các dạng bài và phương pháp giải Phép chia hết

A Tính chất chia hết trên tập hợp số tự nhiên: I/ Tính chất chung: 1/ Bất cứ số nào khác 0 cũng chia hết cho chính nĩ.. III/ Tính chất chia hết của tích 7/ Nếu một thừa số của tích chia

A) Tính chất chia hết trên tập hợp số tự nhiên:

I/ Tính chất chung:

1/ Bất cứ số nào khác 0 cũng chia hết cho chính nĩ

2/ a b và b c a c 3/ Số 0 chia hết cho mọi số b khác 0

4/ Bất cứ số nào cũng chia hết cho 1

II/ Tính chất chia hết của tổng và hiệu

5/ Nếu a  m và b  m thì a b m  và a b m  (a  b) 6/ Nếu một trong hai số a và b chia hết cho m, số kia khơng chia hết cho m thì a +b khơng chia hết cho m và a - b khơng chia hết cho m

III/ Tính chất chia hết của tích

7/ Nếu một thừa số của tích chia hết cho m thì tích chia hết cho m

8/ a m b n ,  ab mn IV/ Hệ quả:

a b a  b (n>0)

2/ a m , a n , ( , ) 1m n  a mn

3/ Nếu tổng hoặc hiệu của hai số chia hết cho m và một trong hai số ấy chia hết cho m thì số cịn lại cũng chia hết cho m

4/ Nếu ac  b và (a, b) =1 thì c  b 5/ Nếu a  b, c  b và (m, n N) thì a.m + c.n  b (b  0) 6/ a  b và c  d  ac  bd

7/ am  k.am (kN) 8/ a m; bm  k1a+k2bm

B) Một số dấu hiệu chia hết

Gọi N = a an n 1 a a1 0

1 Dấu hiệu chia hết cho 2:

Một số chia hết cho 2  chữ số tận cùng của nĩ là chữ số chẵn

N  2  a0  2  a0{0; 2; 4; 6; 8}

2 Dấu hiệu chia hết cho 5:

Một số chia hết cho 5  chữ số tận cùng của nĩ là 0 hoặc 5

N  5  a0  5  a0{0; 5}

3 Dấu hiệu chia hết cho 4 và 25:

Một số chia hết cho 4 (hoặc 25)  số tạo bởi 2 chữ số tận cùng của nĩ chia hết cho 4 hoặc 25

N  4 (hoặc 25) 

1 0

a a  4 (hoặc 25)

4 Dấu hiệu chia hết cho 8 và 125:

Một số chia hết cho 8 (hoặc 125)  số tạo bởi 3 chữ số tận cùng của nĩ chia hết cho 8 hoặc 125

N  8 (hoặc 125)  a a a  8 (hoặc 125) 2 1 0

5 Dấu hiệu chia hết cho 3 và 9:

Một số chia hết cho 3 (hoặc 9)  tổng các chữ số của nĩ chia hết cho 3 (hoặc 9)

N  3 (hoặc 9)  a0+a1+…+an  3 (hoặc 9)

CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI

Dạng 1 : Xét tính chia hết của một tổng hoặc hiệu

Phương pháp:

Ta sử dụng các tính chất

 Nếu a  m và b  m thì a b m  và a b m  (a  b)

 Nếu một trong hai số a và b chia hết cho m, số kia khơng chia hết cho m

thì a +b khơng chia hết cho m và a - b khơng chia hết cho m

Bài tập 1: Áp dụng tính chất chia hết xét xem mỗi tổng (hiệu) sau cĩ chia hết cho 8 khơng?

a) 48 + 56 + 112 b) 160 – 47

Giải:

a) Áp dụng tính chất chia hết của một tổng (hiệu) ta cĩ:

8 ) 112 56 48 ( 8 112

8

56

8

48

























b) 160  8 mà 47  8 nên 160 - 47  8

Bài tập 2: Khơng thực hiện phép tính, chứng tỏ rằng:

a) 34.1991 chia hết cho 17

b) 2004 2007 chia hết cho 9

c) 1245 2002 chia hết cho15

d) 1540 2005 chia hết cho 14

Hướng dẫn:

