tuyển tập các đề thi đại học môn toán

A-2006 Cho hàm sốb Tìm điều kiện của tham số m để phương trình sau có 6 nghiệmphâm biệt: b Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số, biết tiếp tuyếnvuông góc với tiệm cận xiên... b

Lời nói đầu

Tài liệu nhỏ này giới thiệu Đề thi ĐH môn toán từ năm 2002 (năm đầutiên toàn quốc thi đề chung) đến năm 2015 Các đề thi được phân dạng vàsắp xếp theo các chủ đề lớn:

7 Phương pháp tọa độ trong không gian

8 Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng

9 Số phức

10 Tổ hợp - xác suất

Ở mỗi chủ đề, đề bài được sắp xếp theo năm thi và có đáp án hoặc hướngdẫn đi kèm giúp bạn đọc dễ theo dõi và kiểm tra kết quả của mình Bạnđọc nên tự làm các đề thi sau đó so sánh với đáp án Để làm được các đềthi này, đòi hỏi bạn đọc cần có một quá trình ôn tập kiên trì và có hiệu quả.Trong quá trình tổng hợp vội vàng, hẳn là sẽ có nhiều thiếu sót Rấtmong nhận được sự đóng góp của các bạn

Hoàng Ngọc Thế

b) Tính diện tích giới hạn bởi đồ thị (C) và 2 trục toạ độ.

điểm phân biệt có hoành độ dương

ĐA: −1

5 (B-2003) Cho hàm số

phân biệt đối xứng nhau qua gốc toạ độ

7 (D-2003) Cho hàm số

9 (A-2004) Cho hàm số

hai điểm phân biệt A, B sao cho AB = 1

uốn Chứng minh d là tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất

3

2xx

13 (D-2004) Cho hàm số

đại, cực tiểu và khoảng cách giữa hai điểm đó bằng

√20

với đường thẳng 5x − y = 0

ĐA: m = 4

17 (A-2006) Cho hàm số

b) Tìm điều kiện của tham số m để phương trình sau có 6 nghiệmphâm biệt:

b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số, biết tiếp tuyếnvuông góc với tiệm cận xiên

b) Gọi d là đường thẳng qua A(3; 20) có hệ số góc là m Tìm m để

21 (A-2007) Cho hàm số

cực tiểu và hai điểm đó tạo với gốc tọa độ O một tam giác vuông tạiO

b) Tìm giá trị của tham số m để các điểm cực đại và cực tiểu củahàm số cách đều gốc tọa độ O

b) Tìm tọa độ điểm M thuộc đồ thị sao cho tiếp tuyến của đồ thịtại M cắt hai trục toạ độ tại A, B sao cho diên tích tam giác OAB

b) Tìm giá trị của tham số m để góc giữa hai tiệm cận của đồ thị

b) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số biết tiếp tuyến điqua điểm M (−1; −9)

2124

28 (D-2008) Cho hàm số

b) Chứng minh rằng mọi đường thẳng đi qua điểm I(1; 2) với hệ số

I, A, B đồng thời I là trung điểm AB

29 (A-2009) Cho hàm số

b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số, biết tiếp tuyếncắt Ox, Oy tại A, B và tam giác OAB cân tại O

ĐA: y = −x − 2

30 (B-2009) Cho hàm số

b) Tìm điều kiện của tham số m sao cho phương trình sau có đúng

32 (D-2009) Cho hàm số

b) Tìm điều kiện của tham số m sao cho đường thẳng y = −1 cắt đồ

ĐA: m = 1

34 (A-2010) Cho hàm số

b) Tìm giá trị của tham số m sao cho đường thẳng y = −2x + m

OAB có diện tích bằng

√3

ĐA: m = ±2

36 (D-2010) Cho hàm số

b) Viêt phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết tiếp tuyến

ĐA: y = −6x + 10

37 (A-2011) Cho hàm số

b) Đường thẳng y = x + m cắt đồ thị hàm số tại A, B Tiếp tuyến

ĐA: m = −1

38 (B-2011) Cho hàm số

OA = OB, A thuộc trục tung còn B, C là hai cực trị còn lại

b) Tìm điều kiện của tham số k để đường thẳng y = kx + 2k + 1 cắt

đồ thị hàm số trên tại hai điểm phân biệt A, B sao cho khoảng cách

ĐA: min y = 3; max y = 17

3

41 (A-2012) Cho hàm số

đỉnh của tam giác vuông

ĐA: m = 0

42 (B-2012) Cho hàm số

b) Tìm điều kiện của tham số m để hàm số có hai cực tri A, B saocho diện tích tam giác OAB bằng 48

