ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC PHẠM VĂN HIỆU ĐA CHẬP ĐỐI VỚI CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN FOURIER, FOURIER SINE, FOURIER COSINE VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - Năm 2012 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC PHẠM VĂN HIỆU ĐA CHẬP ĐỐI VỚI CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN FOURIER, FOURIER SINE, FOURIER COSINE VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: TOÁN ỨNG DỤNG Mã số : 60.46.36 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS NGUYỄN MINH KHOA Thái Nguyên - Năm 2012 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn i Mục lục Mục lục i Mở đầu Nội dung Đa chập với hàm γ(y) = e−αy phép biến đổi tích phân Fourier, Fourier sine Fourier cosine 1.1 Các không gian xét đến 1.2 Định nghĩa đa chập 1.3 Các tính chất đa chập 1.4 Áp dụng giải hệ phương trình tích phân 15 Đa chập với hàm trọng γ(y) = 4e−βy phép biến đổi Fourier, Fourier sine Fourier cosine 20 2.1 Các không gian sử dụng 20 2.2 Định nghĩa đa chập 20 2.3 Các tính chất đa chập 21 2.4 Áp dụng 28 Kết luận 33 Tài liệu tham khảo 36 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ii LỜI CẢM ƠN Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thày TS Nguyễn Minh Khoa Trưởng khoa học - Trưởng mơn Tốn trường Đại học Điện lực hướng dẫn bảo tận tình suốt trình làm luận văn Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành đến Ban giám hiệu, phịng Đào tạo, khoa Tốn - Tin Trường ĐHKH, Đại học Thái Nguyên tạo điều kiện thuận lợi suốt trình học tập trường Xin chân thành cảm ơn gia đình, bạn bè đồng nghiệp thành viên lớp cao học toán K4B quan tâm, động viên, giúp đỡ tác giả suốt thời gian học tập trình làm luận văn Tuy thân có nhiều cố gắng, song thời gian lực thân có hạn nên luận văn khó tránh khỏi thiếu sót Rất mong đóng góp ý kiến thầy tồn thể bạn đọc Thái Ngun, tháng 08 năm 2012 Tác giả Phạm Văn Hiệu Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn iii LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan kết nghiên cứu luận văn trung thực không trùng lặp với đề tài khác Tôi xin cam đoan giúp đỡ cho việc thực luận văn cảm ơn thơng tin trích dẫn luận văn rõ nguồn gốc Tác giả Phạm Văn Hiệu Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Mở đầu Tích chập hai hàm f, g phép biến đổi tích phân Fourier có dạng [7,13]: (f ∗ g)(x) = F √1 2π +∞ f (x − y)g(y)dy ∀x ∈ R (0.1) −∞ Tích chập thảo mãn đẳng thức nhân tử hóa sau: ∗ F (fF g)(y) = (F f )(y)(F g)(y), ∀y ∈ R (0.2) phép biến đổi Fouriercó dạng: [7.13] +∞ (F f )(y) = √ 2π f (x)e−ixy dx (0.3) −∞ Tích chập suy rộng hai hàm f g phép biến đổi Fourier sine Fourier cosine nghiên cứu [7] , [13] +∞ (f ∗ g)(x) = √ 2π f (y) [g(x − y) − g(x + y)])dy (0.4) Tích chập suy rộng thỏa mãn đẳng thức nhân tử hóa Fs (f ∗ g)(y) = (Fs f )(y)(Fc g)(y), ∀y > (0.5) Trong phép biến đổi Fourier sine có dạng [7] , [13] +∞ (Fs f )(y) = π f (x)sin(xy)dx, (0.6) Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn phép biến đổi Fourier cosine có dạng [7] , [13] +∞ (Fc f )(y) = π f (x)cos(yx)dx, (0.7) Tích chập suy rộng hai hàm f g phép biến đổi tích phân Fourier cosin Fourier sine xác định [10] +∞ (f ∗ g)(x) = √ 2π f (u) [sign(u − x)g |u + x| + g(u + x)]du, x > (0.8) Và thoả mãn đẳng thức nhân tử hóa: Fc (f ∗ g)(y) = (Fs f )(y)(Fs g)(y), ∀y > (0.9) Tích chập suy rộng với hàm trọng: γ1 (x) = sinx hai hàm f g phép biến đổi tích phân Fourier cosine sine có dạng sau[11] +∞ (x) = √ 2π γ1 f ∗g f (y)[g |x − y − 1| − g |y − x + 1| +g |y + x − 1| − g |x + y + 1| ]dy, x > (0.10) có đẳng thức nhân tử hóa sau đây: γ1 Fc (f ∗ g)(y) = sin y(Fs f )(y)(Fc g)(y), ∀y > (0.11) Tích chập suy rộng phép biến đổi tích phân Fourier Fourier sine xác định [6] +∞ (f ∗ g)(x) = √ 2π f (y) [sign(y − x)g |y + x| + g(x + y)]dy,∀x ∈ R Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn (0.12) Tích chập thoả mãn nhân tử hóa sau đây: F (f ∗ g)(y) = (Fs f ) |y| (Fs g) |y| , ∀y ∈ R (0.13) Một tích chập với hàm trọng γ1 (x) = sinx hàm f hàm g phép biến đổi Fourier sine giới thiệu [4] γ1 (f ∗ g)(x) = Fs √ 2π +∞ f (y)sign(x + y − 1)g(|x + y − 1|) +sign(x − y + 1)g(|x − y + 1|) − g(x + y + 1) −sign(x − y − 1)g(|x − y − 1|)dy, x > (0.14) với tích chập này, đẳng thức nhân tử hóa sau thỏa mãn : η Fs (f ∗ g)(y) = sin y(Fs f )(y)(Fs g)(y), ∀y > (0.15) Fs Năm 1997 Kakichev giới thiệu phương pháp kiến thiết xác định đa chập với hàm trọng γ hàm f1 , f2 , , fn phép biến đổi tích phân K1 , K2 , , Kn ký hiệu γ (f1 , f2 , , fn )(x) cho đẳng ∗ thức nhân tử sau thỏa mãn [5] n K γ ∗ (f1 , f2 , , fn ) (Ki fi )(y), n ≥ (0.16) (x) = γ(y) i=1 Đa chập phép biến đổi tích phân Hilbert, Stieltjes, Fourier cosine, Fourier sine nghiên cứu [9] Trong thời gian gần đây, có nhiều có nhiều cơng trình nghiên cứu tích chập suy rộng Các tích chập cho ta số ứng dụng thú vị xem ([8,10,11,12]) Đặc biệt ứng dụng phương trình tích phân với nhân Toeplitz+Hankel[3,14] +∞ [k1 (x + y) + k2 (x − y))]f(y)dy = g(x), x > f (x) + (0.17) k1 , k2 g hàm biết f ẩn hàm Nhiều trường hợp rieeng phương trình giải cho nghiệm đóng nhờ vào tích Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn chập suy rộng Trong luận văn tác giả sử dụng kết báo Tiến sĩ Nguyễn Minh Khoa với hai đa chập với hàm trọng γ(y) phép biến đổi Fourier sine, Fourier Fourier cosine Với tính chất tốn tử mối liên hệ đa chập với tích chập tích chập suy