Ta dùng tính chất sau:

Chỉ cần cĩ một thừa số trong tích chia hết cho một số thì cả tích chia hết cho số đĩ

Giải:

a) 34.1991 = 17.2.1991

Vì 17 chia hết cho 17 nên 17.2.1991 hay 34.1991

b) 2004 2007 chia hết cho 9

2007 cĩ tổng các chữ số bằng 9, mà 9 chia hết cho 9 nên 2007  9

Do đĩ 2004 2007  9

c) 1245 2002 chia hết cho15

1245 cĩ tận cùng là chữ số 5 nên 1245  5

Do đĩ 1245 2002 chia hết cho 5

1245 cĩ tổng các chữ số là 1+2+4+5 = 12; 12 3 nên 1245  3

Do (5,3) = 1

Vậy 1245 2002 chia hết cho15

d) 1540 2005 chia hết cho 14

c b a c

N c b a c

a  ; , ,  (  0 )  

1540 = 14 110

Ta cĩ 14  14 nên 14.110  14 hay 1540 2005  14

Vậy 1540 2005 chia hết cho 14

Bài tập 3: Tổng (hiệu) sau cĩ chia hết cho 5 khơng?

a) 1.2.3.4.5.6 + 40 b) 1.2.3.4.5.6 - 32

Hướng dẫn:

* Nhận xét rằng tích 1.2.3.4.5.6 cĩ chứa thừa số 5 do đĩ tích này chia hết cho 5 Từ đĩ xét thừa

số cũng lại xem cĩ chia hết cho 5 khơng? Dẫn đến cách giải tương tự như bài tập 1

Giải:

a) 1.2.3.4.5.6 5 và 40 5  1.2.3.4.5.6 + 40

b) 1.2.3.4.5.6 5 và 32  5  1.2.3.4.5.6 - 32  5

Bài tập 4: Cho A = 2.4.6.8.10.12+ 40 Hỏi A cĩ chia hết cho 5, cho 6, cho 8 khơng?

Hướng dẫn:

Ta sử dụng tính chất

 Nếu a  m và b  m thì a b m  và a b m  (a  b)

 Nếu một trong hai số a và b chia hết cho m, số kia khơng chia hết cho m

thì a +b khơng chia hết cho m và a - b khơng chia hết cho m

Giải:

* 2.4.6.8.10.12  5 và 40  5  2.4.6.8.10.12+ 40 5  A 5

* 2.4.6.8.10.12  6 và 40  6  2.4.6.8.10.12+ 40 6  A 6

* 2.4.6.8.10.12  8 và 40  8  2.4.6.8.10.12+ 40 8  A 8

Từ đĩ ta kết luận: A  5, A  6, A  8

Bài tập 5: Chứng tỏ rằng: (49.a + 72)  7 với  a N

Giải:

Ta cĩ: 49.a  7 với  a N và 72  7  (49.a + 72)  7 với  a N

Bài tập 6 : Cho tổng A = (12 + 14 + 16 + x) với x  N Tìm x để:

a) A chia hết cho 2 b) A khơng chia hết cho 2 Phương pháp: Tìm điều kiện của một số hạng để tổng ( hoặc ) chia hết cho một số

Nhận xét: Ba số hạng đầu tiên trong tổng A đều chia hết cho 2 Muốn tổng A chia hết cho 2 thì x phải

là một số chia hết cho 2 Muốn tổng A khơng chia hết cho 2 thì x phải là một số khơng chia hết cho 2

Giải:

a) Ta cĩ: 122, 142, 162

Để A = (12 + 14 + 16 + x) 2 thì x2 Vậy x= 2.k (k N)

b) Ta cĩ: 122, 142, 162

Để A = (12 + 14 + 16 + x)  2 thì x  2 Vậy x= 2.k+1(k N)

Dạng 2: Nhận biết các số chia hết cho 2, 3, 5, 9

Bài tập 1: Cho số : 21780; 325; 1980; 176 Hãy cho biết các số trên chia hết cho những số nào trong các số sau ( 2; 3; 5; 9 )?

