Chương 3 động lực học của vật rắn

Chương 3 ĐỘNG LỰC HỌC VẬT RẮN Chương này nghiên cứu các phương trình động lực học của vật rắn, đặc biệt là chuyển động quay của vật rắn quanh một trục cố định.. Khối lượng m của một hệ

Chương 3

ĐỘNG LỰC HỌC VẬT RẮN

Chương này nghiên cứu các phương trình động lực học của vật rắn, đặc biệt

là chuyển động quay của vật rắn quanh một trục cố định

§3.1 – VẬT RẮN

1 – Khái niệm về vật rắn:

Hệ chất điểm là một hệ gồm nhiều vật mà mỗi vật đều coi là một chất điểm Các chất điểm trong hệ có thể tương tác lẫn nhau, các lực tương tác đó gọi là nội lực; đồng thời có thể tương tác với các vật bên ngoài hệ, các lực tương tác này gọi là ngoại lực

Vật rắn là một hệ chất điểm phân bố liên tục (theo góc độ vĩ mô) trong một

miền không gian nào đấy mà khoảng cách giữa hai chất điểm bất kỳ không thay đổi

Như vậy, vật rắn luôn có hình dạng, kích thước và thể tích nhất định Trên thực tế, không có vật rắn tuyệt đối Bởi lẽ, dưới ảnh hưởng của các điều kiện bên ngoài như: nhiệt độ, áp suất, lực tác dụng, … thì khoảng cách giữa các phần tử trong vật có thay đổi đôi chút Tuy nhiên, trong phạm vi khảo sát, nếu sự thay đổi đó là không đáng kể thì ta coi vật đó là vật rắn

2 – Tính khối lượng của một vật rắn:

Trong chương 2, ta đã biết khối lượng là đại lượng đặc trưng cho mức quán tính và mức hấp dẫn của vật Trong phạm vi giới hạn của Cơ học cổ điển, khối lượng

là đại lượng bất biến Do đó khối lượng của một hệ cô lập luôn bảo toàn

Khối lượng m của một hệ chất điểm bằng tổng khối lượng các phần tử tạo nên

i i m

Vật rắn là một hệ chất điểm phân bố liên tục trong miền Ω nên khối lượng của vật rắn

Ω

= dm m

với dm là vi phân của khối lượng m (chính là khối lượng của phần tử nhỏ bé cấu tạo nên vật rắn)

Trường hợp vật rắn phân bố liên tục trong thể tích V (hình 3.1), tại mỗi điểm khảo sát M, ta lấy một yếu tố thể tích dV bao quanh M, gọi dm là khối lượng của vật

chất chứa trong yếu tố dV, ta định nghĩa mật độ khối lượng khối :

dV dm

(3.3)

Khi đó, dm = ρ(M)dV và = ∫∫∫ ρ (3.4)

V

dV ) M ( m

Nếu vật rắn là đồng nhất (hay thuần nhất) thì ρ = const (lúc này ρ chính là khối lượng riêng của chất liệu cấu tạo nên vật rắn) Khi đó (3.4) trở thành:

Tương tự, nếu hệ phân bố liên tục trên bề mặt (S) (hình 3.2), thì ta định nghĩa

mật độ khối lượng mặt:

dS

dm ) M ( =

với dm là khối lượng vật chất chứa trên yếu tố diện tích dS Khi đó ta có:

S

dS ) M ( m

Nếu hệ phân bố liên tục trên chiều dài L (hình 3.3), ta định nghĩa mật độ khối lượng dài: λ =

A d

dm

(3.8)

với dm là khối lượng vật chất chứa trên yếu tố chiều dài dA Khi đó ta có:

L

m= λ∫ (M)dA

Nếu hệ thuần nhất thì từ (3.7), (3.9) ta có: m = σS = λL (3.10)

dV

M

b) Yếu tố diện tích

dS bao quanh M

dS M

dA

M

c) Yếu tố chiều dài

d bao quanh M A

a) Yếu tố thể tích

dV bao quanh M

Hình 3.1

Một hệ phức tạp có thể chia thành nhiều phần, khối lượng của mỗi phần thuộc

về một trong những dạng định nghĩa trên Và khối lượng của hệ là tổng khối lượng của các phần đó

