Biến đổi mellin và ứng dụng

Ý nghĩaquan trọng của phép biến đổi tích phân là chúng ta được cung cấp nhữngphương pháp toán tử rất hiệu lực để giải quyết những bài toán với giátrị đầu và các bài toán biên của các phư

Lời cảm ơn

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS Nguyễn Văn Hào, người đãđịnh hướng chọn đề tài và tận tình hướng dẫn để tôi có thể hoàn thành

luận văn này

Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới phòng sau đại học, cácthầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán giải tích, trường Đại học

Sư phạm Hà Nội 2 đã giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập

Nhân dịp này tôi cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình,bạn bè đã luôn động viên, cổ vũ, tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôitrong quá trình học tập và hoàn thành luận văn

Hà Nội, tháng 12 năm 2012

Tác giả

Đào Thị Mai

Lời cam đoan

Tôi xin cam đoan, dưới sự hướng dẫn của TS Nguyễn Văn Hào, luậnvăn “Biến đổi Mellin và ứng dụng” được hoàn thành bởi nhận thức

của bản thân tác giả

Trong quá trình làm luận văn, tôi đã kế thừa những thành tựu của cácnhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn

Hà Nội, tháng 12 năm 2012

Tác giả

Đào Thị Mai

Mục lục

Mở đầu 3

Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 8

1.1 Hàm biến phức 8

1.1.1 Hàm liên tục 8

1.1.2 Hàm chỉnh hình 9

1.1.3 Tích phân phức 12

1.2 Lý thuyết thặng dư 15

1.2.1 Không điểm và cực điểm 15

1.2.2 Thặng dư và cách tính 17

1.3 Hàm Gamma 19

1.3.1 Định nghĩa 19

1.3.2 Một số tính chất 20

1.4 Hàm Beta 21

1.4.1 Định nghĩa 21

1.4.2 Một số tính chất 22

1.5 Hàm Zeta Riemann 24

1.5.1 Định nghĩa 24

1.5.2 Phương trình hàm 24

Chương 2 BIẾN ĐỔI MELLIN 26

2.1 Định nghĩa và ví dụ 26

2.2 Một số tính chất cơ bản 30

2.2.1 Tính chất tuyến tính 30

2.2.2 Tính chất tỉ lệ 31

2.2.3 Tính chất nâng 31

2.2.4 Tính chất dịch chuyển 32

2.2.5 Biến đổi Mellin của đạo hàm 33

2.2.6 Biến đổi Mellin của toán tử vi phân 34

2.2.7 Biến đổi Mellin của tích phân 35

2.2.8 Biến đổi Mellin của tích chập 35

2.2.9 Biến đổi Mellin của tích 37

2.3 Mối quan hệ với biến đổi Laplace và biến đổi Fourier 38

2.4 Biến đổi Mellin ngược 39

2.5 Biến đổi Mellin trong tọa độ cực 41

2.6 Biến đổi Mellin tổng quát 44

Chương 3 ỨNG DỤNG CỦA BIẾN ĐỔI MELLIN 47

3.1 Tính tổng chuỗi vô hạn 47

3.2 Tính tích phân phụ thuộc tham số 50

3.3 Nghiệm của bài toán thế vị trong cái chêm 52

3.4 Giải các bài toán về phương trình đạo hàm riêng và phương trình tích phân tuyến tính 54

Kết luận 57

Phụ lục 58

Tài liệu tham khảo 60

đó được phát triển tới tích phân Fourier hay biến đổi Fourier Ý nghĩa

quan trọng của phép biến đổi tích phân là chúng ta được cung cấp nhữngphương pháp toán tử rất hiệu lực để giải quyết những bài toán với giátrị đầu và các bài toán biên của các phương trình phương trình vi phân

tuyến tính và phương trình tích phân Trong toán học, một biến đổi tíchphân là biến đổi T có dạng

Đầu vào của mỗi biến đổi tích phân là một hàm f , và đầu ra là một

hàm T f khác Trong đó hàm K(t, s) được gọi là nhân, hàm f được gọi

là hàm gốc và hàm F (s) được gọi là ảnh của biến đổi tích phân đó Một

đổi ngược

f (t) =

u2Z

u 1

Một trong những lý do cốt yếu về sự xuất hiện của các biến đổi tíchphân phải kể đến là nhiều lớp bài toán mà có thể nói rất khó giải quyết

hoặc thậm chí nhiều khi không thể gải quyết được trên bản thân nội tạicủa những lĩnh vực đó Một biến đổi tích phân là một phép biến đổi mà

nó ánh xạ một hàm từ “miền gốc” (mà trong đó bài toán đặt ra rất khó

giải quyết) sang một miền khác “miền ảnh” Việc giải bài toán trên miềnảnh sẽ thuận lợi hơn rất nhiều so với việc thực hiện trên miền gốc Sau