Hướng dẫn:

a) Số 21780 chia hết cho 2 và 5 vì có chữ số tận cùng là 0 Chia hết cho 3 và 9 vì tổng các chữ

số chia hết cho 9

b) 325 chia hết cho 5 vì có chữ số tận cùng là 5

c) 176 chia hết cho 2 vì có chữ số tận cùng là 6 (chữ số chẵn)

d) 1980 chia hết cho 2, cho 5, cho 3, cho 9 (vì có chữ số tận cùng là 0 và có tổng các chữ số chia hết cho 9)

Bài tập 2: Dùng ba trong bốn chữ số: 8; 3; 1; 0 Hãy ghép thành các số tự nhiên có ba chữ số sao cho số đó:

a) Chia hết cho 9

b) Chia hết cho 3 mà không chia hết cho 9

Hướng dẫn:

a) Trong 4 chữ số 8; 3; 1; 0 có 3 chữ số có tổng chia hết cho 9 là 8; 1; 0 Vậy các số lập được là: 810; 180; 108; 801

b) Trong 4 chữ số 8; 3; 1; 0 có 3 chữ số có tổng chia hết cho 3 mà không chia hết cho 9 là 8; 3;

1 Vậy các số lập được là: 813; 831; 381; 318; 183; 138

Dạng 3: Viết các số chia hết cho 2, 3, 5, 9, 4, 8, 25, 125 từ các số hoặc chữ số cho trước

Phương pháp: Sử dụng các dấu hiệu chia hết cho 2, cho 3, cho 5, cho 9, cho 4, 8, 25, 125

Bài tập 1: Điền chữ số vào dấu * để được số 54* chia hết cho 2

Hướng dẫn học sinh:

Số 54* = 540 + *

Để 54* chia hết cho 2 thì * 0;4;6;8

Vậy các số tìm được là: 540; 542; 546; 548

Bài tập 2: Điền chữ số vào dấu * để được số 85* thoả mãn:

a) Chia hết cho 2

b) Chia hết cho 5

Hướng dẫn học sinh:

a) Số 85* có chữ số tận cùng là 5 mà 5 không chia hết cho 2

 số 85* không chia hết cho 2

Vậy ta không tìm được * để 85* chia hết cho 2

b) Số 85* có chữ số tận cùng là 5 Vậy ta có thể thay * bằng bất cứ số nào từ 1 đến 9 thì số 85

* đều chia hết cho 5

Nên các số tìm được là: 185; 285; 385; 485; 585; 685; 785; 885; 985

Bài tập 3: Điền chữ số vào dấu * để 3*2 chia hết cho 9

Hướng dẫn học sinh

Ta có 3*2 chia hết cho 9 thì ( 3 + * + 2 ) phải chia hết cho 9

Hay ( 5 + * )  9

Vậy * = 4

Ta có số cần tìm là 342

Bài tập 4: Điền chữ số vào dấu * để *81* chia hết cho cả 2; 3; 5 và 9 ( trong một số có nhiều dấu * các dấu * không nhất thiết phải thay bởi các số giống nhau)

Hướng dẫn học sinh

Vì *81* chia hết cho 2 và 5 nên *81* có * tận cùng là 0, ta có số 810*

Mặt khác ta có 810* chia hết cho 3 và 9 mà 9 3

nên ( * + 8 + 1 + 0 )  9 nghĩa là (* + 9 )  9 Vây * = 9 ( Vì là * đầu tiên của một số nên không thể bằng 0 )

Ta có số cần tìm là 9810

Bài tập 5: Tìm chữ số x để:( 3x4 - 12) 3

Hướng dẫn: Hiệu trên phải chia hết cho 3 mà 12 đã chia hết cho 3 Từ đó dựa vào dấu hiệu chia hết cho 3 để tìm chữ số x

Giải:

Ta có: ( 3x4 - 12) 3

Mà 12  3

Nên 3x4  3

Hay 3+x+4  3

Do đó 7+x  3, và do 0  x  9

Vậy x{ 2; 5; 8}

Bài tập tương tự : Thay các chữ x, y bằng chữ số thích hợp để cho:

a) Số 275x chia hết cho 5, cho 25, cho 125 b) Số 9xy4 chia hết cho 2, cho 4, cho 8 Đáp số: a) 275x  5  x{0; 5}

