PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ TRONG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ Nguyễn Phi hùng - Võ Thành Văn A.. Lời đầu Qua bài viết này chúng tôi muốn giới thiệu cho các bạn một số kĩ năng đặt ẩn phụ trong giả
Trang 1PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ TRONG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ
Nguyễn Phi hùng - Võ Thành Văn
A Lời đầu
Qua bài viết này chúng tôi muốn giới thiệu cho các bạn một số kĩ năng đặt ẩn phụ trong giải phương trình vô tỷ Như chúng ta đã biết có nhiều trường hợp giải một phương trình vô tỷ mà
ta biến đổi tương đương sẽ ra một phương trình phức tạp, có thể là bậc quá cao Có lẽ phương pháp hữu hiệu nhất để giải quyết vấn đề này chính là đặt ẩn phụ để chuyển về một phương trình đơn giản và dễ giải quyết hơn
Có 3 bước cơ bản trong phương pháp này:
- Đặt ẩn phụ và gán luôn điều kiện cho ẩn phụ
- Đưa phương trình ban đầu về phương trình có biến là ẩn phụ Tiến hành giải quyết phương trình vừa tạo ra này Đối chiếu với điều kiện để chọn ẩn phụ thích hợp
- Giải phương trình cho bởi ẩn phụ vừa tìm được và kết luận nghiệm
* Nhận xét:
- Cái mấu chốt của phương pháp này chính là ở bước đầu tiên Lí do là nó quyết định đến toàn
bộ lời giải hay, dở, ngắn hay dài của bài toán
- Có 4 phương pháp đặt ẩn phụ mà chúng tôi muốn nêu ra trong bài viết này đó là:
+ PP Lượng giác hoá
+ PP dùng ẩn phụ không triệt để
+ PP dùng ẩn phụ đưa về dạng tích
+ PP dùng ẩn phụ đưa về hệ
B Nội dung phương pháp
I Phương pháp lượng giác hoá
1 Nếu|x| ≤ athì ta có thể đặtx = a sin t, t ∈
³
−π
2;
π
2
´
hoặcx = a cos t, t ∈ (0;π)
Ví dụ 1 Giải phương trình: p1 +p1 − x2= x³1 + 2p1 − x2´
Lời giải:
ĐK :|x| ≤ 1 Đặtx = sin t, t ∈³−π
2;
π
2
´
Phương trình đã cho trở thành :
p
1 + cos t = sin t (1 + 2cos t) ⇔p2 cost
2= 2 sin3t
2 cos
t
2⇔ cost
2
µp
2 sin3t
2 − 1
¶
= 0
⇔
cost
2= 0 cos3t
2 =p1 2
⇔
t = (2k + 1)π
t = π
6+ k4π
3
(k ∈ Z)
Trang 2Kết hợp với điều kiện củatsuy ra :t = π
6
Vậy phương trình có 1 nghiệm :x = sin π
6 =1 2
Ví dụ 2 Giải phương trình: p1 +p1 − x2hp(1 + x)3−p(1 − x)3i=p2
3+
s
1 − x2
3
Lời giải:
ĐK :|x| ≤ 1
Khi đóV P > 0
Nếux ∈ [−1;0]thìp(1 + x)3−p(1 − x)3≤ 0
Nếux ∈ [0;1]thì đặtx = cos t , vớit ∈h0;π
2
i
ta có :
2p 6
µ sint
2+ cost
2
¶ µ cos3t
2− sin3t
2
¶
= 2 + sin t
⇔ 2p6 cos t
µ
1 +1
2sin t
¶
= 2 + sin t ⇔
³p
6 cos t − 1
´
(2 + sin t) = 0 ⇔ cos t =p1
6
Vậy nghiệm của phương trình làx =p1
6
Ví dụ 3 Giải phương trình: p1 − 2x +p1 + 2x = r 1 − 2x
