M thuộc d thi M(a;3a5 ) Mặt khác : Tính : Nếu diện tich 2 tam giác bằng nhau thì : Vậy trên d có 2 điểm : Nếu C nằm trên d : y=x thì A(a;a) do đó suy ra C(2a1;2a). Ta có : . Theo giả thiết : Vậy ta có 2 điểm C :
Trang 1TUYỂN TẬP CÁC BÀI TẬP HèNH HỌC PHẲNG HAY NHẤT
( Tài liệu để ụn thi đại học )
Bài 1. Trong mặt phẳng Oxy cho cỏc điểm A 1;0 , B( ) (− 2; 4 , C) (− 1; 4 , D 3;5) ( )
và đường thẳng d : 3x y 5 0− − = Tỡm điểm M trờn d sao cho hai tam giỏc MAB, MCD cú diện tớch bằng nhau
Giải
- M thuộc d thi M(a;3a-5 )
- Mặt khỏc : ( 3;4) 5,( ): 1 4 3 4 0
3 4
−
uuur
4 1
4 3 3 5 4 13 19 4 3 5 17 3 11
- Nếu diện tich 2 tam giỏc bằng nhau thỡ :
11
13 19 3 11
5 13 19 17 3 11
13 19 11 3
AB h CD h
a
− = −
- Vậy trờn d cú 2 điểm : 1 2( )
11 27
; , 8;19
12 12
Bài 2. Cho hỡnh tam giỏc ABC cú diện tớch bằng 2 Biết A(1;0), B(0;2) và trung điểm I của AC nằm trờn đường thẳng y = x Tỡm toạ độ đỉnh C
Giải
- Nếu C nằm trờn d : y=x thỡ A(a;a) do đú suy ra C(2a-1;2a)
- Ta cú : ( , ) 0 2 2
2
- Theo giả thiết : 1 ( ) 4 ( ) (2 )2
S= AC d B d = ⇒AC = = a− + a−
1 3 2
8 8 8 4 2 2 1 0
1 3 2
a
a
=
=
- Vậy ta cú 2 điểm C : 1 2
1 3 1 3 1 3 1 3
Bài 3. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC, với A(1;1),B(−2;5), đỉnh
thẳng 2x−3y+6=0 Tính diện tích tam giác ABC.
Giải
Trang 2- Tọa độ C cú dạng : C(4;a) , ( 3;4) ( )5 1 1
3 4
AB
=
−
uuur
- Theo tớnh chỏt trọng tõm ;
1 2 4
1
3
A B C
A B C
G G
y y
- Do G nằm trờn : 2x-3y+6=0 , cho nờn : 2.1 3 6 6 0 2
3
a
a
+
- Vậy M(4;2) và ( , ) 4.4 3.2 7 3 1 ( , ) 15.3 15
16 9 ABC
+ (đvdt)
Bài 4. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC, với A(2;−1),B(1;−2), trọng tâm G của tam giác nằm trên đờng thẳng x+ y−2=0 Tìm tọa độ đỉnh C biết diện tích tam giác ABC bằng 13,5
Giải.