rộng biết Đồng thời, giải trường hợp riêng toán mở (0.17) Đáng ý đa chập sử dụng luận văn cho phép ta giải số lớp nghiệm số khơng nhiều hệ phương trình tích phân giải dạng đóng Luận văn bao gồm phần mở đầu, hai chương, kết luận danh mục tài liệu tham khảo Chương Đa chập với hàm trọng γ(y) = e−αy phép biến đổi tích phân Fourier cosine , Fourier Fourier sine Chương Đa chập với hàm trọng γ(y) = 4e−βy phép biến đổi tích phân Fourier sine , Fourier Fourier cosine Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương Đa chập với hàm γ(y) = e−αy phép biến đổi tích phân Fourier, Fourier sine Fourier cosine 1.1 Các không gian xét đến Các không gian xét đến chương tác giả dùng đến không gian sau: L α2 + x2 , R =   +∞ với α ≥ L R+ = α2 + x2 |f (x)| dx < +∞ f:      −∞   |f (x)| dx < +∞  +∞ f:   Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 24 γ = Fc ∗(f, g, h)(y) Vậy định lý chứng minh Hệ 2.1 Giả sử f hàm số L( β + x2 , R) g, h, ϕ hàm số L(R+ ) đa chập (2.1) khơng kết hợp thỏa mãn đẳng thức sau: γ γ a)(ϕ ∗(∗(f, g, h))= g ∗(∗(f, ϕ, h)) 2 γ γ b)(∗(f, g, h) ∗ ϕ)=(∗(f, g, ϕ)h ∗g ) γ γ1 γ γ1 c)(∗(f, g, h) ∗ ϕ)=(∗(f, g, ϕ)h ∗ g) Fs Fs Chứng minh: Trước hết ta chứng minh a) Thật từ (0.9) (2.2) ta có : γ γ Fc ϕ ∗ (∗(f, g, h) (y)=(Fs ϕ)(y)Fs ∗(f, g, h )] (y) =(Fs ϕ)(y)4e−βy (F f )(y)(Fc g)(y)(Fs h)(y) γ = (Fs h)(y)Fs ∗(f, h, ϕ) (y) γ = Fc (h ∗(∗(f, g, ϕ)))(y), ∀y > γ γ Suy ra: ϕ ∗(∗(f, g, h)) = h ∗(∗(f, ϕ, h)) 2 Nhằm chứng minh b), ta dựa vào (0.5) (2.2) để suy ra: γ γ Fs (∗(f, g, h)) ∗ ϕ)(y) = Fs (∗(f, g, h))(y)(Fc ϕ)(y) = 4e−βy (F f )(y)(Fc g)(y)(Fs h)(y)(Fc ϕ)(y) γ = Fs (∗(f, g, h)) ∗ g) (y), ∀y > Từ suy ra: γ γ (∗(f, g, h) ∗ ϕ)=(∗(f, g, ϕ)h ∗ g) Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 25 Cuối chứng minh c) ta dựa vào định lý 2.1 công thức (0.15) để thu được: γ γ γ1 Fs (∗(f, g, h)) ∗ ϕ) (y) = γ1 (y)Fs (∗(f, g, h))(Fs ϕ)(y) Fc = γ1 (y)γ(y)(F f )(y)(Fc g)(y)(Fs h)(y)(Fc ϕ)(y) γ = γ1 (y)Fs (∗(f, g, h))(Fs h)(y) γ γ1 = Fs (∗(f, g, h)) ∗ ϕ) (y), ∀y Fc Suy ra: γ γ1 γ γ1 (∗(f, g, h) ∗ ϕ)=(∗(f, g, ϕ)h ∗ g) Fs Fs Hệ chứng minh Hệ 2.2 (Định lí kiểu Titchmarch) Giả sử f ∈ L(eδ|x| , R) với δ > g, h ∈ L(R+ ) γ Nên ∗ δ(f, g, h)(x) ≡ với x >0 Khi f(x) = h(x) = g(x) =0 với x>0 Chứng minh: γ Theo giả thiết ∗ δ(f, g, h)(x) ≡ với x >0 ta có: γ Fs ∗ δ(f, g, h) (y)= 0, ∀y > Áp dụng định lí (2.2) ta có: 4e−βy (F f )(y)(Fc g)(y)(Fs h)(y) = 0, ∀y > : (F f )(y)(Fc g)(y)(Fs h)(y) = 0, ∀y > Vì (F f )(y), (Fc g)(y) (Fs h)(y) giải tích với y >0 nên từ (2.2) ta có (F f )(y) = 0, ∀y > (Fc g)(y) = 0, ∀y > Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 26 (Fs h)(y) = 0, ∀y > Điều dẫn tới f(x)=0 với x>0 g(x)=0 với x>0 h(x)=0 với x>0 mệnh đề