Tài liệu SKKN Toán CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH CHIA HẾT TRONG TẬP SỐ NGUYÊN Z DÙNG CHO BỒI DƯỠNG học sinh giỏi THCS NGHĨA PHONG

1.3 Mục tiêu bồi dưỡng học sinh giỏi trong sáng kiến kinh nghiệm Chương II:Các dạng toán và phương pháp chứng minh chia hết..8 2.1 Đặt vấn đề.... Qua nhiều năm bồi dưỡng học sinh giỏi m

PHÒNG GIÁO DỤC -ĐÀO TẠO

TRƯỜNG THCS

**************

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

NĂM HỌC 2010-2011

CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH CHIA HẾT TRONG TẬP SỐ NGUYÊN Z

DÙNG CHO BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI

, tháng năm

MỤC LỤC

PHẦN MỞ ĐẦU

1.Lý do viết sáng kiến kinh nghiệm 4

2.Mục đích viết sáng kiến kinh nghiệm 5

3.Đối tượng áp dụng sáng kiến kinh nghiệm 6

4.Cấu trúc của sáng kiến kinh nghiệm

5.Tài liệu tham khảo,nghiên cứu viết sáng kiến kinh nghiệm

PHẦN NỘI DUNG

Chương I:Một số cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm 7

1.1 Những đặc trưng cơ bản của việc bồi dưỡng học sinh giỏi

1.2 Thực trạng của việc bồi dưỡng học sinh giỏi

1.3 Mục tiêu bồi dưỡng học sinh giỏi trong sáng kiến kinh nghiệm Chương II:Các dạng toán và phương pháp chứng minh chia hết 8

2.1 Đặt vấn đề

2.2 Tóm tắt lý thuyết

2.3 Các dạng toán và phương pháp chứng minh

2.3.1 Dạng 1-Cách chứng minh -Ví dụ minh họa 9

2.3.2 Dạng 2-Cách chứng minh -Ví dụ minh họa 10

2.3.3 Dạng 3-Cách chứng minh -Ví dụ minh họa 11

2.3.4 Dạng 4-Cách chứng minh-Ví dụ minh họa 12

2.3.5 Dạng 5-Cách chứng minh -Ví dụ minh họa 13

2.3.6 Dạng 6-Cách chứng minh -Ví dụ minh họa 15

2.3.7 Dạng 7-Cách chứng minh -Ví dụ minh họa 17

2.3.8 Dạng 8-Cách chứng minh -Ví dụ minh họa 18

Chương III:

Sơ đồ minh họa các dạng toán và phương pháp chứng minh 20

PHẦN KẾT 21

1.Kết luận

2.Kiến nghị

PHẦN MỞ ĐẦU 1-LÝ DO VIẾT SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM:

Sự nghiệp giáo dục -đào tạo có ý nghĩa quan trọng trong chiếnlược xây dựng con người ,chiến lược phát triển kinh tế xã hội của đấtnước.Đại hội Đại biểu khóa VIII của Đảng đã xác định :” Cùng với khoa học

và công nghệ , giáo dục và đào tạo là quốc sách hàng đầu nhằm nâng cao dântrí ,đào tạo nhân lực ,bồi dưỡng nhân tài”

Vì vậy ,giáo dục có tác dụng vô cùng to lớn trong việc truyền bá hệ tưtưởng chính trị xã hội chủ nghĩa ,xây dựng ý thức pháp quy ,ý thức đạo đức

và góp phần cơ bản vào việc hình thành lối sống mới ,nhân cách mới chotoàn xã hội nói chung và cho thế hệ học sinh nói riêng

Bên canh đó, trong công tác giảng dạy của thầy cô giáo và học tậpcủa các em học sinh có vai trò quyết định đến hiệu quả của giáo dục

Đặc biệt sự phát triển nhanh chóng và thành công của chất lượng giảngdạy và học tập phải được thể hiện rõ nét nhất ở đội ngũ học sinh giỏi trongnhà trường

Là một giáo viên giảng dạy môn Toán ,là một cán bộ quản lý trong nhàtrường ,tôi luôn trăn trở ,suy nghĩ tìm ra những giải pháp để làm sao bồidưỡng cho học sinh chăm chỉ học môn Toán ,yêu môn Toán và thực sự giỏiToán

Trong chương trình bồi dưỡng học sinh giỏi Tóan THCS, các em đượctruyền đạt các kiến thức nâng cao hơn chương trình chính khóa về Sốhọc ,Đại số và Hình học

Chương trình bồi dưỡng vì vậy rất đa dạng và phức tạp đòi hỏi giáoviên giảng dạy và học sinh học tập phải thật sự cố gắng đầu tư công sứcnghiên cứu , tham khảo nhiều tài liệu để rút ra được những cách giải nhanhchóng ,chính xác và cực kỳ thông minh

Qua nhiều năm bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán lớp 9,tôi có rút ra một sốkinh nghiệm của bản thân trong việc truyền đạt kiến thức cho các em khi giải

Toán của chương trình được học.

