Bài tập và cách chứng minh bằng phương pháp quy nạp

b Dự đoán công thức tính tổng S n và chứng minh bằng quy nạp.

Bài 1 :PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC

A/ LÝ THUYẾT :

Để chứng minh mệnh đề p(n) đúng với mọi số tự nhiên n≥p (p là một số tự nhiên ) thì ta làm như sau :

Bước 1 : Ta phải kiểm tra mệnh đề đúng với n = p ;

Bước 2 : Ta giả thiết mệnh đề đúng với số tự nhiên bất kì n=k (k≥p) và ta phải chứng minh rằng nó cũng đúng với n=k+1

B/ BÀI TẬP :

Bài 1 : Cmr với n∈N* ,ta có :

a) 2 + 5 + 8 + ………….+ 3n-1 = (3 1)

2

;

b) 1 1 1 1 2 1;

2 4 8 2 2

n

−

1 2 3 ;

6

Bài 2: Cmr với n∈ Ν ∗, ta có :

a) n3 + 3n2 + 5n chia hết cho 3 ;

b) 4n+ 15n− 1 chia hết cho 9 ;

c) n3 + 11n chia hết cho 6 ;

Bài 3 : Cmr với mọi số tự nhiên n≥2 ,ta có các bất đẳng thức :

a) 3n>3n+1 ;

b) 2n+ 1>2n+3

Bài 4 : Cho tổng s s sS n = 1 1 1

1.2 2.3 + + +n n( 1)

+ với n∈ Ν∗

a) Tính S 1 , S 2 , S 3

b) Dự đoán công thức tính tổng S n và chứng minh bằng quy nạp

Bài 5 : cmr với n∈ Ν ∗ , ta có :

a) 3+9+27+…….+3 n

=1 1

(3 3) 2

n+ − .

b) 2 2 2 2 (4 2 1)

1 3 5 (2 1) ;

3

n n

1 2 3

4

n n

d) 1.2+2.5+………… +n(3n-1) =n 2 (n+1) ;

Bài 6 : Cmr với n∈ Ν ∗ ,ta có :

a) 2n3 − 3n2 +n chia hết cho 6 ;

b) 11n+ 1 + 12 2n− 1 chia hết cho 133 ;

Bài 7 : Cho tổng :

S n = 1 1 1 1 .

1.5 5.9 9.13 + + + + (4n 3)(4n 1)

a) Tính s s s s1 , , , ; 2 3 4

b) Dự đoán công thức tính S n và chứng minh bằng phương pháp quy nạp