chứng minh Định nghĩa2.6 i) Chuẩn không gian L( β + x2 , R) xác định bởi: +∞ f √ L( β +x2 ,R) β + x2 |f (x)|dx =π −∞ ii) Chuẩn không gian L(R+ ) xác định +∞ g L(R+ ) |g(x)|dx = Hệ 2.3 : Giả thiết f hàm không gian L( β + x2 , R) g , h hàm trọng khong gian L(R+ ) Khi bất đẳng thức sau: γ ∗(f, g, h) ≤ f L(R+ ) √ L( β +x2 ,R) g h L(R+ ) (2.3) L(R+ ) Chứng minh: Từ chứng minh định lý 2.2 ta có: +∞ +∞ +∞ γ β + x2 f (u)du ∗(f, g, h)(x) dx ≤ π −∞ +∞ |g(v)|dv |h(y)|dy Do γ ∗(f, g, h) ≤ f L(R+ ) √ L( β +x2 ,R) g L(R+ ) h L(R+ ) Định lí 2.7 : Giả sử f ∈ L( β + x2 , R) g, h ∈ L(R+ ) đa chập (2.1) Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 27 liên hệ với tích chập dạng (0.1) biết sau: √ 2 ∗(f, g, h) = √ π π +∞ +∞ γ f (u)h(u)(k(u, v) ∗ g(|v|)(x − y)dudy F −∞ √ 2 − √ π π +∞ +∞ f (u)h(y)(k(u, v) ∗ g(|v|)(x + y)dudy (2.4) F −∞ Trong k(u, v) = k(u, v, x) := β + iu (β + iu)2 + (x − v)2 Chứng minh: Xét tích phân có dấu "+" vế phải (2.1), với x>0 ta có: +∞ +∞ +∞ π2 β + iu −∞ (β + iu) + (x − y + v) + β + iu (β + iu) + (x − v − y)2 f (u) |g(v)| h(y)dudvdy +∞ +∞ +∞ = π β + iu (β + iu)2 + (x − v − y)2 f (u) |g(v)| h(y)dudy(−dv) −∞ 0 +∞ +∞ +∞ + π2 β + iu −∞ 0 +∞ +∞ +∞ = π2 (β + iu)2 + (x − v − y)2 β + iu −∞ −∞ √ +∞ +∞ 2 = √ π π (β + iu)2 + (x − v − y)2 f (u) |g(v)| h(y)dudvdy f (u) |g(v)| h(y)dudvdy f (u)h(y)(k(u, v) ∗ g( |v| ))(x − y)dudy F (2.5) −∞ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 28 Tương tự +∞ +∞ +∞ π2 − −∞ β + iu 2 (β + iu) + (x + y + v) − β + iu (β + iu) + (x + y − v)2 f (u)g(v)h(y)dudvdy √ +∞ +∞ −2 = √ f (u)h(y)(k(u, v) ∗ g( |v| ))(x + y)dudy F π π (2.6) −∞ Từ (2.5),(2.6) định lý chứng minh 2.4 Áp dụng 2.4.1 Áp dụng vào giải phương trình tích phân Xét phương trình tích phân +∞ +∞ +∞ f (x) + λ1 g(u)h(v)f (y)θ1 (x, u, v, y)dudvdy −∞ 0 +∞ + λ2 +∞ f (t)θ1 (x, t)dt+ + λ3 f (s)θ3 (x, s)ds = q(x), x > (2.7) Với θ1 (x, u, v, y) = + θ2 (x, t) = θ3 (x, s) = β + iu β + iu − π (β + iu)2 + (x + v − y)2 (β + iu)2 + (x + v + y)2 β + iu 2 (β + iu) + (x − v − y) − β + iu (β + iu) + (x − v + y)2 , √1 [k(|x − t|) − k(x + t)] 2π √ [sign(x + s − 1)p(|x + s − 1|) 2π +sign(x−s+1) p(|x − s + 1|) − sign(x − s + 1)p(|x − s − 1|) − p(x + s − 1)] Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 29 Ở λ1 , λ2 , λ3 số phức, g = g1 ∗ g2 , g1 g2 hàm không gian L( β2 + x2 , R) ;p = p1 ∗ p2 , p1 p2 hàm không gian L(R+ ) ; h,k,q hàm số thuộc không gian L(R+ ), f ẩn hàm Định lí 3.1 Nếu có điều kiện η + λ1 e−y Fc (g1 ∗(g2 ∗))(y) + λ2 (Fc k)(y) + λ3 Fc (f ∗ g)(y) = tồn nghiệm khơng gian L(R+ ) phương trình (3.1) xác định sau: f = q − (q ∗ l) ∈ L(R+ ), l ∈ L(R+ ) xác định công thức l(y) = (Fc l)(y), η λ1 4e−y Fc (g1 ∗(g2 ∗ h))(y) + λ2 (Fc k)(y) + λ3 