1 + 2x+
r 1 + 2x
1 − 2x
Lời giải:
ĐK :|x| ≤1
2
Đặt2x = cos t, t ∈ (0;π) Phương trình đã cho trở thành :
µ sint
2+ cost
2
¶p
2 = tant
2+ cott
2
⇔ 2 (1 + sin t ) = 4
sin2t ⇔ sin3t + sin2t − 2 = 0 ⇔ cos t = 0
Vậy phương trình có nghiệm duy nhấtx = 0
Hướng dẫn:
Nếux < −2: phương trình không xác định
Chú ý vớix > 2ta có :
x3− 3x = x + x ¡x2− 4¢ > x >px + 2
vậy để giải phương trình(1) ta chỉ cần xét với x ∈ [−2;2] Đặtx = 2cos t, t ∈ (0;π)khi đó phương trình đã cho trở thành :
cos 3t = cos t
2
2 Nếu|x| ≥ athì ta có thể đặt:x = a
sin t , t ∈³−π
2;
π
2
´
, t 6= 0hoặcx = a
cos t , t ∈ (0;π), t 6= π
2
Ví dụ 5 Giải phương trình: x2
µ
2 −p 1
x2− 1
¶
= 2
Lời giải:
Trang 3ĐK:|x| > 1
Đặtx = 1
sin t , t ∈
³
−π
2;
π
2
´
Phương trình đã cho trở thành:
1 sin2t (2 − |tan t|) = 2
⇔ 2 cos2t = |tan t| ⇔ 4cos4t = 1
cos2t − 1 ⇔ 4 cos6t + cos2t –1 = 0 ⇔ cos2t =1
2 ⇔ t = π
4+ k π
2.
Kết hợp với điều kiện củatsuy rat = ± π
4 Vậy phương trình có 2 nghiệm:x = ± 1
sinπ
4
= ±p2
Bạn hãy tự tìm cách giải cho phương trình dạng tổng quát:
x2
µ
a −p 1
x2− 1
¶
= a
Ví dụ 6 Giải phương trình: x +p x
x2− 1= 2
p 2
Lời giải:
ĐK:|x| > 1 Dễ thấy∀x < 0không phải là nghiệm của phương trình
Đặtx = 1
cos t , t ∈³0;π
2
´
Phương trình đã cho trở thành:
1
cos t+ 1
sin t = 2p2 ⇔ sin t + cos t = 2p2 sin t cos t
Đặtu = sin t + cos t, với1 ≤ u ≤p2, ta có phương trình:
p
2u2–u–p
2 = 0 ⇔
u =p2
u = −p1
2
Ta loại nghiệmu = −p1
2 Vớiu =p2ta có:
sin t + cos t =p2 ⇔p2 sin t³t + π
4
´
=p2 ⇔ t = π
4+ 2kπ
Kết hợp với điều kiện củatta cót = π
4
Vậyx = 1
cosπ
4
=p2(thỏa mãn) Tương tự, ta có thể giải được phương trình dạng tổng quát:
x +p ax
x2− a2= b
3 Đặtx = tan t, t ∈
³
−π
2;
π
2
´
để đưa về phương trình lượng giác đơn giản hơn:
Ví dụ 7 Giải phương trình: x3− 3p3x2− 3x +p3 = 0,(1)
Lời giải:
Dox 6= ±p1
3không là nghiệm của phương trình nên:
(1) ⇔3x − x
3
1 − 3x2 =p3, (2)
Trang 4Đặtx = tan t, t ∈³−π
2;
π
2
´
Khi đó(2)trở thành:
tan 3t =p3 ⇔ t = π
9+ k π
3
Suy ra(1)có 3 nghiệm:x = tan π
9; x = tan2π
9 ; x = tan7π
9
Ví dụ 8 Giải phương trình: px2+ 1 +x
2+ 1
2x = ¡x2+ 1¢2
2x ¡1 − x2¢
Lời giải:
ĐK:x 6= 0; x 6= ±1
Đặtx = tan t, t ∈³−π
2;
π
2
´
, t 6= 0;± π
4 Phương trình đã cho trở thành:
1
cos t+ 1
sin 2t = 2
sin 4t ⇔ 1
cos t
µ
1 + 1
2 sin t − 1
2 sin t cos 2t
¶
= 0
⇔ 2 sin t cos 2t + cos 2t − 1 = 0 ⇔ 2 sin t¡1 − 2sin2t¢ − 2sin2
t = 0 ⇔ sin t ¡1 − sin t − 2sin2t¢ = 0
⇔
sin t = 0 sin t = −1 sin t =12
⇔
t = − π
2+ k2π
t = π
