Phương pháp dùng tam thức bậc hai

PHƯƠNG PHÁP DÙNG TAM THỨC BẬC HAI 1.

PHƯƠNG PHÁP DÙNG TAM THỨC BẬC HAI

1 Đổi biến để đưa về tam thức bậc hai đối với biến mới

VD:

Tìm GTLN của:

A = x + 2 x

Giải:

Điều kiện: x  2

Đặt 2 x = y  0

Ta có y2 = 2 – x

A = 2 - y2 + y = - (y- 1

2)2 + 9 9

4 4

4  y 2  x 4 x 4

2 Đổi biến để đưa về bất phương trình bậc hai đối với biến mới VD:

Tìm GTLN, GTNN của

A = x 2 + y 2

Biết rằng x 2 (x 2 + 2y 2 – 3) + (y 2 – 2) 2 = 1 (1)

Giải:

Từ (1) suy ra

(x2 + y2)2 – 4 (x2 + y2) + 3 = - x2  0

Do đó A2 – 4A + 3  0  (A – 1)(A – 3)  0

 1  A  3

Min A = 1 x = 0, khi đó y = 1

MaxA = 3  x = 0, khi đó y =  3

3 Đưa về phương trình bậc hai và sử dụng điều kiện  0

VD1:

Tìm GTLN, GTNN của:

A =

2

2

1 1

x x

x x

 

 

Giải:

Biểu thức A nhận giá trị a khi và chỉ khi phương trình sau đây có nghiệm

a =

2

2

1 1

x x

x x

 

  (1)

Do x2 + x + 1  0 nên

(1)  ax2 + ax + a = x2 – x – 1

 (a – 1)x2 + (a + 1)x + (a – 1) = 0 (2)

Trường hợp 1:

Nếu a = 1 thì (2) có nghiệm x = 0

Trường hợp 2:

Nếu a  1 thì điều kiện cần và đủ để (2) có nghiệm là  0, tức là:

 (a +1)2 – 4(a – 1)2  0

 (a + 1 + 2a – 2) (a + 1 – 2a +2)  0

 (3a – 1) (a – 3)  0

 1 3

3a (a  1) Với a = 1

3 hoặc a = 3 thì nghiệm của (2) là :

2( 1) 2(1 )

x

Với a = 1

3 thì x = 1

Với a = 3 thì x = -1

Gộp cả hai trường hợp (1) và (2), ta có:

MinA = 1

3 khi và chỉ khi x = 1

MaxA = 3 khi và chỉ khi x = -1

Nhận xét:

a) Phương pháp giải như trên còn gọi là phương pháp miền giá trị của hàm

số Đoạn 1;3

3

 

 

  là tập giá trị của hàm số A =

2 2

1 1

x x

x x

 

 

b) Cách khác tìm GTLN của A:

A =

MaxA = 3 khi và chỉ khi x = -1

c) Cách khác tìm GTNN của A:

A =

MinA = 1

3 khi và chỉ khi x = 1

VD2:

Tìm GTLN và GTNN của:

A = 2 24 5

1

x

 



Giải:

Biểu thức A nhận giá trị a khi và chỉ khi phươg trình sau đây có nghiệm

a =

2

2

1

x

 

 (1)

Do x2 + 1 > 0 nên

(1)  x2(a – 2) – 4x + a – 5 = 0 (2)

Trường hợp 1:

Nếu a = 2 thì (2) có nghiệm x = - 3

4

Trường hợp 2:

Nếu a  2 thì phương trình (2) có nghiệm

 ' = 4 – (a – 2)(a – 5)  0

 a2  7a  6 0   1 a 6a 2

Với a = 1 thì x = -2

Với a = 6 thì x = 1

2 Kết hợp cả hai trường hợp (1) và (2), ta có:

MinA = 1 khi và chỉ khi x = -2

MaxA = 6 khi và chỉ khi x = 1

2

VD3:

Tìm GTLN và GTNN của:

B = 2x 2 + 4xy + 5y 2 biết rằng x 2 + y 2 = a ( a là hằng số, a  1)

