áp dụng phương pháp PTHH khi tính toán các công trình cầu Việc tính toán với độ chính xác cao các kết cấu cầu, trong đó có cầu cong, cầu rẽ nhánh và các kết cấu cầu đặc biệt khác là mộ
Trang 1áP DụNG PHƯƠNG PHáP PHầN Tử HữU HạN
TS Lê HOàng Hà
Công ty cổ phần Tư vấn thiết kế Đường bộ
1 Sơ lược về phương pháp Phần
tử hữu hạn (PTHH)
Các căn cứ toán học của phương pháp
PTTH đã xuất hiện cách đây hơn 100 năm,
vào những thập niên cuối của thế kỷ 19
Lord Rayleigh (năm 1870) và Ritz (năm
1909) đã sáng tạo ra phương pháp tính với
việc lập ra các phương trình xấp xỉ trong môi
trường cơ học chất rắn Tiếp đó, vào năm
1915, V Galerkin đã xây dựng được phương
pháp giải gần đúng theo các vùng riêng biệt
của kết cấu, dựa trên việc giải các phương
trình vi phân Lý thuyết này được áp dụng
rộng rãi cho việc giải các bài toán hệ thanh
và bản Theo quan niệm của nhiều chuyên
gia, phương pháp của Galerkin có thể được
coi là nền tảng lý thuyết cho phương pháp
PTHH sau này [1, 2] Tiếp theo, năm 1943,
R Courant đã phát triển các ý tưởng trên, sử
dụng các phương trình tuyến tính, kết hợp
với việc chia kết cấu thành tập hợp của các
phần tử tam giác và áp dụng phương pháp
này để giải các bài toán kết cấu chịu xoắn
Phương pháp này về sau tiếp tục được phát
triển lên và rất phổ biến về sau này, đó
chính là phương pháp PTHH
a)
n = 2 n = 3 n = 4
b)
n = 6 n = 8 n = 1 2
c)
n = 8
n = 6
n = 4
d)
n = 2 0
n = 1 5
n = 1 0
Hình 1 Các loại phần tử khác nhau được dùng
trong phương pháp PTHH
Khái niệm chung của phần tử hữu hạn
được R Courant, M Turner, H Martin và L Topp giới thiệu lần đầu tiên năm 1956 Tuy nhiên mãi đến năm 1960, khái niệm và nguyên lý tính toán theo phương pháp
lin e.
vn
Trang 2phần tử hữu hạn được R Courant giới
thiệu chính thức Phương pháp PTHH trong
thời gian này dùng để áp dụng giải quyết
các vấn đề trong việc giải các bài toán trong
lĩnh vực cơ học chất rắn và cơ học ứng
dụng Đến cuối thập niên 60 của thê kỷ
trước, phương pháp PTHH được mở rộng để
tính toán trong lĩnh vực tấm bản chịu uốn,
tấm vỏ chịu uốn
Trong phương pháp PTHH, có thể sử
dụng các loại phần tử khác nhau: phần tử
phẳng (hình 1 - a, b) và phần tử khối (hình 1
- c, d); phần tử có biên thẳng (hình 1 - a, c)
hay phần tử có biên cong (hình 1 - b, d)
Những loại phần tử này được dùng để tính
toán các dạng kết cấu khác nhau như tấm,
vỏ, màng, bản, khối đối xứng và khối phi đối
xứng
Hiện nay, với sự giúp sức của các máy
định điện tử có tốc độ cao và dung lượng bộ
nhớ lớn, phương pháp PTHH được áp dụng
rất nhiều khi giải quyết các bài toán không
gian xét đến sự làm việc trong các môi
trường khác nhau, với các giai đoạn làm việc
khác nhau của vật liệu dưới tác dụng của
nhiều loại tải trọng khác nhau
2 áp dụng phương pháp PTHH khi
tính toán các công trình cầu
Việc tính toán với độ chính xác cao các
kết cấu cầu, trong đó có cầu cong, cầu rẽ
nhánh và các kết cấu cầu đặc biệt khác là
một công việc khó khăn, thậm chí trong rất
nhiều trường hợp không thể đưa ra kết quả
tính toán chính xác được Do vậy, khi tính
toán thiết kế các công trình cầu, thường áp
dụng các phương pháp tính toán và các
phương pháp tính gần đúng, với kết quả
nhận được mô hình hóa gần đúng sự làm