(0; +∞)

ĐA: m ≤ −1

45 (B-2013) Cho hàm số

cực trị A và B sao cho đường thẳng AB vuông góc với đường thẳng

y = x + 2

ĐA: m = 0, m = 2

46 (D-2013) Cho hàm số

b) Tìm điều kiện của tham số m để đường thẳng y = −x + 1 cắt đồ

b) Tìm tọa độ điểm M thuộc đồ thị hàm số sao cho khoảng cách từ

ĐA: M (0; −2), M (−2; 0)

49 (B-2014) Cho hàm số

trị B và C sao cho tam giác ABC cân tại A

2

50 (D-2014) Cho hàm số

b) Tìm tọa độ điểm M thuộc đồ thị sao cho tiếp tuyến của đồ thịtại M có hệ số góc bằng 9

ĐA: M (2; 0), M (−2; −4)

xtrên [1; 3]

ĐA: max y = 5; min y = 4

3 (D-2002) Tìm x thuộc đoạn [0; 14] nghiệm đúng phương trình:

cos 3x − 4 cos 2x + 3 cos x − 4 = 0

4 (A-2003) Giải phương trình:

7 (A-2004) Cho tam giác ABC không tù thỏa mãn điều kiện:

Tính ba góc của tam giác

10 (A-2005) Giải phương trình:

13 (A-2006) Giải phương trình:

16 (A-2007) Giải phương trình:

π

ĐA: x = −π

2π3

25 (A-2010) Giải phương trình:

28 (A-2011) Giải phương trình:

33 (D-2012) Giải phương trình:

37 (A-2014) Giải phương trình:

sin x + 4 cos x = 2 + sin 2x

3 Phương trình, hệ phương trình, bất phương trình

1 (A-2002) Cho phương trình:

q

a) Giải phương trình với m = 2

6 (A-2003) Giải hệ phương trình:

ĐA: (3; 4)

11 (D-2004) Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm:

17 (A-2006PB) Giải phương trình:

20 (D-2006) Chứng minh rằng với mọi giá trị a > 0, hệ phương trìnhsau có nghiệm duy nhất:



23 (B-2007) Chứng minh rằng với mọi giá trị dương của tham số m,phương trình sau có hai nghiệm thực phân biệt:

3

r2516

!,



2



28 (A-2008PB) Giải phương trình:

√ x+2+ 2x3+4x−4

!

√10

√105

!

12

ĐA: (1; 1), −1 +√5

√5

!

√5

√5

5 (B-2003) Tính tích phân I =

π4Z

sin 2x cos x

ĐA: 2 ln 2 − 1

12 (D-2005) Tính tích phân I =

π2Z

0

sin 2xp

17 (B-2007) Cho hình phẳng H giới hạn bởi các đường:

y = x ln x, y = 0, x = eTính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay H quanh trụcOx

0

4

dxsin 2x + 2(1 + sin x + cos x)

22 (A-2009) Tính tích phân I =

π2Z

ĐA: e2

28 (A-2011) Tính tích phân I =

π4Z

33 (D-2012) Tính tích phân I =

π4Z

39 (D-2014) Tính tích phân I =

π4Z

5 Hình học tổng hợp trong không gian

1 (A-2002) Cho hình chóp chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáybằng a Gọi M, N lần lượt là trung điểm SB, SC Mặt phẳng (AM N )vuông góc với (SBC) Tính theo a diện tích tam giác AM N

16

chiều cao hình trụ và cùng bằng a Trên đường tròn (O) lấý điểm A,

312

9 (B-2006PB) Cho chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, AB =

SA = a, AD = a, cạnh bên SA vuông góc với (ABCD) Gọi M, Nlần lượt là trung điểm AD, SC Đường thẳng BM cắt đường thẳng

AC tại I Chứng minh hai mặt phẳng (SAC) và (SM B) vuông góc

236

10 (D-2006PB) Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a,cạnh bên SA = 2a và SA vuông góc với đáy Giả sử M, N lần lượt

350

11 (A-2007PB) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a.Tam giác SAD đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy Gọi

M, N, P lần lượt là trung điểm SB, BC, CD Chứng minh AM ⊥ BP

và tính V

ĐA: V = a3√3

96

12 (B-2007PB) Cho chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a.Gọi E là điểm đối xứng với D qua trung điểm của SA; M, N lầnlượt là trung điểm của AE, BC Chứng minh M N ⊥ BD và tính