6+ k2π
Kết hợp với điều kiện suy ra:t = π
6
Vậy phương trình có 1 nghiệm:x =p1
3
4 Mặc định điều kiện:|x| ≤ a sau khi tìm được số nghiệm chính là số nghiệm tối đa của phương trình và kết luận:
Ví dụ 9 Giải phương trình: p3
6x + 1 = 2x
Lời giải:
Phương trình đã cho tương đương với:
8x3− 6x = 1 (1)
Đặtx = cost, t ∈ [0;π] Phương trình(1)trở thành:
cos3t =1
2⇔ t = ± π
9+ k2π
3 (k ∈ Z)
Suy ra(1)có tập nghiệm:S =
½ cosπ
9; cos
5π
9 ; cos
7π
9
¾
II Phương pháp dùng ẩn phụ không triệt để
?Nội dung phương pháp:
Đưa phương trình đã cho về phương trình bậc hai với ẩn là ẩn phụ hay là ẩn của phương trình
đã cho:
Đưa phương trình về dạng sau:
q
f (x).Q(x) = f (x) + P(x).x
Trang 5khi đó: Đặtp f (x) = t, t > 0 Phương trình viết thành:
t2− t Q(x) + P (x) = 0
Đến đây chúng ta giảit theox Cuối cùng là giải quyết phương trìnhp f (x) = t sau khi đã đơn giản hóa và kết luận:
Ví dụ 10 Giải phương trình: 2p
2x + 4 + 4p2 − x =p9x2+ 16 (1)
Lời giải:
ĐK:|x| ≤ 2
(1) ⇔ 4(2x + 4) + 16p2(4 − x2) + 16(2 − x) = 9x2+ 16 ⇔ 8(4 − x2) + 16p2(4 − x2) = x2+ 8x
Đặtt =p2(4 − x2) Lúc đó phương trình trở thành:
4t2+ 16t − x2− 8x = 0
Giải phương trình trên với ẩnt, ta tìm được:
t1=x
2; t2= −x
2− 4
Do|x| ≤ 2nênt2< 0không thỏa điều kiệnt ≥ 0 Vớit = x
2 thì:
p
2(4 − x2) =x
2⇔
"
x ≥ 0
8¡4 − x2¢ = x2 ⇔ x =4
p 2 3
(thỏa mãn điều kiên|x| ≤ 2)
Ví dụ 11 Giải phương trình: x2+ x + 12px + 1 = 36
Lời giải:
ĐK:x ≥ −1
Đặtt =px + 1 ≥ 0, phương trình đã cho trở thành:
x.t2+ 12u − 36 = 0 ⇔ t = −6 ± 6t
x
* Vớit = −6 − 6t
x , ta có:(x + 6)t = −6(vô nghiệm vì:V T ≥ 0;V P < 0)
* Vớit = −6 + 6t
x , ta có:6 = (6 − x)t Dox = 6không là nghiệm của phương trình nên:
t = 6
6 − x ⇔
p
x + 1 = 6
6 − x
Bình phương hai vế và rút gọn ta được:x = 3(thỏa mãn)
Bạn hãy tự giải phương trình dạng tổng quát:
x2+ ax + 2bpx + a = b2
Ví dụ 12 Giải phương trình: 3(p
2x2+ 1 − 1) = x(1 + 3x + 8p2x2+ 1)
Lời giải:
Đặtp2x2+ 1 = t ≥ 1 Phương trình đã cho viết thành:
3(t − 1) = x + 3(t2− 1) − 3x2+ 8xt ⇔ 3t2− (8x − 3)t − 3x2+ x = 0
Trang 6Từ đó ta tìm đượct = x
3 hoặct = 1 − 3x
Giải ra được:x = 0
* Nhận xét: Cái khéo léo trong việc đặt ẩn phụ đã được thể hiện rõ trong ở phương pháp này
và cụ thể là ở ví dụ trên Ở bài trên nếu chỉ dừng lại với việc chọn ẩn phụ thì không dễ để giải quyết trọn vẹn nó Vấn đề tiếp theo chính là ở việc kheo léo biến đổi phần còn lại để làm biến mất hệ số tự do, việc gải quyếtt theoxđược thực hiện dễ dàng hơn
Ví dụ 13 Giải phương trình: 2008x2− 4x + 3 = 2007xp4x − 3