Fc (p1 ∗ p2 )(y) l(y) = η + λ1 4e−y Fc (g1 ∗(g2 ∗ h))(y) + λ2 (Fc k)(y) + λ3 Fc (p1 ∗ p2 )(y) ∈ L1 (R+ ) Chứng minh: Phương trinh (2.7) viết lại dạng η γ f (x) + λ1 ∗(g, h, f )(x) + λ2 (f ∗ k)(x) + λ3 (f ∗ p)(x) = q(x), x > Fs Sử dụng đẳng thức (0.5), (0.15) định lý 2.2 ta (Fs f )(y) + λ1 4e−βy (F g)(y)(Fc h)(y)(Fs f )(y) +λ2 (Fs f )(y)(Fc k)(y) + λ3 sin y(Fs f )(y)(Fs p)(y) = (Fs q)(y) Tức (Fs f )(y) [1 + λ1 4e−βy (F g)(y)(Fc h)(y) +λ2 (Fc k)(y) + λ3 sin y(Fs p)(y)] = (Fs q)(y), y > Suy (Fs f )(y) [1 + λ1 4e−βy F (g1 ∗ g2 )(y)(Fc h)(y) +λ2 (Fc k)(y) + λ3 sin yFs (p1 ∗ p2 )(y) = (Fs q)(y), y > Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 30 Do (Fs f )(y) [1 + λ1 4e−βy (Fs g1 )(y)(Fs g2 )(y)(Fc h)(y) +λ2 (Fc k)(y) + λ3 sin y(Fs p1 )(y)(Fc p2 )(y)] = (Fs q)(y), y > Hay (Fs f )(y) + λ1 4e−βy (Fs g1 )(y)Fs (g2 ∗ h)(y) η +λ2 (Fc k)(y) + λ3 Fc (p1 ∗ p2 )(y) = (Fs q)(y), y > nghĩa (Fs f )(y) + λ1 4e−βy Fc (g1 ∗(g2 ∗ h))(y) η +λ2 (Fc k)(y) + λ3 Fc (p1 ∗ p2 )(y) = (Fs q)(y), y > Ta (Fs f )(y)   = (Fs q)(y) 1 − η 4e−βy F c (g1 ∗(g2 ∗ h))(y) + λ2 (Fc k)(y) + λ3 Fc (p1 ∗ p2 )(y)   η −βy F (g ∗(g ∗ h))(y) + λ (F k)(y) + λ F (p ∗ p )(y) + λ1 4e c 2 c c 1 λ1 theo định lí Wiener -Levy, tồn hàm l ∈ L(R+ ) Sao cho (Fc l)(y) = l(y) η λ1 4e−βy Fc (g1 ∗(g2 ∗ h))(y) + λ2 (Fc k)(y) + λ3 Fc (p1 ∗ p2 )(y) l(y) =  η + λ1 4e−βy Fc (g1 ∗(g2 ∗ h))(y) + λ2 (Fc k)(y) + λ3 Fc (p1 ∗ p2 )(y) Suy l(y) = (Fc l)(y) Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 31 (Fs f )(y) = (Fs q)(y) [1 − (Fc l)(y)] = (Fs q)(y) − (Fs (q ∗ l)(y) ta có f = q − (q ∗ l) ∈ L(R+ ) Nhận xét Phương trình (2.7) trường hợp riêng phương trình tích phân Toeplitz +Hankel (0.17) 2.4.2 Áp dụng vào giải hệ phương trình tích phân Ta xét hệ phương trình tích phân +∞ +∞ +∞ f (x) + λ1 k(u)h(v)g(y)θ1 (x, u, v, y)dudvdy = p(x) −∞ 0 +∞ λ2 f (t)θ2 (x, t)dt + g(x) = q(x), x > o Trong θ1 (x, u, v, y) xác định phương trình (3.1) θ2 (x, t) = √1 2π [ξ(|x − t|) − ξ(x + t)] ξ(x) = (ξ1 ∗ ξ2 )(x) λ1 , λ2 số phức k hàm không gian L( 2 + x2 , R) β ;h, q, ξ1 , ξ2 hàm thuộc không L(R+ ); f g ẩn hàm Định lí 3.2 γ Với điều kiện − λ1 λ2 Fc (∗(k, h, ξ1 ) ∗ ξ2 )(y) = , tồn nghiệm khơng gian hàm L(R+ ) hệ phương trình (3.2), xác định sau f (x) = p(x)−λ1 (γ (k, h, q))(x)+(p ∗ l)(x)−λ1 (λγ (k, h, q) ∗ l)(x) ∈ L(R+ ) ∗ ∗ 1 g(x) = q(x) − λ2 (p ∗ ξ)(x) + (q ∗ l)(x) − (p ∗ ξ)(x) ∈ L(R+ ) 1 l ∈ L(R+ ) với l(y) = (Fc l)(y) Và giả thiết Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 32 γ λ1 λ2 Fc (∗(k, h, ξ1 ) ∗ ξ2 )(y) l(y) := γ − λ1 λ2 Fc (∗(k, h, ξ1 ) ∗ ξ2 )(y) Chứng minh Hệ phương trinh (3.2) viết lại dạng sau γ f (x) + λ1 (∗(k, h, g)(x) = p(x), λ2 (f ∗ ξ)(x) + g(x) = q(x), x > Theo định lí 2.2 cơng