Giải:

Vì a  1 nên ta có:

B

a =

2x 4xy 5y 2x 4xy 5y





Trường hợp 1:

Nếu y = 0 thì B

a = 2

Trường hợp 2:

Nếu y  0 ta đặt t = x

y thì B

a =

2 2

1

t t t

 



Theo VD2 điều kiện để phương trình ẩn t trên có nghiệm là

1 b 6

a

  nên ab 6a ( vì a  1)

Từ đó suy ra

MaxB = 6a khi và chỉ khi 1 2

2

x

y x

y   

Hay khi và chỉ khi (x, y) nhận giá trị 5 ,2 5 ; 5 , 2 5

MinB = a khi và chỉ khi

2 2

2 4

x mx n

x

y     

Hay khi và chỉ khi (x, y) nhận giá trị 2 5 , 5 ; 2 5 , 5

VD4:

Tìm GTLN và GTNN của:

c = 2 3 1 7

Giải:

Điều kiện: 0 x 1

Đặt z = x thì z2 + y2 = 1 (1)

Ta cần tìm GTLN và GTNN của d = 4z + 3y với 2c = d + 7

Điều kiện: 0  z 1, 0  y 1, 0 d  7

Thay 9y2 = (d – 4z)2 vào (1), ta được:

25z2 – 8dz + d2 – 9 = 0

Để phương trình này có nghiệm z thì  0  d2  25 d 5 Maxd = 5 Maxc = 6 và đạt được khi

z = 4

25

d

5xz  25 (thoả mãn 0 x 1)

d = 4z 3y 2 12yz

Đẳng thức xảy ra khi 4z = 3y Thay vào (1) ta tính được z =

20 y 5 x400

(thoả mãn 0 x 1)

Lúc đó Mind = 2 9 6

25 5 Minc = 41 4,1

10

VD5:

Cho biểu thức A =

2 2

2 4

x mx n

 

Tìm các giá trị của m, n để biểu thức A có GTNN bằng 1

3, GTLN bằng 3

Giải:

Gọi a là giá trị tuỳ ý của biểu thức A Ta có:

a =

2

2

2 4

x mx n

   x2 + mx + n = ax2 + 2ax + 4a

 (a – 1)x2 + (2a – m) + (4a – n) = 0 (1)

Theo điều kiện của bài toán, giá trị a = 1 không là GTLN, không là GTNN

của A nên ta chỉ xét a 1

Điều kiện để (1) có nghiệm là:

f x y  g x y    y x   y  x 

12a 4 m n 4 a 4n m 0

         (2)

Nghiệm của bất phương trình (2) là a1  a  a2

Trong đó a1, a2 là các nghiệm của phương trình:

12a  4 m n  4 a 4n m  0 (3)

Theo đề bài, ta phải có 1 1, 2 3

3

Theo hệ thức Vi- et đối với phương trình (3) :

2

1 2

3

12

4

.3

12

n m

m n

n m

a a

 

 



Thay n = 6 + m vào 4n – m2 = 12 ta được:

4n – m2 – 12 = 0 nên m = 6 hoặc m = -2

Với m = 6 thì n = 12, khi đó

2

2

6 12

2 4

A

 



  có GTNN là 1

3 và GTLN là 3 Với m = -2 thì n = 4, khi đó

2

2

6 12

2 4

A

 



  có GTNN là1

3 và GTLN là 3

Bài tập đề nghị:

Bài 1 Tìm GTLN, GTNN của:

 1 2 3 4

Bài 2 Tìm GTLN, GTNN của:

x

A

x





Bài 3 Tìm GTLN, GTNN của:

2

2

1

B

x

 





Bài 4 Tìm GTLN, GTNN của:

2

2

C

 



 

Bài 5 Tìm GTLN, GTNN của:

2

2

1

D

x

 





Bài 6 Tìm GTNN của:

2

5 3

1

x

E

x







Bài 7 Tìm GTNN của:

x

   với x > 0