3

giác ABC vuông tại A, AB = a, AC = a

√

14

15 (B-2008PB) Cho chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh 2a,

SA = a, SB = a

√

3, (SAB) vuông góc với đáy Gọi M, N lần lượt

thẳng SM, DN

√55

Tính thể tích khối lăng trụ và khoảng cách giữa hai đường thẳng

ĐA: V = a3√2

7

17 (A-2009) Cho chóp S.ABCD, có đáy là hình thang vuông tại A

và D, AB = AD = 2a, CD = a, góc giữa (SBC) và mặt đáy bằng

5

208

5

20 (A-2010) Cho chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a Gọi

M, N lần lượt là trung điểm AB, AD; H là giao điểm của CN và

diện GABC

ĐA: V = 3a3√3

7a12

22 (D-2010) Cho chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA = a.Hình chiếu của S lên mặt phẳng đáy là điểm H trên AC sao cho

23 (A-2011) Cho chóp S.ABC, có tam giác BAC vuông cân, AB =

BC = 2a Hai mặt phẳng (SAB)và (SAC) cùng vuông góc với(ABC); M là trung điểm AB, mặt phẳng đi qua SM và song song

VS.BCN M và d(AB,SN ) theo a

√3913

phẳng (ABCD) trùng với giao điểm của AC và BD Góc giữa hai

26 (A-2012) Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a.Hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng (ABC) là điểm H thuộccạnh AB sao cho HA = 2HB Góc giữa đường thẳng SC và mặt

khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BC theo a

96

góc với đáy Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách

3

√21

31 (D-2013) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh a, cạnh

(ABCD) là trung điểm của cạnh AB Tính theo a thể tích khối chópS.ABCD và khoảng cách từ A đền mặt phẳng (SBD)

2a3

và khoảng cách giữa hai đường thẳng SA, BC

4

35 (2015) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh

a, SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) góc giữa đường thẳng SC

khoảng cách giữa SB, AC

ĐA: a)a3√2

5

3 (B-2005) Chứng minh rằng với mọi x, ta có:

 125

HD: Sử dụng BĐT Cauchy cho hai số

4 (D-2005) Cho ba số thực dương x, y, z thỏa mãn xyz = 1 Chứngminh rằng:

5 (A-2006) Cho x, y khác 0 và (x + y)xy = x2+ y2− xy Tìm giá trị



1zx



1xy

10 (B-2008) Cho các số thực x, y thỏa mãn x2+ y2 = 1 Tìm giá trịlớn nhất, giá trị nhỏ nhất của

HD: Quy về 1 biển Đặt x = ty; −6 ≤ P ≤ 3

11 (D-2008) Cho x, y là các số thực không âm Tìm giá trị lớn nhất,giá trị nhỏ nhất của biểu thức

12 (A-2009) Cho x, y, x là số thực dương và x(x + y + z) = 3yz Chứngminh rằng:

15 (B-2010) Cho a, b, c là các số thực không âm và a + b + c = 1 Tìmgiá trị nhỏ nhất của

18 (B-2011) Cho a, b là các số thực dương thỏa mãn

19 (A-2012) Cho các số thực x, y, z thỏa mãn x + y + z = 0 Tìm giátrị nhỏ nhất của biểu thức:

√63

#

;

√636

giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

23 (B-2013) Cho a, b, c là các số thực dương Tìm giá trị lớn nhất củabiểu thức:

9(a + b)p(a + 2c)(b + 2c)

730

25 (A-2014) Cho x, y, z là các số thực không âm thỏa mãn

P =

ra

rb

c2(a + b)

27 (D-2014) Cho x, y là các số thực thỏa mãn 1 ≤ x ≤ 2; 1 ≤ y ≤ 2.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

7 Phương pháp tọa độ trong không gian

Các bài toán sau đều xét trong không gian với hệ tọa độ Oxyz

1 (A-2002) Cho hai đường thẳng:

mx + (2m + 1)z + 4m + 2 = 0(m là tham số) và mặt phẳng (P ) : 2x − y + 2 = 0 Tìm m để đường

I là trung điểm BC Tính khoảng cách từ I đến đường thẳng OA

6 (A-2004) Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD là hình thoi tâm

là gốc toạ độ O Biết A(2; 0; 0), B(0; 1; 0), C(0; 0; 2

√2), M là trungđiểm cạnh SC

a) Tính góc và khoảng các giữa hai đường thẳng SA, BM

b) Đường thẳng SD cắt mặt phẳng (ABM ) tại N tính thể tích khốichóp S.ABM N

√6

√2

7 (B-2004) Cho điểm A(−4; −2; 4) và đường thẳng d :

b) Khi a + b = 4 tìm a, b để khoảng cách giữa hai đường thẳng

Tính diện tích tam giác OAB.