Lời giải:
ĐK:x ≥3
4
Đặtp4x − 3 = t ≥ 0 Phương trình đã cho trở thành:
2008x2− 2007xt − t2= 0
Giải ra:x = t hoặcx = − t
2008 (loại)
*x = tta có:x2− 4x + 3 = 0 ⇔
"
x = 1
x = 3
Vậyx = 1, x = 3là các nghiệm của phương trình đã cho
Ví dụ 14 Giải phương trình: (4x − 1)px3+ 1 = 2x3+ 2x + 1
Lời giải:
ĐK:x ≥ −1
Đặtt =px3+ 1 Phương trình đã cho trở thành:
2(t2− 1) + 2x + 1 = (4x − 1)t ⇔ 2t2− (4x − 1)t + 2x − 1 = 0
Phương trình trên đã khá đơn giản Bạn đọc tự giải
III Phương pháp dùng ẩn phụ đưa về dạng tích
1 Dùng một ẩn phụ
Ví dụ 15 Giải phương trình x2+
r
x +3
2=9
Lời giải:
ĐK :x ≥ −3
2
Đặt
r
x +3
2= t , t ≥ 0phương trình(1)trở thành :
µ
t2−3 2
¶2
=9
4–t ⇔ t(t3− 3t + 1) = 0 ⇔
"
t = 0
t3− 3t + 1 = 0, (2) (2)giải đựoc bằng cách áp dụng phương pháp I :
Đặtx = 2cos t, t ∈ (0;π)để đưa về dạng :cos 3t = −1
2
Tổng quát: Giải phương trình x2+px + a = a2.Vớialà hắng số cho trước
Trang 7Ví dụ 16 Giải phương trình: x3− 3x2+ 2p(x + 2)3= 6x (1)
Lời giải:
ĐK :x ≥ −2Viết lại(1)dưới dạng :
x3− 3x(x + 2) + 2p(x + 2)3= 0, (2)
Đặtt =px + 2 ≥ 0 Khi đó(2)trở thành :
x3− 3xt2+ 2t3⇔ (x − t )2(x + 2t) = 0 ⇔
"
x = t
x = −2t
? x = t Ta có :x =px + 2 ⇔
(
x ≥ 0
x2− x − 2 = 0 ⇔ x = 2
? x = −2t Ta có :x = −px + 2 ⇔
(
x ≤ 0
x2− 4x − 8 = 0 ⇔ x = 2 − 2
p 3
Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm :x = 2, x = 2 − 2p3
Ví dụ 17 Giải phương trình: x +p5 +px − 1 = 0
Lời giải:
ĐK :x ∈ [1;6], (1)Đặtt =px − 1, t ≥ 0, (2)phương trình đã cho trở thành :
t2+p5 + t = 5, (3) ⇔ t4− 10t2− t + 20 = 0 ⇔ (t2+ t − 4)(t2− t − 5) = 0
Đối chiếu với hai điều kiện(1)và(2)thay vào và giải ra :x =11 −
p 17 2
Ví dụ 18 Giải phương trình: x =¡2006 +px¢
³
1 −p1 −px
´
Lời giải:
ĐK :x ∈ [0;1], (1)Đặtt =p1 −px ⇒ 0 ≤ t ≤ 1 Khi đó:
p
x = 1 − t2, x = (1 − t2)2
phương trình đã cho trở thành :
(1 − t2)2= (2006 + 1 − t2)(1 − t)2⇔ (1 − t )2(1 + t)2= (2007 − t2)(1 − t)2⇔ 2(1 − t )2(t2+ t − 1003)
Vì0 ≤ t ≤ 1nên:t2+ t − 1003 < 0Do đó phương trình tương đương với :
t − 1 = 0 ⇔ t = 1
Do vậyx = 0(thỏa(1))
2 Dùng hai ẩn phụ
Ví dụ 19 Giải phương trình: p4x2+ 5x + 1 − 2px2− x + 1 = 9x − 3
Lời giải:
Đặta =p4x2+ 5x + 1, b = 2px2− x + 1
⇒ a2− b2= 9x–3 ⇒ a − b = a2− b2⇔ (a − b)(a + b − 1) = 0
Trang 8? a − b = 0 ⇒ x =1
3
? a + b − 1 = 0 ⇒
(
a − b = 9x − 3
2a = 9x − 2 ⇒
"
x = 0
x =5665
Ví dụ 20 Giải phương trình: 2(x2− 3x + 2) = 3px3+ 8, (1)
Lời giải:
ĐK :−2 ≤ x ≤ 1hoặcx ≥ 2.Đặtu =px2− 2x + 4, v =px + 2ta có :
u2− v2= x2− 3x + 2.