việc của kết cấu trong thực tế Khi tính toán thiết kế, kết cầu cầu thường được tính toán theo các phương pháp sau: phương pháp lực hoặc chuyển vị, các phương pháp sai phân hữu hạn, phần tử hữu hạn, tương tự mạng dầm, bản gập khúc Trong các phương pháp tính toán kể trên, phương pháp phần tử hữu hạn được dùng rất phổ biến vì những ưu điểm riêng của nó Nhiều nghiên cứu [3, 4, 5, 6] đã chỉ ra rằng, áp dụng phương pháp phần tử hữu hạn cho phép tính toán các kết cấu cầu khi làm việc ở trạng thái ứng suất-biến dạng và góp phần tăng thêm độ tin cậy của các kết quả nhận được Hiệu quả của phương pháp PTHH được thể hiện rõ cùng với khả năng tính toán kết cấu khi làm việc với các điều kiện biên khác nhau, với các loại tải trọng khác nhau và với các dạng kết cấu khác nhau v.v
Việc áp dụng phương pháp PTHH cho phép tiến hành tính toán các kết cấu cầu phức tạp, các dạng cầu khác nhau khi xét
đến giai đoạn làm việc của vật liệu khác nhau khi chịu các loại tải trọng khác nhau [3,6]
3 ứng dụng phương pháp PTHH khi tính toán các cầu có kết cấu phức tạp
ứng dụng phương pháp PTHH khi tính toán các dạng cầu có kết cấu phức tạp là một công việc không dễ dàng, khi giải các dạng kết cấu này cần phải kết hợp giữa các
lý thuyết tính toán, các mô hình tính toán và rất nhiều các kết quả thí nghiệm trong thực
tế Hiện nay, khi tính toán các kết cấu phức tạp, có thể sử dạng 2 sau:
- Mô hình dạng thanh phần tử;
- Mô hình dạng khối phần tử
lin e.
vn
Trang 3Hình 2 Mô hình tính toán kết cấu nhịp cầu cong
và cầu có kết cấu phức tạp bằng mô hình dạng
thanh phần tử
Khi áp dụng mô hình tính toán kết cấu
dạng thanh phần tử, một đoạn kết cấu được
coi như một phần tử dạng thanh có độ cứng
tương đương, do vậy việc giải bài toán tính
toán kết cấu cầu dạng này sẽ áp dụng
phương pháp PTHH với mô hình tính toán
hệ các phần tử thanh Mô hình này được thể
hiện dưới dạng một tập hợp các điểm trong
không gian, được liên kết với nhau bằng các
đường thẳng hoặc các đường cong (hình 2)
Các điểm trong không gian này có thể biểu
diễn các điểm tùy ý hoặc điểm đặc biệt của
kết cấu như tại vị trí trên trụ, tại điểm rẽ
nhánh hay tại vị trí thay đổi tiết diện Còn
các đường thẳng (hoặc đường cong) nối các
điểm này, được thể hiện bằng cách nối với
trọng tâm của tiết diện điểm này với trọng
tâm tiết diện của điểm khác [3]
Trình tự tính toán kết cấu bằng mô hình dạng thanh phần tử có thể chia thành 3 bước sau:
- chuẩn bị số liệu: mô tả sơ đồ kết cấu
cần tính toán, chia ra các phần tử, đánh số các điểm nút và các phần tử thanh, lựa chọn trục của hệ tọa độ cục bộ và hệ tọa độ chung Sau đó tiến hành lập các ma trận:
ma trận độ cứng của phần tử trong hệ tọa
độ địa phương [k’], ma trận chuyển hệ tọa
độ địa phương sang hệ tọa độ chung [c] Tiếp theo lập các véctơ ngoại lực {P} tại các
điểm nút của phần tử thanh dựa trên các
điều kiện làm việc của kết cấu;
- giai đoạn tính toán: tính toán ma trận
độ cứng của phần tử theo hệ tọa độ chung
[k] = [c] T [k’] [c], sau đó tính ma trận độ cứng [R] cho toàn bộ hệ kết cấu Theo công thức {∆} = [R] -1 {P} tính toán được véctơ chuyển vị
của các điểm nút của kết cấu trong hệ tọa
độ chung:
- xử lý kết quả: sau khi có được véctơ
chuyển vị của các điểm nút của phần tử, nhận được nội lực và ứng suất tại các điểm nút này dưới dạng biểu đồ và số
A A
A-A
Hình 3 Mô hình tính toán kết cấu nhịp cầu rẽ nhánh bằng mô hình dạng khối phần tử trong không gian
lin e.
