BÀI TOÁN BĐT HAY - 3 CÁCH CHỨNG MINH

Cách 4 : Dùng kỹ thuật khảo sát hàm nhiều biến CÁC EM TỰ TÌM HIỂU XEM THẾ NÀO NHÉ.

Bất đẳng thức : Cho x,y,z > 0 xyz + x + z = y Tìm max : 2 2 2 2 3 2

P

Cách 1 : Lượng giác hóa :

P

Từ giả thiết ta có :

Tính chất lượng giác trên là t/c của 3 góc trong 1 tam giác  a b c    1800=>cos sin



Từ đó ta có :

P

3 sin

2

P

c

t





1) sin 1 1

2)cos 1

2

a b



   kết hợp

b

Bình luận : Với cách này thật khó mà nghĩ đến nếu chúng ta không làm quen trước đó , hơn nữa phải

sử lý điều kiện dấu bằng cũng khó khăn , tuy là nhanh gọn nhưng để kết thúc bài toán không phải dễ dàng

Cách 2 : THẾ VÀO VÀ SỬ DỤNG :

2

.

4

A B

(1  x ).(1  y )  ( x  y )

Ta có :

1

xy

P

P





Tá có : (1  x2).(1  y2)  ( x  y )2

Vậy

2 2

3

P

x y





Dấu bằng xảy ra khi : 3 y  3 x  5 x  y , 1

1

x y

4 2

Bình luận : Cách 2 này khó ở đoạn nhân thêm cả tử và mẫu số của



Cái này người ta làm được vì dựa vào điểm rơi và kinh nghiệm xử lý toán

Cách 3 : Đưa về bài toán có 3 biến trong đó 2 biến đối xứng , sử dụng : (1  A2)(1  B2)  (1  AB )2

Dấu bằng  A  B

'

P

2

2

1

1 '

y

y



Ta có thể đổi lại đề cho dễ hình dung , để cái y’ nó trông rối mắt :

2

1

b P

ab bc ac

2

2

b P

Bài toán này đối xứng 2 biến a,b , vậy ta tìm cách dồn biến về a,b

1 ab

c

a b





 thay vào P ta có :

2

2

1

P

ab

a b







2 2

3

P

Ta sẽ chứng minh :

2 2



TH 1 : Nếu tử số < 0 thì hiển nhiên

TH 2 : Nếu tử số > 0 ta có biến đổi sau :



Ta sẽ chứng minh :

2 2

2

ab





Thật vậy :

2 2

2

ab



Dấu bằng xảy ra khi : a = b = 1

2 , c = 2

4

Bình luận : Cảm giác cách này có vẻ tự nhiên hơn cả , chỉ là thay và thế và sử dụng bđt phụ quen thuộc

Cách 4 : Dùng kỹ thuật khảo sát hàm nhiều biến (CÁC EM TỰ TÌM HIỂU XEM THẾ NÀO NHÉ)