§3.2 KHỐI TÂM

Khi nghiên cứu chuyển động của một hệ chất điểm hay chuyển động của vật rắn, trong một số trường hợp cĩ thể rút gọn về chuyển động của một điểm đặc trưng

cho hệ đĩ Điểm đặc biệt này chính là khối tâm của hệ

Khối tâm được định nghĩa xuất phát từ

bài tốn tìm trọng tâm (điểm đặt của trọng lực)

của hệ 2 chất điểm Xét hai chất điểm M1 và M2

cĩ khối lượng m1 và m2 Trọng lực tác dụng lên

2 chất điểm đĩ là và Hợp lực của và

là cĩ điểm đặt tại G sao cho:

1 P

→

2 P

→

1 P

→

2

P

→ →

→ 2

1 P

1

2 1

2 2

1

m

m P

P G M

G M

=

chất điểm

⇒ m1.M1G – m2.M2G = 0 hay

(3.11)

0 G M m G

M

.

m1 →1 + 2 →2 =

Điểm G thỏa mãn (3.11) được gọi là khối tâm của hệ 2 chất điểm M1 và M2

Trường hợp tổng quát, hệ cĩ n chất điểm cĩ khối lượng lần lượt là m1, m2, …,

mn đặt tương ứng tại các điểm M1 , M2 , … , Mn , ta định nghĩa khối tâm của hệ là một điểm G thoả mãn: m1M→1G + m2M→2G + + mn M→nG = 0

=

→ 1 i

iG M

Với vật rắn, khối tâm là điểm G thỏa mãn:

∫ MG→ dm = ∫ MG→ ρ dV = 0 (3.13)

Vật rắn Vật rắn

trong đĩ M là điểm bất kì trên vật rắn, dV là yếu tố thể tích bao quanh M (hình 3.1)

Khối tâm G được định nghĩa theo (3.12) và (3.13) là một điểm đặc trưng cho

hệ, chỉ phụ thuộc vào vị trí tương đối và phân bố khối lượng giữa các phần tử trong

hệ, khơng phụ thuộc vào các yếu tố bên ngồi Các kết quả tính tốn cho thấy, nếu hệ

cĩ một yếu tố đối xứng (tâm đối xứng, trục đối xứng, mặt đối xứng) thì khối tâm của một hệ nằm trên yếu tố đối xứng đĩ Như vậy, nếu hệ cĩ nhiều yếu tố đối xứng thì khối tâm G thuộc về giao của các yếu tố đối xứng đĩ

Ví dụ, khối tâm của đĩa tròn đồng chất, khối lượng phân bố đều chính là tâm của đĩa (giao điểm của hai đường kính); khối tâm của miếng sắt mỏng đồng chất, hình chữ nhật chính là giao điểm của 2 đường chéo, …

Cần phân biệt hai thuật ngữ “khối tâm” và “trọng tâm”! Trọng tâm G’ của hệ

là điểm đặt của trọng lực tác dụng vào hệ, nghĩa là vị trí của G’ không những phụ thuộc vào vị trí, khối lượng của các phần tử cấu tạo nên hệ mà còn phụ thuộc vào gia tốc trọng trường Trong khi đó vị trí khối tâm G không phụ thuộc vào gia tốc trọng trường

Trên thực tế, hầu hết kích thước các hệ vật lí mà ta khảo sát là không lớn, do

đó gia tốc trọng trường hầu như không đổi tại mọi điểm và G’ trùng với G Việc phân biệt vị trí của G’ và G là không cần thiết!

Ví dụ 3.1: Hệ ba chất điểm có khối lượng bằng nhau, đặt tại ba đỉnh của tam giác

ABC Xác định khối tâm của hệ

Giải

Theo định nghĩa, khối tâm G thỏa: m1AG→ + m2BG→ + m2CG→ = 0

Vì m1 = m2 = m3 = m nên: AG→ + BG→ + CG→ = 0

Điểm G thỏa phương trình trên chính là trọng tâm (giao điểm của ba trung tuyến) của tam giac ABC

2 – Toạ độ của khối tâm:

Trong kỹ thuật, việc xác định chính xác khối tâm của vật rắn là hết sức quan trọng, nhất là đối với các vật rắn có chuyển động quay Xác định khối tâm G theo định nghĩa (3.12) và (3.13) là rất phức tạp Trong thực hành, ta có thể xác định G bằng cách tìm giao điểm của các trục đối xứng Phương pháp này đặc biệt tiện lợi đối với các vật phẳng đồng nhất