đó, kết quả sẽ được ánh xạ trở lại gốc ban dầu để ta nhận được yêu cầu

đặt ra (ta có thể hình dung vấn đề này dưới góc độ sơ cấp, như qua biếnđổi của hàm logarit các phép tính nhân được chuyển thành phép cộng).Hai phép biến đổi tích phân được đánh giá rất quan trọng không chỉ

trong Toán học mà phải nói đến sự ảnh hưởng lớn của nó đến các lĩnhvực của Vật lý học và nhiều ngành khoa học kỹ thuật khác, đó là biến

đổi Fourier và biến đổi Laplace Tuy nhiên, xét về mặt mang tính cốtyếu các phép biến đổi đó được xuất hiện từ việc đặt ra để giải quyết cácvấn đề thuộc lĩnh vực nói trên đây, thì biến đổi Mellin được xuất hiện

ngay trong ngữ cảnh giải quyết các vấn đề có tính thuần túy thuộc riêng

về lý thuyết Toán học Có nhiều loại biến đổi tích phân, mỗi biến đổikhác nhau tương ứng với một sự lựa chọn của một hàm nhân K(t, s)

và biến đổi Mellin của một hàm gốc f (t) xác định trên trục thực dương

Sự xuất hiện lần đầu tiên của biến đổi Mellin, ta có thể thấy được trongmột bản thảo của nhà Toán học B Riemann năm 1876, ở đó ông đã sử

dụng phép biến đổi này trong việc nghiên cứu về hàm Zeta để giải quyếtbài toán về sự phân bố các số nguyên tố Đến năm 1894, E Cahen mớiđưa ra được một số nghiên cứu rộng hơn về phép biến đổi này (tham

khảo vấn đề này ta có thể xem trong [1]) Điểm mấu chốt của biến đổi,được xuất hiện vào những năm 1896 - 1902 (vì lý do đó, sau này đượcgắn với tên biến đổi Mellin), đó là nhà toán học người Phần Lan R H

Mellin đã đưa ra sự trình bày một cách rõ ràng có hệ thống khá chặtchẽ về biến đổi tích phân này cùng phép biến đổi ngược của nó Trongcác công trình nghiên cứu về các hàm đặc biệt “Special Functions”, ông

đã trình bày các ứng dụng của nó trong việc giải các phương trình viphân siêu bội và vấn đề đạo hàm của khai triển tiệm cận Các đóng góp

của Mellin đã làm sáng tỏ ý nghĩa của lý thuyết hàm giải tích và xóa đi

sự nghi hoặc vẫn còn tồn tại trước đó trong Toán học về lý thuyết tíchphân Cauchy và lý thuyết thặng dư trong giải tích hàm biến phức

Như đã đề cập trên đây, biến đổi Mellin là một trong những biến đổitích phân có ý nghĩa quan trọng trong Toán học cũng như sự áp dụngphong phú của nó trong việc giải quyết các bài toán thường gặp trong

thực tiễn Với lý do đó, được sự định hướng của người hướng dẫn, tôi đãchọn đề tài “Biến đổi Mellin và ứng dụng” để hoàn thành luận vănThạc sĩ chuyên ngành Toán giải tích

2 Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu

Luận văn nghiên cứu về khái niệm phép biến đổi Mellin; một số tínhchất cơ bản của phép biến đổi Mellin; mối quan hệ của biến đổi Mellinvới phép biến đổi Laplace và biến đổi Fourier; một số ứng dụng của phép

biến đổi này

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Nghiên cứu về phép biến đổi Mellin, mối quan hệ của biến đổi này vớimột số biến đổi tích phân khác đồng thời nghiên cứu một số ứng dụng

của nó

4 Phương pháp nghiên cứu

Đọc sách, nghiên cứu tài liệu, tổng hợp kiến thức, vận dụng cho mục

đích nghiên cứu

5 Dự kiến đóng góp của đề tài

- Trình bày một cách hệ thống về lý thuyết của phép biến đổi Mellin cổđiển và biến đổi Mellin tổng quát

- Trình bày ứng dụng của phép biến đổi Mellin để giải quyết một số vấn

đề sau đây

+ Tính tổng chuỗi vô hạn

+ Giải các bài toán về phương trình vi phân đạo hàm riêng, phương

trình tích phân với điều kiện đầu và điều kiện biên.