ĐA: b)15x + 11y − 17z − 10 = 0; c)S = 5

a) Tìm tọa độ A0 đối xứng với A qua d1.

b) Viết phương trình đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng

b) Tìm tọa độ điểm M thuộc mặt cầu (S) sao cho khoảng cách từ

M đến mặt phẳng (P ) lớn nhất

ĐA: a)y − 2z = 0; b)M (−1; −1; −3)

18 (D-2007) Cho hai điểm A(1; 4; 2), B(−1; 2; 4) và đường thẳng:

20 (B-2008) Cho ba điểm A(0; 1; 2), B(2; −2; 1), C(−2; 0; 1)

a) Viết phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm (ABC)

b) Tìm tọa độ của điểm M thuộc mặt phẳng 2x + 2y + z − 3 = 0 saocho M A = M B = M C

đó là nhỏ nhất.

CD song song với (P ).

√6

29 (A-2010NC) Cho điểm A(0; 0; −2) và đường thẳng

30 (B-2010CB) Cho ba điểm A(1; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c) với b, c > 0

và mặt phẳng (P ) : y − z + 1 = 0 Tìm b, c sao cho mặt phẳng (ABC)vuông góc với P , và khoảng cách từ O đến mặt phẳng (ABC) bằng1

ĐA: M1(4; 1; 1), M2(7; 4; 4)

34 (A-2011CB) Cho điểm A(2; 0; 1), B(0; −2; 3) và mặt phẳng

(P ) : 2x − y − z + 4 = 0Tìm tọa độ điểm M thuộc (P ) sao cho M A = M B = 3

√14

có diện tích bằng 3

√5

và mặt phẳng

(P ) : 2x − y + 2z = 0Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc đường thẳng ∆, bán kínhbằng 1 và tiếp xúc với (P )

42 (B-2012CB) Cho hai điểm A (2; 1; 0), B (−2; 3; 2) và đường thẳng

43 (B-2012NC) Cho A (0; 0; 3) , M (1; 2; 0) VIết phương trình mặtphẳng (P ) qua A và cắt các trục Ox, Oy lần lượt tại B, C sao chotam giác ABC có trọng tâm thuộc đường thẳng AM

ĐA: 6x + 3y + 4z − 12 = 0

44 (D-2012CB) Cho điểm I (2; 1; 3) và mặt phẳng

(P ) : 2x + y − 2z + 10 = 0Viết phương trình mặt cầu tâm I và cắt (P ) theo một đường tròn



46 (A-2013CB) Cho điểm A(1; 7; 3) và đường thẳng

50 (D-2013CB) Cho các điểm A(−1; −1; −2), B(0; 1; 1) và mặt phẳng

(P ) : x + y + z − 1 = 0Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của A trên (P ) Viết phương trìnhmặt phẳng đi qua A, B và vuông góc với (P )

ĐA: x − 2y + z + 1 = 0

51 (D-2013NC) Cho điểm A (−1; 3; −2) và mặt phẳng

(P ) : x − 2y − 2z + 5 = 0Tính khoảng cách từ A đến (P ) Viết phương trình mặt phẳng điqua A và song song với (P )



54 (D-2014) cho mặt phẳng (P ) : 6x + 3y − 2z − 1 = 0 và mặt cầu

Chứng minh rằng mặt phẳng (P ) cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến

là một đường tròn (C) Tìm tọa độ tâm (C)



55 (2015) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho các điểm A(1; −2; 1),B(2; 1; 3) và mặt phẳng

P : x − y + 2z − 3 = 0Viết phương trình đường thẳng AB và tìm giao điểm của AB vớimặt phẳng (P )

ĐA: (0; −5; −1)

8 Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng

Các bài toán sau đều xét trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy

1 (A-2002) Cho tam giác ABC vuông tại A, hai đỉnh A, B thuộc trục

Ox, bán kính đường tròn nội tiếp tam giác bằng 2, phương trình

tam giác ABC

và đường thẳng d : x − y − 1 = 0 Viết phương trình đường tròn C0đối xứng với đường tròn (C) qua đường thẳng d Tìm toạ độ giao

đường tròn ngoại tiếp I của tam giác OAB

7 (B-2004) Cho hai điểm A(1; 1), B(4; −3) và đường thẳng

d : x − 2y − 1 = 0Tìm tọa độ điểm C nằm trên đường thẳng d sao cho khoảng cách từ



