Phương Pháp Giải Bài Toán Tính Diện Tích Và Chứng Minh Bằng Phương Pháp Diện Tích

3 I/ Các tính chất cơ bản của diện tích đa giác 3 II/ Các công thức tính diện tích của các đa giác đặc biệt 3 III/ Cách giải bài toán tính diện tích và phương pháp diện tích 5 B.. 6 I/

A Phương pháp giải toán tính diện tích

đa giác và chứng minh bằng phương pháp diện tích.

3

I/ Các tính chất cơ bản của diện tích đa giác 3

II/ Các công thức tính diện tích của các đa giác đặc biệt

3

III/ Cách giải bài toán tính diện tích và phương pháp diện tích

5

B Một số dạng bài tập áp dụng và hướng dẫn giải. 6

I/ Các bài toán tính diện tích đa giác 6

II/ Các bài toán giải bằng phương pháp diện tích 14

1/ Các bài toán chứng minh về quan hệ diện tích và sử dụng diện tích để tìm quan hệ về

SKKN: Phương pháp giải bài toán tính diện tích và chứng minh bằng phương pháp diện tích

Như chúng ta đã biết, cùng với sự phát triển tư duy của con người, toán học ra đời Toán học là môn khoa học đặc biệt, môn khởi đầu cho sự ra đời của các môn khoa học khác và cung rất cần thiết cho các ngành khoa học kỹ thuật Toán học đã rèn luyện cho con người nhiều đức tính quí: tính cần cù, lòng say mê, sáng tạo, kiên trì

Trong toán học không thể không kể đến bộ môn hình học Hình học rèn luyện cho con người khả năng tư duy trừu tượng, sự sáng tạo

và khả năng phân tích tổng hợp Trong đó, một dạng toán tương đối khó, đòi hỏi nhiều tới khả năng tư duy cao, vận dụng linh hoạt những kiến thức rất cơ bản đã được học đồng thời phải quan sát kĩ lưỡng đặc điểm từng bài toán, đó là

Trong quá trình giảng dạy cho học sinh của câu lạc bộ toán lớp 8 của trường tôi nhận thấy các bài tập về diện tích đa giác và chứng minhbằng phương pháp diện tích rất hay và lí thú Chúng có mặt rất nhiều trong các đề thi học sinh giỏi của Quận và trong các đề thi vào lớp 10 các trường chuyên

Chính vì vậy tôi đã viết SKKN về chuyên đề này để dạy cho học sinh của câu lạc bộ toán lớp 8 của trường để giúp học sinh bớt lúng túng khi gặp những bài tập loại này, đồng thời giúp học sinh củng cố những kiến thức cơ bản đã học và nâng cao khả năng tư duy, sáng tạo

Chuyên đề gồm ồm g m

I/ Các bài toán tính diện tích đa giác

II/ Các bài toán chứng minh bằng phương pháp diện tích

1/ Các bài toán chứng minh về quan hệ diện tích và sử dụng diện tích để tìm quan hệ về độ dài đoạn thẳng

2/ Các bài toán về bất đẳng thức và cực trị

Phần II Nội dung

A.Phương pháp giải toán tính diện tích đa giác

và phương pháp diện tích:

Vũ Minh Nguyệt - Trường THCS Giảng Võ 2

Để giải các bài toán tính diện tích học sinh cần phải nắm chắc các kiếnthức sau:

I/ Các tính chất cơ bản của diện tích đa giác:

1 Nếu một đa giác được chia thành các đa giác không có điểm chung

thì diện tích của nó bằng tổng diện tích của các đa giác đó ( tính cộng)

2 Các đa giác bằng nhau có diện tích bằng nhau( tính bất biến)

3 Hình vuông có cạnh bằng một đơn vị dài thì diện tích của nó là một

đơn vị vuông ( tính chuẩn hóa)