Trong lí thuyết, ta dùng phương pháp tọa độ Chọn điểm O làm gốc tọa độ, vị trí của khối tâm G được xác định bởi vectơ bán kính Áp dụng “qui tắc 3 điểm” đối với 3 điểm O, G và M

→

→

= OG

rG

i bất kì, ta có: OG→ = OM→ i + M→iG Nhân hai vế phương trình này với mi rồi lấy tổng theo i, ta có:

→

→

→

+

= m OM m M G OG

mi i i i i

i 1 i 1 i 1

m OG→ m OM→ m M G

→

i

→

Vì OG→ không phụ thuộc vào chỉ số chạy i nên ta đưa ra ngoài dấu tổng:

i

i 1 i 1 i 1

OG→ m m r→ m M G

Mà theo định nghĩa (3.12), ta cĩ: M G 0

1 i

i =

∑

=

→ n

i m

∑

∑

=

=

→

→

→

=

1 i i

n 1 i i i

m

r m

Trong hệ toạ độ Descartes, vectơ cĩ tọa độ nên khối tâm G của hệ cĩ

tọa độ:

→ i

r (xi,yi,zi)

G

⎟

⎟

⎟

⎟

⎠

⎞

⎜

⎜

⎜

⎜

⎝

⎛

∑

∑

∑

∑

∑

∑

=

=

=

=

=

=

n 1

i i

n 1

i i i n

1

i i

n 1

i i i n

1

i i

n

1

i i i

m

z m

; m

y m

; m

x m

(3.15)

Với vật rắn thì tọa độ của G là:

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

=

=

m

zdm z

; m

ydm y

; m

xdm

xG vật rắn G vật rắn G vật rắn (3.16)

Trong đĩ (x,y,z) là tọa độ của yếu tố khối lượng dm; m là khối lượng của vật rắn

Ví dụ 3.2: Cĩ ba chất điểm khối lượng m1 = m2 = 2mo, m3 = 6mo đặt tại ba đỉnh A, B,

C của tam giác đều, cạnh a Xác định khối tâm G của hệ Phải tăng hay giảm khối lượng của m3 đi bao nhiêu để khối tâm G trùng với trọng tâm ∆ABC?

Giải

m3

Am1

x C G

O

Dễ thấy, hệ đối xứng qua đường cao OC, nên G

nằm trên OC Chọn trục Ox như hình vẽ Theo

(3.15), ta cĩ:

3 2 1

3 3 2 2 1 1

G m m m

x m x m x m x

+ +

+ +

=

m2

x3 = xC = a 3/2

Hình 3.3

Suy ra:

10

3 a 3 m

10

2 / 3 a m 6 0 0 x

o

o

G = + + =

Để G trùng với trọng tâm ∆ABC thì :

6

3 a 3

x x x

x A B C

G = + + =

3 a m m 2 m

2

2 / 3 a m 0 0

3 o o

3 = + +

+ +

R -α

α ϕ Vậy phải giảm khối lượng vật m3 một lượng ∆m = 4mo O

Ví dụ 3.3: Xác định khối tâm của một vật thể hình cung

tròn đồng nhất, bán kính R, chắn góc ở tâm 2α

Giải

Chọn trục Ox là đường phân giác của góc ở tâm như

hình (3.4) Dễ thấy Ox chính là trục đối xứng của hệ Suy ra khối tâm G phải nằm trên

Ox

Hình 3.4:

Xét một yếu tố dài chắn góc ở tâm dϕ Hoành độ của yếu tố này là: x = Rcosϕ; khối lượng chứa trong dAdA là dm = λdA = λRdϕ Theo (3.16), ta có:

α

α

= α λ

ϕ λ

=

ϕ λ ϕ

=

α

− R sin 2

R

cos R m

Rd cos R m

xdm x

2 L

L

trong đó λ là mật độ khối lượng dài của cung tròn; m = λR.2α là khối lượng của cung tròn