vn
Trang 4Khi áp dụng phương pháp PTHH để
tính toán các kết cấu phức tạp, bên cạnh
việc áp dụng mô hình tính toán bằng dạng
thanh phần tử, còn áp dụng mô hình tính
toán bằng dạng khối phần tử Trong trường
hợp tồn tại một đoạn của kết cấu, nơi xuất
hiện các ứng suất và biến dạng đáng kể, thì
sẽ tách riêng đoạn kết cấu này và khi tính
toán áp dụng mô hình dạng khối phần tử
Khi áp dụng mô hình tính toán dạng
khối phần tử, đối với cầu thẳng và cầu cong,
kết quả tính toán thường tin cậy và có độ sai
khác không nhiều so với áp dụng tính toán
áp dụng mô hình dạng thanh phần tử [3] Ưu
điểm của việc áp dụng mô hình dạng khối
phần tử chỉ được thể hiện rõ khi tính toán
các kết cấu phức tạp như phần cầu rẽ
nhánh, phần khối dầm trên đỉnh trụ hoặc
phần cục bộ neo đầu dầm v.v Khi áp dụng
mô hình này, thông thường sử dụng phần tử
lăng trụ tam giác (4 mặt) hoặc lăng trụ tứ
giác (6 mặt) Mô hình tính toán kết cấu được
thể hiện dưới dạng tập hợp các khối phần tử
trong không gian, được liên kết với nhau tại
các điểm nút của các khối phần tử này (hình
3)
Trình tự tính toán kết cấu bằng mô hình
dạng khối phần tử có thể chia thành 2 bước
sau:
- mô tả sơ đồ kết cấu cần tính toán,
chia ra các phần tử, đánh số các điểm nút
và các khối phần tử, lựa chọn trục của hệ
tọa độ cục bộ và hệ tọa độ chung Sau đó
tiến hành tính toán chuyển vị của các khối
phần tử theo hệ tọa độ cục bộ và hệ tọa độ
chung;
- tính toán nội lực, chuyển vị và ứng
suất tại các điểm nút của các khối phần tử,
thể hiện kết quả này dưới dạng biểu đồ và
số
4 Ví dụ tính toán cầu cong áp dụng phương pháp PTHH
Trong ví dụ dưới đây, xem xét 1 kết cầu dầm bản BTCT DƯL dầm cong liên tục mặt
bằng, bán kính cong của dầm R = 60m
Dầm bản được bố trí trên các trụ cột với
đường kính D = 1,25m (hình 4) Trên hình
này, sơ đồ tính toán của kết cấu nhịp cầu cong được mô hình dưới dạng tập hợp các phần tử trong không gian Kết cấu 5 nhịp
dầm bản có sơ đồ 30+3x35+30m, chiều cao dầm h = 1,45m, chiều rộng cầu  = 12m
Kết cấu nhịp được liên kết ngàm với trụ P3
và P4, trên trụ trụ P2 và P5 được đặt 1 gối cầu tại giữa nhịp, còn tại mố A1 và A2 đặt 2 gối Trên các trụ bố trí các khối dầm đặc, còn tại vị trí phía ngoài các trụ, dầm được khoét rỗng tạo lỗ để tiết kiệm vật liệu
a)
b)
Bs
1 2 3 4 5 6 7 8
9 10 11 12
Bs
9 10 11 12
5 6 7 8
1 2 3 4
Bs-out.
Bs-int.
Ts-int.
Hình 4 Mô hình tính toán kết cấu nhịp cầu cong
lin e.
vn
Trang 5Kết cấu nhịp dầm bản và trụ cột được
mô hình bằng các khối lăng trụ tam giác
hoặc lăng trụ tứ giác, các khối này được liên
kết với nhau tại các điểm nút (hình 4) Số
lượng phần tử trên nhịp 1, 5 là 14x28 = 392,
trên nhịp 2, 3, 4 là 13x28 = 364 phần tử Trụ
P2, P3, P4, P5 được mô hình bằng 8 x 4 =
32 phần tử tại trụ, và 8 phần tử gối Tổng
cộng toàn cầu là 2376 phần tử
Tính toán và thiết kế kết cấu nhịp dầm
bản dưới tác động của tải trọng bản thân
của kết cấu và hoạt tải, phù hợp với tiêu
chuẩn thiết kế cầu hiện hành 22TCN 272-05
[7] Trên hình 5 thể hiện sơ đồ bố trí hoạt tải
gồm xe 3 trục HL-93 với tải trọng mỗi trục là
145 kN và tải trong rải đều tương đương 9,3
N/mm 2 theo phương ngang cầu
a)
145
145
145
4.3 4.3 … 9.0
9.3 /
b)
500
5500 2600
3500
1800
500
500
e = 3250
HL - 93: P = 145 / 2 = 72,5 kN
P (kN)
q = 9,3 N/ mm
P (kN)
B = 12000
1800
P (kN) P (kN)
500 2600
3500
e = 250
Hình 5 Sơ đồ bố trí hoạt tải:
a – xe HL-93 và tải trọng rải đều tương đương,
b - bố trí hoạt tải theo phương ngang cầu
a)
b)
Hình 6 Bố trí cốt thép CĐC trên mặt cắt ngang của kết cấu nhịp dầm bản cong:
a - tại vị trí giữa nhịp, b – tại vị trí trên gối
Bê tông của kết cấu nhịp dùng loại
C-35, còn cáp cường độ cao dùng loại 12 tao
bó xoắn 7 sợi 15.2mm (6-12) với lực kéo Fð
= 75% [Fp] Sơ đồ bố trí cốt thép CĐC trên
mặt cắt ngang của kết cấu nhịp cầu cong
được thể hiện trên hình 5: tại giữa nhịp 3 bố trí 24 bó cáp CĐC, tại nhịp 2 và 4 là bố trí 20
bó, còn tại nhịp 1 và 5 bố trí 16 bó cáp
a)
b)
Hình 6 Biểu đồ bao ứng suất tại thớ trên (a) và thớ dưới (b) trên mặt cắt ngang của kết cấu nhịp
cầu cong (dạng duỗi thẳng)
lin e.