4 Hai tam giác có cùng chiều cao thì tỉ số diện tích bằng tỉ số hai đáy tương ứng với hai chiều cao

5 Hai tam giác có chung cạnh thì tỉ số diện tích bằng tỉ số hai chiều cao ứng với cạnh đó

6 Tam giác đều cạnh a có diện tích

2

3 a

II/ Các công thức tính diện tích của các đa giác đặc biệt:

1 Công thức tính diện tích hình chữ nhật:

Diện tích hình chữ nhật bằng tích hai kích thước của nó

2 Công thức tính diện tích hình vuông:

Diện tích hình vuông bằng bình phương cạnh của nó

3 Công thức tính diện tích tam giác:

a) Diện tích tam giác:

Diện tích tam giác bằng nửa tích của một cạnh với chiều cao ứng với cạnh đó

b) Diện tích tam giác vuông:

Diện tích tam giác vuông bằng nửa tích hai cạnh góc vuông

b

a

S = 2

1 a.b =

2

1 c.h

a

h a

SKKN: Phương pháp giải bài toán tính diện tích và chứng minh bằng phương pháp diện tích

4 Công thức tính diện tích hình thang:

Diện tích hình thang bằng nửa tích của tổng hai đáy với chiều cao

7 Công thức tính diện tích của hình thoi

Diện tích hình thoi bằng nửa tích của hai đường chéo.

III/ Cách giảI bài toán tính diện tích và phương pháp diện tích:

1/ Để tính diện tích của một đa giác:

+/ Đa giác đó có công thức tính nhưng chưa đủ dữ kiện để tính đòi hỏi

ta phải đi tính dữ kiện thiếu đó rồi mới tính được diện tích đa giác

Vũ Minh Nguyệt - Trường THCS Giảng Võ 4

-S = 2

1 (a+b).h

h b

a

S = a.h

h a

+/ Đa giác có công thức tính nhưng nếu sủ dụng công thức vẫn không thể tính nổi thì phải thông qua diện tích của đa giác khác và sử dụng các tính chất đã nêu ở trên.

+/ Tính diện tích của một đa giác không có công thức thì ta cần biến đổi diện tích này bằng diện tích của hình khác đã có biết cách tính diện tích

2/ Chứng minh hình bằng phương pháp diện tích:

+/ Ta đã biết một số công thức tính diện tích của những đa giác dã nêu

ở trên Do đó khi biết độ dài của một số yếu tố, ta có thể tính được diệntích của những hình ấy Ngược lại nếu biết quan hệ diện tích của hai hình từ đó kết hợp với yếu tố đã biết khác, tổng hợp các kiến thức liên quan để suy ra điều cần chứng minh

+/ Để so sánh hai độ dài nào đó bằng phương pháp diện tích,

ta có thể làm theo các bước sau:

- Xác định quan hệ diện tích giữa các hình

- Sử dụng các công thức diện tích để biểu diễn mối quan hệ đó bằng một đẳng thức có chứa các độ dài

- Biến đổi đẳng thức vừa tìm được ta có quan hệ về độ dài giữa hai đoạn thẳng cần so sánh

3/ Để giải các bài toán về bất đẳng thức và cực trị ta cần nắm được:

Phương pháp giải: Xuất phát từ các bất đẳng thức đã biết, vận dụng

các tính chất của bất đẳng thức để suy ra bất đẳng thức cần chứng

minh

Các bài toán cực trị thường được trình bày theo hai cách;

Cách 1: Đưa ra một hình rồi chứng minh rằng mọi hình khác có các

yếu tố( đoạn thẳng, góc, diện tích…) lớn hơn hoặc nhỏ hơn yếu tố tương ứng của hình được đưa ra

Cách 2: Thay điều kiện một đại lựợng đạt cực trị bằng các điều kiện

tương đương, cuối cùng dẫn đến điều kiện xác định được vị trí của điểm để đạt cực trị

Các bất đẳng thức thường được dùng để giải toán cực trị:

+/ Quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên

+/ Quan hệ giữa đường xiên và hình chiếu

+/ Bất đẳng thức tam giác

SKKN: Phương pháp giải bài toán tính diện tích và chứng minh bằng phương pháp diện tích