- Ta cú : M là trung điểm của AB thỡ
M 3; 1
2 2
Gọi C(a;b) , theo tớnh chất
trọng tam tam giỏc :
3 3 3 3
G
G
a x b y
+
=
- Do G nằm trờn d :
( )
3 3
3 3
a b
- Ta cú : ( ) ( )1;3 : 2 1 3 5 0 ( , ) 3 5
a b
uuur
- Từ giả thiết : 1 ( , ) 1 10.2 5 2 5 13,5
ABC
2 5 27
a b
- Kết hợp với (1) ta cú 2 hệ :
2
A(2;1)
Trang 3( )
20
; , 6;12
12
6
b
b
a
= −
= −
Bài 5. Trong mặt phẳng oxy cho ABC∆ có A(2;1) Đường cao qua đỉnh B có
phương trình x- 3y - 7 = 0 Đường trung tuyến qua đỉnh C có phương trình : x
+ y +1 = 0 Xác định tọa độ B và C Tính diện tích ∆ ABC
Giải
- Đường thẳng (AC) qua A(2;1) và vuông
góc với đường cao kẻ qua B , nên có véc tơ
chỉ phương
(1; 3) ( ): 2 ( )
1 3
= +
r
- Tọa độ C là giao của (AC) với đường trung
tuyến kẻ qua C :
2
1 3
1 0
x y
= +
⇒ = −
+ + =
Giải ta được : t=2 và C(4;-5) Vì B nằm trên đường cao kẻ qua B suy ra
B(3a+7;a) M là trung điểm của AB 3 9; 1
2 2
- Mặt khác M nằm trên đường trung tuyến kẻ qua C :
3 9 1
1 0 3 1; 2
- Ta có :
uuur
- Vậy : 1 ( , ) 1 10 12 6
ABC
Bài 6. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC biết A(5; 2)
Phương trình đường trung trực cạnh BC, đường trung tuyến CC’ lần lượt là x + y
– 6 = 0 và 2x – y + 3 = 0 Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC
Giải
- Gọi B(a;b) suy ra M 5; 2
2 2
a+ b+
M nằm trên trung tuyến nên : 2a-b+14=0 (1)
A(2;1)
B
C x+y+1=0
x-3y-7=0 M
A(5;2) 2x-y+3=0
Trang 4- B,B đối xứng nhau qua đường trung trực cho nên : ( )BC : x a t(t R)
y b t
= +
= +
Từ đó suy ra tọa độ N :
6 2
2
2
a b t
x a t
a b
y
− −
=
= +
− −
3 6 6
;
⇔ ÷ Cho nên ta có tọa độ C(2a-b-6;6-a )
- Do C nằm trên đường trung tuyến : 5a-2b-9=0 (2)
- Từ (1) và (2) : 2 14 0 37 (37;88 ,) ( 20; 31)
5 2 9 0 88
Bài 7. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hai đường thẳng∆:x+3y+ =8 0
, ∆' :3x−4y+ =10 0và điểm A(-2 ; 1) Viết phương trình đường tròn có tâm thuộc
đường thẳng ∆, đi qua điểm A và tiếp xúc với đường thẳng ∆’
Giải
- Gọi tâm đường tròn là I , do I thuộc : 2 3 ( 2 3 ; 2 )
2
= − +
∆ = − − ⇒ − + − −
- A thuộc đường tròn ( ) (2 )2
3 3
- Đường tròn tiếp xúc với 3 2 3( ) (4 2) 10 13 12
'
- Từ (1) và (2) : ( ) (2 )2 13 12 ( ) (2 )2 ( )2
5
t
Bài 8 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho đường tròn hai đường tròn
( ) :C x + – 2 – 2 1 0,y x y + = ( ') :C x2+ y2+4 – 5 0x = cùng đi qua M(1; 0)
Viết phương trình đường thẳng qua M cắt hai đường tròn ( ), ( ')C C lần lượt tại A,
B sao cho MA= 2MB
Giải
* Cách 1
- Gọi d là đường thẳng qua M có véc tơ chỉ phương u ( )a b; d: x 1 at
y bt
= +
r
- Đường tròn ( ) ( )C1 :I1 1;1 ,R1=1.( ) (C2 :I2 −2;0 ,) R2 =3 , suy ra :
( ) ( ) (2 )2 ( ) ( )2 2
4
Trang 5- Nếu d cắt ( )C1 tại A :
0
t
= →
+
- Nếu d cắt ( )C2 tại B :
0
t
= →
+
- Theo giả thiết : MA=2MB ⇔MA2 =4MB2( )*
- Ta có :
4
6 : 6 6 0
6 : 6 6 0
* Cách 2.
- Sử dụng phép vị tự tâm I tỉ số vị tự k= 1
2
− ( Học sinh tự làm )
Bài 9 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, hãy viết phương trình các cạnh của
tam giác ABC biết trực tâm H(1;0), chân đường cao hạ từ đỉnh B là K(0; 2),
trung điểm cạnh AB là M(3;1)
Giải
- Theo tính chất đường cao : HK vuông góc với AC
cho nên (AC) qua K(0;2) có véc tơ pháp tuyến
(1; 2) ( ): 2( 2) 0 2 4 0
uuur
- B nằm trên (BH) qua H(1;0) và có véc tơ chỉ
phương KHuuur= − ⇒(1; 2) B(1 ; 2+ −t t)
- M(3;1) là trung điểm của AB cho nên A(5-t;2+2t)
- Mặt khác A thuộc (AC) cho nên : 5-t-2(2+2t)+4=0 ,
suy ra t=1 Do đó A(4;4),B(2;-2)
- Vì C thuộc (AC) suy ra C(2t;2+t) ,
(2 2; 4 ), ( )3; 4
BC= t− +t HA=
uuur uuur
Theo tính chất đường cao kẻ từ A :
0 3 2 2 4 4 0 1
⇒uuur uuur= ⇒ − + + = → = − Vậy : C(-2;1).