thức (0.5) ta có hệ phương trình đại số tuyến tính sau: (Fs f )(y) + λ1 4e−βy (F k)(y)(Fc h)(y)(Fs g)(y) = (Fs p)(y), y > λ2 (Fs f )(y)(Fs ξ1 )(y)(Fs ξ2 )(y) + (Fs g)(y) = (Fs q)(y), y > Khi xem (Fs f )(y), (Fs g)(y)] nghiệm hệ phương trình ∆= λ1 4e−βy (F k)(y)(Fc h)(y) λ2 (Fs ξ1 )(y)(Fs ξ2 )(y) γ = − λ1 λ2 Fs (∗(k, h, ξ1 )(y)(Fs ξ2 )(y) γ = − λ1 λ2 Fc ((∗(k, h, ξ1 )) ∗ ξ2 )(y) γ λ1 λ2 Fc ((∗(k, h, ξ1 )) ∗ ξ2 )(y) =1+ γ ∆ − λ1 λ2 Fc ((∗(k, h, ξ1 )) ∗ ξ2 ) Theo định lí Wiener - Levy [1], tồn hàm l ∈ L(R+ ) cho γ λ1 λ2 Fc ((∗(k, h, ξ1 )) ∗ ξ2 )(y) (Fc l)(y) = := l(y) γ − λ1 λ2 Fc ((∗(k, h, ξ1 )) ∗ ξ2 ) suy l(y) = (Fc−1 l)(y) = (Fc l)(y) Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 33 = + (Fc l)(y) ∆ mặt khác (Fs p)(y) λ1 4e−βy (F k)(y)(Fc h)(y) (Fs q)(y) = (Fs p)(y) − λ1 Fs γ (k, h, q)(y) ∗ (F p)(y) ∆2 = (Fs ξ1 )(y)(Fs ξ2 )(y) (Fs p)(y) λ s ∆1 = = (Fs p)(y) − λ2 (Fs p)(y)(Fc ξ)(y) = (Fs p)(y) − λ2 Fs (p ∗ ξ)(y) Suy (Fs f )(y) = ∆1 ∆2 [1 + (Fc l)(y] (Fs p)(y) − λ1 Fs γ (k, h, q)(y) ∗ = (Fs p)(y) − λ1 Fs (γ (k, h, q))(y) + Fs (p ∗ l)(y) − λ1 Fs (γ (k, h, q) ∗ l)(y) ∗ ∗ 1 Điều dẫn tới f (x) = p(x)−λ1 (γ (k, h, q))(x)−(p ∗ l)(x)−λ1 (λγ (k, h, q) ∗ l)(x) ∈ L(R+ ) ∗ ∗ 1 Tương tự ta rút (Fs g)(y) = [1 + (Fc l)(y] (Fs q)(y) − λ2 Fs (p ∗ ξ)(y) = (Fs q)(y) − λ2 Fs (p ∗ ξ)(y) + Fs (q ∗ l)(y) − λ2 Fs ((p ∗ ξ) ∗ l)(y) 1 1 Từ suy g(x) = q(x) − λ2 (p ∗ ξ)(x) + (q ∗ l)(x) − (p ∗ ξ)(x) ∈ L(R+ ) 1 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 34 Kết luận Luận văn xây dựng nghiên cứu hai đa chập đổi với ba phép biến đổi tích phân Fourier,Fourier cosine Fourier sine sở số báo công bố đa chập tạp chí chun nghành có uy tin tác giả Nguyễn Minh Khoa Phần đóng góp tác giả tiếp cận với kỹ thuât xây dựng, nghiên cứu đa chập xây dựng đa chập đa chập tác giả Nguyễn Minh Khoa xây dựng với hàm trọng tổng quát Luận văn đưa ứng dụng đa chập để giải phương trình tích phân kiểu Toeplitz-Hankel hệ phương trình tích phân kiểu đa chập Từ kết nhận được.Tác giả hy vọng tiếp tục nghiên cứu số đề như: - Nghiên cứu bổ xung tính chấp đa chập không gian - Nghiên cứu đa chập không gian (LP )(R), (LP )(R+ ), p ≥ khơng gian hàm suy rộng Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 35 - Đánh giá bất đẳng thức tích phân dạng đa chập - Nghiên cứu phép biến đổi tích phân kiểu đa chập Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 36 Tài liệu tham khảo [1] N I Achiezer, Lectures on Approximation theory, Science Publishing house, Moscow,1965, pp 157-162 [2] Bateman, H and Erdelyi, A., Tables of Integral Transforms Vol 1, mcgraw-Hill Book Co., New York, 1954 [3] H.H Kagawa and Kabbalah, integral Equations via Embedding Methods Applied Math – emetics