+ / Các bất đẳng thức đại số

B Một số bài tập và hướng dẫn giải

I/ Các bài toán tính diện tích đa giác

Để tính diện tích của một đa giác:

+/ Đa giác đó có công thức tính nhưng chưa đủ dữ kiện để tính đòi hỏi

ta phải đi tính dữ kiện thiếu đó rồi mới tính được diện tích đa giác.+/ Đa giác có công thức tính nhưng nếu sủ dụng công thức vẫn không thể tính nổi thì phải thông qua diện tích của đa giác khác và sử dụng các tính chất đã nêu ở trên

+/ Tính diện tích của một đa giác không có công thức thì ta cần biến đổi diện tích này bằng diện tích của hình khác đã có biết cách tính diện tích

Bài 1 : Cho tam giác ABC cân ở A, AB = AC = 5cm, BC = 6cm Gọi O

là trung điểm của đường cao AH Các tia BO và CO cắt cạnh AC và

Để tính diện tích đối với bài tập ện tích đối với bài tập đối với bài tập ới bài tập ài tập ập

n y h c sinh ph iài tập ọc sinh phải ải nh n th y S ập ấy S ABC đã

bi t nên ta c n tìm m i quan h v ết nên ta cần tìm mối quan hệ về ần tìm mối quan hệ về ối với bài tập ện tích đối với bài tập ề gồm

SADOE v i Sới bài tập ABC L i có H v O l ại có H và O là ài tập ài tập

nh ng i m ững điểm đặc biệt trên các đoạn đ ể tính diện tích đối với bài tập đặc biệt trên các đoạn c bi t trên các o n ện tích đối với bài tập đ ại có H và O là

AC, AH nên ta d d ng tìm ễ dàng tìm được ài tập được c

m i quan h ó b ng cách l y thêm ối với bài tập ện tích đối với bài tập đ ằng cách lấy thêm ấy S

i m N l trung i m c a DC

đ ể tính diện tích đối với bài tập ài tập đ ể tính diện tích đối với bài tập ủa DC

Phân tích đề bài và hướng giải:

Hs cần nhận thấy SABCD = 1 nên dễ dàng suy ra SBCD = 12

Để tính SMQDC thì phải thông qua SBCD và SBMQ

Để tìm được mối liên hệ đó ta phải xét xem Q nằm trên BD có ở vị trí đặc biệt không bằng cách lấy thêm điểm N là trung điểm của AD

N M

D

A B

C

SKKN: Phương pháp giải bài toán tính diện tích và chứng minh bằng phương pháp diện tích

b) BD cắt AM ở P, BD cắt AN ở Q Tính S MNQP theo S ABCD

Nên để tính diện tích của AMN ta phải làm

SAMN = SABCD - SABN - SCMN - SADN

(b) Tính SMNQP theo SABCD cần phải tìm mối liên hệ S MNPQ với SAMN vì các

đỉnh của tứ giác nằm trên cạnh của  AMN

Muốn tìm mối liên hệ đó rõ ràng phải thông qua  APQ

Ta nhận thấy  APQ và  AMN có hai đáy cùng thuộc một đường

thẳng nên ta phải kẻ thêm đường vuông góc PK và MH Từ đó suy ra

lời giải của bài toán

Bài giải:

a) SAMN = SABCD - SABN - SCMN - SADN

SABM = 101 SABCD ; SCMN = 152 SABCD; SADN = 31SABCD

Do đó ta tính được : SAMN = 1360S ABCD

PK MH.AN 2

1

PK.AQ 2

1 S

S AMN

AD PM

Vì DN // AB =>

2

3 DN

AB QN

3 6

5 AN

AQ AM

Bài 4: Cho ABC có AB = 3; AC = 4, BC = 5 Vẽ các đường phân

giác AD, BE, CF Tính diện tích tam giác DEF.