Tôi nhận thấy khi thực hiện các bài Toán trong “Phép chia hết trong tập số nguyên Z” các em còn lúng túng ,xoay sở khó khăn trong việc tìm ra

hướng giải Điều đó đã làm các em mất nhiều thời gian và công sức mà nhiềulúc không tìm được hướng giải trong khi loại toán này các em vẫn thườngxuyên gặp phải

Vì lý do đó tôi xin được trình bày ý kiến của mình trong khuôn khổ

của bài :”Sáng kiến kinh nghiệm về CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH CHIA HẾT TRONG TẬP SỐ NGUYÊN Z,DÙNG CHO BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI LỚP 9 - TRƯỜNG THCS TRẦN PHÚ”

Đồng thời qua diễn đàn này ,tôi thật sự mong muốn các đồng chí , đồng

nghiệp ,các thầy cô và các cấp lãnh đạo góp ý kiến xây dựng để bài viết đượchoàn thiện và mang tính khả thi

2-MỤC ĐÍCH VIẾT SÁNG KIẾN :

Trong quá trình giảng dạy ,hướng dẫn ,bồi dưỡng học sinh giỏi giải Toán về:”Phép chia hết trong tập số nguyên Z” tôi nhận thấy Phần lý thuyết được truyền đạt mang tính trừu tượng cao ,nhưng ngắn gọn mà bài tập

cụ thể thì nhiều và rất đa dạng làm cho học sinh rất khó định hướng để tìm racách giải

Tìm tòi nhiều bài tập,tổng hợp nhiều cách giải,sưu tầm và học hỏi

nhiều sách để tổng hợp ,phân loại các dạng toán về phép chia hết để làm sao

trong một khả năng có giới hạn tôi trình bày các dạng toán mang tính tổnghợp và các cách chứng minh cụ thể cho từng dạng toán nhằm giúp cho các

em học sinh tham gia bồi dưỡng môn Toán có khả năng thực hiện giải một số

bài toán về: phép chia hết một cách nhanh chóng và có hệ thống.

3-ĐỐI TƯỢNG ÁP DỤNG :

-Các Thầy,Cô tham khảo góp ý kiến nếu phù hợp với điều kiện của nhà

trừơng thì mạnh dạn đưa vào Chương trình Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán lớp

9.

-Các Thầy ,Cô tham khảo góp ý kiến nếu phù hợp với điều kiện của

nhà trừơng thì mạnh dạn đưa vào Chương trình Bồi dưỡng học sinh giỏi Toánlớp 9

-Các em học sinh được bồi dưỡng môn Toán 9 của trường tôi

4-CẤU TRÚC CỦA SÁNG KIẾN:

*Ngoài phần mở đầu ,phần nội dung ,phần kết luận ,sáng kiến còn cómục lục,tài liệu tham khảo

*Phần nội dung có 3 chương :

Chương I:Một số cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm

Chương II:Các dạng toán và phương pháp chứng minh chia hết

Chương III:Sơ đồ minh họa các dạng toán và phương pháp chứng

minh

5-TÀI LIỆU THAM KHẢO VIẾT SÁNG KIẾN :

-400 Bài toán mở rộng THCS của Dương Đức Kim

-Bồi dưỡng học sinh giỏi toán 9 của Nguyễn Vũ Thanh

-Hướng dẫn học tập môn Toán -Trần Khánh Hưng

-Hướng dẫn dạy và học Toán -Phan Văn Hoàn

-Bồi dưỡng số học Cấp II-Phan Văn Phùng

**********************

PHẦN NỘI DUNG:

Chương I: MỘT SỐ CƠ SỞ LÝ LUẬN CỦA SÁNG KIẾN

1.1-Những đặc trưng cơ bản của việc bồi dưỡng Học sinh giỏi:

-Bồi dưỡng học sinh giỏi là tạo ra những con đường giúp các em tự mình điđến với kiến thức ,giúp các em chốt lại được các kiến thức và giúp các em “hé

mở “ những vấn đề hứng thú cao hơn chương trình đang học

- Bồi dưỡng học sinh giỏi là giúp các em biết được những vấn đề mà sáchgiáo khoa chưa nói đến nhưng với trình độ của mình các em vẫn có thểhiểu được , làm được ,chứng minh được.Và đặc biệt có thể tự mình tìm rađược những vấn đề mà mình chưa biết

-Khi bồi dưỡng học sinh giỏi là các thầy cô đã tạo động lực để các em tự mìnhsuy nghĩ ,tự mình cố gắng tìm ra lời giải,cố gắng tìm ra được nhiều cách giải

và lựa chọn được cách giải hay nhất

-Khi được bồi dưỡng các em thường cố gắng suy nghĩ để tìm ra cách giải đều

đó làm cho trí óc của các em làm quen với việc tìm hiểu vấn đề ,đặt vấn đề vàgiải quyết vấn đề.Từ đó các em được mở mang trí tuệ ,rèn tính sángtạo ,thông minh

1.2-Thực trạng của việc bồi dưỡng học sinh giỏi:

-Bồi dưỡng học sinh giỏi là tạo mũi nhọn ,động lực thúc đẩy các em chăm lohọc tập ,say mê nghiên cứu ,trưởng thành trong suy nghĩ ,chính chắn trongcuộc sống

Bởi vậy nó là một mảng quan trọng trong nhà trường sau những giờ học chínhkhóa Nhưng bồi dưỡng học sinh giỏi cũng dễ bị lệch lạc nếu có những suynghĩ, định hướng như “nuôigà chọi “

-Thực tế nếu bồi dưỡng để các em sáng tạo và thông minh ,mạnh dạn và quyếtđoán ,suy nghĩ sâu xa và chính chắn thì đó là một điều tuyệt vời cho học tâpcủa các em Nhưng nếu thiên về dạy “tủ “ thì cũng thật là tai hại vì nó sẽ phảnlại tác dụng trong việc học tập của các em

1.3-Mục tiêu bồi dưỡng học sinh giỏi trong sáng kiến :

-Từ những vấn đề được học trong chương trình chính khóa giáo viên truyềnđạt kiến thức nâng cao cho các em một cách hệ thống ,khoa học, thật sự lôgic-Từ những kiến thức về :Phép chia hết đã học các em sẽ được tiếp tục học tậpkiến thức nâng cao dựa trên nền tảng chương trình chính khóa

-Các em nắm chắc các dạng toán về Phép chia hết trong tập Z.Vận dụng mộtcách thông minh ,sáng tạo các cách chứng minh trong việc giải các dạngtoán về phép chia hết

Chương II:CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHÉP CHỨNG MINH CHIA HẾT

2.1-Đặt vấn đề:

-Phần lý thuyết chứng minh chia hết ngắn gọn ,trừu tượng nhưng phầntoán đa dạng phức tạp nên để học sinh dễ tiếp thu và vận dụng cần đưa ra cácmấu chốt của vấn đề cần giải theo hướng chung,dễ triển khai ,mở rộng,dễ nhớ

Nên tôi mạnh dạn phân thành các Dạng toán từ phần lý thuyết sau để

học sinh phân loại và chọn cách giải cho phù hợp,nhanh chóng và đạt độ

chính xác cao trong khi thực hiện các bước giải toán Chứng minh chia hết

a b (mod m) a- b m-Tính chất : *Nếu a b (mod m) và c d (mod m) thì

a+c b+d (mod m) và a - c b - d (mod m) *Nếu a b (mod m) và c d (mod m) thì a.c b.d (mod m)

-Hệ quả: *Nếu a b (mod m) thì a+c b +c (mod m) và

a - c b -c (mod m)

*Nếu a b (mod m) thì ac bc (mod m) (c 0)

*Nếu a b (mod m) thì an b n (mod m)

với n N 2.3-Các dạng toán và phương pháp chứng minh:

2.3.1-Dạng 1 -Cách chứng minh và ví dụ minh họa :

 Sử dụng tính chất :” Trong n số nguyên liên tiếp có một và chỉ một số chia hết cho n ,với n 1”

 Cách chứng minh: Lấy n số nguyên liên tiếp chia cho n thì được n

số dư khác nhau đôi một ,trong n số dư đôi một này có duy nhất một

số dư bầng 0 ,tức là có duy nhất một số chia hết cho n

Vậy Tích hai số chẵn liên tiếp chia hết cho 8

b-Chứng minh rằng: Tích năm số nguyên liên tiếp chia hết cho

120?