Vậy khối tâm của vật thể hình cung tròn đồng

nhất nằm trên phân giác của góc ở đỉnh, cách tâm

một đoạn xG được xác định bởi (3.17)

dS = r.dr.dϕ

r

R

dϕ

x ϕ

dr

Ví dụ 3.4: Xác định khối tâm của một vật thể

hình quạt tròn đồng nhất, bán kính R, chắn góc ở

tâm 2α

Giải

x O

Tương tự như ví dụ 3 ta cũng suy ra khối tâm G

của hình quạt đồng nhất nằm trên trục đối xứng

Ox (đường phân giác của góc ở tâm)

Xét một yếu tố diện tích dS Trong hệ tọa độ cực,

ta có dS = r.dr.dϕ Khối lượng chứa trong dS là

dm = σdS; hoành độ của dS là x = r.cosϕ Hoành

độ của khối tâm G là:

Hình 3.5

m

dS cos r m

xdm

G

∫∫

=

m

d dr r

cos r

S

=

α

= α

σ

ϕ ϕ σ

=

⇒ ∫ ∫α

α

−

3

sin R 2 R

.

d cos dr r

R

0 2

Trong đĩ, m = σ.S = σ.αR2 là khối lượng của hình quạt

Vậy khối tâm của vật thể hình quạt đồng nhất nằm trên phân giác của gĩc ở đỉnh, cách tâm một đoạn xG được xác định bởi (3.18)

Ví dụ 3.5:

Xác định

khối tâm của

một vật thể

hình nĩn

đồng nhất,

đường cao h

Giải

Chia hình

nĩn thành

những phần

nhỏ, cĩ dạng

đĩa trịn bán

kính r, bề

dày dx (hình

3.6) Ta cĩ:

∫

∫

∫

∫

∫

ρπ

ρπ

= ρ

ρ

=

=

vật rắn

vật rắn

vật rắn

vật rắn vật rắn

dx r x dV

dV x dm

x x

2

2

4

h dx ) x h (

dx ) x h ( x dx tg ) x h (

dx tg ) x h ( x

0

2

h

0

2

2 2

2 2

−

−

= α

−

α

−

=

∫

∫

∫

∫ vật rắn vật rắn

Vậy, khối tâm của khối hình nĩn đồng nhất nằm trên trục hình nĩn, cách đáy một khoảng:

4

h

3 – Chuyển động của khối tâm:

Vận tốc của khối tâm:

dx

O

h

4

r G

O

h – x x

α

x

h

Hình 3.6: Khối tâm của vật hình nĩn

1

i

∑

∑

∑

∑

∑

∑

=

=

→

=

=

→

=

=

→

→

→

=

=

=

1 i i

n i i n

1 i i

n 1 i

i i n

1 i i

n 1 i i i G

G

m

v m m

dt

r d m m

r m dt d dt

r d

Tương tự, gia tốc của khối tâm: aG

∑

∑

=

=

→

→

→

=

1 i i

n 1 i

i i G

m

a m dt

v d

(3.21)

Gọi là tổng các ngoại lực và nội lực tác dụng lên chất điểm thứ i;

m = là khối lượng của tồn hệ Theo (2.6) ta cĩ :

→

→

i f

à v

Fi

Suy ra:

m

f F

a→G ∑ ∑→i+ →i

=

Mà theo định luật III Newton, các vật trong hệ tương tác nhau bằng các lực trực đối, nên tổng các nội lực ∑f→i = 0

→

→

=

G hay m a F m

F

a (3.22)

(3.22) chính là phương trình chuyển động của khối tâm Từ đĩ ta thấy rằng, khối tâm của hệ chuyển động như một chất điểm cĩ khối lượng bằng tổng khối lượng các vật trong hệ

Ví dụ: Khi ta ném cái rìu lên trời thì nĩ vừa bay, vừa xoay Tuy vận tốc và qũi đạo của

mỗi điểm trên cái rìu là hồn tồn khác nhau và rất phức tạp, nhưng qũi đạo của khối tâm chắc chắn phải là đường Parabol như chuyển động ném xiên của một chất điểm (bỏ qua sức cản khơng khí)

§ 3.3 CHUYỂN ĐỘNG CỦA VẬT RẮN

Trong chương 1, chúng ta đã nghiên cứu tính chất các chuyển động của chất điểm Vật rắn có những chuyển động riêng và trong mỗi dạng chuyển động, có những tính chất đặc trưng riêng Giáo trình này chỉ nghiên cứu chuyển động song phẳng của vật rắn, nghĩa là trong quá trình chuyển động, mỗi điểm trên vật rắn luôn có qũi đạo nằm trong một mặt phẳng song song với một mặt phẳng cố định