( Đề thi học sinh giỏi quận Ba đình 1998 - 1999)

Vũ Minh Nguyệt - Trường THCS Giảng Võ 8

-P

Q

H K

B A

N

M

Phân tích đề bài và hướng giải: ài và hướng giải: ài và hướng giải: ướng giải : b i v h ng gi i: ải :

gi i câu (a) hs d d ng nh n

Để tính diện tích đối với bài tập ải ễ dàng tìm được ài tập ập

ra ph i s dung tính ch t 1: N u ải ử dung tính chất 1: Nếu ấy S ết nên ta cần tìm mối quan hệ về

m t a giác ột đa giác được chia thành các đ được c chia th nh các ài tập

a giác không có i m chung thì

đ đ ể tính diện tích đối với bài tập

di n tích c a nó b ng t ng di n ện tích đối với bài tập ủa DC ằng cách lấy thêm ổng diện ện tích đối với bài tập tích c a các a giác ó ( tính ủa DC đ đ

c ng) ột đa giác được chia thành các

Phân tích đề bài và hướng giải: ài và hướng giải: ài và hướng giải: ướng giải : b i v h ng gi i: ải :

- Để tính diện tích đối với bài tập tính được c di n tích c a ện tích đối với bài tập ủa DC  DEFthì ta ph i i tính Sải đ ABC, SAEF, SBFD, SDFC

H c sinh d d ng tính ọc sinh phải ễ dàng tìm được ài tập được c SABC, SAEF

vì ó l hai tam giác vuông đ ài tập

- Để tính diện tích đối với bài tập tính được c SBFD, SDFC thì c n ph iần tìm mối quan hệ về ải

k thêm ẻ thêm đường cao Căn cứ thêm vào đường cao Căn cứ thêm vàong cao C n c thêm v oăn cứ thêm vào ứ thêm vào ài tập

gi thi t : có phân giác c a các góc nênải ết nên ta cần tìm mối quan hệ về ủa DC

t ó suy ra k ừ đó suy ra kẻ đường cao FH và EK đ ẻ thêm đường cao Căn cứ thêm vào đường cao Căn cứ thêm vàong cao FH v EK ài tập

=> FH = FA; EK = EA

K H

E F

B

A

Bài giải: ABC có AB = 3, AC = 4, BC = 5

Nên ddcm  ABC vuông tại A

Ta có CF là phân giác ACB => FA FB CB CA 5 4 => AB FA 9 4

trong tam giác) => DC = 20 7

3

4 2

1 2

1 2

4 2

3 2 1



SKKN: Phương pháp giải bài toán tính diện tích và chứng minh bằng phương pháp diện tích

O

M

N H

HN MB

OB

HN AO

HN AH

b a

b a

b 4a

b = 2 2 2 2

b a

b 4a



2 4

b (a

b 4a

b a

b 2a

b a

b 2a



Mà SABCD = 2.OA.OB

3 3

b (a

b 8a



Bài 6: Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng 30cm Trên các cạnh

AB, BC, CD, DA thứ tự lấy các điểm E, F, G, H: AE = 10cm;

BF =12cm, CG = 14 cm, DH = 16cm.

a) Tính S EFGH

Vũ Minh Nguyệt - Trường THCS Giảng Võ 10

-b) Trên EF lấy hai điểm M, N : sao cho EM = MF

3

3

2 Trên cạnh HG lấy hai điểm P, Q : GP = HQ = MF

5

2 Tính S MNPQ

P Q

N M

16cm

14cm

12cm 10cm

H

G

F E

B A

Phân tích đề bài và hướng giải:

a) Ta nhận thấy để tính được S EFGH phải thông qua SABCD, SAEH, SEBF,

b) Vì tứ giác MNPQ có các đỉnh nằm trên cạnh của tứ giác EFGH ở những vị trí đặc biệt theo gt đã nêu Do đó ta cần tìm mối liên hệ giữa

tứ giác MNPQ với EFGH Từ đó tính được diện tích của tứ giác

SKKN: Phương pháp giải bài toán tính diện tích và chứng minh bằng phương pháp diện tích