Ta có hướng giải : Có : 120=3.5.8

Trong 5 số nguyên liên tiếp có 1 số chia hết cho 3 và 1 số chia hết cho

5 nên tích của chúng chia hết cho 3 và 5

Ta chứng minh trong 5 số nguyên liên tiếp có 2 số chẵn liên tiếp nêntích của chúng chia hết cho 8 (câu a)

Vì 5 số nguyên liên tiếp có dạng n,n+1,n+2,n+3,n+4 nên:

n chẵn thì n,n+2 là 2 số chẵn liên tiếp hoặc

n lẻ thì n+1,n+3 là 2 số chẵn liên tiếp

do đó: Tích năm số nguyên liên tiếp chia hết cho 3.5.8=120

 Các bài tập tham khảo điển hình có cách giải thuộc Dạng 1 : i-Chứng minh rằng :với m,n Z ta có: n3+11n 6?

mn(m2-n2) 3?

n(n+1)(2n+1) 6?

ii-Cho m,n là 2 số chính phương lẻ liên tiếp Chứng minh rằng :

mn-m-n+1 192?

iii-Cho p là số nguyên tố lớn hơn 3,chứng minh rằng :p2-1 24?

iiii-Chứng minh rằng trong 1900 số tự nhiên liên tiếp có một số có tổng

a-Chứng minh rằng :Với n chẵn(n Z) ta có :20n +16n-3n-1 323

Ta có hướng giải sau:

b-Chứng minh rằng: với mọi số tự nhiên n ta có :11n+2122n+1 133

Ta có hướng giải sau:

iii- Cho a,b là các số tự nhiên không chia hết cho 5.Chứng minh rằng :

pa4m+qb4m chia hết cho 5 khi và chỉ khi p+q chia hết cho 5(với p,q N)

iiii-Cho n là số nguyên dương và k là số tự nhiên lẻ.Chứng minh rằng:

 Cách chứng minh: Để chứng minh biểu thức A(n) p ta xét tất cả

các số dư trong các phép chia ncho p.Chia n cho p được các số dư :0,1,2,3,4,… ,p-1.Đặc biệt nếu p lẻ thì ta có thể viết :

n=k.p+r với r=0,1,2,….,±(p-1):2

 Ví dụ minh họa :

a-Tìm dư trong phép chia một số chính phương cho 3,cho 5

Ta có hướng giải sau:

Số chính phương có dạng n2(n N)

Chia n cho 3 thì n = 3k hoặc n=3k ±1

Nếu n=3k thì n2=9k2 chia hết cho 3

Nếu n=3k ±1 thì n2 (3k ±1)2=9k2 ± 6k+1 chia 3 dư 1

Vậy một số chính phương khi chia cho 3 số dư là 0 hoặc 1

Chia n cho 5 thì n = 5k hoặc n=5k ±1 hoặc n=5k ±2Nếu n=5k thì n2=25k2 chia hết cho 5

Nếu n=5k ±1 thì n2 (5k ±1)2=25k2 ±10k+1 chia 5 dư 1

Nếu n=5k ±2 thì n2 (5k ±2)2=25k2 ±20k+4 chia 5 dư 4

Vậy một số chính phương khi chia cho 5 số dư là 0 , 1 hoặc 4

b-Chứng minh rằng: tổng bình phương của 3 số nguyên liên tiếp

không thể là một số chính phương?

Ta có hướng giải sau:

Tổng luỹ thừa 2k(k N* ) của 3 số nguyên liên tiếp có dạng :

(n-1)2k+n2k+(n+1)2k

Trong 3 số nguyên liên tiếp có một số chia hết cho 3,hai số còn lại có dạng:3k ±1 nên tổng luỹ thừa chẵn của 3 số nguyên liên tiếp chia cho 3 có số dư là

2 nên không thể là một số chính phương

 Các bài tập tham khảo điển hình có cách giải thuộc Dạng 3 : i-Chứng minh rằng :tổng bình phương của 5 số nguyên liên tiếp không

2.3.4: Dạng 4 -Cách chứng minh và ví dụ minh họa :