1 – Vật rắn tịnh tiến:

Chuyển động của vật rắn được gọi là tịnh tiến nếu một đoạn thẳng nối hai

điểm bất kì trên vật rắn luôn song song với chính nó (có phương không đổi)

Xét điểm M bất kỳ trên vật rắn và khối tâm

G của vật rắn Chọn điểm O làm gốc tọa độ, theo qui

tắc 3 điểm ta có:

M

G

G M

OM→ = OG→ + GM→

hay r→M = r→G + GM→

Hình 3.7: Chuyển động tịnh

tiến của vật rắn

Suy ra:

dt

GM d dt

r d dt

r

d →M →G →

+

=

Vì vật rắn tịnh tiến nên vectơ GM→ không đổi Do đó =0

→

dt

GM d

.

Vậy: hay v→M v→G

→

→

=

= dt

r d dt

r

d M G

Khi vật rắn tịnh tiến thì mọi điểm trong vật rắn đều vạch ra các qũi đạo giống nhau với cùng một vận tốc bằng với vận tốc của khối tâm Do đó chuyển động của vật

rắn trong trường hợp này được qui về chuyển động của khối tâm Nói cách khác, toàn

bộ vật rắn được coi như một chất điểm có khối lượng bằng khối lượng toàn vật rắn, đặt tại khối tâm G

2 – Vật rắn quay quanh một trục cố định:

Khi vật rắn quay quanh trục cố định (∆) với vận tốc góc ω thì mọi điểm của vật rắn sẽ vạch ra những đường tròn đồng trục ∆, với cùng một vận tốc góc ω→

Xét một điểm M bất kì trên vật rắn, gọi R→ là vectơ bán kính quĩ đạo của M, ta có:

- Vận tốc dài: →v = ω→ x R→ (3.24)

và độ lớn: v = ωR (3.25)

- Gia tốc tiếp tuyến: a→t = →β x R→ (3.26)

- Gia tốc pháp tuyến: a 2R (3.28)

n = ω

- Gia tốc toàn phần: →a = a→t+ a→n (3.29)

n

2

t a a

Ví dụ 3.6: Một dây cuaroa truyền động, vòng qua vôlăng I và

bánh xe II Bán kính vôlăng là R1 = 10cm; bánh xe là R2 =

50cm Vôlăng đang quay với vận tốc 720 vòng/phút thì bị

ngắt điện, nó quay chậm dần đều, sau đó 30 giây vận tốc chỉ

còn 180 vòng/phút Tính vận tốc quay của bánh xe trước khi

ngắt điện, số vòng quay của vôlăng và bánh xe trong khoảng

trời gian trên Sau bao lâu, kể từ lúc ngắt điện, hệ thống sẽ dừng? Tính vận tốc góc trung bình của vôlăng và bánh xe trong khoảng thời gian từ lúc ngắt điện đến lúc dừng (dây cuaroa không bị trượt trên vôlăng và bánh xe)

ω

M

→

ω → R

Hình 3.8: Chuyển

động quay của vật rắn quanh trục

cố định

Giải

Gọi ω1 và ω2 là vận tốc góc của vôlăng

và bánh xe; ω01 và ω02 là các vận tốc

góc ban đầu của chúng Ta có: ω01 =

720 vòng/phút = 24π rad/s

t1 = 30s; ω1 = 180 vòng/phút = 6π rad/s

Vì dây cuaroa không bị trượt trên

vôlăng và bánh xe nên các điểm tiếp

xúc giữa vôlăng – dây cuaroa, bánh xe

– dây cuaroa luôn có cùng vận tốc dài Suy ra: ω1R1 = ω2R2 ; ω01R1 = ω02R2

R2

R1

Hình 3.9

Vậy vận tốc quay của bánh xe trước khi ngắt điện là:

144 720 50

10 R

R

1 2

1

2 = ω = =

Gia tốc góc của vôlăng: β = ω −ω = π− π =−0,6π

30

24 6

t1

1 1

Góc mà vôlăng đã quay trong thời gian t1 = 30s:

π

= π

− π

= β + ω

=

θ t 24 30 0 , 3 30 450

2

1

1 1 1

1