- (AB) qua A(4;4) có véc tơ chỉ phương ( )2;6 // ( ) ( )1;3 : 4 4
uuur r
3x y 8 0
- (BC) qua B(2;-2) có véc tơ pháp tuyến uuurHA=( ) ( ) (3; 4 ⇒ BC : 3 x− +2) (4 y+ =2) 0
3x 4y 2 0
H(1;0)
K(0;2 ) M(3;1)
A
Trang 6Bài 10. Trong hệ tọa độ Oxy, cho hai đường tròn có phương trình
C x +y − y− = và ( ) 2 2
2 : 6 8 16 0
C x +y − x+ y+ = Lập phương trình tiếp tuyến chung của ( )C1 và ( )C2
Giải
- Ta có :
1 : 2 9 1 0; 2 , 1 3, 2 : 3 4 9 2 3; 4 , 2 3
- Nhận xét : I I1 2 = 9 4+ = 13 3 3 6< + = ⇒( )C1 không cắt ( )C2
- Gọi d : ax+by+c =0 ( a2+b2 ≠0) là tiếp tuyến chung , thế thì :
( 1, ) 1, ( 2, ) 2
d I d =R d I d =R
( ) ( )
2
3 1
3 4
3 2
b c
=
+
=
2
3 2 2 0
=
⇔ − + = Mặt khác từ (1) : ( )2 ( 2 2)
2b c+ =9 a +b ⇔
- Trường hợp : a=2b thay vào (1) :
2 3 5 4
2 3 5 4
b
b
c b
=
=
- Do đó ta có hai đường thẳng cần tìm :
1
2 3 5 2 3 5
1
2 3 5 2 3 5
- Trường hợp : 2 3
2
c= −
2 3 2
2 3 2
b
− +
+
2
3
- Vậy có 2 đường thẳng : d3: 2x− =1 0, d4: 6x+8y− =1 0
6
Trang 7Bài 11. Trong hệ tọa độ Oxy, hãy viết phương trình hyperbol (H) dạng chính tắc
biết rằng (H) tiếp xúc với đường thẳng d x y: − − =2 0 tại điểm A có hoành độ
bằng 4
Giải
- Do A thuộc d : A(4;2)
- Giả sử (H) : 22 22 ( ) ( ) 2 2 ( )
16 4
- Mặt khác do d tiếp xúc với (H) thì hệ sau có 12 nghiệm bằng nhau :
'a 4a b a 4a a b 4a b a b a b a b 4 b a 0 a b 4
- Kết hợp với (1) :
( )
8 4
H
Bài 12. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có phương trình
đường thẳng AB: x – 2y + 1 = 0, phương trình đường thẳng BD: x – 7y + 14 = 0,
đường thẳng AC đi qua M(2; 1) Tìm toạ độ các đỉnh của hình chữ nhật
Giải
- Dễ nhận thấy B là giao của BD với
AB cho nên tọa dộ B là nghiệm của
hệ : 2 1 0 21 13;
7 14 0 5 5
B
- Đường thẳng (BC) qua B(7;3) và
vuông góc với (AB) cho nên có véc
tơ chỉ phương:
21 5 1; 2 :
13 2 5
= +
= −
r
- Ta có :R(AC BD, )=RBIC=2RABD=2ϕ=2R(AB BD, )
- (AB) có nur1= −(1; 2), (BD) có ( ) 1 2
2
1 2
n 1 14 15 3 1; 7 os =
5 50 5 10 10
n
n n
uuruur uur
ur uur
- Gọi (AC) có
, os AC,BD os2 = 2cos 1 2 1
10 5 50
+
r
- Do đó :
C
x-7y+14=0 x-2y+1=0
I
Trang 8- Suy ra : ( ) ( ) ( )
( )
: 2 1 0 17 31 3 0
- (AC) cắt (BC) tại C
21 5
3 0
x y
= +
− − =
- (AC) cắt (AB) tại A : 2 1 0 7 ( )7; 4
A
- (AD) vuông góc với (AB) đồng thời qua A(7;4) suy ra (AD) : x y= +74 2t t