(1)trở thành :
2(u2− v2) = 3uv ⇔ (2u + v)(u − 2v) = 0 ⇔ u = 2v (Do2u + v > 0)
Để tìmx, ta giải :
p
x2− 2x + 4 = 2px + 2 ⇔ x2− 6x − 4 = 0 ⇔ x = 3 ±p13
Kết hợp với điều kiện, phương trình(1)có 2 nghiệm :x = 3 ±p13
Ví dụ 21 Giải phương trình: p5x2− 14x + 9 −px2− x − 20 = 5px + 1, (1)
Lời giải:
ĐK :x ≥ 5Chuyển vế rồi bình phương hai vế, ta được:
(x + 1)(5x + 9) = x2+ 24x + 5 + 10p(x + 4)(x − 5)(x + 1)
⇔ 2(x2−4x −5)+3(x +4)−5p(x2− 4x − 5)(x + 4) = 0, (2)Đặtu =p(x2− 4x − 5)vàv =px + 4,u, v ≥ 0.
Thì:
(2) ⇔ 2u2+ 3v2− 5uv = 0 ⇔ (u − v)(2u − 3v) = 0
*u = v ta có :x2− 5x − 9 = 0*2u = 3v ta có :4x2− 25x − 56 = 0
Giải ra ta được 2 nghiệm thỏa mãn:x =5 +
p 61
2 , x = 8
Ví dụ 22 Giải phương trình: px +p4 x(1 − x)2+p4 (1 − x)3=p1 − x +p4 x3+p4 x2(1 − x)
Lời giải:
ĐK :0 ≤ x ≤ 1
Đặt:
(
u =p4
x
v =p41 − x ⇒
u ≥ 0
v ≥ 0
u4+ v4= 1
Từ phương trình ta được :
u2+ uv2+ v3= v2+ u3+ u2v
⇔ (u − v)(u + v)(1 − u − v) = 0 ⇔ (u − v)(1 − u − v) = 0( Dou + v > 0)
từ đó ta giải ra được các nghiệm :x = 0, x =1
2, x = 1
3 Dùng ba ẩn phụ
Ví dụ 23 Giải phương trình p3
7x + 1 −p3x2− x − 8 +p3x2− 8x + 1 = 2
Lời giải:
Trang 9Đặta =p37x + 1,b = −p3x2− x − 8, c =p3 x2− 8x + 1, ta có:
a + b + c = 2
a3+ b3+ c3= (7x + 1) − (x2− x − 8) + (x2− 8x − 1) = 8, (1)
Mặt khác:(a + b + c)3= 8, (2)Từ(1)và(2)ta có:
(a + b + c)3− (a3+ b3+ c3) = 3(a + b)(b + c)(c + a)
Nên:
(a + b)(b + c)(c + a) = 0 ⇔
a = −b
b = −c
c = −a
Từ đó dễ dàng tìm ra 4 nghiệm của phương trình:S = −1;0;1;9
Ví dụ 24 Giải phương trình: p3
3x + 1 +p3 5 − x +p32x − 9 −p34x − 3 = 0, (1)
Lời giải:
Đặta =p33x + 1;b =p35 − x;c =p32x − 9Suy ra:
a3+ b3+ c3= 4x − 3
khi đó từ(1)ta có:
(a + b + c)3= (a3+ b3+ c3) ⇔ (a + b)(b + c)(c + a) = 0
Giải như ví dụ 23 suy ra được 3 nghiệm của phương trình:x = −3; x = 4; x = 8
5
IV Phương pháp dùng ẩn phụ đưa về hệ
1 Dùng ẩn phụ đưa về hệ đơn giản
a Dùng một ẩn phụ
Ví dụ 25 Giải phương trình: x2+px + 5 = 5