vn
Trang 6a)
b)
Hình 7 Biểu đồ ứng suất chủ (a) và ứng suất
tiếp (b) tại các điểm thớ trên và thớ dưới
của mặt cắt ngang kết cấu nhịp
Trong phạm vi tiến hành nghiên cứu,
tác giả sử dụng chương trình tính toán kết
cấu chuyên dụng, trong đó phương pháp
tính dựa trên phương pháp phần tử hữu hạn,
cho phép tính toán nội lực và ứng suất
không những theo phương dọc cầu, mà còn
theo các điểm bất kỳ trên mặt cắt ngang kết
cấu nhịp Kết quả tính toán nội lực và ứng
suất của kết cấu nhịp được thể hiện dưới
dạng số hoặc biểu đồ Theo tiêu chuẩn thiết
kế cầu 22TCN 272-05 kết quả nhận được sẽ
phải nhỏ hơn giới hạn cho phép (được quy
định và tính toán theo quýy trình) [7]
Trên hình 6 thể hiện thể hiện biểu đồ
bao ứng suất tại thớ trên và thớ dưới trên
mặt cắt ngang của kết cấu nhịp cầu cong
(dạng duỗi thẳng), còn trên hình 7 biểu đồ
ứng suất chủ và ứng suất tiếp tại các điểm
trên thớ trên và thớ dưới của kết cấu nhịp
5 Kết luận
Dựa vào việc áp dụng phương pháp
PTHH khi thiết kế tính toán các công trình
cầu, đặc biệt là các cầu có kết cấu phức tạp, tác giả đưa ra một vài kết luận sau:
1 Hiện nay, phương pháp PTHH là phương pháp rất hiệu quả, dùng để nghiên cứu và tính toán các kết cấu cầu phức tạp, trong đó có cầu cong, cầu rẽ nhánh, cũng như các khu vực cục bộ của kết cấu cầu
2 Khi áp dụng phương pháp PTHH để tính toán các kết cấu cầu, hợp lý khi áp dụng mô hình dạng thanh phần tử và mô hình dạng khối phần tử trong không gian Thông thường, khi dùng để tính toán các kết cấu chung, tổng thể thì áp dụng mô hình dạng thanh phần tử, còn khi dùng để tính toán các kết cấu cục bộ thì áp dụng mô hình dạng khối phần tử
3 Phương pháp PTHH cho phép tính toán nội lực, ứng suất và chuyển vị không những theo phương dọc cầu, mà còn theo các điểm bất kỳ trên mặt cắt ngang kết cấu nhịp Việc áp dụng phương pháp còn cho phép tính toán các dạng kết cấu khác nhau khi xét đến giai đoạn làm việc khác nhau của vật liệu khi chịu các loại tải trọng khác nhau
Tài liệu tham khảo
1 Bathe K L Finite Element Procedure New Jersey: Prentice-Hall, 1996, 1037 p
2 Zienkiewicz O C., Taylor R L., Elsevier Finite Element Method Volume 1 - The Basis McGraw-Hill, 2000, 665 p
.: ,
1992, 256
.: , 1988, 447
.: , 2002,
597
6 Barker R M., Puckett J A Design of highway bridges American: John Wiley & Son, 1997,
1169 pages
7 Tiêu chuẩn thiết kế cầu 22TCN272-05 Việt Nam, 2005
lin e.
vn