275x  25  x{0}

275x  125  x{0}

b) 9xy4 2  x, y { 0,1,2,…,9}

9xy4 4  x{ 0,1,2,…,9}; y{ 0,2,4,6,8}

9xy4 8  x{ 0,2,6,8} và y{ 2,6} hoặc x{ 1,3,5,7,9}và y{ 0,4,8}

Bài tập 6: Tìm các chữ số a, b sao cho a56b  45

Hướng dẫn: sử dụng dấu hiệu chia hết cho 5, cho 9 và hệ quả am, an, (m,n) =1  am.n

Giải:

Ta thấy 45 = 5.9 mà (5 ; 9) = 1 ; 0<a  9 và 0  b  9

để a56b  45  a56b  5 và 9

Xét a56b  5  b  {0 ; 5}

Nếu b = 0 ta có số a56b  9  a + 5 + 6 + 0  9  a + 11  9  a = 7

Nếu b = 5 ta có số a56b  9  a + 5 + 6 + 0  9  a + 16  9  a = 2

Vậy các số phải tìm là 7560 ; 2560

Bài tập 7: Tìm các chữ số x, y sao cho 34x5y  4 và 9

Hướng dẫn: sử dụng dấu hiệu chia hết cho 4, cho 9 và hệ quả am, an, (m,n) =1  am.n

Giải:

Để 34x5y 4 thì 5y 4, khi đó y = 2 hoặc y = 6

* Với y = 2, để 34x5y 9 thì 3+4+x+5+2  9, do đó x = 4

* Với y = 6, để 34x5y 9 thì 3+4+x+5+6  9, do đó x = 0 hoặc x = 9

 x = 4 và y = 2

 x = 0 và y = 6

 x = 0 và y = 6 Vậy các số phải tìm là : 34452 ; 34052 ; 34952

Từ lời giải của các bài toán trên kết hợp với các dấu hiệu chia hết khác có thể nêu lên và giải được nhiều bài toán tương tự như : Tìm các chữ số x, y sao cho: 34x5y  15; 34x5y  18;34x5y  55

Dạng 4: Phân tích tìm ra thừa số chung để chứng minh chia hết

4.1 Sử dụng tính chất chia hết kết hợp với cách viết một số về tổng các lũy thừa của 10

Bài tập 1: Chứng minh rằng:

a) ab ba chia hết cho 11

b) ab ba chia hết cho 9 với a > b

Giải:

a) Ta có ab ba= (10a +b) + (10b + a) = 11a + 11b = 11(a + b)  11

Vậy ab ba  11

b) Ta có : ab ba = (10a + b) – (10b + a) với a > b

= 9a – 9b

= 9 (a – b)

Vì 9 9 nên 9 (a – b)  9 Vậy ab ba 9

Bài tập 2: Cho abc - deg 7 Chứng minh rằng: abc deg 7

Giải:

abc abc Tacó

Mà 7.143abc7 và abc - deg 7 nên 7.143 abc - ( abc -deg)  7

Do đĩ: abc deg 7

Bài tập tương tự: Cho abc +deg37 Chứng minh rằng: abc deg 37

Giải:



có

Vậ y

Bài tập 3: Chứng minh rằng nếu viết thêm vào đằng sau một số tự nhiên cĩ hai chữ số gồm chính hai chữ số ấy viết theo thứ tự ngược lại thì được một số chia hết cho 11

Giải:

Gọi số tự nhiên cĩ hai chữ số là: ab ( 0 < a  9, 0  b  9, a,b N)

Khi viết thêm số cĩ hai chữ số ấy viết theo thứ tự ngược lại ta được số: abba

abba



Vậ y

Bài tập 4: Cho số abc37 Chứng minh rằng số bca 37 và cab  37

Giải:

Theo đề: abc37 nên 100a+10b+c  37

100a+10b+c = 37.k (k N)