Lời giải:
ĐK:x ≥ −5Đặtt =px + 5, t ≥ 0 Khi đó:x = t2− 5 Do đó ta có:
(
x2+ t = 5
t2− x = 5 ⇔
(
x2+ t = 5
x2− t2+ t + x = 0 ⇔
(
x2+ t = 5 (x + t)(x + 1 − t) = 0 ⇔
(
x2+ t = 5
x + t = 0
(
x2+ t = 5
x + 1 − t = 0
Giải hệ và kiểm tra điều kiện, ta được:
x =±1 −
p 21 2
Bài toán tổng quát: Giải phương trình
x2+px + a = a
Trang 10b Dùng 2 ẩn phụ
Đối với phương trình dạng
mq
a + f (x) + n
q
b − f (x) = c
Ta đặt:
u = mq
a + f (x); v = qn
b − f (x)
Như vậy ta có hệ:
(
u + v = c
u m + v n = a + b
Ví dụ 26 Giải phương trình p4
57 − x +p4x + 40 = 5, (1)
Lời giải:
ĐK:−40 ≤ x ≤ 57Đặtu =p457 − x; v =p4x + 40Khi đó:
(1) ⇔
(
u + v = 5
u4+ v4= 97 ⇔
(
u + v = 5
2(uv)2− 10uv + 528 = 0 ⇔
u + v = 5
"
uv = 6
uv = 44
⇔
(
u + v = 5
uv = 6
Ta thu đượcu = 2; v = 3hoặcu = 3; v = 2
Đến đây chỉ việc thay vào để tìm nghiệm của phương trình ban đầu
Ví dụ 27 Giải phương trình pp2 − 1 − x +p4
x =p41 2
Lời giải:
ĐK:0 ≤ x ≤p2−1Đặt:pp2 − 1 − x = u;p4
x = v Với0 ≤ u ≤pp2 − 1;0 ≤ v ≤p4 p2 − 1Như vậy ta được hệ:
u + v = p41
2
u2+ v4=p2 − 1
⇒
u =p41
2− v
µ 1
4
p
2− v
¶2
+ v4=p2 − 1
Giải(1):
(1) ⇒ (v2+ 1)2−
µ 1
4
p
2+ v
¶2
= 0 ⇒ v2− v + 1 −p41
2= 0 ⇒ v1,2=
1 ±
s 4
4
p
2− 3
2 , (v1,2> 0)
Vậyv1,2(thỏa mãn điều kiện) chính là 2 nghiệm của phương trình đã cho
Ví dụ 28 Giải phương trình: r 7
4
p
x − 1 + x2= (1 −px)2
Lời giải:
Đặt:y =px, y ≥ 0; z = 1 −px Ta có:
⇔
(
y + z = 1, (1)
uv = 6 ⇔
y + z = 1
y4− z4=7
4
p
x − 1, (2)
Thế(1)vào(2)ta có
y4− (1 − y)4=7
4y − 1 ⇒ 4y(y −3
4)
2
= 0 ⇔
"
y = 0
y =34 ⇔
"
x = 0
x =169
Trang 112 Dùng ẩn phụ đưa về hệ đối xứng
Dạng 1: Phương trình dạngx n + b = apn ax − b
Cách giải: Đặtt =pn ax − bta có hệ:
(
x n + b = at
t n + b = ax
Ví dụ 29 Giải phương trình x3+ 1 = 2p32x − 1
Lời giải:
Đặt:t =p32x − 1ta có:
t3= 2x − 1 ⇒
(
x3+ 1 = 2t
t3+ 1 = 2x ⇔
(
x3+ 1 = 2t
x3− t3= 2(t − x)
⇔
(
x3+ 1 = 2t (x − t)(x2+ t2+ t + t x + 2) = 0⇔
(
x = t
x3− 2x + 1 = 0 (1)∨
(