and Compatation, No.6.Addison – Weslay Publishding Co Reading, mas- LondonAmsterdam, 1974 [4] Kakichev, V.A., On the convolution for integral transforms (in Russian) Izv ANBSSR, Ser Fiz Mat 1967,N 2, p 48-57 , (in Russian) [5] V A Kakichev, Polyconvolution, Taganrog, TPTU,1997 ,54p(in Russian) [6] Nguyen Minh Khoa On the generalized convolution for the Fourier cosine, Fourier and Fourier sine transforms Proceedings of the 20th Scientific Conference, Hanoi University of Technology (2006),122- 125 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 37 [7] I.N.Sneddon fourier transform, MC Gray Hill, NewYork, 1951 [8] Srivastava, H.M., Tuan, V.K., A new convolution theorem for the Stieltjes transform and its application to a class of singular integral equations (1995) Arch Mathematik,Vol 64, No.2, 144149,1995 [9] Nguyen Xuan Thao, On the polyconvolution for integral tramsforms Vestn NovGU Ser Estestv i Tehn Nauki - N.10 -pp 104 - 110, 1999 (in Russian) [10] Nguyen Xuan Thao, Kakichev V.A and Vu Kim Tuan, On the generalized convolution for Fourier cosine and sine transforms East - West J.Math - V.1 - N.1 - pp 85 - 90, 1998 [11] Nguyen Xuan Thao, Vu Kim Tuan and Nguyen Minh Khoa, On the generalized convolution with a weigth-function for the Fourier cosine and sine transforms Fractional Calculus Applied Analysis.-V.7.-N.3.- pp.323-337, 2004 [12] Nguyen Xuan Thao and Nguyen Minh Khoa, On the generalized convolution with a weigth-function for the Fourier sine and cosine transforms Integral trans Special Func.-V.17.-N.9.-pp 673-685, 2006 [13] H M Titchmarsh, Introduction to the Theory of Fourier Integrals, Clarendon Press, Oxford, UK, 2nd edition, 1967 [14] J.N Tsitsiklis and B.C Levy, "Integral Equations and Resolvents of Toeplitz plus Hankel Kernels", Technical Report LIDS-P-1170, Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 38 Laboratory for Information and Decision Systems, M.I.T., December 1981 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ... chập với hàm trọng γ(y) = e−αy phép biến đổi tích phân Fourier cosine , Fourier Fourier sine Chương Đa chập với hàm trọng γ(y) = 4e−βy phép biến đổi tích phân Fourier sine , Fourier Fourier cosine. .. TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC PHẠM VĂN HIỆU ĐA CHẬP ĐỐI VỚI CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN FOURIER, FOURIER SINE, FOURIER COSINE VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: TOÁN ỨNG DỤNG Mã số : 60.46.36 LUẬN VĂN THẠC SĨ... 1.2 Đa chập (1.1) tích chập suy rộng Triple mở rộng tới tích chập suy rộng phép biến đổi Fourier, Fourier sine, Fourier cosine biết Với đa chập ta giải số lớp rộng hệ phương trình tích phân