Ta cĩ: abc bca cab  = 100a+10b+c +100b+10c+a+100c+10a+b

= 111a+111b+111c = 111(a+b+c) = 37.3.(a+b+c)

abc bca cab 37

Mà bca =100b+10c+a

= 10.10b+ 10.c+ 10.100a - 999a

=10.(100a+10b+c)- 999a

=10.37k - 37.27ª

bca  37

Ta thấy: abc bca cab   37 mà abc37 và bca  37  cab  37

Bài tập 5: Chứng minh rằng: nếu ab cd eg11thì abcdeg 11

Giải:

: deg 10000 100 9999 99 ( )

có

Vậy : abcdeg 11

Bài tập 6: Chứng minh rằng : ab  2cd abcd 67

Giải:

Ta cĩ abcd 100ab cd

Mà: ab  2cd

Suy ra: abcd 200cdcd201cd3.67cd 67

Vậy: abcd 67

Bài tập 7: Cho số N = dcba Chứng minh rằng:

a N  4  (a + 2b)  4

b N  16  (a + 2b + 4c + 8d)  16 với b chẵn

Hướng dẫn : a) Sử dụng dấu hiệu chia hết cho 4 và tính chất chia hết của một tổng

Giải:

a N4  b a 4  10b + a  4  8b + (2b + a) 4  a + 2b4

b N16  1000d + 100c + 10b + a  16

 (992d + 96c + 8b) + (8d + 4c + 2b + a) 16

 a + 2b + 4c + 8d 16 (với b chẵn)

Bài tập 8: Cho biết (a + 4b) chia hết cho 13, ( a; b thuộc N) Chứng minh rằng (10a + b) chia hết cho 13

Giải:

Đặt : a + 4b = x

10a + b = y

Theo đề cho x chia hết cho 13, ta cần chứng minh y chia hết cho 13

Cách 1:

Xét biểu thức

10x – y = 10 ( a + 4b ) – ( 10a + b ) =10a + 40b – 10a – b

= 39b Suy ra : 10x - y  13

Do x  13 nên 10x  13

Ta đã cĩ 10x - y  13

Do đĩ y  13 Vậy 10a + b  13

Nhận xét: hệ số của a ở x là 1, hệ số của a ở y là 10 nên xét biểu thức (10x – y) nhằm khử a tức là làm cho hệ số của a bằng 0

Cách 2: Xét biểu thức

4y – x = 4 ( 10a + b ) – ( a + 4b )

= 40a + 4b – a – 4b = 39.a

Suy ra: 4y - x  13

Do x  13 nên 4y  13

Mà (4,13) = 1 nên y  13 hay 10a + b  13 Nhận xét: hệ số của b ở x là 4, hệ số của b ở y là 1 Nên xét biểu thức (4y – x) nhằm khử b

Cách 3: Xét biểu thức

3x + y = 3 ( a + 4b ) + ( 10a + b )

=3a + 12b +10a + b = 13a + 13b = 13.(a+b) Suy ra: 3x + y  13

Do x  13 nên 3x  13

Mà ta đã có : 3x + y  13 Suy ra: y  13 hay 10a + b  13

Cách 4: Xét biểu thức

x + 9y = a + 4b + 9.( 10a + b ) = a + 4b + 90a + 9b

= 91a + 13b = 13.( 7a + b) Suy ra: x 9y  13

Do x13 nên 9y13

Ta có: (9;13)=1 Nên y13 hay 10a + b13

Nhận xét: Trong các cách giải trên ta đã đưa ra các biểu thức mà sau khi rút gọn có một số hạng chia

hết cho 13 Khi đó số hạng thứ hai (nếu có) cũng là bội của 13

4.2 Chứng minh A(n) chia hết cho k, có thể xét mọi trường hợp số dư khi chia A(n) cho k

Bài tập 1 : Chứng minh rằng:

a) Tích của hai số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 2

b) Tích của ba số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 3

Giải:

a) Viết tích của hai số tự nhiên liên tiếp dưới dạng A(n) = n(n + 1)

Có hai trường hợp xảy ra :

+ n  2  n(n + 1)  2

+ n không chia hết cho 2 (n lẻ)  (n + 1)  2  n(n +1)  2

b) Viết tích của ba số tự nhiên liên tiếp dưới dạng A(n) = n(n + 1)(n+2)