x3+ 1 = 2t
x2+ t2+ t x + 2 = 0 (2) (1) ⇔ (x − 1)(x2+ x − 1) = 0 ⇔ x = 1 ∨ x =−1 ±
p 5 2
(2) ⇔ (t + x)2+ x2+ t2+ 4 = 0, (3)
Phương trình(3)vô nghiệm Vậy nghiệm của phương trình là:x = 1; x =−1 ±
p 5 2
Dạng 2: Phương trình dạngx = a +pa +px
Cách giải: Đặtt = a +px
P T ⇔
(
x = a +pt
t = a +px
Ví dụ 30 Giải phương trình x = 2007 +p2007 +px
Lời giải:
ĐK:x > 0Đặt:t = 2007 +px, (1)
P T ⇔
(
x = 2007 +pt , (2)
t = 2007 +px, (3)
Trừ từng vế của(3)cho(2)ta được:
x − t =pt −px ⇔ (pt −px)(p
t +px + 1) = 0 ⇔ x = t
(1) ⇒ x −px − 2007 = 0 ⇒ x =8030 + 2
p 8029
4 (x > 0)
Dạng 3: Chọn ẩn phụ từ việc làm ngược:
Ví dụ 31 Giải phương trình x2− 2x = 2p2x − 1
Lời giải:
ĐK:x ≥1
2 Đặtp2x − 1 = a y + b Chọna, bđể hệ:
(I )
(
x2− 2x = 2(a y + b) (a y + b)2= 2x − 1 ,
µ
x ≥1
2; y ≥ 1
¶
Trang 12là hệ đối xứng Lấya = 1,b = −1ta được hệ:
(
x2− 2x = 2(y − 1)
y2− 2y = 2(x − 1)⇒
(
x2− 2x = 2(y − 1)
x2− y2= 0
Giải hệ trên ta được:x = y = 2 ±p2Đối chiếu với điều kiện của hệ(I )ta được nghiệm duy nhất của phương trình là:x = 2 +p2
Dạng 4 : Cho phương trình :
n
p
ax + b = c(d x + e) n + αx + β
Với các hệ số thỏa mãn :d = ac + α, e = bc + β
Cách giải : Đặtd y + e =pn ax + b
Ví dụ 32 Giải phương trình: r 4x + 9
28 = 7x2+ 7
Lời giải:
ĐK :x ≥ −9
4
P T ⇔ r 4x + 9
28 = 7(x +1
2)
2
−7 4
- Kiểm tra:a =1
7; b = 9
28; c = 7;d = 1;e = 1
2;α = 0;β = −7
4.Đặt
y +1
2=r 4x + 9
28
⇔ y2+ y +1
4=4x + 9
28 ⇔ 7y2+ 7y +7
4= x +9
4⇔ x +1
2= 7y2+ 7, (1)
Mặt khác :y +1
2= 7x2+ 7x, (2)Từ(1)và(2)ta có hệ :
x +1
2= 7y2+ 7
y +1
2= 7x2+ 7x
Đây là hệ đỗi xứng loại II đã biết cách giải
Ví dụ 33 Giải phương trình x2− 6x + 3 =px + 3, x ≥ 3.
Lời giải:
P T ⇔ (x − 3)2− 6 =px + 3
- Kiểm tra :a = 1;b = 3;c = 1;d = 1;e = −3;α = 0;β = −6.Đặt :
y − 3 =px + 3 ⇔ y2− 6y + 9 = x + 3 ⇔ x − 3 = y2− 6y + 3, (1)
Mặt khác :y − 3 = x2− 6x + 3, (2)Từ(1)và(2)ta có hệ :
(
x − 3 = y2− 6y + 3
y − 3 = x2− 6x + 3
Các bạn tự giải hệ trên