=> SMQP + SPMN = 31( SMHP + SMPF.) = S EFGH

5

3 3

1

= S EFGH

5 1

=> SMNPQ = S EFGH

5

1

= 15.456 = 91,2 (cm 2 )

Bài 7: Cho hình thang ABCD Biết độ dài hai đường chéo là 3 và

5, độ dài đoạn thẳng nối trung điểm hai đáy là 2 Tính diện tích hình thang

P

E

K N

M

D

C B

=>  EKC vuông tại E => AC  CP

-Nối CM, DN chúng cắt nhau tại điểm E Đường thẳng qua E song song với AB cắt AP tại F Đường thẳng BF cắt AD tại Q.

a) Tính DQ : QA ?

b) Tính S PEQ theo S ABCD ?

( Đề thi học sinh giỏi lớp 8 quận Ba Đình năm học 2000 - 2001)

E P

N M

B A

Phân tích đề bài và hướng giải:

a) +/ Để tính DQ : DA ta cần xem tỉ số đó bằng tỉ số nào ?

+/ Để tìm các đoạn thẳng tỉ lệ với bài này ta nên sử dụng định lí Ta Lét

vì có các đường song song nhưng phải kéo dài DN , CD, AB, BQ:

AB

 => KP = CD

4

3 AB 4



SKKN: Phương pháp giải bài toán tính diện tích và chứng minh bằng phương pháp diện tích

98

27 AD.CD 7

9 7

3 2

1 AD 7

3 CD 7

5 CD 7

4 2

1 ET).TD (DP

3234

320 AD

231

64 CD.

7

5 2

1 TE.TQ

4 AD.

33

5 2

1 QD.DP 2

Các bài toán chứng minh bằng phương pháp diện tích

1/ Các bài toán chứng minh về quan hệ diện tích và quan hệ các đoạn thẳng:

+/ Ta đã biết một số công thức tính diện tích của những đa giác đã nêu

ở trên Do đó khi biết độ dài của một số yếu tố, ta có thể tính được diệntích của những hình ấy Ngược lại nếu biết quan hệ diện tích của hai hình từ đó kết hợp với yếu tố đã biết khác, tổng hợp các kiến thức liên quan để suy ra điều cần chứng minh

+/ Để so sánh hai độ dài nào đó bằng phương pháp diện tích, ta có thể làm theo các bước sau:

- Xác định quan hệ diện tích giữa các hình

- Sử dụng các công thức diện tích để biểu diễn mối quan hệ đó bằng một đẳng thức có chứa các độ dài

- Biến đổi đẳng thức vừa tìm được ta có quan hệ về độ dài giữa hai đoạn thẳng cần so sánh

Bài 1: Cho hình thang ABCD, BC // AD Các đường chéo cắt nhau tại O Chứng minh rằng: S OAB = S OCD

Vũ Minh Nguyệt - Trường THCS Giảng Võ 14

-=>

7

3 MB

ES

 ; có MB = CD

3 2

Phân tích đề bài và hướng giải: ài và hướng giải: ài và hướng giải: ướng giải : b i v h ng

gi i: ải :

- Ta nh n th y ập ấy S OAB v ài tập OCD không chung đường cao Căn cứ thêm vàong cao v c ng ài tập ũng không chung c nh ại có H và O là

- BAD v ài tập CAD l hai tam giácài tập

có chi u cao b ng nhau v ề gồm ằng cách lấy thêm ài tập chung áy AD => Sđ BAD = SCAD => pcm

đ

D A

C B

Bài giải:

- Vì BC // AD ( gt) => Chiều cao hạ từ B và C cùng xuống AD bằng nhau

=> SBAD = SCAD

=> SOAB +SOAD = SOCD + SOAD

Vậy SOAB = SOCD.

