Tỉ số đồng dạng k)

A'  A ; B ' B ; C ' C

A AB'B'B BC'C'C CA'A'= k

b) Tính chất :

h' h = k ; k s s

p

p' ; '

 = k2

(h’; h tương ứng là đường cao ;

p’ ; p tương ứng là nửa chu vi ;

S’; S tương ứng là diện tích của A’B’C’ và ABC)

6 Định lý tam giác đồng dạng

Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của một tam giác và song song với cạnh còn lại thì nó tạo thành một tam giác mới đồng dạng với tam giác đã cho

ABCcó: B’C’ // BC

=> AB’C’ ABC



A

A ’

A’

A

A

Tiết 2

7 Ba trường hợp đồng dạng của hai tam giác A’B’C’ và ABC

a/ A AB'B'B BC'C'C CA'A' (c.c.c)

b) ' ' ' 'và B ˆ 'B ˆ

BC

C B AB

B A

(c.g.c) c) Â’ = Â và Bˆ  ' Bˆ (gg)

8 Trường hợp đồng dạng của tam giác vuơng A’B’C’ và ABC

a) A AB'B'A AC'C'

b) Bˆ' Bˆ hoặc Cˆ'  Cˆ

c) A AB'B'B BC'C'

Bài tập 3: Cho hình chữ nhật ABCD cĩ AB = 8cm, BC = 6cm

Vẽ đường cao AH của tam giác ADB.

a/ Chứng minh:  AHB  BCD

b/ Chứng minh: AD 2 = DH.DB

c/ Tính độ dài đoạn thẳng DH, AH.

Bài tập 4: Vẽ tam giác ABC vuơng ở A cĩ AK là đường cao.

a/ Trong hình vẽ cĩ bao nhiêu cặp tam giác đồng dạng với nhau?

( Hãy chỉ rõ từng cặp tam giác đồng dạng và viết theo các đỉnh tương ứng) b/ Cho AB = 30 cm, AC = 40 cm Tính độ dài các đoạn thẳng BC, AK, BK và CK.

c/ Tính chu vi và diện tích của tam giác ABC.

C

A ’ B ’

C ’

B ’ C ’

A

A ’