+ Tính tích phân phụ thuộc tham số

+ Giải bài toán thế vị trong cái chêm vô hạn

Chương 1

KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1 Hàm biến phức

1.1.1 Hàm liên tục

Định nghĩa 1.1 Cho hàm f (z) xác định trên tập mở Ω ⊂ C Ta nói

tương đương sau

Định nghĩa 1.2 Hàm f (z) được gọi là liên tục đều trên Ω nếu với mọi

|f (z) − f (z0)| < ε

Nhận xét 1.1 Từ tính liên tục đều của hàm f suy ra hàm f liên tục.Tuy nhiên, điều ngược lại nói chung không đúng

Ví dụ 1.1 Hàm f (z) = 1

nhưng không liên tục đều trên đó

1

2n

1

z0

= |n − 2n| = n > 1 = ε

Điều đó, chứng tỏ rằng f (z) không liên tục đều trên Ω

1.1.2 Hàm chỉnh hình

Định nghĩa 1.3 Cho hàm phức f (z) xác định trên tập mở Ω Hàm

biểu thức

Hàm f gọi là chỉnh hình trên Ω nếu nó chỉnh hình tại mọi điểm của Ω

Hàm f chỉnh hình trên C được gọi là hàm nguyên

Ví dụ 1.2 Hàm f (z) = z chỉnh hình trên một tập con mở bất kỳ trong

Điều đó được suy ra từ mệnh đề 1.1 được trình bày sau phần này

vi phân của hàm này như sau

h.Bằng việc chuyển qua giới hạn trên trục thực và trên trục ảo ta thấyngay rằng thương vi phân không tồn tại khi h → 0

nếu tồn tại hằng số a sao cho

trên Ω thì f là liên tục trên đó

Các kết quả về phép toán đối với đạo hàm của hàm biến phức cũngtương tự như hàm biến thực Ta có mệnh đề sau

Khái niệm khả vi phức khác hẳn với khái niệm khả vi thông thường của

một hàm hai biến thực F : (x, y) 7→ (x, −y) Hàm này khả vi theo nghĩa

hàm hai biến thực, đạo hàm của nó tại một điểm là ánh xạ tuyến tínhđược cho bởi định thức Jacobian của nó, ma trận vuông cấp hai các đạohàm riêng của các hàm tọa độ Tuy nhiên, ta thấy điều kiện tồn tại các

đạo hàm thực không đảm bảo tính khả vi phức Để hàm f khả vi phức,ngoài điều kiện khả vi của hàm hai biến thực, chúng ta cần đến điềukiện Cauchy - Riemann được cho bởi định lý dưới đây Để lý giải được

điều này, trước hết ta nhắc lại hàm f (z) = u(x, y) + iυ(x, y), trong đó

tại z = x + iy nếu các hàm của hai biến thực u(x, y) và v(x, y) khả vi

tại điểm (x, y)

Định lý 1.1 (Điều kiện Cauchy - Riemann) Để hàm f (z) là C - khả vi

vi và thỏa mãn điều kiện Cauchy - Riemann

1.1.3 Tích phân phức

Một đường cong tham số là một hàm

z : [a, b] → C

t 7→ z(t) = x(t) + iy(t)

Đường cong gọi là trơn từng khúc nếu z(t) liên tục trên đoạn [a, b] và

khác nhau với mọi k = 1, 2, , n − 1

tương đương nếu tồn tại song ánh khả vi liên tục s → t(s) từ [c, d] đến

hướng của đường cong, khi s chạy từ c đến d thì t(s) chạy từ a đến b Họ

của tất cả các đường cong tham số tương đương với z(t) xác định một

sau

Các điểm z(a) và z(b) được gọi là điểm đầu và điểm cuối của đường cong.Đường cong trơn hoặc trơn từng khúc được gọi là kín nếu z(a) = z(b);

được gọi là đường cong đơn nếu nó không có điểm tự cắt, nghĩa là nếu

t 6= s thì z(t) 6= z(s) (trừ ra khi s = a và t = b) Ta thường gọi đườngcong đơn và kín là một chu tuyến Một chu tuyến γ giới hạn một miền

trong mặt phẳng phức C được gọi là miền đơn liên và thường được ký

Ta kí hiệu C là đường tròn định hướng dương

Định nghĩa 1.4 Cho đường cong trơn γ được tham số hóa bởi phương

trình z : [a, b] → C và f là hàm liên tục trên γ Tích phân của hàm fdọc theo γ được xác định bởi

Z

γ

f (z)dz =

bZ

a

Chúng ta thấy tích phân vế phải không phụ thuộc vào cách chọn phương

đương xác định như trên thì

bZ

a

dZ

c

=

dZ

γ

f (z)dz

... dụng biến đổi Mellin ứng với biến bán kính r Để

nhận phép biến đổi Mellin hệ tọa độ cực, cần đếncác phép biến đổi ngược hàm cos(sθ)F (s) sin(sθ)F (s) Ta sẽchỉ với lớp lớn toán, biến đổi. .. data-page="41">

và lấy biến đổi Laplace hai vế (2.31) theo g ta được

2.4 Biến đổi Mellin ngược

Công thức ngược biến đổi Mellin (2.1) suy từ phép biến đổi

của f ,... biến đổi Mellin ngược cho tương ứng bởicác công thức (2.43) (2.12) khác

2.5 Biến đổi Mellin tọa độ cực

Nghiệm giải tích số toán hai chiều hệ tọa cực (r, θ)thu cách sử dụng