= −
- (AD) cắt (BD) tại D :
7
7 98 46
15 15 15
7 14 0
= +
− + =
- Trường hợp (AC) : 17x-31y-3=0 các em làm tương tự
Bài 13 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho tam giác ABC, có điểm A(2; 3), trọng
tâm G(2; 0) Hai đỉnh B và C lần lượt nằm trên hai đường thẳng d1: x + y + 5 = 0
và d2: x + 2y – 7 = 0 Viết phương trình đường tròn có tâm C và tiếp xúc với
đường thẳng BG
Giải
- B thuộc d suy ra B :x t y= 5 t
= − −
, C thuộc d' cho nên C: x y m= −7 2m
=
- Theo tính chất trọng tâm :
- Ta có hệ : t m t− =2m 2 3 t m=11
⇔
- Vậy : B(-1;-4) và C(5;1) Đường thẳng (BG) qua G(2;0) có véc tơ chỉ phương ( )3; 4
ur = , cho nên (BG):
( ) 20 15 8
4 3 8 0 ;
- Vậy đường tròn có tâm C(5;1) và có bán kính R=
( ) ( ) (2 )2
5 ⇒ C x− + −y = 25
8
A(2;3)
x+y+5=0
x+2y-7=0 G(2;0)
M
Trang 9Bài 14 Tam giác cân ABC có đáy BC nằm trên đường thẳng : 2x – 5y + 1 = 0,
cạnh bên AB nằm trên đường thẳng : 12x – y – 23 = 0 Viết phương trình đường thẳng AC biết rằng nó đi qua điểm (3;1)
Giải
- Đường (AB) cắt (BC) tại B 122x x y−5y+ =1 023 0
Suy ra : B(2;-1) (AB) có hệ số góc k=12, đường
thẳng (BC) có hệ số góc k'=2
5 , do đó ta có :
2 12
5
2
1 12
5
+ Gọi (AC) có hệ số góc là m thì
ta có :
2
2 5 5
tan
2 5 2 1
5
C
+ + Vì tam giác ABC cân tại A cho nên tanB=tanC, hay ta có :
8
2 5 4 10
2 5
2 5 4 10
m
- Trường hợp : 9 ( ): 9( 3) 1 9 8 35 0
m= − ⇒ AC y= − x− + ⇔ x+ y− =
- Trường hợp : m=12 suy ra (AC): y=12(x-3)+1 hay (AC): 12x-y-25=0 ( loại vì nó //AB )
- Vậy (AC) : 9x+8y-35=0
Bài 15 Viết phương trình tiếp tuyến chung của hai đường tròn :
(C1) : (x - 5)2 + (y + 12)2 = 225 và (C2) : (x – 1)2 + ( y – 2)2 = 25
Giải :
- Ta có (C) với tâm I(5;-12) ,R=15 (C') có J(1;2) và R'=5 Gọi d là tiếp tuyến
chung có phương trình : ax+by+c=0 (a2+b2 ≠0)
- Khi đó ta có : h I d( , ) 5a 212b c2 15 1 ,( ) (h J d, ) a 22b c2 5 2( )
- Từ (1) và (2) suy ra : 5 12 3 2 5 12 3 6 3
5 12 3 6 3
9
3
2
2
⇔
Thay vào (1) : a+2b c+ =5 a2+b2 ta có hai trường hợp :
A
2x-5y+1=0
M(3;1) H
12x-y-23=0
Trang 10- Trường hợp : c=a-9b thay vào (1) :
2a−7b =25 a +b ⇔21a +28ab−24b =0
Suy ra :
14 10 7 14 10 7 175 10 7
14 10 7 14 10 7 175 10 7
2
Vô nghiệm ( Phù hợp vì : IJ = 16 196+ = 212< +R R' 5 15 20= + = = 400 Hai đường tròn cắt nhau )
10