Xét mọi trường hợp: n chia hết cho 3; n chia 3 dư 1 (n =3q+1); n chia 3 dư 2 (n = 3q+2) (q N)

+ Nếu n chia hết cho 3 thì hiển nhiên A(n) chia hết cho 3

+ Nếu n = 3q+1 thì n+2 = 3q+3= 3.(q+1)

Ta có: 3.(q+1) chia hết cho 3 , do đó n+2  3 Suy ra A(n)  3

+ Nếu n = 3q+2 thì n+1 = 3q+2+1 = 3q+3 = 3.(q+1) chia hết cho 3

Ta có: 3.(q+1) chia hết cho 3 , do đó n+1  3 Suy ra A(n)  3

Vậy A(n) chia hết cho 3 (đpcm)

Bài tập 2: Cho n là số tự nhiên Chứng minh rằng:

a/ (n + 10 ) (n + 15 ) chia hết cho 2

b/ n(n + 1) (n + 2) chia hết cho 6

Giải:

a/ (n + 10 ) (n + 15 )

 Khi n chẵn  n = 2k (k N)

Ta có: (n + 10 ) (n + 15 ) = (2k + 10)( 2k + 15) = 2(k + 5)(2k + 15) chia hết cho 2

 Khi n lẻ  n = 2k + 1 (k N)

Ta có: :(n + 10 ) (n + 15 ) = (2k + 1 + 10)(2k +1 + 15) = (2k + 11)(2k + 16)

= 2(2k + 11 )(k + 8) chia hết cho 2

Vây (n + 10 ) (n + 15 ) chia hết cho 2

b/ Đặt A = n (n + 1)(n + 2)

* Trong hai số tự nhiên liên tiếp có một số chẵn và một số lẻ, số chẵn chia hết cho 2 nên A chia hết cho 2

*- Trường hợp: n = 3k (k N) thì n chia hết cho 3 nên A chia hết cho 3 (1)

- Trường hợp: n không chia hết cho 3 thì n = 3k + 1 hoặc n = 3k + 2

 Khi n = 3k + 1  A = (3k + 1)( 3k + 2)(3k + 3) = 3(3k + 1)( 3k + 2)(k + 1) chia hết cho 3 nên A chia hết cho 3 (2)

 Khi n = 3k + 2  A = (3k + 2)( 3k + 3)(3k + 4) = 3(3k + 2)( k + 1)(3k + 4) chia hết cho 3 nên

A chia hết cho 3 (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra: A chia hết cho 3

Do (2, 3) = 1 Vậy A chia hết cho 6

Bài tập 3: Chứng minh rằng: Với  n  N, thì A(n) = n(2n + 7) (7n + 7) chia hết cho 6

Giải:

Ta thấy một trong hai thừa số n và 7n+ 7=7(n + 1) là số chẵn với n  N

 A(n)  2 (1)

Ta chứng minh A(n)  3

Lấy n chia cho 3 ta được n = 3k + r (k  N)

Với r  {0; 1; 2}

 Với r = 0  n = 3k  n  3  A(n)  3

 Với r = 1  n = 3k + 1  2n + 7 = 6k + 9  3  A(n)  3

 Với r = 2  n = 3k + 2  7n + 1 = 21k + 15  3  A(n)  3

Suy ra A(n)  3 với  n N, mà (2, 3) = 1 (2)

Từ (1) và (2) suy ra A(n)  6 với  n  N

Bài tập 4) Chứng minh rằng tổng của ba số tự nhiên liên tiếp thì chia hết cho 3, còn tổng của bốn số

tự nhiên liên tiếp thì không chia hết cho 4

Giải:

+Gọi ba số tự nhiên liên tiếp đó là: n, n + 1, n + 2

Ta phải chứng minh: n + (n + 1) + (n + 2)  3

Thật vậy ta có: n + (n + 1) + (n + 2) = 3n + 3 = 3 (n+ 1)

3 (n+ 1) 3  n + (n + 1) + (n + 2)

+Gọi bốn số tự nhiên liên tiếp đó là: n, n + 1, n + 2, n + 3