8 (D-2004)Cho A(−1; 0), B(4; 0), C(0, m), m 6= 0 Tìm tọa độ trọng

11 (D-2005) Cho điểm C(2; 0) và elip (E) : x

15 (A-2007) Cho tam giác ABC có A(0; 2), B(−2; −2), C(4; −2) Gọi

M, N lần lượt là trung điểm AB, BC, H là chân đường cao hạ từđỉnh B Viết phương trình đường tròn đi qua ba điểm H, M, N

16 (B-2007) Cho điểm A(2; 2) và hai đường thẳng

19 (B-2008) Cho tam giác ABC có H(−1; −1) là hình chiếu của C trên

AB, đường thẳng phân giác trong góc A có phương trình x−y+2 = 0,đường cao đỉnh B có phương trình 4x + 3y − 1 = 0 Toạ độ đỉnh C



20 (D-2008) Cho parabol (P ) : y2 = 16x và điểm A(1; 4) Hai điểm

Chứng minh rằng đường thẳng BC luôn đi qua điểm cố định

21 (A-2009) Cho hình chữ nhật ABCD AC cắt BD tại I(6; 2) Điểm

M (1; 5) thuộc cạnh AB, trung điểm E của CD thuộc đường thẳng:

x + y − 5 = 0 Viết phương trình đường thẳng AB

ĐA: y − 5 = 0; x − 4y + 19 = 0

22 (A-2009NC) Cho đường tròn

5tâm I và đường thẳng ∆ : x + my − 2m + 3 = 0

Tìm m để đường tròn (C) cắt đường thẳng ∆ tại 2 điểm phân biệt

A, B sao cho diện tích tam giác IAB lớn nhất

25 (D-2009) Cho tam giác ABC có điểm M (2; 0) là trung điểm AB.Đường trung tuyến, đường cao đỉnh A lần lượt có phương trình

7x − 2y − 3 = 0, 6x − y − 4 = 0Viết phương trình đường thẳng AC

ĐA: 3x − 4y + 5 = 0

√32

!

27 (A-2010) Cho 2 đường thẳng

giác ABC vuông tại B Viết phương trình đường tròn (T ) biết diệntích tam giác ABC bằng

√3

29 (B-2010) Cho tam giác ABC vuông tại A, có đỉnh C(−4; 1), phươngtrình phân giác trong góc A là: x + y − 5 = 0 Viết phương trìnhđường thẳng BC Biết điểm A có hoành độ dương và diện tích tamgiác ABC bằng 24.

√33

ĐA: (−2 +

√65; 3)

32 (D-2010NC) Cho A(0; 2) và đường thẳng ∆ đi qua O Gọi H là hìnhchiếu của A lên ∆ Viết phương trình đường thẳng ∆ biết khoảngcách từ H đến trục hoành bằng AH

34 (A-2011NC) Cho elip (E) : x

!

2; −

√22

!hoặc

2; −

√22

!

2;

√22

!

35 (B-2011) Cho hai đường thẳng

∆ : x − y − 4 = 0; d : 2x − y − 2 = 0Tìm tọa độ điểm N thuộc đường thẳng d sao cho đường thẳng ONcắt đường thẳng ∆ tại điểm M thỏa mãn OM.ON = 8

25



 Đường tròn nộitiếp tam giác ABC tiếp xúc với các cạnh BC, CA, AB tương ứng tại

D, E, F Cho D(3; 1) và đường thẳng EF có phương trình: y − 3 = 0.Tìm tọa độ đỉnh A biết A có tung độ dương

37 (D-2011) Cho tam giác ABC có đỉnh B(−4; 1), trọng tâm G(1; 1)

và đường thẳng chứa phân giác trong góc A có phương trình:

x − y − 1 = 0Tìm tọa độ các đỉnh A, C

ĐA: A(4; 3), C(3; −1)

38 (D-2011NC) Cho điểm A(1; 0) và đường tròn

Viết phương trình đường thẳng ∆ cắt (C) tại hai điểm M, N sao chotam giác AM N vuông cân tại A

ĐA: y = 1; y = −3

39 (A-2012) Cho hình vuông ABCD có M là trung điểm BC, N là

12

vàđường thẳng AN có phương trình 2x − y − 3 = 0 Tìm tọa độ điểmA

chính tắc của elip (E), biết rằng (E) có độ dài trục lớn bằng 8 và(E) cắt (C) tại bốn điểm tạo thành bốn đỉnh của một hình vuông

y2163

= 1

41 (B-2012) Cho các đường tròn

và đường thẳng d : x − y − 4 = 0 Viết phương trình đường tròn có

sao cho AB vuông góc với d

42 (B-2012NC) Cho hình thoi ABCD có AC = 2BD và đường tròn

chính tắc của elip (E) đi qua các đỉnh A, B, C, D của hình thoi Biết

A thuộc Ox