Bài 2: Cho hình bình hành ABCD có AB > BC và góc BAD nhọn, đường phân giác của góc BAD cắt CD tại M và cắt đường thẳng BC tại N Gọi O là diểm cách đều ba điểm C, M, N và K là giao điểm của

Phân tích đề bài và hướng giải: ài và hướng giải: ài và hướng giải: ướng giải : b i v h ng gi i: ải :

a) Ta nh n th y ập ấy S OBN v ài tập OCD

có ON = OM

Vì v y ập để tính diện tích đối với bài tập cm SOBN = SODC ta ngh ĩ

n tính ch t: hai tam giác b ng

đết nên ta cần tìm mối quan hệ về ấy S ằng cách lấy thêm nhau thì có di n tích b ng nhau.ện tích đối với bài tập ằng cách lấy thêm

Do ó ta c n cm: đ ần tìm mối quan hệ về OBN = OCD.b) Để tính diện tích đối với bài tập cm: SBCK + SNOC = SDOK

ta c n tìm m i liên h c a Sần tìm mối quan hệ về ối với bài tập ện tích đối với bài tập ủa DC BCK v ài tập

SNOC v i Sới bài tập OBN SDOK v i Sới bài tập ODC

K

O M

N

D

C B

A

=> BNA = NAB

=> CMO = CNO (1)

SKKN: Phương pháp giải bài toán tính diện tích và chứng minh bằng phương pháp diện tích

Có OM = ON( cmt) => OMN cân

Có OM = OC( cmt ) => OCM cân tại O => CMO = MCO (2)

Từ (1) và (2) => CNO = MCO

Do đó ddcm : OBN = OCD (c.g.c)

b) SBCK + SNOC = SOBN - SOCK (3)

S DOK = SODC - SOCK (4)

Mà SOBN = SODC (cmt) (5)

Từ (3) (4)(5) => SBCK + SNOC = SDOK (đpcm)

Bài 3: Đường thẳng đi qua trung điểm hai đường chéo AC, BD của

tứ giác ABCD cắt các cạnh AB, CD ở M và K

Chứng minh rằng: SDMC = SAKB

Q P

K

M

B A

Phân tích đề bài và hướng giải:

nhau ở trong bài này và diện tích tam giác đó có mối liên hệ thế nào với diện tích tam giác ta cần chứng minh.

Chứng minh: SABKD = SCKE +SCKF

Vũ Minh Nguyệt - Trường THCS Giảng Võ 16

-K D

Để tính diện tích đối với bài tập S ABKD = S CKE +S CKF

- Ta không th ch ng t ngay ể tính diện tích đối với bài tập ứ thêm vào ỏ ngay

m i liên h ối với bài tập ện tích đối với bài tập S CKE ,S CKF v iS ớng giải : ABKD

- C n ph i tìm m i liên h ần tìm mối quan hệ về ải ối với bài tập ện tích đối với bài tập S ABKD

v i ớng giải : S ABCD ; S CKE +S CKF v i ớng giải : S ABCD

Phân tích đề bài và hướng giải: ài và hướng giải: ài và hướng giải: ướng giải : b i v h ng gi i: ải :

Ta có M, N, P l trung i m các c nh ài tập đ ể tính diện tích đối với bài tập ại có H và O là

c a t giác ABCD N u ta l y thêm Q ủa DC ứ thêm vào ết nên ta cần tìm mối quan hệ về ấy S

l trung i m c a AP => MNPQ l ài tập đ ể tính diện tích đối với bài tập ủa DC ài tập hình bình h nh.Do ó Sài tập đ MNP =

SKKN: Phương pháp giải bài toán tính diện tích và chứng minh bằng phương pháp diện tích

SCNP = 21SBCP = 41SCBD

SDPQ = 21SQCD = 41SDAC

SAMQ = 12SAMD = 41SABD

=> SMNPQ = SABCD - 41( SABC + SCBD+ SDAC + SABD)

SMNPQ = SABCD - 41.2 SABCD = 21 SABCD

a) Gọi M, N thứ tự là trung điểm của BC và ED

MED có ME = MD (cùng bằng 1/2 BC) nên là tam giác cân

b) Vẽ EE' , NN', DD' vuông góc với BC

Ddcm được NN' là đường trung bình hình thangEE'D'D

C

B

A

D'