 Sử dụng Nguyên tắc “ngăn kéo”Dirichlet

Nếu đem n+1 vật xếp vào n ngăn kéothì có ít nhất có 1 ngăn kéo chứa

từ 2 vật trở lên

 Cách chứng minh: Nếu có nk+1 xếp vào n ngăn thì có ít nhất một

ngăn chứa từ k+1 vật trở lên

 Ví dụ minh họa :

a-Chứng minh rằng :Trong 11 số nguyên bất kỳ có thể tìm được 2

số có chữ số tận cùng giống nhau

Ta có hướng giải như sau :

Lấy 11 số nguyên bất kỳ chia cho 10 thì được 11 số dư nhận 1 trong 10

số :0,1,2,… ,9.Vậy phải có 2 số có cùng số dư ,hiệu 2 số đó chia hết cho 10Vậy 2 số đó có chữ số tận cùng giống nhau

b-Chứng minh rằng: Trong 101 số nguyên bất kỳ có thể tìm được 2

số có 2 chữ số tận cùng giống nhau

Ta có hướng giải như sau :

Tương tự câu a:lấy 101 số nguyên bất kỳ chia cho 100-tức là ta đã lấy 2 số tậncùng của chúng

c-Chứng minh rằng: Trong n+1 số nguyên bất kỳ có thể tìm được 2

số có hiệu của chúng chia hết cho n

Ta có hướng giải như sau :

Lấy n+1 số chia cho n thì được n+1 số dư nhận 1 trong các số

0,1,2,…9,….,n-1 nên phải có 2 số dư bằng nhau ,hiệu số này chia hết cho n

 Các bài tập tham khảo điển hình có cách giải thuộc Dạng 4 : i-Chứng minh rằng trong 8 số tự nhiên có 3 chữ số bao giờ cũng chọn

được 2 số mà khi viết liền nhau ta được 1 số có 6 chữ số và chia hết cho 7

ii- Chứng minh rằng trong 5 số nguyên bất kỳ có thể tìm được 3 số có

tổng chia hết cho 3

iii-Chứng minh rằng trong 52 số tự nhiên bất kỳ luôn tìm được 1 cặp

gồm 2 số sao cho tổng hoặc hiệu của chúng chia hết cho 100

iiii-Có hay không một số nguyên dương k để 29k là một số có các chữ sốtận cùng là 0001

iiiii- Chứng minh rằng trong 19 số tự nhiên liên tiếp bất kỳ luôn tìm được 1 số có các chữ số sao cho tổng các chữ số chia hết cho 1

v.v

2.3.5: Dạng 5 -Cách chứng minh và ví dụ minh họa :

 Sử dụng Phương pháp chứng minh quy nạp

 Cách chứng minh: Giả sử cần chứng minh :

A(n) p với n=1,2,3….(1) Ta cần chứng minh (1) đúng với n=1tức là chứngminh A(1) p

Giả sử (1) đúng với n=k tức là ta có :A(k) p

Ta chứng minh (1) đúng với n=k+1,tức là phải chứng minh :A(k+1) pTheo nguyên tắc quy nạp ta kết luận (1) đúng với mọi n=1,2,3…

 Ví dụ minh họa :

a-Chứng minh rằng :với mọi số nguyên dương n ta có:

4n+15n-1 9 (1)

Ta có hướng giải sau:

Với n=1 ta có :41+15.1-1=18 9.Vậy (1) đúng với n=1

Với n= 1 ta có k2 -1=(k-1)(k+1) 8 (vì k-1,k+1 là 2 số chẵn liên tiếp nêntích của chúng chia hết cho 8)

Giả sử n=m ta có : k2 m-1 2 m+2  k2 m-1=2 m+2 q( q Z)

 k2 m =2 m+2 q +1

Với n=m+1ta có : k2 m+1 -1 =( k2 m) 2 -1=(2 m+2 q+1)2-1=

=2 2m+4 q2+2 m +3 q=2 m +3(2 m +1q2+q) 2 m +3Vậy k2 n-1 2n+2 với mọi n 1

Các bài tập tham khảo điển hình có cách giải thuộc Dạng 5 :

i-Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ta có :

3 2 4n+1 +2 11

ii- Chứng minh rằng từ 2n+1 -1 số nguyên bất kỳ luôn tìm được 2n số

mà tổng của chúng chia hết cho 2n (với n N*)

Các bài tập tham khảo điển hình có cách giải thuộc Dạng 6 :

i-Tìm dư trong phép chia 32003 chia cho 13

Nếu a có chữ số tận cùng là 2,3,hoặc 7 thì để tìm chữ số tận cùng của an

ta lấy n chia cho 4